Capitulo1

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CÁLCULO AVANÇADO 1. CAMPOS CONTÍNUOS
1.1 Propriedades Algébricas
1. Se x e y são números reais não negativos, mostre que:
2xy � x2 + y2: (1.1)
Quando ocorre a igualdade em (1.1)?
2. Se x1; x2; � � � ; xN são números reais não negativos, veri…que a relação:
(x1 � x2 � � � � � xN )1=N � 1
N
(x1 + x2 + � � �+ xN ) : (1.2)
Quando ocorre a igualdade em (1.2)? Como sugestão, use exp (�) � 1 + �; com � = �1 + xi=A,
sendo A = (x1 + x2 + � � �+ xN ) =N; e, em seguida, efetue as multiplicações membro a membro:
3. Com o Método de Indução Finita, prove a relação 
NX
i=1
ai
!
�
0@ NX
j=1
bj
1A = NX
i;j=1
ai � bj ; N 2 N: (1.3)
4. Se k�k é uma norma em R1, mostre que existe C > 0 tal que kxk = C jxj ; 8x 2 R1:
5. Se k�k é uma norma em RN ; mostre que jkxk � kykj � kx� yk ; 8x; y 2 RN :
6. Uma transformação linear T : RN ! RN preserva norma se kTxk = kxk ; 8x 2 RN , e preserva
produto interno se hTx; Tyi = hx; yi; 8x; y 2 RN :
(a) Prove que T preserva norma se, e somente se, preserva produto interno.
(b) Se T preserva norma, mostre que T é um isomor…smo e que T�1 é da mesma natureza.
7. Se x e y são vetores não nulos do RN , o ângulo entre x e y, denotado por \ (x; y), é de…nido por
arccos (hx; yi= kxk � kyk). Uma transformação linear T : RN ! RN preserva ângulo se T é um
isomor…smo e para x 6= y tem-se \ (Tx; Ty) = \ (x; y) :
(a) Se T preserva norma, mostre que T preserva ângulo.
2 CÁLCULO AVANÇADO MARIVALDO P. MATOS
(b) Seja fx1; x2; � � � ; xNg uma base do RN ; de vetores próprios de T , com respectivos valores
próprios �1; �2; � � � ; �N , e suponha que T preserva ângulo. Mostre que todos os j�ij são
iguais. Veri…que que a recíproca não é verdadeira considerando a aplicação T : R2 ! R2
dada por T (1; 0) = (1; 0) e T (1; 1) = � (1; 1).
8. Mostre que k�k1 � k�k2 é uma relação de equivalência.
9. Demonstra-se que uma norma k�k em RN é gerada por um produto interno quando a identidade
do paralelogramo
kx+ yk2 + kx� yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2
for atendida para todo x e y do RN . Veri…que que em RN a norma k�kS não é gerada por um
produto interno. Idem para a norma k�k1.
1.2 Propriedades Métricas
1. Dados x 2 RN e r > 0; mostre que Br (x) = x + Br (0) : Mostre também que z 2 Br (x) , z =
x+ ry; com y 2 B1 (0) ; e use isto para estabelecer uma bijeção h : B1 (0) ! Br (x) :
2. Em cada caso, identi…que o exterior, o interior, a fronteira e o fêcho de cada subconjunto X do
RN , classi…cando-o topologicamente em: aberto, fechado, limitado, compacto, etc.
(a) X =
�
(x; y) 2 R2;x2 + y2 = 1	 :
(b) X =
�
(x; y) 2 R2; y > 0 ou x > 0 e y = 0	 :
(c) X =
�
(x; y) 2 R2;x2 � y2 � 1	 :
(d) X =
�
(x; y) 2 R2;x2 + y2=4 > 1	 :
(e) X =
�
(x; y) 2 R2; k(x; y)k1 < 2
	
:
3. O produto cartesiano R = I � J de dois intervalos abertos da reta é denominado um retângulo
aberto do R2: Veri…que que nos conceitos de interior, exterior e fronteira pode-se substituir a
expressão bola aberta por retângulo aberto. Como se de…ne retângulo aberto do RN?
4. Com relação a um subconjunto S � RN ; mostre que as seguintes a…rmações são equivalentes:
(a) S = int (S) (b) S \ @S = ?:
5. Mostre que x 2 S se, e somente se, S \B" (x) 6= ?; seja qual for o " positivo.
COMPLEMENTOS 1 CAMPOS CONTÍNUOS 3
6. Dado S � RN ; mostre que @S = S \ Sc:
7. Mostre que o interior de um subconjunto S � RN é o maior aberto do RN contido em S; enquanto
o fêcho de S é o menor fechado que o contém.
8. Um subconjunto A � S é aberto em S, quando A for a interseção de S com um aberto do RN :
9. Dado um subconjunto S, aberto em RN ; mostre que os subconjuntos abertos em S são precisa-
mente os abertos do RN contidos em S:
10. Mostre que A � S é aberto em S se, e somente se, para cada x 2 A, existe um raio r > 0 tal que
Br (x) \ S � A:
11. Seja S =
�
(x; y) 2 R2; y � 0	. Veri…que qual dos conjuntos abaixo é aberto em S:
A =
�
(x; y) 2 S; x2 + y2 < 1	
B =
�
(x; y) 2 S; x2 + y2 < 1 ou x2 + y2 = 1 e x � 0	
C =
�
(x; y) 2 S; x2 + y2 � 1	
12. Prove a seguinte igualdade elementar entre conjuntos: A � B = A \ Bc. Deduza a partir desta
relação que se A é aberto e B é fechado, então A�B é aberto. E se A for fechado e B for aberto
será que A�B é fechado?
