Estudos_Orientados_Raciocinio_Matematico Livro

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Estudos Orientados 
Raciocínio Matemático
1ª edição
2017
Estudos Orientados 
Raciocínio Matemático
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Palavras do professor
Por mais que muitas vezes não nos demos conta, é inegável que a mate-
mática se faz presente nas mais diversas situações do nosso cotidiano. 
Das mais simples, como verificar a hora ou fazer uma compra no mercado, 
às mais complexas, como uma análise de investimentos ou a previsão do 
tempo. 
Dessa forma, é de fundamental importância expandir nosso conheci-
mento matemático, pois ele amplia nossa capacidade de percepção e 
compreensão dos mais diversos fenômenos a nossa volta.
O desenvolvimento do raciocínio matemático nos auxilia na estrutura-
ção e organização do pensamento, o que nos permite interpretar infor-
mações, encontrar as conexões existentes entre o que nos é proposto e 
construir novos conhecimentos a partir dos conhecimentos adquiridos. 
E, assim, encontramos determinada solução, tomamos uma decisão ou 
chegamos a certa conclusão. 
Nossa disciplina de Estudos Orientados – Raciocínio Matemático apre-
senta elementos conceituais e fundamentais da matemática. Os conteú-
dos aqui abordados visam oferecem subsídios e ferramentas matemáticas 
que sirvam de embasamento para que você possa prosseguir plenamente 
em seus estudos.
Nosso objetivo é instiga-los e oferecer condições para o desenvolvimento 
do pensamento crítico, formando profissionais capazes de criar e cons-
truir novas soluções e caminhos através de suas experiências e conheci-
mentos.
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Unidade de Estudo 1
Unidades de medida
Para iniciar seus estudos
Nesta Unidade você irá recordar as principais características do nosso sis-
tema de medidas, identificar as diferentes unidades de medida e como 
transformá-las, conhecer os conceitos de perímetro, área e volume e 
como calcula-los.
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar as diferentes unidades de medida.
• Trabalhar com as transformações de medida.
• Calcular o perímetro e a área das figuras planas mais básicas
• Calcular volume dos principais sólidos geométricos.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
1.1 Introdução
Medir é o ato de comparar determinadas grandezas de mesma natureza. Desde pequenos, em nosso dia a dia, 
nos deparamos com medidas de diversas grandezas tais como distância, tempo, massa, temperatura, velocidade, 
entre outras. 
Desde a Antiguidade, foram muitas as estratégias criadas pelos povos para contar e medir. Muitas dessas estraté-
gias eram baseadas nos instrumentos disponíveis e adaptadas para as necessidades de cada povo. Por exemplo, o 
cúbito era a unidade de medida usada pelos egípcios, que equivalia a distância do cotovelo até a ponta do dedo 
médio. Já os romanos utilizavam o pé e a passada dupla. 
Usar o corpo humano como referência para medidas fez surgir um problema: pessoas são diferentes e conse-
quentemente as medidas também são. Além disso, com o desenvolvimento do comércio e das relações sociais 
entre os povos surgiu a necessidade da padronização das medidas para cada grandeza. 
Criou-se, em 1791, o Sistema Métrico Decimal, que mais tarde foi substituído pelo Sistema 
Internacional de Unidades (SI), o mais utilizado em todo o mundo. 
Observemos no quadro a seguir algumas grandezas e suas respectivas unidades no Sistema Internacional:
Quadro 1.1 – Algumas grandezas no Sistema Internacional
Grandeza Unidade de medida (SI)
Comprimento • metro (m)
Massa • quilograma (kg)
Velocidade • metro por segundo (m/s)
Temperatura • Kelvin (K)
Legenda: Grandezas no Sistema Internacional
Fonte: Elaborado pelo autor
Nas seções a seguir iremos aprofundar os conhecimentos sobre as unidades de medidas de algumas grandezas. 
Vamos lá?
1.2 Sistema decimal de medidas de comprimento
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
São várias as situações envolvendo medidas de comprimento: a distância entre duas cidades, a largura de um 
cômodo, a altura de uma pessoa. 
A unidade fundamental de comprimento utilizada é o metro, representada simbolicamente pela letra “m”. Dela 
derivam-se outras unidades de comprimento, chamadas de múltiplos e submúltiplos. 
Os múltiplos são as unidades maiores que o metro e servem para medir grandes distâncias, 
enquanto que os submúltiplos são as unidades menores que o metro, destinadas a medir 
pequenas distâncias. 
O nome dos múltiplos e submúltiplos são formados com o uso de prefixos que indicam os fatores que multipli-
cam essas unidades. Observemos o quadro a seguir:
Quadro 1.2 – Unidades de medida de comprimento
Múltiplos Unidade 
Fundamental
Unidade de medida (SI)
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
km hm dam m dm cm mm
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Legenda: Unidades de medida de comprimento
Fonte: Elaborado pelo autor
Notemos que:
• O quilômetro (km) corresponde a 1000 vezes a unidade fundamental, o metro.
• O hectômetro (hm) corresponde a 100 vezes a unidade fundamental.
• O decâmetro (dam) corresponde a 10 vezes a unidade fundamental.
• O decímetro (dm) corresponde a 0,1 vez a unidade fundamental, ou seja, um décimo do metro.
• O centímetro (cm) corresponde a 0,01 vez a unidade fundamental, ou seja, um centésimo do metro.
• O milímetro (mm) corresponde a 0,001 vez a unidade fundamental, ou seja, um milésimo do metro.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Podemos também denotar da seguinte forma:
1 km = 1000 m = 103 m 
1 hm = 100 m = 102 m 
1 dam = 10 m = 101 m 
1 dm = 0,1 m = 1/10 m= 10-1 m 
1 cm = 0,01 m = 1/100 m= 10-2 m 
1 mm = 0,001 m = 1/1000 m= 10-3 m 
Pé, jarda e Polegada são unidades que não pertencem ao sistema de decimal de medidas de 
comprimento, e são definidas pelo sistema inglês:
1 Polegada (in) = 2,54 cm
1 Pé (ft) = 30,48 cm
1 Jarda (yd) = 91,44 cm 
Exemplo 1.1:
Imagine que você tenha que percorrer uma distância de 5km, e que desta distância 600m sejam feitos a pé e o 
restante de ônibus. Qual será a distância percorrida de ônibus, em quilômetros?
O primeiro ponto importante a ser destacado é que quando efetuamos alguma operação ou comparamos gran-
dezas elas devem estar expressas na mesma unidade. Caso isso não ocorra é necessário fazer uma conversão de 
unidades. 
Para este exemplo:
Sabemos que 1km equivale a 1000m, logo 5km= 5⋅1000=5000m.
Para determinarmos a distância percorrida de ônibus basta subtrairmos a parte que foi percorrida a pé.
Logo, 5000m-600m= 4400m.
Novamente, 1km equivale a 1000m, logo 4400m= 4400:1000=4,4km.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
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1.2.1 Transformação de unidades de comprimento
Como o sistema de medidas de comprimento é decimal cada unidade é dez vezes maior que a unidade imedia-
tamente inferior. Então para fazermos a conversão das unidades utilizamos multiplicações e divisões sucessivas 
por 10. 
Observemos o esquema abaixo:
Figura 1.1 – Régua de conversão
Legenda: Régua de conversão de unidades de comprimento
Fonte: Elaborado pelo autor
Exemplo 1.2: Vamos fazer a conversão das unidades a seguir:
a. 2,5 hm para m
Observando a figura1.1, vemos que para transformar de hectômetro para metro basta multiplicar por 10 duas 
vezes, o que equivale a uma multiplicação por cem. Logo,
b. 34 dam para cm
Para passarmos de decâmetro para centímetro, multiplicamos por 10 três vezes,o que corresponde a uma mul-
tiplicação por mil.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
c. 78 cm para m
Para transformar centímetro para metro, dividimos por 10 duas vezes, equivalente a uma divisão por cem.
d. 1500mm para dam
Na transformação de milímetro para decâmetro, devemos efetuar quatro divisões por 10, o que corresponde a 
uma divisão por dez mil.
Notemos que sempre que passamos das unidades maiores para as menores efetuamos multiplicação e das 
menores para as maiores efetuamos divisão. Lembrando ainda que podemos utilizar a regra prática de deslocar a 
vírgula ao fazer multiplicações ou divisões por potências de 10. Na letra (a), onde ocorreu a multiplicação por cem 
note que a vírgula deslocou-se duas casas decimais para a direita. Já na letra (d), onde foi efetuada a operação de 
divisão por dez mil a vírgula deslocou-se quatro casas decimais para a esquerda.
Acompanhemos agora mais alguns exemplos:
Exemplo 1.3: Considere que faltam apenas 25% para um atleta percorrer em um percurso com 8,4km de exten-
são. Quantos metros ele já percorreu?
Temos que,
Ele já percorreu 
Exemplo 1.4: Para medir elementos microscópicos, os cientistas criaram unidades menores que o milímetro. Uma 
delas é o micrômetro(⋅m) que corresponde a milésima parte do milímetro. Uma célula animal típica pode chegar 
a 300 micrômetros de diâmetro. Essa medida em metros é equivalente a:
Vamos passar de micrômetro para milímetro, pois sabemos que o micrômetro corresponde à milésima parte do 
milímetro. Logo,
Agora efetuamos outra divisão por mil para transformar o milímetro em metro:
Portanto, 30⋅m equivalem a 0,00003m.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
1.3 Sistema decimal de medidas de área
A área é o valor numérico que corresponde à medida de uma superfície, como por exemplo, a superfície de uma 
parede que precisa ser azulejada. Esse valor pode ser obtido através da multiplicação das duas dimensões do 
plano (comprimento e largura). 
