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Lista de exercícios Álgebra II 
 
1. Refaça os exercícios 16, 17, 18, 24, 25, 28 da aula 17 do módulo 2. 
2. Mostre que as funções abaixo são transformações lineares. 
a) 22: T tal que 
)3,2(),( yxyxyxT 
 
b) 32: T tal que 
),,(),( xyxyxyxT 
 
c) 23: T tal que 
)2,2(),,( yxzyxzyxT 
 
3. Determine a transformação linear 
T
 tal que 
)1,2,0()1,1( T
 e 
).0,0,1()1,0( T
 
4. Seja 33: T a transformação linear definida por 
)2,,2(),,( zyxzyzyxzyxT 
. Encontre uma base e a dimensão de seu núcleo e de sua 
imagem. 
5. Encontre uma Transformação linear 43: T , cuja imagem é gerada por (1,2,0,-4) e 
(2,0,-1,-3). 
6. Encontre uma transformação linear 23: T , cujo núcleo é gerado pelo vetor (1,0,-1). 
7. Considere a transformação linear 22: T definida por 
),2(),( yxyxyxT 
. 
a) Determine o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar. 
b) Determine a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar. 
8. Seja 23: T a transformação linear definida por 
)23,2(),,( zyxzyxzyxT 
. Considere as bases A = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} e B = {(2,1), 
(5,3)}. 
(i) Determine 
  BAT ,
. 
(ii) Se v=(3,-4,2), calcular 
 BvT )(
 utilizando a matriz encontrada. 
9. Considere a mesma transformação linear do exercício 1. Sejam as bases 
A = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} e B = {(1,0), (0,1)} canônica. 
a. Determine 
  BAT ,
. 
b. Se v=(3,-4,2), calcular 
 BvT )(
 utilizando a matriz encontrada. 
10. Considere ainda a mesma transformação linear do exercício anterior. Sejam as bases 
canônicas A = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) e B = {(1,0), (0,1)}. 
(i) Determine 
  BAT ,
. 
(ii) Se v=(3,-4,2), calcular 
 BvT )(
 utilizando a matriz encontrada. 
11. Dadas as bases A={(1,1), (1,0) do 2 e B = {(1,2,0), (1,0,-1), (1,-1,3)) do 3 , determinar a 
transformação linear T: 32  cuja matriz é:  












31
21
02
,BAT
. 
12. Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 2 em 2 que representa a 
seqüência de transformações dadas: 
(a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção 
horizontal. 
(b) Rotação de 60º, no sentido anti-horário, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos x. 
(c) Rotação de 45º, seguida de uma reflexão na origem. 
(d) Reflexão em torno da reta y = - x, seguida de uma projeção sobre o eixo y. 
 
13. Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 3 em 3 que representa a 
seqüência de transformações dadas: 
(a) Rotação de 30º em torno do eixo dos y, seguido de uma projeção sobre o plano yz. 
(b) Rotação de 30º em torno do eixo z, seguida de uma rotação de 30º em torno do eixo y. 
14. Verificar se o operador linear T : 3  3 definido por T(1, 1, 1) = (1, 0, 0), T(-2, 1, 0) = 
(0, -1, 0) e T(-1, -3, -2) = (0, 1, -1) é inversível, e, em caso afirmativo, determine T-1(x, y, z). 
 
15. Mostrar que o operador linear, no 3 , definido pela matriz 













 não é inversível. 
Determinar v  tal que T(v) = (6, 9, 15). 
16. Determine a expressão e a matriz da transformação linear T: 2  2 que representa uma 
reflexão em torno do eixo dos y, seguida de uma rotação de 60º no sentido anti-horário. 
17. Seja o operador linear T: 3  3 definido por T(x,y,z) = (x – 
y + 2z, y - z, 2y - 3z). Verifique se T é inversível. Encontre uma fórmula para seu inverso. 
18. Encontre T(x), onde :T é definida por T(1) = (2,3). 
19. Considere a transformação linear T(x, y, z) = (2x +y –z, x + 2y) e as bases A = {(1, 0, 0), 
(2, -1, 0), (0, 1, 1)} do 3 e B = {(-1, 1), (0, 1)} do 2 . Determine a matriz 
BAT ,][
. 
20. Seja T:  3 tal que T(-2,3) = (-1,0,1) e T(1, -2) = (0,-1,0). 
(a) Determine T(x,y). 
(b) Determine o núcleo de T e a imagem de T. 
(c) Determine uma base para o núcleo e para a imagem de T. 
(d) Verificar o Teorema da Dimensão. 
21. Seja T:V

W uma função. Mostre que: 
a) Se T é uma transformação linear, então T(0)=0. 
b) Se T(0)

0, então T não é uma transformação linear.