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Ca´lculo III Notas de Aula - Prof. Artur Fassoni - IMC/UNIFEI Agosto de 2015 2 Suma´rio 1 Integrais Duplas e Triplas 5 1.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Integrais de Linha 29 2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Ca´lculo Vetorial em R2 49 3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Teorema Fundamental das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Ca´lculo Vetorial em R3 67 4.1 Superfı´cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3 Integrais de Superfı´cie de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4 Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 A Apeˆndices 87 A.1 Revisa˜o de Geometria Analı´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.2 Formula´rio - Integrais de Linha e Ca´lculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 4 Capı´tulo 1 Integrais Duplas e Triplas 5 1.1 Integrais Duplas O Volume de um So´lido como uma Integral Dupla Definic¸a˜o 1 (Fechado, limitado, compacto). i) Um conjunto D em R2 e´ fechado se ele conteˆm todos os pontos de sua fronteira. ii) Um conjunto D em R2 e´ limitado se estiver contido em algum retaˆngulo R. iii) Um conjunto D em R2 e´ compacto se for fechado e limitado. Sejam D ⊂ R2 um conjunto compacto, contido num retaˆngulo da forma R = [a,b]× [c,d], e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D. Queremos calcular o volume do so´lido S compreendido entre D e o gra´fico de f . Este volume pode ser aproximado por uma soma da seguinte maneira. - Dividimos o intervalo [a,b] em m pedac¸os de tamanho ∆x = (b− a)/m, e o intervalo [c,d] em n pedac¸os de tamanho ∆y= (d−c)/n. Assim, o retaˆngulo R esta´ dividido em mn retaˆngulos pequenos Ri j de a´rea ∆A = ∆x∆y, e o conjunto D e´ coberto por uma certa quantidade destes retaˆngulos. Em cada retaˆngulo Ri j escolhemos um ponto qualquer (x∗i j,y∗i j). - Consideramos agora os paralelepı´pedos de base Ri j e altura f (x∗i j,y∗i j). A unia˜o destes parale- lepı´pedos e´ uma aproximac¸a˜o do so´lido S. Assim, o volume procurado e´ aproximado pela seguinte soma de Riemmann: V ≈ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D - Se aumentarmos m e n, diminuı´mos ∆x e ∆y, de modo que o nu´mero de retaˆngulos Ri j contidos em D aumenta. Como f e´ contı´nua, os paralelepı´pedos ficam mais finos, e a soma acima fica cada vez mais pro´xima do volume exato. Portanto, o volume exato e´ dado pelo limite V = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D Definic¸a˜o 2 (Integral Dupla). A integral dupla de uma func¸a˜o contı´nua f (x,y) sobre um compacto D e´ definida como sendo o limite ∫∫ D f (x,y)dA = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 f ( x∗i j,y∗i j ) ∆A. Ri j ⊂ D Ca´lculo de Integrais duplas: Integrais Iteradas A definic¸a˜o 2 na˜o fornece uma maneira de calcular a integral, mas apenas a estabelece como sendo o limite de uma soma de Riemmann. Para obter uma maneira pra´tica de calcular integrais duplas, expressamos o volume do so´lido S usando um “fatiamento” em apenas uma varia´vel. Isto e´, fatiamos D fazendo va´rios cortes da forma x= xi, ou da forma y= y j, e calculamos o volume total como sendo a soma dos volumes de cada fatia. Este e´ o conteu´do do Teorema de Fubini. 