CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II_AV1_Funções de várias variáveis_Thiago Leonel_mat 20181301247

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TAREFA AV1 – C�� HYPERLINK "https://uva.instructure.com/courses/3462"�Á�� HYPERLINK "https://uva.instructure.com/courses/3462"�LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aluno: Thiago Leonel Farias. Matrícula: 20181301247
Prof.: Luciana Antunes Rios.
Funções de várias variáveis
1ª questão – A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t , de modo que podemos escrever T = f( x,y,t ). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.
(a)  Qual o significado das derivadas parciais ∂ T / ∂ x, ∂ T / ∂ y e  ∂ T / ∂ t?
A taxa de variação da temperatura quando varia a longitude, com latitude e tempo fixados; a taxa de variação quando varia apenas a latitude; a taxa de mudança quando varia apenas o tempo. 
(b)  Honolulu tem longitude de 158° W e latitude de 21° N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria f x(158,21,9), f y(158,21,9) e f t(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique.
Positiva, negativa, positiva. Pois de acordo com o exposto, no que se diz o vento e as coordenadas, a parábola é abaixo da longitude e voltada para cima.
2ª questão – Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V= (x,y,z) = (5x)² − 3xy + xyz.
(a)  Qual o domínio da função V ?
D={ f(V)=(x,y,z) ϵ R³/ (5x)² – 3xy + xyz > 0}
(b)  Determine a taxa de variação do potencial em P (3,4,5) na direção do vetor  i + j + k.
V(x,y,z) = 5x² – 3xy + xyz
dV = 10x-3y+yz
dx
dV = - 3x + xz
dy
dV = xy
dz
dV(p) = (10*3) – (3*4) + (4*5) = 38
 dx
dV(p) = - (3*3) + (3*5) = 6
 dy
dV(p) = 3*4= 12
 dz
V(P) = (38; 6; 12)
V = i + j - k 
V=(1;1;−1)
|V|= √1²+1²+(-1)² = √ 3
V(P)x V 
 |V| 
(38; 6; 12)x (1; 1 ; -1)
 √ 3
(38*1) + (6*1) + (12* -1) = 32
 √ 3 √ 3
(c)  Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P ?
Ele vai variar mais rapidamente na direção do vetor V(P) 
V(P)=(38;6;12) 
3ª questão – Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 
X= Base, y= Altura, A= Área, V= Volume = x²y
V= 32.000cm³
x²y= 32.000
 
y= 32.000
 x²
A= x²+ 4xy
A= x² + 4x 32.000 
 x²
A(x)= x² + 128.000
 x
A’(x) = 2x – 128.000 
 x²
A’(x) = 2x³ – 128.000
 x²
A’(x)= 2x³- 128.000 = 0
 2x³ = 128.000
 x³ = 64.000
 
 x = 40
 y= 32.000 = y= 32.000 = 32.000 = y= 20
 x² 40*40 1.600
x= Base = 40cm, y = altura = 20cm
Referências:
[1] J. Stewart. Cálculo Volume 2, 6aEdição, PauloPioneira/ Thomson Le-
arning.
[2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo, Volume 2, 5aEdição, 2002, Rio de
Janeiro.
[3] G. B. Thomas. Cálculo, Volume 2, 10aEdição, Addison-
Wesley/Pearson,2002.