Nas seções a seguir veremos que existem expressões matemáticas para o cálculo da área de diversas figuras, mas 
por hora falaremos das unidades de área e como transforma-las.
Consideremos um quadrado de um 1m de lado, conforme a figura 1.1:
Figura 1.2 – Metro quadrado
Legenda: A unidade de área
Fonte: Elaborado pelo autor
Para calcularmos a medida de sua superfície, ou seja, sua área, multiplicamos seu comprimento por sua largura. 
Logo,
O metro quadrado (m2) é unidade fundamental para expressar medidas de área, mas também podemos utilizar 
seus múltiplos e submúltiplos.
Quadro 1.3 – Unidades de medida de área
Múltiplos Unidade 
Fundamental
Unidade de medida (SI)
Quilômetro 
quadrado
Hectômetro 
quadrado
Decâmetro 
quadrado
Metro 
quadrado
Decímetro 
quadrado
Centímetro 
quadrado
Milímetro 
quadrado
km² hm² dam² m² dm² cm² mm²
Legenda: Unidades de medida de área
Fonte: Elaborado pelo autor
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Se quiséssemos calcular a área do quadrado anterior utilizando o decímetro obteríamos:
1 m = 10 dm
Nas unidades de área cada unidade é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
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colegas!.
1.3.1 Transformação de unidades de área
Para converter unidades de área usamos o mesmo procedimento das unidades de comprimento, apenas lem-
brando que como cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior, para efetuar-
mos as transformações das unidades utilizamos multiplicações e divisões sucessivas por 100. Acompanhemos 
os exemplos a seguir:
Exemplo 1.5: Vamos fazer a conversão das unidades a seguir:
a. 3,2m2 para cm2
Para passarmos de metro quadrado para centímetro quadrado basta multiplicar por 100 duas vezes, o que equi-
vale a uma multiplicação por 10.000. Logo,
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
b. 450 dam2 para hm2
Para transformar dam2 para hm2, dividimos por 100. Logo, teremos:
Exemplo 1.6: Um muro medindo 9m de comprimento por 2m de altura foi construído com tijolos de dimensões 
15cm por 15cm de altura. Quantos tijolos foram gastos na construção desse muro, considerando que não houve 
desperdício?
O muro possui 18m2 de área, pois
 
Cada tijolo possui 225cm2 de área, pois
Notemos que as áreas estão indicadas em unidades diferentes. Lembremos que para que possamos comparar 
grandezas elas devem estar na mesma unidade. Por essa razão, faremos uma transformação de unidades.
Para passarmos de m2 para cm2 fazemos duas multiplicações por cem.
Logo,
Agora, para determinarmos a quantidade de tijolos utilizada dividimos área do muro pela área de cada tijolo. 
Então, obtemos:
1.4 Sistema decimal de medidas de volume
O conceito de volume está associado ao espaço ocupado por um corpo, um objeto tridimensional. A unidade 
fundamental das medidas de volume é o metro cúbico, simbolizado por m3, associado a três dimensões: altura, 
comprimento e largura. O metro cúbico equivale ao espaço ocupado por um cubo de aresta medindo 1m.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Quadro 1.4 – Unidades de medida de volume
Múltiplos Unidade 
Fundamental
Unidade de medida (SI)
Quilômetro 
cúbico
Hectômetro 
cúbico
Decâmetro 
cúbico
Metro cúbico Decímetro 
cúbico
Centímetro 
cúbico
Milímetro 
cúbico
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
Legenda: Unidades de medida de volume
Fonte: Elaborado pelo autor
No sistema métrico decimal cada unidade de volume é mil vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
Por exemplo:
Se utilizarmos o decímetro(dm), lembrando que 1m=10dm, temos:
1.4.1 Transformação de unidades de volume
A mesma regra utilizada para converter unidades de comprimento e área será utilizada nas unidades de volume. É 
de fundamental importância que lembremos que para transformarmos unidades maiores para unidades meno-
res efetuamos multiplicação e divisão no caso contrário, conforme a figura 1.1. 
Devemos lembrar também que como cada unidade de volume é mil vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior, para efetuarmos as transformações das unidades utilizamos multiplicações e divisões sucessivas por 
1000. Vejamos alguns exemplos:
a. 9,75km3 para hm3
Para converter quilômetro cúbico para hectômetro cúbico, basta efetuarmos uma multiplicação por 1000.
b. 1300 dm3 para dam3
Para transformar dm3 para dam3 devemos fazer duas divisões por 1000, que é equivalente a uma divisão por 
1000000.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Exemplo 1.8: O valor da expressão 2350dm3+624000cm3 em metros cúbicos é?
De dm3 para m3, efetuamos uma divisão por 1000:
De cm3 para m3, efetuamos duas divisões por 1000:
Logo,
1.4.2 Volume x Capacidade
Qualquer figura espacial ocupa um lugar no espaço que é o seu volume. Essa mesma figura pode comportar 
internamente alguma substância, esta seria sua capacidade.
L A capacidade é o volume interno de uma figura, normalmente associada a líquidos. Já o 
volume se associa a quanto espaço essa figura ocupa.
Glossário
A unidade de medida de capacidade é o litro, representado pela letra “l”. Volume e capacidade se relacionam da 
seguinte forma:
• 1 dm3 equivale à capacidade de 1 litro.
• 1 m3 equivale à capacidade de 1000 litros, pois 1m3=1000dm3
Os múltiplos e submúltiplos do litro são formados com o uso dos mesmos prefixos anteriores. Assim como no 
sistema de medidas de comprimento, cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediata-
mente inferior.
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Empreendedorismo | Unidadede Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Quadro 1.5 – Unidades de medida de capacidade
Múltiplos Unidade 
Fundamental
Unidade de medida (SI)
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
Legenda: Unidades de medida de capacidade
Fonte: Elaborado pelo autor
Exemplo 1.9: Vamos agora transformar algumas unidades de capacidade:
a. 3,4 kl para l
Para transformar de quilolitro para litro basta multiplicar por 10 três vezes, o que equivale a uma multiplicação 
por mil. Logo, teremos:
b. 860 cl para hl
Para passarmos de centilitro para hectolitro, dividimos por 10 quatro vezes, o que corresponde a divisão por dez 
mil.
c. 3500 cm3 para l
Primeiro vamos transformar o centímetro cúbico para decímetro cúbico. Em seguida, utilizaremos a relação entre 
volume e capacidade para transformamos em litro.
De cm3 para dm3, devemos efetuar uma divisão por 1000l
Sabemos que 1dm3 corresponde a 1 litro, portanto 
Nas seções a seguir discutiremos como calcular o perímetro, a área e o volume de algumas figuras geométricas. 
Vamos lá?
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
1.5 Perímetro
Denomina-se perímetro o valor numérico encontrado ao medirmos a extensão de todos os lados de uma figura, 
o contorno dessa figura. Ou ainda, a soma de todos os seus lados.
Exemplo 1.10: Considere um campo de futebol society medindo 30m de largura por 50m de comprimento. 
Figura 1.3 – Campo de futebol society
Legenda: Dimensões campo de futebol society
Imagem: 123RF (2017). 
Fonte: <http://br.123rf.com/photo_32485317_campo-de-futebol.html?term=football%2Bfield&vti=lf44qrveyecrskxv74>. 
ID da imagem: 32485317
Para determinarmos seu perímetro, a medida do seu contorno, devemos somar todos os seus lados. Logo, obte-
mos:
Acompanhemos mais alguns exemplos:
Exemplo 1.11: A medida, em decâmetros, do perímetro da figura abaixo é:
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Figura 1.4 – Cálculo do perímetro
Legenda: Cálculo do perímetro
Fonte: Elaborado pelo autor
Efetuando a soma de todos os lados obtemos:
Transformando em decâmetro, encontramos:
Exemplo 1.12: Determine o perímetro do polígono regular de 18 lados, sabendo que seu lado mede 6cm.
L Um polígono é qualquer figura plana, fechada, delimitada por segmentos de reta que não 
se intersectam. Um polígono regular possui todos os lados com a mesma medida..
Glossário
Como o polígono é regular, todos os seus lados são iguais. Logo, teremos:
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
1.6 Calculando áreas
Sabemos que a área é a medida da superfície de uma figura plana. Segundo Macedo(2012), a área de um polígono 
é a extensão de uma porção limitada da superfície ocupada por um polígono fechado qualquer.
Cada figura plana apresenta uma expressão para o cálculo de sua área. Vamos conhecer algumas delas:
1.6.1 Paralelogramo
Um paralelogramo é um quadrilátero formado por dois pares de lados opostos paralelos. Para obtermos a área do 
paralelogramo multiplicamos a medida de sua base pela medida de sua altura.
Figura 1.5 – Paralelogramo
Onde,
b = base do paralelogramo
h = altura do paralelogramo
Exemplo 1.12: Determine a área de um paralelogramo cuja base mede 12cm e a altura 10,5cm.
Para determinarmos a área basta efetuarmos o produto das duas dimensões. Então, temos que:
1.6.2 Retângulo
O retângulo é um caso particular de paralelogramo que possui quatro ângulos retos, ou seja, medindo 90º cada 
um. A sua área também é obtida pelo produto de sua base e altura.
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Empreendedorismo | Unidade de Estudo 1 – Os diversos âmbitos do empreendedorismo
Figura 1.6 – Retângulo
Legenda: Cálculo do área do retângulo
Fonte: Elaborado pelo autor
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Considerações finais
Chegamos ao fim da Unidade de Estudo 1 e esperamos que você possa 
ter iniciado o seu processo de inspiração e motivação para compreender 
a área de empreendedorismo e, mais do que isso, escolher sua profissão a 
partir dessa abordagem. 