6 Teorema 3 (Integrais Iteradas e Teorema de Fubinni). Sejam D um compacto e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D. i) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de x, com x ∈ [a,b], ou seja, D = {(x,y) | a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x)} , enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a A(x)dx = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x,y)dydx onde A(x) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto x. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do tipo 1, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dxdy. ii) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de y, com y ∈ [c,d], ou seja D = {(x,y) | c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y)} , enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫ D f (x,y)dA = ∫ d c A(y)dy = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f (x,y)dxdy onde A(y) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto y. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do tipo 2, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dydx. iii) Se uma regia˜o D e´ tanto tanto do tipo 1 quanto do tipo 2, enta˜o o resultado da integral e´ o mesmo em qualquer ordem de integrac¸a˜o, ou seja,∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) f (x,y)dydx = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) f (x,y)dxdy. Observac¸a˜o 4: i) A escolha da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar ou dificultar o ca´lculo da integral. ii) Se uma regia˜o na˜o e´ nem do tipo 1 nem do tipo 2, dividimos ela em duas partes que sejam do tipo 1 ou 2 e utilizamos a propriedade vi) abaixo. Proposic¸a˜o 5 (Propriedades da Integral Dupla). Sejam f (x,y) e g(x,y) func¸o˜es cujas integrais duplas em D existem. Enta˜o: i) ∫∫ D ( f (x,y)±g(x,y))dA = ∫∫ D f (x,y)dA± ∫∫ D g(x,y)dA. ii) ∫∫ D c f (x,y)dA = c ∫∫ D f (x,y)dA. iii) Se f (x,y)≥ g(x,y) para todo (x,y) ∈ D, enta˜o ∫∫ D f (x,y)dA≥ ∫∫ D g(x,y)dA. iv) Se D = D1∪D2 com D1∩D2 = /0, enta˜o ∫∫ D f (x,y)dA = ∫∫ D1 f (x,y)dA+ ∫∫ D2 f (x,y)dA. v) A a´rea da regia˜o D e´ dada por A(D) = lim m,n→∞ m ∑ i=1 n ∑ j=1 ∆A = ∫∫ D 1 dA. vi) O valor me´dio de f sobre D, ou seja, a me´dia de f em D, e´ dado por vm(f,D)= 1 A(D) ∫∫ D f (x,y)dA. Ele satisfaz a seguinte relac¸a˜o∫∫ D f (x,y)dA = “volume do so´lido entre gr(f) e D” = A(D)×vm(f,D) . 7 Exemplos Exemplo 1. Encontre o volume do prisma cuja base e´ o triaˆngulo no plano xy limitado pelo eixo-x e pelas retas y = x e x = 1, e cujo topo esta´ no plano z = f (x,y) = 3− x− y. (R = 1) Exemplo 2. Calcule ∫∫ D sinx x dA, onde D = {(x,y)|0≤ y≤ 1, y≤ x≤ 1}. (R = 1− cos1 ) Exemplo 3. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e troque a ordem de integrac¸a˜o da integral:∫ 2 0 ∫ 2x x2 (4x+2)dy dx. Exemplo 4. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 16− x2− y2 e acima da regia˜o limitada pela curva y = 2 √ x, pela reta y = 4x−2 e pelo eixo-x. (R = 20803/1680) Exemplo 5. Encontrea a´rea da regia˜o D limitada pelas curvas y = x+2 e y = x2. (R = 9/2) 8 9 1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares Todo ponto P = (x,y) do plano pode ser descrito em termos - da distaˆncia r de P a` origem O e - do aˆngulo θ que o ~OP faz com eixo-x (anti-hora´rio) Assim, e´ possı´vel passar a descric¸a˜o de um conjunto do plano das coordenadas cartesianas (x,y) para as chamadas coordenadas polares (r,θ), por meio das fo´rmulas:{ x = rcosθ y = rsinθ ⇔ { θ= arctan yx r = √ x2+ y2 . Muitos