Para determinar se dois vetores são paralelos, é necessário verificar se um é múltiplo escalar do outro. Isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando-se o outro por um escalar. Dado que os vetores \( \vec{u} = (m + 1, 3, 1) \) e \( \vec{v} = (4, 2, 2n + 1) \) são paralelos, podemos dizer que eles são múltiplos um do outro. Isso implica que as componentes correspondentes dos vetores são proporcionais. Assim, para \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) serem paralelos, devemos ter: \[ \frac{m + 1}{4} = \frac{3}{2} = \frac{1}{2n + 1} \] Resolvendo as proporções, encontramos que \( m = 5 \) e \( n = 0 \). Portanto, os valores corretos de \( m \) e \( n \) são \( m = 5 \) e \( n = 0 \). A alternativa correta é: \( m = 5 \) e \( n = 0 \).

Podemos utilizar a definição de vetores paralelos, que diz que dois vetores são paralelos se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro. Assim, temos que: ⃗ u = ( m + 1 , 3 , 1 ) ⃗ v = ( 4 , 2 , 2 n + 1 ) Como ⃗ u e ⃗ v são paralelos, podemos escrever: ⃗ u = k ⋅ ⃗ v Onde k é um escalar qualquer. Isso implica que as coordenadas de ⃗ u e ⃗ v são proporcionais. Assim, temos: m + 1 = 4k 3 = 2k 1 = (2n + 1)k Resolvendo o sistema de equações, encontramos: k = 3/8 m = 4k - 1 = 1/2 2n + 1 = k^-1 = 8/3 n = 3/2 Portanto, a alternativa correta é a letra D) m = 1/2 e n = 3/2.