De tudo que vimos, cabe destacar:
• perfil empreendedor;
• os 5 “Ps” do Empreendedorismo;
• o empreendedorismo na área econômica tradiconal;
• o empreendedorismo na área do terceiro setor;
• o empreendedorismo na área dos negócios sociais.
Outro ponto interessante que foi abordado é a constatação de que exis-
tem dois tipos de empreendedores: os natos e aqueles que desenvolvem 
as habilidades empreendedoras com o tempo.
Diante disso tudo, você já escolheu o que quer seguir?
Referências bibliográficas
21
ALBUQUERQUE, Antônio Carlos Carneiro de. Terceiro setor: história e 
gestão de organizações. São Paulo: Summus Editorial, 2006.
Dicionário Priberam da Língua Portuguesa. Disponível em: <https://
www.priberam.pt/dlpo/multifuncional>. Acesso em: 23 jan. 2017.
DRUCKER, F. P. Inovação e espirito empreendedor, prática e princípios. 
São Paulo: Thomson-Pioneira, 2003.
ENDEAVOR. Disponível em: <https://endeavor.org.br/>. Acesso em: 8 jan. 
2017.
FREDER, S. M.; FREITAS, V. Z.; MINGHINI, L. Os 5 Ps do Empreendedo-
rismo: um estudo de caso. Revista Cátedra Ozires Silva de Empreende-
dorismo e Inovação Sustentáveis, v. 1, N 1, 2016. Disponível em: <http://
revista.isaebrasil.com.br/>. Acesso em: 28 dez. 2016.
GIMENEZ, F. A. P. Empreendedorismo, Sustentabilidade a vida de pro-
fessor: prosa e poesia. Curitiba: Edição do Autor, 2015.
SILVA, O. Cartas a um jovem empreendedor: realize seu sonho, vale a 
pena. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007.
YUNUS BRASIL. Disponível em <http://www.yunusnegociossociais.
com/o-que-so-negcios-sociais>. Acesso em: 8 jan. 2017.
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Unidade de Estudo 2
Unidades de medida
Para iniciar seus estudos
Nesta Unidade você irá revisar as operações envolvendo números fracio-
nários, relembrará os conceitos básicos de álgebra e irá aprender como 
identificar e resolver diferentes tipos de equações, bem como utilizá-las 
para solucionar problemas diversos.
Objetivos de Aprendizagem
• Revisar as operações envolvendo as frações.
• Resolver e reconhecer os diferentes tipos de equações.
• Aprender a estruturar problemas cotidianos a partir do raciocínio 
matemático.
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Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
2.1 Introdução
Sabemos que a matemática se faz presente nas mais variadas situações do nosso dia a dia. Mais importante que 
isso, porém, é entender suas aplicações e utiliza-las a nosso favor para facilitar nossa vida. 
Os princípios matemáticos se desenvolveram ao longo de várias gerações e foram motivados, principalmente, 
pelas necessidades do homem ao longo dos anos. Por exemplo, desde muito tempo, o homem utilizava prin-
cípios de contagem e medidas para facilitar seu cotidiano. Entretanto, apenas números e medidas inteiras não 
bastavam para representar todas as situações. Diante dessa necessidade surgiram as frações, que servem para 
representar quantias não inteiras. Assim como somente números inteiros não atendiam a todas as atividades 
humanas, como o passar do tempo surgiu a necessidade de generalizar os conceitos e operações matemáticas 
para compreender fenômenos, solucionar problemas geométricos, econômicos, entre outros. Surgiam então, os 
conceitos básicos da álgebra.
O homem evoluiu bem como os princípios matemáticos tais quais os conhecemos hoje. Vamos relembrar alguns 
deles?
2.2 Operações com frações
No dia a dia são inúmeras as situações envolvendo o conceito de frações: quando preparamos uma receita, 
quando nos reunimos com os amigos para comer uma pizza. A fração representa uma quantidade a partir do 
quociente (divisão) de dois números inteiros, expressapartes iguais de um todo.
Por exemplo, imagine que você comprou uma pizza de oito fatias. E comeu três dessas oito fatias.
Figura 2.1 – O conceito de fração.
Legenda: O conceito de fração.
IFonte: <http://br.123rf.com/photo_53192964_corte-em-fatias-pizza-deliciosa-fresca-com-cogumelos-e-pepperoni-
-em-um-fundo-escuro.-vista-de-cima.-.html?term=pizza&vti=moe6d6u854qqtcsl81>
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Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
Podemos representar essa situação por meio de uma fração:
Foram três fatias em um total de oito, portanto (lê-se três oitavos)
De maneira geral, significa a:b, onde a e b são números inteiros, com b diferente de zero.
Note que o traço representa o símbolo da divisão. Os termos que compõem uma fração são chamados de nume-
rador e denominador. 
O numerador indica quantas partes foram tomadas do todo (número que fica acima do 
traço da fração). Já o denominador indica em quantas partes foi dividido o todo (número 
que fica embaixo do traço da fração). O denominador de uma fração nunca pode ser igual 
a zero. . 
Na fração do exemplo anterior:
Veja mais alguns exemplos:
Vamos agora revisar as operações envolvendo frações.
26
Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
2.2.1 Adição e subtração de frações
Para adicionar ou subtrair frações devem ser consideradas duas condições: denominadores iguais e denomina-
dores diferentes. Vamos estudá-las?
Quando os denominadores são iguais, efetuamos a adição ou subtração dos numeradores e mantemos o deno-
minador. Veja alguns exemplos:
Exemplo 2.1:
De maneira geral,
Quando os denominadores são diferentes deve-se, primeiramente, reduzi-las a um mesmo denominador. Para 
isso, devemos obter frações equivalentes às frações iniciais.
Glossário
Frações equivalentes são frações que representam a mesma quantidade, a mesma parte 
do todo. Uma fração equivalente surge da multiplicação ou divisão do numerador e do 
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. 
Vejamos um exemplo de frações equivalentes:
Para encontrar frações equivalentes às frações iniciais, calculamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos deno-
minadores, e este será o novo denominador comum das frações. Dividimos esse novo denominador pelo deno-
minador antigo e, o quociente obtido, multiplicamos pelo numerador antigo para determinar o novo numerador. 
Acompanhe alguns exemplos:
27
Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
Exemplo 2.2: Vamos resolver as operações abaixo.
Calcularmos o mínimo múltiplo comum dos denominadores. 
MMC(3, 4) =12 Este será o novo denominador. 
Dividimos esse valor pelos denominadores e, o resultado obtido, multiplicamos pelos numeradores. Por fim, efe-
tuamos a operação.
1
3
3
4
12 3 1
12
12 4 3
12
4 1
12
3 3
12
4 9
12
13
12
3
2
4
3
+ =
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
=
+
( : ) ( : )
b −− 1
6
MMC(2, 3, 6) = 6, então
Lembre que 5 é um número inteiro, portanto seu denominador é igual a 1.
De maneira geral,
28
Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
2.2.2 Multiplicação de frações
A multiplicação de frações não requer que as frações tenham um denominador comum. Para efetua-la, multipli-
camos os numeradores entre si e fazemos o mesmo quanto aos denominadores. Por exemplo:
Exemplo 2.3:
De maneira geral,
2.2.3 Divisão de frações
Para efetuar a divisão de frações, mantemos a primeira fração, invertemos a segunda e, em seguida, calculamos 
o produto entre elas. Observe:
Exemplo 2.4:
De maneira geral,
Veja a seguir alguns exemplos envolvendo números fracionários
Exemplo 2.5: Uma empresa realizará sua produção em três semanas. Na primeira semana fará do total da 
produção e na segunda semana produzirá do total. Que fração representa a quantia que deverá ser produzida 
na terceira semana?
29
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Para determinar a quantia produzida na terceira semana, devemos subtrair do total o que foi produzido nas duas 
primeiras semanas. O todo é representado por um inteiro, logo
Portanto, da produção deverá ser feita na terceira semana.
Exemplo 2.6: O proprietário de um terreno resolveu dividi-lo entre seus quatro filhos. Sabendo que ele ficará com 
1/3 da propriedade, qual fração corresponde à parte destinada a cada um dos filhos? 
Como o proprietário ficará com da propriedade, os restantes serão divididos entre os filhos. Então,
Logo, cada filho ficará com a sexta parte do terreno.
Exemplo 2.7: Uma empresa realizou uma pesquisa da qual participaram 420 funcionários, que correspondem a 
 dos seus funcionários. Quantos são os funcionários da empresa?
Como 420 funcionários correspondem a temos:
Portanto, há 1050 funcionários na empresa.
2.3 Equações
IInúmeras situações e fenômenos podem ser descritos através uma equação, como o lançamento de um projétil, 
a previsão de estoque de uma empresa, as reações químicas. Das mais simples às mais complexas, é de funda-
mental importância compreende-las e saber utiliza-las. Para isso, nas seções a seguir vamos nos aprofundar em 
alguns conceitos. Vamos lá?
Uma equação é uma sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. As sentenças abaixo 
são equações:
• 
30
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• 
• 
As sentenças apresentadas a seguir não são equações:
• (Não é uma sentença aberta, pois não contém valores desconhecidos)
• (Não expressa igualdade)
• (Não é uma sentença aberta e não expressa igualdade)
Glossário
Incógnita é o termo desconhecido de uma equação. Por exemplo, na equação 2y-3=y-5, 
a incógnita é y. .
