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ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES - AULA DE EXERCÍCIOS 
Calcular a equação característica, os autovalores e autovetores de cada matriz dada: 
1. � � �1 34 2� 
 
2. � � �0 
11 2 � 
 
3. � � �2 20 1� 
 
4. � � �
2 0 1
6 
2 019 5 
4� 
 
5. � � �5 6 20 
1 
81 0 
2� 
 
6. � � �3 0 
40 3 50 0 
1� 
 
Respostas: 
 
1. Equação característica: λ2 – 3λ – 10 =0, resultante de det( A – λI)=0. Temos: 
autovalor λ1 = – 2 associado ao autovetor �� � [–1, 1 ] e autovalor λ2 = 5 , 
associado ao autovetor e �� �[3 , 4 ] , respectivamente. Cada autovalor tem 
multiplicidade algébrica igual a 1. Da mesma forma, a multiplicidade geométrica 
de cada autovalor é igual a 1. 
 
2. Equação característica: λ2 – 2λ + 1 = 0. Temos: autovalores λ1 = λ2 = 1 ou λ=1 
( raiz dupla ) , associado ao autovetor �� � �� = [ –1, 1 ]. Neste caso, a 
multiplicidade algébrica do autovalor λ=1 é igual a 2, mas a multiplicidade 
geométrica é igual a 1. 
 
3. Equação característica: λ2 – 3λ + 2 = 0. Temos: autovalor λ1 = 2 associado ao 
autovetor �� � [1 , 0] e autovalor λ2 = 1, associado ao autovetor v2 = [ –2, 1]. 
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica igual a 
1. 
 
4. Equação característica: λ3 + 8λ2 + λ + 8 = 0. Temos: um autovalor real 
λ = − 8 e dois autovalores complexos. Para o autovalor real λ = − 8, o autovetor 
associado é v=[1 , 1 , – 6]. O único autovalor real tem multiplicidade algébrica e 
multiplicidade geométrica igual a 1. 
 
 
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5. Equação característica: �� 
 2�� 
 15� � 36 � 0. Temos: autovalores �� � 	3 
( raiz dupla ) e λ2 = – 4. Neste caso, dizemos que a multiplicidade algébrica do 
autovalor �� � 	3 é igual a 2, enquanto a multiplicidade algébrica do autovalor 
λ2 = – 4 é igual a 1. Os autovetores são: para λ = – 4, o autovetor associado é � � [1 , –4/3, – 1/2]; para λ = 3, o autovetor associado é � �[1 , – 2/5 , 1/5]. 
Neste exemplo, para o autovalor duplo λ=3, há somente um autovetor 
linearmente independente associado, ou seja, a multiplicidade geométrica do 
autovalor é igual a 1. Para λ = – 4, a multiplicidade geométrica é igual a 1. 
 
6. Equação característica: �� 
 5�� � 3� � 9 � 0. Temos: autovalores �� 	� 	3 
(raiz dupla ) e λ2 = – 1. Para �� 	� 	3, os autovetores associados são �� �[1,0,0] 
e �� �	[0,1,0], dois autovetores linearmente independentes . Para λ2 = – 1, o 
autovetor associado é v = [ 1; –5/4 ;1]. Neste exemplo, há dois autovetores 
linearmente independentes associados ao autovalor �� 	� 	3.	Isto é, a 
multiplicidade geométrica do autovalor duplo λ=3 é igual a 1. O autovalor λ= –1 
tem multiplicidade geométrica igual a 1.