13. Um ponto x0 2 S � RN denomina-se ponto isolado de S quando existir um raio r > 0 tal que
Br (x)\S = fx0g. Mostre que um ponto de S ou é um ponto isolado ou é um ponto de acumulação.
14. Veri…que que os conjuntos abaixo são convexos.
A =
�
(x; y; z) 2 R3; max fjxj ; jyj ; jzjg � 1	
B =
�
(x; y) 2 R2; 0 < x < y	
C =
�
(x; y) 2 R2; 0 � x � y � 1	 :
Mostre que uma esfera do RN não é um conjunto convexo. A interseção de dois convexos é ainda
convexo? E a união?
1.3 Convergência & Topologia
1. Calcule o limite da sequência xk = (1=k; (ln k) =k; k sen (1=k)) :
4 CÁLCULO AVANÇADO MARIVALDO P. MATOS
2. Use a de…nição, com a norma do máximo, e mostre que a sequência xk = (1=k; sen (1=k)) converge
para (0; 0) :
3. Se F � RN é um subconjunto fechado e (xk) é uma sequência em F , convergindo para x; mostre
que x 2 F:
4. Dado x 2 @S, construa indutivamente uma sequência (xk) � S, com xk ! x:
5. Mostre que x 2 S se, e somente se, existe em S uma sequência (xk) convergindo para x:
6. Mostre que duas normas equivalentes geram as mesmas sequências convergentes. Demonstra-se
que em RN quaisquer duas normas são equivalentes e isto nos autoriza, pra efeito de convergência,
usar indistintamente qualquer norma.
1.4 Convergência & Continuidade
1. Mostre que um campo vetorial f = (f1; f2; � � � ; fn) : D � Rm ! Rn é contínuo em x0 se, e somente
se, cada coordenada fj : D ! R for contínua em x0:
2. Sejam f; g : Rm ! Rn duas funções contínuas em S � Rm; tais que f (x) = g (x) para qualquer x
em S: Mostre que f e g coincidem em S:
3. Mostre que f : S ! Rn é contínua em a 2 S; se para toda seqüência fXkg em S convergindo para
a; a seqüência ff (Xk)g tem uma subseqüência convergindo para f (a) :
4. Use a função f (x) = x2 para mostrar que a imagem de um conjunto aberto da reta por uma
função contínua pode não ser um aberto. Exempli…que esta situação em R2:
5. Se f : S � Rm ! Rn é uma função contínua e F � Rn é fechado, mostre que f�1 (F ) é fechado em
S: Substitua o fechado F por um aberto A e prove um resultado análogo. Conclua que o conjunto
dos zeros de uma função contínua e, em particular, o núcleo de um operador linear T : Rm! Rn;
é fechado.
6. Considere A =
�
(x; y) 2 R2; x > 0 e 0 < y < x2	 e mostre que qualquer reta passando pela origem
contém um intervalo em torno de (0; 0) que não toca o conjunto A:De…na f : R2 ! R por f (x) = 0,
se x =2 A; e f (x) = 1, se x 2 A e …xado v 2 R2, de…na gv : R! R por gv (t) = f (tv). Mostre que
gv é contínua em t = 0, embora f não seja contínua em (0; 0) :
COMPLEMENTOS 1 CAMPOS CONTÍNUOS 5
7. Considere um subconjunto A � Rn e suponha que A não é fechado. Mostre que é possível
de…nir um campo escalar contínuo f : A ! R não limitada. Como sugestão considere um ponto
x0 =2 A [ int fRnnAg e de…na f (x) = 1= kx� x0k :
8. Se K � Rn é um subconjunto compacto, mostre que qualquer campo escalar contínuo em K é
limitado e atinge seus extremos.
6 CÁLCULO AVANÇADO MARIVALDO P. MATOS
RESPOSTAS & SUGESTÕES
:::::::::::::
EXERCÍCIOS
:::::::::::::::::::::::
COMPLEMENTARES
::::
1.1
1. Decorre diretamente da desigualdade: (x� y)2 � 0. Ocorre a igualdade se, e somente se, x = y:
2. Veja o caso N = 2 como ilustração. De acordo com a sugestão, temos:
exp
�
�1 + x1
A
�
� x1
A
e exp
�
�1 + x2
A
�
� x2
A
e, considerando que A = 12 (x1 + x2), resulta:
exp
�
�1 + x1
A
�
exp
�
�1 + x2
A
�
� x1x2
A2
, A2 exp (0) � x1x2 , (x1x2)1=2 � x1 + x2
2
:
	1. O Espaço RN
	Propriedades Algébricas
	Propriedades Métricas
	Convergência & Topologia
	Convergência& Continuidade
	Respostas & Sugestões
	Exercícios 1.1