Além disso, uma equação possui dois membros. O primeiro membro é composto por tudo que antecede o sinal 
de igualdade, e o segundo membro por tudo que o sucede.
As parcelas que formam os membros são chamadas de termos da equação. Para uma equação composta somente 
por uma incógnita, definimos o seu grau como sendo o maior valor que os seus expoentes assumem. Observe:
• É uma equação do 1º grau, pois o maior expoente da incógnita a é 1.
• Esta é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente da incógnita y é 2.
• Esta é uma equação de 4º grau, pois o maior expoente da incógnita x é 4.
Determinados valores quando atribuídos à incógnita tornam a equação uma sentença verdadeira. Esses valores 
são chamados de raízes da equação. O conjunto de todas as raízes de uma equação denomina-se conjunto solu-
ção e é representado pela letra S. Veja alguns exemplos:
• ,é verdadeira para x = 3. Portanto 3 é a raiz da equação, S={3}.
31
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• ,é verdadeira para a= 7. Portanto 7 é a raiz da equação, S={7}.
• ,é verdadeira para x = 5 e x = -5. Portanto 5 e -5 são as raízes da equação, S={-5, 5}
Para encontrar a raiz de uma equação, podemos usar o método da tentativa e erro, entre-
tanto ele não é adequado para resolver equações mais complexas. O método utilizado para 
resolver uma equação dependerá do seu grau. 
Veremos agora como resolver equações do 1º grau.
2.3.1 Resolução de equações do 1º grau
Uma equação do 1º grau nos remete à ideia de uma balança de dois pratos em equilíbrio. Nesse tipo de balança, 
podemos colocar ou retirar objetos de massas iguais em ambos os pratos e o equilíbrio permanece. 
Figura 2.2– Balança de dois pratos
Legenda: Princípios de equivalência da igualdade.
Fonte: < http://br.123rf.com/photo_48885255_3d-balance-isolated-ou-fundo-da-escala-para-
-a-medida.-justi%C3%A7a,-lei-ou-conceito-decis%C3%B5es..html?term=scales%2Bbalance&vti=mk0kninu2ha965sxsy>
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Em uma igualdade matemática esses procedimentos são chamados de princípios de equivalência. Vamos 
conhecê-los?
PRINCÍPIO ADITIVO: Ao adicionarmos um mesmo número a ambos os membros da igualdade, obtemos uma 
nova sentença que segue sendo uma igualdade. Por exemplo,
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: Ao multiplicarmos um mesmo número, diferente de zero, a ambos os membros da 
igualdade, obtemos uma nova sentença que segue sendo uma igualdade. Por exemplo,
Para resolver uma equação do 1º grau utilizamos os princípios de equivalência da igualdade que nos permitem 
somar (subtrair) ou multiplicar (dividir) os dois membros de uma equação de modo a encontrarmos uma equação 
equivalente. 
De maneira prática, para determinar a raiz de uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita. Para isso, des-
locamos os termos que não possuem a incógnita para o outro membro da equação fazendo a operação inversa 
àquela que eles estiverem realizando, haja vista que estamos trocando os termos nos lados da igualdade. Acom-
panhe alguns exemplos:
Exemplo 2.8: 
• ,é verdadeira para x = 3. Portanto 3 é a raiz da equação, S={3}.
• ,é verdadeira para a= 7. Portanto 7 é a raiz da equação, S={7}.
• ,é verdadeira para x = 5 e x = -5. Portanto 5 e -5 são as raízes da equação, S={-5, 5}
Exemplo 2.9: 
• O número 6 está sendo multiplicado no primeiro membro da equação.
• Ao transferimos para o outro lado da igualdade, efetuamos a operação inversa: divisão.
• Encontramos o valor da raiz da equação.
Exemplo 2.10: 
33
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Neste ponto é importante destacar que quando o coeficiente da incógnita for negativo, sugere-se, para evitar 
dúvidas quanto à operação inversa, multiplicarmos todos os termos da equação por (-1), invertendo assim o sinal 
de todos os termos.
• Multiplicando todos os termos por (-1).
• O número 4 está sendo multiplicado.
• Ao transferimos para o outro lado da igualdade, efetuamos a operação inversa: divisão.
• Encontramos o valor da raiz da equação.
Você pode transferir coeficiente -4 sem fazer a inversão de sinais, contanto que lembre que 
a operação que está sendo invertida é a multiplicação. 
Exemplo 2.11: 
Observe que neste exemplo a incógnita aparece nos dois membros da equação. Para resolvê-la é necessário 
transpor todos os termos com incógnita para um dos membros da equação e os termos independentes (sem 
incógnita) para o outro, lembrando sempre de utilizar as operações inversas.
• O número 1 está sendo subtraído no primeiro membro, e o termo 4x é positivo no 
segundo membro.
• Ao deslocarmos esses termos, efetuamos as devidas operações inversas.
• Reduzimos os termos semelhantes em ambos os membros.
• Transferimos o número 2 fazendo a operação inversa.
• Obtemos a raiz da equação.
Exemplo 2.12: 
Note que nesta equação aparecem sinais de associação. Para encontrar sua solução aplicamos a propriedade 
distributiva da multiplicação. 
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• Aplicando a propriedade distributiva.
• Isolando os termos com a incógnita.
• Multiplicando todos os termos por (-1)
• Invertendo os sinais dos termos.
• O número 9 está sendo multiplicado pela incógnita, transpomos para o outro membro efetu-
ando a operação inversa: divisão.
• Obtemos o valor da raiz.
Exemplo 2.13: 
Para resolver uma equação contendo números fracionários devemos, em primeiro lugar, eliminar os denomina-
dores. Para isso utilizamos o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos mesmos. Dividimos esse novo denominador 
pelos denominadores antigos e multiplicamos o resultado pelos numeradores, a fim de encontramos uma equa-
ção equivalente. Note que este procedimento é análogo ao descrito na seção 2.2.1. Acompanhe agora o passo a 
passo para resolvermos essa equação::
• MMC( 4, 3, 2) =12
• Utilizamos o novo denominador para determinar os novos 
numeradores. Em seguida, eliminamos os denominadores.
• Aplicamos a propriedade distributiva. 
• Isolamos os termos com a incógnita.
• Reduzimos os termos semelhantes.
• Determinamos a raiz da equação.
s
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Uma das grandes aplicações das equações do 1º grau é na resolução de problemas, assunto da nossa próxima 
seção. Vamos lá?
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2.3.2 Situações-problema envolvendo equações
Se alguém lhe perguntar: “O dobro de um número é igual a 10. Quanto vale esse número?” Você prontamente 
responderá que o esse número é 5, porque sabe que duas vezes cinco é igual dez.
Figura 2.3 – Linguagem matemática
Legenda: Problemas com equações do 1º grau
Fonte: < http://br.123rf.com/photo_26193491_menina-genius-em-vidros-vermelhos-perto-negro-com-f.html?term=alg
ebra&vti=nhfv1f7rwj55sr4hbc
Mesmo sendo uma situação bastante simples, serve para nos dar a ideia de como utilizar equações para resolver 
problemas. Se imaginarmos que o número em questão é um valor desconhecido, podemos atribuir a ele uma 
incógnita e descrever a situação utilizando uma equação.
O triplo de um número menos cinco é igual a dezesseis. Qual é esse número? 
O número procurado é o termo desconhecido, e pode ser representado por uma incógnita. Utilizando x para indi-
car a incógnita desse problema, podemos escrevê-lo da seguinte forma: 
Resolvendo a equação, vemos que o número procurado é 7.
Para resolver problemas envolvendo valores desconhecidos, é preciso interpretar as informações dadas, passá-
-las a uma sentença matemática e por fim determinar sua solução.
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Vejamos mais alguns exemplos:
Exemplo 2.14: A soma das idades de Mara e Roberta é 37 anos. Mara é cinco anos mais velha que sua amiga. Qual 
a idade de cada uma?
Idade de Roberta: x
Idade de Mara: x+5 (pois ela é cinco anos mais velha que Roberta)
A equação que corresponde ao problema é:
Dessa forma, a idade de Roberta é 16 e a de Mara, 21 anos (16+5).
Exemplo 2.15: O dobro da diferença de um número com 12 é igual a 10. Quanto vale esse número?
Número procurado = n
A diferença de um número com 12 = n-12
Escrevendo e resolvendo a equação encontramos,
Portanto, o número procurado é 17.
Exemplo 2.16: Cláudia, José e Rafael possuem juntos R$2250,00. Sabendo que Cláudia possui o dobro da quantia 
de José, e Rafael possui R$350,00 a mais que a quantia de Cláudia. Qual valor cada um deles possui?
Atribuiremos uma incógnita para indicar a quantia possuída por José, visto que é um valor desconhecido.
• Quantia possuída por José = x
• Quantia possuída por Cláudia= 2x Visto que ela possui o dobro de José
• Quantia possuída por Rafael= 2x+350 Visto que ele possui R$350 a mais que Cláudia.
Sabendo que os três juntos possuem R$2250, a equação que descreve essa situação é dada por:
Resolvendo a equação:
37
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Portanto, José possui R$380, Cláudia possui R$760 e Rafael possui R$1110.
Exemplo 2.17: O perímetro de um terreno retangular mede 92m. Sabendo que o comprimento mede 10m a mais 
que o dobro da largura, quais são as dimensões do terreno?
Não sabemos quanto mede a largura desse terreno, logo, temos que:
Largura = x
Comprimento = 2x +10 (Dez metros a mais que o dobro da largura)
Figura 2.4 – Exemplo 2.11
Legenda: Resolução de problemas envolvendo equações
Fonte: Elaborado pelo autor
Sabemos que o perímetro desse terreno corresponde a soma de todos os seus ladose que mede 92m. Assim:
Portanto, a largura desse terreno mede 12 m e o seu comprimento mede 34m.
