Respostas do Livro Reginaldo UFMG Geometria Analitica
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Respostas do Livro Reginaldo UFMG Geometria Analitica


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2.8 Problemas Propostos
Solucao:
Solucao:
Substitu\u131do os valores dos respectivos vetores,
Efetuando as operacoes;
Paraxtemosaseguinteigualdade; 16+ x
Para y temos a seguinte igualdade;
Geometria
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Resolucionário do Livro de Geometria Analítica
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Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle
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5 Para y temos a seguinte igualdade;
Solucao:
Efetuando a Operacao:
Efetuando a Operacao:
Efetuando a Operacao:
Solucao: Resolvendo para a;
Resolvendo para b;
Solucao: Substituindo os valores dos respectivos vetores;
Substituindo k1 na Primeira Equacao temos;
Solucao:
Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle
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Solucao:
Substituindo em \u2212\u2192 AP = \u2212\u2192 PB temos:
Solucao:
Resolvendo para a1 temos:
Resolvendo para a2 temos:
Substituindo \u3b1 na primeira equacao:
Os pontos nao sao colineares:
Solucao:
6 Simplificando:
Para ser um paralelogramo tem que satisfazer a igualdade: \u2212\u2192 AB+ \u2212\u2212\u2192 AD= \u2212\u2212\u2192 AC
3.16 Problemas Propostos:
Solucao:
Solucao:
Calculo do Modulo:
Calculo do versor:
Solucao: Calculo do Modulo do vetor ~u:
Calculo do Modulo do vetor ~v:
) seja unitario.
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Pela equacao do produto escalar:
Substitu\u131ndo os valores temos:
13. Os pontos A,B,C sao vertices de um triangulo equilatero cujo lado mede 10cm.Calcular \u2212\u2192 AB e \u2212\u2212\u2192 AC.
Solucao:
Equacao do produto escalar:
Substituindo a equacao com os valores conhecidos:
Solucao:
Solucao:
Solucao: Formula do angulo entre dois vetores :
Substituindo os valores na equacao do angulo entre vetores temos:
cos \u3c0
2m\u21d2 Elevando ambos os membros ao quadrado:
Solucao:
v = \u3b1.(\u22126,4,\u22122) onde \u3b1 elementos dos reais para \u3b1 = 1, temos que o vetor ~v e igual ao vetor ~w, que isso nao deixa de
ser colinear, ou seja dois vetores iguais nao deixa de ser colinear.
para t = \u22122, temos que o vetor ~v e igual ao vetor ~w, que isso nao deixa de ser colinear, ou seja dois vetores iguais nao
deixa de ser colinear.
Solucao: Verificar se existe algum angulo de 90o nos vertices. Testando A
Verificarseospontosestaoligadoseforumtriangulotemquesatisfazeraseguinte
Satisfeita a igualdade fica provado que os pontos estao ligados com o angulo B sendo de 90o logo se trata de um
triangulo retangulo.
Solucao:
Solucao: Verificar se existe algum angulo de 90o nos vertices. Testando A
25. Os angulos diretores de um vetor podem ser de 45o, 60o e 90o? Justificar.
Solucao:
Para coordenada x :
Para coordenada y :
Para coordenada z :
Como temos duas equacoes,mas tres incognitas,entao teremos que atribuir a uma incognita um valor arbitrario. Logo,
seja a = 0. Entao
2 Assim,encontramos dois vetores unitarios ~u e ortogonais a ~v
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Formula da projecao de um vetor:Proj~i ~u =
35. Se o vetor \u2212\u2192 AB tem co-senos diretores p, q e r e angulos diretores \u3b1 , \u3b2 e \u3b3, quais sao os co-senos e os angulos
diretores de \u2212\u2192 BA.
Solucao:
Sera o mesmo co-seno diretor do vetor AB, ja que o vetor tem mesmo modulo e direcao, tendo apenas o sentido
contrario.
O cosseno diretor de um vetor e a componente do vetor naquela direcao dividido pelo modulo do seu versor, ou seja,
para cada componente (x,y,z) tem-se um cosseno diretor. Se o vetor possui mesmo modulo e direcao, duas
informacoes para a obtencao do mesmo nao se alteram. o versor e o mesmo(modulo) e a distancia do vetor a
componente(direcao) e a mesma tambem.
\u3c0\u2212\u3b1,\u3c0\u2212\u3b2 e \u3c0\u2212\u3b3
b2 \u2212 y2 = 0 \u21d2 b2 = y2b = y
2 rad, determinar
Como o valor e positivo retira-se o modulo.
De(1) temos y = \u2212x 2 que substitu\u131do em (2) nos permite concluir que: z = x
3 Substituindo estes valores de y e z em (3) temos que
Porem, o problema nos diz que o angulo \u398 formado por v e o eixo dos x e agudo. Entao o angulo formado por ~v e o
vetor unitario na direcao do eixo x tambem e
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Solucao:
Onde ~u e o vetor unitario que queremos encontrar.
Para encontrar o vetor na mesma direcao de ~u com modulo 5 basta multiplicar pelo escalar 5, logo:
50. Mostrar num grafico um representante de cada um dos seguintes vetores:
Solucao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
Solucao: Usando a formula do modulo do produto vetorial temos:
Solucao:
Para ser um paralelogramo a equacao \u2212\u2192 AB+ \u2212\u2212\u2192 AD= \u2212\u2212\u2192 AC tem que ser satisfeita.
area do triangulo= \u221a 6
area do triangulo e dado pela formula:
area do triangulo= 7
Solucao:
area do triangulo=
Solucao:
Solucao:
triangulo de area
Solucao:
Cancelando ambos os denominadores iguais a 2. \u221a
Solucao:
6. Demonstrar que o segmento cujos extremos sao os pontos medios de dois lados de um triangulo e paralelo ao
terceiro lado e igual a sua metade.
Solucao: Demonstracao:
Seja um trapezio ABCD de bases AB e CD. Seja M o ponto medio de AD e N o ponto medio de BC Construamos uma reta
BM. Prolongue com o lado DC. Seja Q o ponto de intersecao da reta BM com a reta que passa por DC. Prolongue
tambem o lado AD. Anote as congruencias de angulos:
angulos QMD e AMB congruentes (angulos opostos pelo vertice) angulos MDQ e MAB congruentes (como os lados AB
e CD sao paralelos, temos que a reta que passa por AD e uma transversal as bases. Portanto seus angulos alternos
internos sao congruentes). O segmento AM e congruente ao segmento MD, pois M e o ponto medio do segmento AD.
Pelo caso ALA de congruencia, temos que os triangulos MQD e AMB sao congruentes.
Disso resulta que os segmentos MQ e MB sao congruentes.
Agora observe o triangulo BQC. O segmento MN e a base media desse triangulo,