Exemplo 2.18: O salário de um vendedor é composto por um valor fixo de R$1600,00 mais 25% de comissão 
sobre o valor das vendas realizadas no mês. De quanto deve ser o valor em vendas para que ele receba um salário 
de R$3500,00?
Valor das vendas realizadas = x
A comissão corresponde a 25% do valor das vendas, logo
38
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Somados o valor fixo mais a comissão, o salário deve resultar em R$3500. Dessa forma, a equação fica
Logo, o valor das vendas no mês deve ser de R$7600,00.
Exemplo 2.19: O gráfico a seguir apresenta o resultado de um levantamento feito por uma loja sobre o número de 
artigos vendidos por departamento. Sabendo que 1/4 dos artigos vendidos são artigos para o lar, 1/5 são artigos 
esportivos, 1/10 são artigos diversos e 1800 desses artigos são roupas, determine o total de artigos vendidos 
nessa loja
Figura 2.5– Gráfico exemplo 2.19
Resolução de problemas envolvendo equações
Fonte: Elaborado pelo autor
Total de artigos vendidos = t
Artigos para o lar = 
Artigos esportivos = 
Artigos diversos = 
39
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Sabemos que somados os artigos de todos os departamentos, teremos o total de artigos vendidos, logo
Portanto, a loja vendeu um total de 4000 artigos.
Quer conferir mais alguns exemplos? Assista ao vídeo Problemas de equação do 1º grau dis-
ponível em https://www.youtube.com/watch?v=T_1FA7bhKAc
2.3 Inequações
Nem tudo pode ser descrito por uma equação e resolvido de maneira exata. Por essa razão, o conceito de desi-
gualdade é de fundamental importância na matemática. Um bom exemplo para ilustrar o uso de desigualdades 
é a variação de temperatura ao longo do dia. Imaginando que em certa cidade a temperatura mínima foi de 17°C 
e a máxima foi de 25°C, podemos expressar essa situação da seguinte forma:
Onde T representa a temperatura da cidade e a desigualdade é dada pelo símbolo ≤(menor ou igual que).
A Organização Mundial de Saúde recomenda a quantidade mínima de 12m2 de área verde por habitante na área 
urbana. Sendo n o número de habitantes e A a área verde, temos a inequação que descreve essa situação é dada 
por:
40
Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
Enquanto uma equação indica uma relação de igualdade, uma inequação é uma sentença aberta expressa por 
uma desigualdade, indicada pelos sinais:
 
Veja abaixo alguns exemplos de inequações:
Utilizamos a mesma linguagem das equações para falar de inequações: incógnita, membros, termo. Assim, se 
considerarmos a inequação:
Temos que a incógnita é x, o primeiro membro é dado por (2x+3) e o segundo membro é dado por (x+4).
Um ponto importante a ser destacado é que existem inúmeros valores que podem satisfazer a inequação tor-
nando-a verdadeira. Observe:
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Podemos afirmar que qualquer número maior que 1 torna essa inequação verdadeira. Por isso, ao resolver uma 
inequação nós determinamos o seu conjunto solução.
Nas desigualdades também são válidos os princípios aditivo e multiplicativo. 
PRINCÍPIO ADITIVO: Se adicionarmos um mesmo número em ambos o membros da desigualdade, obtemos uma 
nova desigualdade no sentido da anterior. Por exemplo
41
Estudos Orientados Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 2 – Equações e inequações 
• 
• 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: Se multiplicarmos um mesmo número em ambos o membros da desigualdade, 
obtemos uma nova desigualdade no mesmo do sentido da anterior se este número for posito, e em sentido 
invertido se esse número for negativo. Por exemplo:
• 
• 
Observe que se mantivéssemos o sinal da desigualdade , ela não estaria correta, visto que ⋅12 não 
é menor que ⋅20. Por essa razão, é necessário que o sinal seja invertido.
42
Considerações finais
Nesta Unidade você revisou o conceito de frações e as operações envol-
vendo números fracionários. Você relembrou também os conceitos de 
equação e inequação, como resolver uma equação do 1º grau e como 
utiliza-la para solucionar diversos problemas práticos. Todos os temas 
abordados nesta unidade visam oferecer ferramentas matemáticas que o 
auxiliem no desenvolvimento do pensamento lógico-crítico e na tomada 
de decisões.
Referências bibliográficas
43
IEZZI, Gelson. et al. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: 
Moderna, 2010. 2v.
SILVA, Sebastião Medeiros da et al. Matemática para os cursos de eco-
nomia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 2010. 2 v.
SPIEGEL, M. R; LIU, J. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas. Cole-
ção Schaum. 2. ed. Porto Alegre : Bookman: 1999.
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, 
Alex. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2012.
3
45
Unidade de Estudo 3
Equações e inequações 
de 1º e 2º graus
Para iniciar seus estudos
Nesta Unidade você irá identificar e resolver equações e inequações de 
1º e 2º graus. Também discutiremos como aplica-las na resolução 
problemas práticos.
Objetivos de Aprendizagem
• Identificar e resolver as equações e inequações de 1º grau.
• Identificar e resolver as equações e inequações de 2º grau.
• Aprender a usar as equações e inequações na resolução 
de problemas.
46
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
3 Introdução
O conhecimento matemático é uma poderosa ferramenta para interpretação, compreensão e resolução de 
problemas em diversas áreas do conhecimento. Um bom exemplo disso são as equações que podem ser apli-
cadas em estudos nas áreas de Física, Química, Engenharia, Economia, Administração, Medicina, Arquitetura, 
entre outros.
O estudo das equações acontece dentro do ramo da matemática conhecido por álgebra. Povos antigos, como os 
egípcios, os gregos e os babilônicos já utilizavam princípios algébricos na resolução de problemas. 
Na lápide do túmulo de Diofanto, um matemático grego, encontra-se um relato da sua vida que pode descrito 
através de uma equação e o resultado revela a idade em que faleceu.
“Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua 
vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após 
nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu 
mais 4 anos antes de morrer”. (MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)
Figura 3.1 – Uma das obras de Diofanto
Legenda: Obra do matemático grego Diofanto
Fonte: <https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diophantus_-_Aritmeticorum_libri_6.,_1670_-_842640.jpeg>
Esse e outros problemas podem ser resolvidos através do processo conhecido como modelagem, que consiste 
em interpretar e converter as informações dadas em um modelo matemático e obter sua solução. 
Na unidade anterior já trabalhamos um pouco com esta modelagem matemática através do estudo e aplicação 
de equações do 1º grau. Nesta unidade continuares nosso estudo sobre equações, desta vez passando às 
inequações de 1º e 2º graus e equações do 2º grau. Vamos lá?
47
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
3.1 Equações do 1º grau
As equações são excelentes instrumentos para resolução de problemas. Que tal resolvermos o enigma da idade 
de falecimento do matemático Diofanto?
Exemplo 3.1: Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida 
passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anosapós nasceu 10 seu filho, 
com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais quatro anos antes de morrer.
Sendo x a idade de Diofanto, temos que um sexto da sua vida corresponde a 1
6
 · x = x
6
. Podemos então, 
escrever a seguinte equação:
Portanto, Diofanto faleceu aos 84 anos.
3.2 Inequações do 1º grau
Existem inúmeros aplicações práticas que não podem ser resolvidas através de uma equação, pois são situações 
em que muitas precisamos comparar valores. Para esse tipo de situação utilizamos uma desigualdade ou 
inequação.
Figura 2: Inequação - sentença aberta expressa por uma desigualdade
Legenda: Inequação - sentença aberta expressa por uma desigualdade
ID da imagem : 62487990 
Fonte: 123 RF
48
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Na unidade anterior vimos que uma inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade, indicada 
pelos sinais >,<,≥ou ≤. São exemplos de inequações:
Uma inequação de 1º grau é aquela em que o maior expoente da incógnita vale um. 
Uma inequação, diferentemente de uma equação, não tem como resultado raízes definidas, mas sim, um con-
junto de valores possíveis. Para verificar se determinado valor é solução de uma inequação basta substituí-lo no 
lugar da incógnita e verificar se a desigualdade é satisfeita. Por exemplo, considerando a inequação 2x - 1 ≥ 3 :
• 
• 
• 
Nosso objetivo ao resolver uma inequação é, portanto determinar o conjunto de valores que satisfazem a 
desigualdade. O procedimento para resolução de uma inequação do 1º grau é análogo ao das equações de 1º 
grau, também sendo válidos os princípios aditivo e multiplicativo. 
Ressaltando que, em uma desigualdade, ao aplicarmos o princípio aditivo obtemos 
uma nova desigualdade no mesmo sentido da anterior. E, ao aplicarmos o princípio 
multiplicativo obtemos uma nova desigualdade no mesmo do sentido da anterior se este 
número for positivo, e em sentido invertido se esse número for negativo.
49
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Acompanhe agora alguns exemplos de resolução de inequações do 1º grau:
Exemplo 3.2: Resolva a inequação 5a - 32 < 4 - 7a.
Exemplo 3.3: Determine o conjunto solução de 4(5 - 2x) ≥ 2(3x - 4).
Exemplo 3.4: Resolva a inequação inequação x - 2
6
 + 1 - 2x
3
 < 2x + 1.
Em algumas situações é possível obter uma inequação dupla através da reunião de duas desigualdades. 
Observe o exemplo a seguir:
50
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Exemplo 3.5: Imagine que queremos satisfazer ao mesmo tempo as desigualdades 3x - 1 ≥ - 7 e 3x - 1 ≤ 14. 
Podemos, então, escrevê-las da seguinte forma:
É possível resolver as desigualdades separadamente, mas é preferível resolvê-las de uma só vez a partir da ine-
quação dupla. O procedimento para a sua resolução é análogo aos apresentados anteriormente.
Note que o conjunto solução é composto por todos os números compreendidos entre -2 e 5, considerando-se -2 
e 5 também.
3.2.1 Inequações do 1º grau na resolução de problemas
Vejamos agora como resolver problemas práticos através do uso de inequações.
Exemplo 3.6: Imagine que para realizar um evento você deverá pagar R$530,00 pelo aluguel do espaço mais 
R$24,50 por convidado. Dispondo de R$2000,00, quantas pessoas poderão ser convidadas no máximo? 
Como o número de pessoas é um valor desconhecido, atribuiremos a ele uma incógnita.
Número de pessoas convidadas = n
Você irá gastar R$24,50 por convidado mais o aluguel do espaço, logo 
Impondo o valor de gasto de R$2000, temos a inequação:
Sendo assim, poderão ser convidadas no máximo 60 pessoas.
Exemplo 3.7: Os Correios impõem restrições quanto ao peso e às dimensões das encomendas transportadas. 
Para pacotes e caixas, a soma das dimensões da embalagem (altura, largura e comprimento) não deve ultrapas-
sar 200 cm. Suponha que você deseje postar uma encomenda medindo 55 cm de comprimento. Se a largura 
dessa encomenda corresponde a 2/3 da sua largura, qual é a altura máxima que a encomenda pode ter?
51
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Figura 3 – Dimensões da embalagem
Legenda: Dimensões da embalagem
Imagem: 123rf(2017)
Fonte: < http://br.123rf.com/photo_11648274_carton-box-isolated-on- 
white-background.html?term=carton&vti=o85n37dsnizwodjoea>
A incógnita nesse problema é a altura da embalagem
Medida da altura = a
Medida da largura = 2
3
 de a = 2a
3
Considerando a restrição quanto à soma das dimensões temos:
Dessa forma, a altura da embalagem não pode exceder 87 cm.
Exemplo 3.8: Suponha que você precise pegar um táxi. Você sabe que além da bandeirada, valor fixo registrado 
pelo taxímetro, o valor total da corrida irá depender da distância percorrida em quilômetros. Se a bandeirada 
custa R$ 4,70 e cada quilômetro rodado custa R$ 2,94, determine que distância você pode percorrer gastando 
entre R$ 30,00 e R$ 50,00.
A distância percorrida, d, é a incógnita desse problema.
Como pagamos R$4,70 na bandeirada mais R$2,94 por quilômetro rodado, o valor a ser pago pela corrida é dado 
por 4,70+2,94d.
52
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Levando em conta, os valores mínimo e máximo a serem pagos, temos a seguinte inequação dupla:
Portanto, você poderá percorrer uma distância entre 8,6 e 15,4km.
3.3 Equações do 2º grau
Imagine que você deseja construir uma quadra retangular de 243m2 de área, e que o comprimento dessa quadra 
seja igual ao triplo de sua largura. Você pode resolver esse problema utilizando uma equação. Sendo x a medida 
da largura dessa quadra, a medida do comprimento será 3x, conforme a figura abaixo.
Figura 4 – Dimensões da quadra
Legenda: Dimensões da quadra
Fonte: Elaborado pelo autor
Para determinar a área de uma figura retangular devemos efetuar o produto do comprimento pela largura, logo
Como a área deve medir 243m2, tem-se:
Como o maior expoente da incógnita nesta equação tem valor 2, esta é uma equação do 2º grau ou 
equação quadrática.
53
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
De maneira geral, toda equação que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, com a≠0, denomina-se equação 
do 2º grau. Quando todos os coeficientes (a, b e c) forem diferentes de zero a equação é dita completa. Quando 
b e/ou c forem iguais a zero, a equação é dita incompleta.
 
Vejamos agora alguns métodos para determinar as raízes de uma equação do 2º grau.
3.3.1 Resolvendo equações do 2º grau incompletas
Começaremos tratando da resolução de equações incompletas. 
Equações incompletas com b=0
Para resolver equações do tipo ax2 + c = 0, isolamos a incógnita, primeiro descolando o termo independente e 
depois o coeficiente da incógnita. Observe:
Exemplo 3.9: Vamos resolver a equação que descreve o problema da quadra.
Agora temos que determinar o número x tal que seu quadrado seja igual a 81. Sabemos que 92 = 81, portanto 
para resolver esse problema utilizar a raiz quadrada, pois √81 = 9. Entretanto, 9 não é o único valor que satisfaz 
a equação, pois (-9)2 = 81. Sendo assim, para concluir a resolução da equação temos que considerar os dois 
valores que satisfazem a igualdade, escrevendo da seguinte forma:
Portanto, as raízes da equação são x1 = 9 e x2 = -9.
54
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Veja mais um exemplo:
Exemplo 3.10: Determine as raízes da equação 9x2 - 25 = 0.
Portanto, as raízes da equação são x1 = 
54
 e x2 =- 
5
4
.
Equações incompletas com c=0
Para resolver equações do tipo ax2 + bx = 0, fatoramos a expressão colocando em evidência a incógnita, pois todos 
os termos possuem x. Observe:
Veja a seguir alguns exemplos envolvendo números fracionários.
Lembre que quando um produto resulta em zero, um dos fatores deve ser nulo.
Sendo assim:
• x = 0 ou
• ax + b = 0 , o que resulta em x = - b
a
Acompanhe alguns exemplos numéricos:
Exemplo 3.11: Determine as raízes da equação x2 + 6x = 0.
Colocando o fator comum em evidência encontramos
55
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
O que nos leva a x = 0 ou x + 6 = 0.
Se x + 6 = 0 então x = -6.
Dessa forma, as raízes da equação são x1 = 0 e x2 = -6.
Exemplo 3.12: Resolva a equação 4x2 - 20x = 0.
Logo, x = 0 ou 4x - 20 = 0
Se 4x - 20 = 0 então
Dessa forma, as raízes da equação são x1 = 0 e x2 = 5.
3.3.2 Resolvendo equações do 2º grau completas
Para resolver a equação ax2 + bx + c = 0, com coeficientes diferentes de zero, utilizamos a fórmula conhecida como 
fórmula quadrática ou Fórmula de Bháskara, apresentada abaixo:
O termo simbolizado pela letra grega ∆ (delta) denomina-se discriminante da equação. A fórmula de Bháskara 
também pode ser utilizada na resolução das equações incompletas apresentadas na seção anterior.
A dedução da fórmula quadrática pode ser verificada no capítulo 2, na página 151, 
de Harshbarger (2006)
Uma análise do discriminante(∆) da equação nos mostra a natureza das raízes:
• Se ∆ > 0 então a equação possui duas raízes reais distintas. (x1 ≠ x2)
• Se ∆ = 0 então a equação possui duas raízes reais iguais. (x1 = x2)
• Se ∆ < 0 então a equação não possui reais iguais, isto é, são raízes imaginárias.
56
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
A fórmula de Bháskara pode ser utilizada para resolver todos os tipos de equações do 2º 
grau, entretanto, Harshbarger (2006) nos diz a identificação correta dos coeficientes é mais 
simples quando a equação está indicada na forma padrão ax2 + bx + c = 0, onde:
a representa o coeficiente numérico de x2
b representa o coeficiente numérico de x
c representa o termo independente
Para obter as raízes da equação basta substituir o valor numérico dos coeficientes na Fórmula de Bháskara e rea-
lizar as operações matemáticas exigidas. Acompanhe alguns exemplos:
Exemplo 3.13: Determine as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0.
Os coeficientes da equação são dados por
Primeiramente devemos calcular o discriminante(∆) da equação:
Continuando a fórmula temos:
De onde vem que:
Portanto as raízes da equação são x1 = 3 e x2 = 2.
Exemplo 3.14: Determine as raízes da equação -2x2 + 12x - 18 =0.
Os coeficientes da equação são dados por
57
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Calculando o discriminante(∆) da equação encontramos:
Como o discriminante é nulo obteremos duas raízes iguais:
Logo, a raiz da equação vale 3.
Exemplo 3.15: Determine as raízes da equação x2 - 4x + 7 = 0.
Os coeficientes da equação são dados por
Efetuando o cálculo do discriminante(∆) da equação obtemos:
Como o discriminante possui valor negativo, sua raiz não está definida no conjunto dos números reais. A equa-
ção, portanto, não possui solução real.
3.3.3 Equações do 2º grau na resolução de problemas
Nesta seção serão apresentados alguns exemplos de situações-problema envolvendo equações do 2º grau. 
É sempre muito importante que, na resolução de um problema, você leia atentamente a 
questão, estabeleça as incógnitas, encontre as relações entre as informações dadas e iden-
tifique as ferramentas matemáticas necessárias para a solução.
Exemplo 3.16: Determine o número negativo cujo triplo de seu quadrado de um número positivo é igual a ses-
senta e três menos doze vezes esse número.
Seja n o número procurado. Então,
Quadrado de n = n2
O triplo do quadrado de n = 3n2
58
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
A equação que descreve o problema é dada por:
Essa é uma equação completa, antes de aplicar a Fórmula de Bháskara, devemos deixa-la na forma padrão. 
Os coeficientes são: a = 3 b = 12 c = -63
De acordo com o enunciado, o número deve ser negativo, portanto o número procurado é -7.
Exemplo 3.17: Um agricultor deseja construir um viveiro retangular de 56m2 de área, de modo que a largura desse 
viveiro meça 10m a menos que o seu comprimento. Quais devem ser as dimensões desse viveiro?
As dimensões da figura são dadas de acordo com a figura 3.5.
Figura 5 – Dimensões do viveiro
Legenda: Dimensões do viveiro
Fonte: Elaborado pelo autor
Multiplicando-se as duas dimensões obtemos a área do viveiro. Logo,
Deixando a equação na forma padrão:
Resolvendo a equação:
59
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Como estamos tratando de medidas, o valor procurado é 14. Logo, o comprimento do viveiro deve medir 14m e 
a largura 10m.
Exemplo 3.18: Considere que a face de uma caixa tem formato trapezoidal com área medindo 675 cm2. A base 
maior e a altura possuem a mesma medida, que equivale ao dobro da medida da base menor. Determine o com-
primento das bases e da altura da face dessa caixa.
Indiquemos por x a medida da base menor. Logo,
Altura = 2x
Base maior = 2x
Sabemos que a fórmula para calcular área do trapézio é
Dessa forma, temos:
Esta é uma equação incompleta, logo
Novamente, por se tratar de um problema envolvendo medidas, só nos interessa a raiz de valor positivo. Sendo 
assim, a base menor mede 15 cm enquanto a altura e a base maior medem 30 cm.
3.4 Inequações do 2º grau
Suponha que um engenheiro deseja projetar um espaço de lazer conforme o esquema abaixo:
60
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Figura 6 – Dimensões espaço de lazer
Legenda: Dimensões do espaço de lazer
Imagem: 123RF(2017)
Fonte: < http://br.123rf.com/photo_47244071_parque.html? term=leisure%2Bplant&vti=lozzqva6uu5st1jns5>
Quais devem ser as dimensões desse espaço para que a área tenha pelo menos 700m2?
Como o espaço tem formato retangular basta multiplicarmos as duas dimensões para determinarmos sua área. 
Dessa forma, a área do espaço é dada pela expressão x(55 - x).
Conforme a descrição do problema, a área deve medir no mínimo 700m2, logo
Ou ainda,
Esta expressão é um exemplo de uma inequação do 2º grau. Para resolvermos esse tipo de inequação, em pri-
meiro lugar revisaremos como escrever uma equação do segundo grau em forma fatorada, ou seja, como um 
produto de dois fatores.
• Se a equação ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes reais distintas x1 e x2, então sua forma fatorada é dada por:
Por exemplo, as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0 são 2 e 3. Logo essa equação pode ser fatorada na 
seguinte forma:
• Se a equação ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes reais iguais x1, então sua forma fatorada é dada por:
Por exemplo, as raízes da equação x2 - 12x + 36 = 0 são iguais a 6. Logo essa equação pode ser fatorada 
na seguinte forma:
61
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
• Se a equação ax2 + bx + c = 0 não possui raízes reais, então não pode ser escrita na forma de um produto 
de fatores reais.
Dito isto, voltemos à resolução da inequação de 2º grau. Para resolvermos uma inequação quadrática utilizamos 
a Fórmula de Bháskara e comparamos os resultados com o sinal da inequação a fim de obtermos o conjunto 
solução. Acompanhe os exemplos.
Exemplo 3.19:Vamos determinar o conjunto solução da inequação do problema descrito no início dessa seção.
Multiplicaremos a inequação por (-1) a fim de eliminarmos o sinal negativo do coeficiente de x2
Primeiramente determinamos as raízes da equação associada, através da Fórmula de Bháskara.
Resolvendo a equação: x2 - 55x + 700 = 0
Determinando as raízes:
Agora que determinamos as raízes, escrevemos a inequação em sua forma fatorada:
Em seguida, precisamos analisar os intervalos em que cada fator é positivo ou negativo. 
O fator (x - 35) é negativo para valores de x menores que 35, é positivo para valores de x maiores que 35, e é nulo 
quando x = 35, conforme a representação gráfica apresentada na figura 3.7:
O fator (x - 20) é negativo para valores de x menores que 20, é positivo para valores de x maiores que 20, e vale 
zero para x = 20, conforme a representação gráfica apresentada na figura 3.7:
Figura 7 – Análise dos intervalos
Legenda: Análise dos intervalos de cada fator
Fonte: Elaborado pelo autor
Por fim devemos analisar os intervalos em que o produto (x - 35)(x - 20) é positivo ou negativo.
62
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
O sinal do produto entre dois fatores será:
POSITIVO: quando os dois fatores tiverem sinais iguais (ambos positivos ou ambos negativos)
NEGATIVO: quando os fatores tiverem sinais diferentes (um positivo e outro negativo)
Observe a representação gráfica apresentada na figura 3.8 :
Figura 3.8 – Análise do intervalo do produto
Legenda: Análise do intervalo do produto
Fonte: Elaborado pelo autor
Note que na primeira reta está representado o intervalo (x - 20). Na segunda reta está representado o intervalo 
(x - 35). Por fim, na última reta está representado o produto (x - 35)(x - 20). Os sinais obtidos nesta última reta são 
resultado da regra de sinais da multiplicação aplicada ao produto dos dois primeiros intervalos.
Nosso objetivo era determinar o conjunto solução da inequação 
Que em sua forma fatorada fica (x - 35)(x - 20) ≤ 0. Observe pela figura que o produto (x - 35)(x - 20) é negativo 
entre 20 e 35. Portanto, o conjunto solução da inequação é 20 ≤ x ≤ 35.
Exemplo 3.20: Vamos resolver a inequação x2 - 5x + 4 ≥ 0.
Primeiro passo: Resolver a equação associada x2 - 5x + 4 = 0
Segundo passo: Escrever a inequação em sua forma fatorada.
63
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 3 – Equações e inequações de 1º e 2º graus
Terceiro passo: Analisar o sinal de cada fator.
Figura 8 – Análise dos intervalos
Legenda: Análise do intervalo do produto
Fonte: Elaborado pelo autor
Quarto passo: Analisar o sinal do produto dos dois fatores.
Figura 9 – Análise do intervalo do produto
Legenda: Análise do intervalo do produto
Fonte: Elaborado pelo autor
Quinto passo: Determinar o conjunto solução da inequação.
Estamos determinando a solução da inequação x2 - 5x + 4 ≥ 0. Estamos, portanto, buscando os intervalos em que 
o produto é maior que zero. Analisando a figura 3.9 vemos que o sinal da inequação será positivo para x ≤ 1 e x ≥ 4.
Finalizamos aqui a nossa unidade. Participe do Fórum Desafio no Ambiente Virtual e 
compartilhe suas considerações com os colegas!
64
Considerações finais
Nesta Unidade você aprendeu a identificar e resolver equações de 1º e 
2º graus, bem como inequações de 1º e 2º graus. Também aprendeu a 
modelar problemas e resolvê-los através do uso de equações e inequa-
ções. Todos estes conceitos são ferramentas matemáticas extremamente 
úteis na resolução das mais diversas situações.
Referências bibliográficas
65
IEZZI, Gelson. et al. Fundamentos da matemática elementar. São Paulo: 
Moderna, 2010. 2v.
SILVA, Sebastião Medeiros da et al. Matemática para os cursos de 
economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 2010. 2 v.
SPIEGEL, M. R; LIU, J. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas. Cole-
ção Schaum. 2. ed. Porto Alegre : Bookman: 1999.
HARSHBARGER, R. J; REYNOLDS, J. J. Matemática Aplicada: administra-
ção, economia e ciências sociais e biológicas. Tradução: Helena Maria de 
Ávila Castro. 7. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, 
Alex. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2012. 
GOMES, Francisco Magalhães; Matemática Básica. IMECC – UNICAMP, 2016.
67
Palavras do professor
Por mais que muitas vezes não nos demos conta, é inegável que a mate-
mática se faz presente nas mais diversas situações do nosso cotidiano. 
Das mais simples, como verificar a hora ou fazer uma compra no mercado, 
às mais complexas, como uma análise de investimentos ou a previsão do 
tempo. 
Dessa forma, é de fundamental importância expandir nosso conheci-
mento matemático, pois ele amplia nossa capacidade de percepção e 
compreensão dos mais diversos fenômenos a nossa volta.
O desenvolvimento do raciocínio matemático nos auxilia na estruturação 
e organização do pensamento, o que nos permite interpretar informa-
ções, encontrar as conexões existentes entre o que nos é proposto, cons-
truir novos conhecimentos a partir dos conhecimentos adquiridos e desta 
forma, encontrar determinada solução, tomar uma decisão ou chegar a 
certa conclusão. 
Nossa disciplina de Estudos Orientados – Raciocínio Matemático apre-
senta elementos conceituais e fundamentais da matemática. Os conteú-
dos aqui abordados visam oferecem subsídios e ferramentas matemáticas 
que sirvam de embasamento para que você possa prosseguir plenamente 
em seus estudos.
Nosso objetivo é instigá-los e oferecer condições para o desenvolvi-
mento do pensamento crítico, formando profissionais capazes de criar e 
de construir novas soluções e caminhos, através de suas experiências e 
conhecimentos. Bons estudos!
4
68
Unidade de Estudo 4
Razões e proporções
Para iniciar seus estudos
Por meio do estudo dessa unidade você conhecerá os conceitos de razão 
e proporção. Aprenderá a identificar e resolver problemas envolvendo 
esses conceitos. Conhecerá algumas razões especiais como porcenta-
gem, velocidade, escala e suas aplicações.
Objetivos de Aprendizagem
• introduzir o conceito de razão e proporção;
• conhecer suas aplicações e resolver problemas práticos;
• reconhecer e saber utilizar o conceito de razão em diversos con-
textos como: proporcionalidade,escala, velocidade, porcentagem, 
bem como na construção de gráficos de setores
69
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
4 Introdução
Em nosso dia a dia é comum efetuarmos comparações em diversas circunstâncias. Por exemplo, ao realizar uma 
viagem, você compara a distância total com o tempo gasto para percorrê-la. Ao fazer uma avaliação, você com-
para o número de acertos com total de questões da prova. Mesmo ao ampliar uma imagem, você compara as 
dimensões da mesma para que ela não fique distorcida.
Figura 4.1 – Velocidade.
Legenda: Comparação entre distância e tempo.
Fonte: <http://br.123rf.com/photo_48703831_conceito-de-alta-velocidade--- 
veloc.html?term=speed&vti=od7mskn4ubdltix7sb>.
Essa comparação de valores é definida formalmente pela matemática e é um dos temas abordados nessa uni-
dade. Vamos estudá-la?
4.1 O conceito de razão
Razão é uma das formas que utilizamos para fazer uma comparação relativa entre duas grandezas, através do 
quociente entre dois valores. A palavra razão tem origem no latim ratio que significa divisão. 
Dessa forma, denomina-se razão o quociente entre dois números a e b, com b ≠ 0. Representada das seguintes 
formas:
Em uma razão, o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número denomina-se consequente.
70
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporçõesGlossário
Definimos como grandeza tudo aquilo que pode ser contado ou medido. São exemplos 
de grandezas: velocidade, temperatura, massa, comprimento, densidade, entre outros.
Por exemplo, na razão 3
5
 (três para cinco), o antecedente corresponde ao número 3 e o consequente corres-
ponde ao número 5. Além disso, se consideramos as razões 3
5
 e 5
3
, vemos que o antecedente da primeira 
razão corresponde ao consequente da segunda razão, e vice-versa. Quando isso ocorre, as razões são ditas razões 
inversas. Uma propriedade das razões inversas é que o produto entre elas sempre resulta em 1.
Observe agora alguns exemplos de razões:
Exemplo 4.1: em uma prova, um aluno erro 15 das 60 questões. Determine a razão irredutível entre o número de 
erros e o total de questões, e a razão irredutível entre o número de acertos e o número de erros
A razão irredutível é a razão escrita em sua forma mais simples e é obtida através da simplificação.
A razão irredutível entre o número de erros e o total de questões é:
Como a prova possui 60 questões, o aluno acertou 45 questões (60-15). Logo, a razão irredutível entre o número 
de acertos e o número de erros é:
Exemplo 4.2: no vestibular para o curso de Administração de determinada universidade, 180 candidatos dispu-
tavam 60 vagas.
Fazendo a comparação entre esses dois valores através da divisão do número de candidatos pelo número de 
vagas, temos:
Ou seja, a razão entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1.
Exemplo 4.3: Segundo pesquisa realizada pelo Serviço de Proteção ao Crédito (SPC Brasil) e Confederação Nacio-
nal de Dirigentes Lojistas (CNDL), 6 em cada 10 brasileiros não se preparam corretamente para a aposentadoria.
Ou seja, a razão do número de brasileiros que não se preparam para a aposentadoria é de 3 para 5.
71
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
Exemplo 4.4: em determinada receita, utiliza-se 500g de açúcar para 1kg de farinha.
Observe que para determinarmos a razão os números foram expressos na mesma unidade.
Exemplo 4.5: em uma competição, a equipe A ganhou 48 das 60 partidas que disputou, enquanto a equipe B dis-
putou 90 partidas e perdeu 18 delas. Nenhuma das equipes obteve empates em suas partidas. Qual das equipes 
apresentou o melhor desempenho?
Para analisarmos o desempenho da cada uma das equipes, vamos escrever a razão do número de vitórias para o 
número de partidas:
Para a equipe A: 48
60
 = 8
10
 = 4
5
, ou seja, a cada cinco partidas a equipe A obteve quatro vitórias.
Como a equipe B disputou 90 partidas e perdeu 18 delas, sabemos que a equipe venceu 72 partidas. Logo:
para a equipe B: 72
90
 = 8
10
 = 4
5
, ou seja, a cada cinco partidas a equipe B também obteve quatro vitórias.
Podemos concluir, dessa forma, que ambas as equipes tiveram o mesmo desempenho.
Exemplo 4.6: Duas embalagens de mesmo volume contêm misturas diferentes de água e suco concentrado. Na 
primeira, a razão entre o volume de suco concentrado e o volume de agua é 1:3, enquanto a razão da segunda 
é de 2:5. Se misturarmos todo o conteúdo das embalagens, qual será a razão entre os volumes de suco concen-
trado e suco?
Na primeira embalagem, para cada parte de suco concentrado temos 3 partes de água. Dessa forma, o suco con-
centrado corresponde a 1
1+3
 = 1
4
 do volume da mistura, enquanto a água corresponde a 3
1+3
 = 3
4
.
Na segunda embalagem, o suco concentrado corresponde a 2
2+5
 = 2
7
 do volume da mistura, enquanto a água 
corresponde ao restante de corresponde a 5
2+5
 = 5
7
.
Quando misturamos as duas embalagens, o volume suco concentrado passa a ser de:
Enquanto o volume de água passa a ser de:
Por fim, a razão entre os volumes de suco concentrado e água na nova mistura será:
Sendo assim, a nova mistura terá 15 partes de suco concentrado para 41 partes de água.
Vamos agora conhecer algumas razões especiais bastante presentes em nosso cotidiano.
72
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
4.1.2 Velocidade média
Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la.
Exemplo 4.7: Um automóvel percorreu 360km em 4 horas. Qual foi sua velocidade média?
Exemplo 4.8: um ônibus percorreu 780km em 8 horas. Um automóvel fez o mesmo percurso em 7,5 horas. 
Segundo o Código Nacional de trânsito, a velocidade máxima permitida em rodovias é de 110km/h para auto-
móveis e 90km/h para ônibus. Algum dos veículos desrespeitou o código de trânsito?
Para o ônibus: 
Para o automóvel: 
Logo, o ônibus estava acima do limite de velocidade.
4.1.3 Escala
Na elaboração de mapas, maquetes e plantas baixas devemos utilizar uma escala. A escala é a razão entre a 
medida do comprimento na representação e o comprimento real correspondente, ambos indicados na mesma 
unidade de medida.
73
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
Observe o mapa abaixo:
Figura 4.2 – Mapa do Brasil.
Legenda: Escala em um mapa.
Fonte: <http://br.123rf.com/photo_29300260_brasil-mapa-pol%C3%ADtico-com-bras%C3%ADlia,-as-fronteiras-
-nacionais,-as-cidades-mais-importantes,-rios-e-lago.html?term=brazil%2Bmap%2Bscale&vti=o8erqg3ajh9tycdnd5>.
A escala no mapa da figura 4.2 representa a razão entre a distância representada e a distância real. Ela nos mos-
tra o quanto a distância real é maior que a distância representada no desenho. Observe que a escala indicada 
é 1:200.000.000. Isso significa que cada centímetro no mapa corresponde a 200.000.000cm na realidade, ou 
ainda, fazendo a transformação das unidades, cada centímetro corresponde a 200km.
Exemplo 4.9: um mapa foi construído na escala 1:49000000. Determine a distância real, em quilômetros, entre 
duas cidades que no mapa distam 4,5cm uma da outra.
A escala indicada é 1:49000000. Isso equivale a dizer que cada centímetro no mapa corresponde a 49000000cm 
na realidade. Fazendo a transformação para quilômetros:
49000000cm = 49000000:100000: 490km
Como cada centímetro corresponde a 490km, então
Portanto, a distância entre as duas cidades é de 2205 km.
Exemplo 4.10: em uma maquete a altura, a altura de um edifício é 80cm. Considerando que o edifício tem uma 
altura real de 32m, em qual escala foi construída a maquete?
74
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
Figura 4.3 – Escala em uma maquete.
Legenda: Escala em uma maquete.
Fonte: <http://br.123rf.com/photo_45923950_langfang-city---march-12:-energy-building-model-in-the-enn- 
energy-research-institute,-march-12,-2015.html?term=building%2Bmodel&vti=o3ka1snpbchgfqsmm8>.
Como as medidas indicadas numa escala devem estar na mesma unidade, fazemos a transformação:
A escala utilizada é:
Dessa forma, a escala utilizada foi de 1:40.
4.1.4 Densidade demográfica
A densidade demográfica pode ser encontrada através da razão entre o número de habitantes de uma região e a 
área ocupada pela região, em quilômetros quadrados.
Exemplo 4.11: segundo o IBGE, a cidade de Belo Horizonte(MG) tem 2.375.151 habitantes, e uma área de 331,401 
km2. A densidade demográfica de Belo Horizonte é dada por:
75
Estudos Orientados – Raciocínio Matemático | Unidade de Estudo 4 – Razões e proporções
4.1.5 Porcentagem
A porcentagem é uma razão muito comum em nosso dia a dia utilizada para indicartaxa de juros, descontos, 
aumentos, dentre outros.
Figura 4.4 – Porcentagem.
Legenda: Porcentagem para indicar descontos.
Fonte: <http://br.123rf.com/photo_52530002_venda-de-ouro,-30%-por-cento-no-fundo-do-ouro.-fundo-da- 
venda-do-ouro-para-o-cartaz,-compras,-sinal-.html?term=percentage&vti=ltrztjwz43ul02wq6t>.
A porcentagem é uma forma especial de representar uma