conjuntos sa˜o descritos de modo muito simples em coordenadas polares. O ca´lculo de in- tegrais duplas nestes conjuntos, por meio de coordenadas cartesianas, pode ser complicado e ate´ impossı´vel. Utilizar coordenadas polares nestes casos simplifica muito. Queremos calcular a integrais duplas ∫∫ R f (x,y)dA em regio˜es que sejam da forma D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}. Uma regia˜o desta forma esta´ contida em algum retaˆngulo polar, que e´ um conjunto da forma R = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, a≤ r ≤ b}. Para calcular a integral, dividimos o intervalo [α,β] dos aˆngulos em m pedac¸os de tamanho ∆θ, e o intervalo [a,b] dos raios em n pedac¸os de tamanho ∆r, de modo a cobrir D com va´rios retaˆngulos polares infinitesimais Ri j. Tomando um ponto (x∗i j,y∗i j)↔ (r∗i j,θ∗i j) no meio de cada retaˆngulo Ri j ⊂ R, temos:∫∫ R f (x,y)dA= lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( x∗i j,y ∗ i j ) ∆Ai j = lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( r∗i jcosθ ∗ i j ,r ∗ i jsinθ ∗ i j ) ∆Ai j. Resta sabermos o valor de cada a´rea ∆Ai j. Para calcula´-la, note que Area ∆Ai j = ( Area do setor θθ de raio r∗i j + ∆r 2 ) − ( Area do setor θθ de raio r∗i j− ∆r2 ) = = 1 2 ∆θ ( r∗i j + ∆r 2 )2 − 1 2 ∆θ ( r∗i j− ∆r 2 )2 = ∆θ 2 [( r∗i j + ∆r 2 )2 − ( r∗i j− ∆r 2 )2] = r∗i j∆r∆θ Assim, a integral dupla de f (x,y) em D e´ dada pelo limite∫∫ D f (x,y)dA = lim m,n→∞ m ∑ i=1, Ri j⊂D n ∑ j=1 f ( r∗i jcosθ ∗ i j ,r ∗ i jsinθ ∗ i j ) r∗i j∆r∆θ Ou seja, vale a seguinte formula de mudanc¸a de coordenadas cartesianas para polares:∫∫ D f (x,y)dA = ∫ b a ∫ h2(θ) h1(θ) f (r cosθ ,r sinθ) rdrdθ onde D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}. Dizemos dA = rdrdθ e´ o elemento de a´rea em coordenadas polares. 10 Exemplos: Exemplo 6. Calcule ∫∫ R e x2+y2dA, onde R e´ a regia˜o limitada pelo eixo-x e pela curva y = √ 1− x2.( R = pi2 (e−1) ) . Exemplo 7. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 9− x2− y2 e acima do cı´rculo unita´rio no plano xy. (R = 17pi/2) Exemplo 8. Encontre os limites de integrac¸a˜o para integrar f (r,θ), na regia˜o R que esta´ dentro do cardioide r = 1+ cosθ e fora do cı´rculo r = 1. Exemplo 9. Calcule a a´rea delimitada pela leminiscata r2 = 4cos2θ . (R = 4) Exemplo 10. Calcule a integral ∫ 1 0 ∫√1−x2 0 ( x2+ y2 ) dy dx. ( R = pi8 ) . Exemplo 11. Encontre a a´rea da regia˜o compreendida dentro do cı´rculo x2 + y2 = 4, acima da reta y = 1, e abaixo da reta y = √ 3x. ( R = pi− √ 3 3 ) 11 12 1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas Definic¸a˜o 6 (Mudanc¸a de Varia´veis no Plano). Uma mudanc¸a de varia´veis no plano e´ definida por uma transformac¸a˜o T : S → R (u,v) → (x,y) = T (u,v) onde S,R ⊂ R2, com R = T (S), e cada ponto (x,y) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v) ∈ S. A transformac¸a˜o T possui uma transformac¸a˜o inversa, denotada por T−1, T−1 : R → S (x,y) → (u,v) = T−1 (x,v) . Portanto, por meio de T e T−1, as varia´veis x e y ficam relacionadas a`s varia´veis u e v, e tambe´m as varia´veis (u,v) podem ser escritas em termos de (x,y) :{ x = x(u,v) y = y(u,v) ⇐⇒ { u = u(x,y) v = v(x,y) . Observac¸a˜o 7 (Coordenadas Polares): O uso de Coordenadas Polares e´ um exemplo de Mudanc¸a de Varia´veis (x,y) = T (r,θ) x = rcosθ y = rsinθ (r,θ) ∈ [0,1]× [0, pi2] ⇐⇒ (r,θ) = T−1(x,y) θ= arctan yx r = √ x2+ y2 (x,y) ∈ R{(x,y) | x2+ y2 ≤ 1, x≥ 0, y≥ 0} Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas Uma mudanc¸a de varia´veis pode facilitar muito o ca´lculo de certas integrais duplas, dependendo do integrando f (x,y) ou da regia˜o de integrac¸a˜o. Teorema 8 (Teorema de Mudanc¸a de Varia´veis). Considere a mudanc¸a T dada por x= x(u,v) e y= y(u,v), (u,v)∈ S. Se x(u,v) e y(u,v) sa˜o contı´nuas e possuem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante Jacobiano J (u,v) = ∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂v ∣∣∣∣∣= ∂x∂u ∂y∂v − ∂x∂v ∂y∂u e´ nulo apenas em pontos isolados de R, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫ R f (x,y)dxdy = ∫∫ S f (x(u,v) ,y(u,v)) ∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣∣dudv Ou seja, o elemento de a´rea dA = dxdy se torna dxdy = ∣∣∣ ∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣dudv. Observac¸a˜o 9: Observe a semelhanc¸a com uso de substituic¸a˜o simples em integrais do Ca´lculo I: x = g(u) dx = x′ (u)du x = a⇒ u = c x = b⇒ u = d =⇒ ∫ b a f (x)dx = ∫ d c f (x(u))x′(u)du. 13 Exemplos Exemplo 12. Encontre o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas polares. Exemplo 13. Calcule a integral ∫ 4 0 ∫ (y/2)+1 y/2 2x−y 2 dxdy, usando a transformac¸a˜o u = 2x−y 2 , v = y 2 . Exemplo 14. Calcule a integral ∫ 1 0 ∫ 1−x 0 √ x+ y (y−2x)2dydx. Exemplo 15. Calcule a integral ∫ 2 1 ∫ y 1/y √ y xe √ xydxdy. R: 2e(e−2). 14 15 1.4 Integrais Triplas Volume como uma Integral Tripla Do mesmo modo que definimos integral dupla dividindo uma regia˜o plana em retaˆngulos pequenos, podemos definir integrais triplas a partir de regio˜es so´lidas. Seja E ⊂ R3 um so´lido no espac¸o tridi- mensional, fechado e limitado. Existe uma ‘caixa retangular’ R que conteˆm E. Particionamos R em pequenas caixas retangulares, e enumeramos em uma certa ordem, de 1 a n, aquelas subcaixas que estiverem dentro de E. A k-e´sima caixa possui dimenso˜es ∆xk,∆yk e ∆zk. Assim, o volume aproxi- mado do so´lido E e´ a soma dos volumes das caixas dentro dele, e e´ exato quando o nu´mero de caixas n→ ∞, ou, equivalentemente, ∆xk,∆yk,∆zk→ 0: Vol(E)≈ lim n→∞ n ∑ k=1 ∆Vk = limn→∞ n ∑ k=1 ∆xk∆yk∆zk. Definic¸a˜o 10. Seja f (x,y,z) uma func¸a˜o contı´nua em uma regia˜o E contida em R3. A integral tripla de f sobre E e´ definida como sendo o limite∫∫∫ E F (x,y,z)dV = lim n→∞ n ∑ k=1 F (xk,yk,zk)∆Vk = limn→∞ n ∑ k=1 F (xk,yk,zk)∆xk∆yk∆zk . Observac¸a˜o 11: i) A integral tripla ∫∫∫ E dV representa o volume de E. ii) Se f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto do so´lido E, a integral tripla ∫∫∫ E f (x,y,z)dV representa a massa de E. Ca´lculo de Integrais Triplas como Integrais Iteradas O ca´lculo de integrais triplas tambe´m e´ feito por meio de integrais iteradas. O processo possui sempre treˆs passos ba´sicos: i) Esboc¸amos o so´lido E e escolhemos algum dos planos coordenados para projetar E. ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior (com relac¸a˜o ao plano escolhido) que delimitam E por cima e por baixo. iii) Determinamos no plano escolhido a ‘sombra’ D de E como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2. Dependendo da geometria do so´lido E, pode ser melhor considerar sua projec¸a˜o no plano x×y ou no plano x× z ou no plano y× z. Vejamos como fica cada caso. Projetando no plano x× y i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× y. ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior z = u2 (x,y) e z = u1 (x,y) que delimitam E por cima e por baixo, de modo que E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y) ∈ D, u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e a integral tripla pode ser escrita na ordem dzdA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla: ∫∫∫ E f (x,y,z)dV= ∫∫ D (∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dz ) dA 16 iii) Escrevemos a ‘sombra’ D como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas. Se D e´ do tipo 1, enta˜o E = {(x,y,z)| a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdydx:∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ b a ∫ g2(x) g1(x) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z) dzdy dx. Se D e´ do tipo 2, enta˜o E = {(x,y,z)| c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)}, e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdxdy∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ d c ∫ h2(y) h1(y) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z) dzdx dy. Projetando no plano x× z i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× z. ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ direita e esquerda, que agora dependem de x e z, y = u2 (x,z) e y = u1 (x,z), delimitando E pelos lados. Assim, E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,z) ∈ D, u1(x,z)≤ y≤ u2(x,z)}. e a integral tripla pode ser escrita na ordem dydA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla: ∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D (∫ u2(x,z) u1(x,z) f (x,y,z)dy ) dA iii) Escrevemos a ‘sombra’ D no plano x× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dydxdz ou dydzdx. Projetando no plano y× z i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano y× z. ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ de frente e de tra´s, x = u2 (y,z) e x = u1 (y,z), de modo que E e´ dado por E = {(x,y,z) ∈ R3 | (y,z) ∈ D, u1(y,z)≤ x≤ u2(y,z)}. Deste modo, a integral tripla pode ser escrita na ordem dxdA, como sendo uma integral simples iterada com uma integral dupla:∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D (∫ u2(y,z) u1(y,z) f (x,y,z)dx ) dA iii) Procedendo de modo ana´logo, escrevemos a ‘sombra’ D no plano y× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dxdydz ou dxdzdy. 17 Exemplos Exemplo 16. Calcule o volume do tetraedro de vertices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) e (0,1,1), usando a ordem dzdydx. (R = 1/6) Exemplo 17. Encontre o volume da regia˜o D delimitada pelas superfı´cies z= x2+3y2 e z= 8−x2− y2. (R = 8p √ 2 Exemplo 18. Calcule o volume do tetraedro do Exemplo 16, usando a ordem dydzdx. Exemplo 19. Calcule ∫∫∫ E √ x2+ z2dV , onde E e´ a regia˜o limitada pelo paraboloide y = x2 + z2, e pelo plano y = 4. (R = 128p/15) Exemplo 20. Reescreva a integral iterada ∫ 1 0 ∫ x2 0 ∫ y 0 f (x,y,z)dzdydx nas ordens dxdzdy e dydzdx, e esboce a regia˜o de integrac¸a˜o. Exemplo 21. Encontre o centro de massa de um so´lido de densidade constante, que e´ limitado pelo cilindro parabo´lico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0, e x = 1. R : (5 7 ,0, 5 14 ) . 18 19 1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas Uma mudanc¸a de varia´veis no espac¸o e´ definida de maneira ana´loga a` mudanc¸as no plano, e vale tambe´m um resultado sobre mudanc¸a de varia´veis em integrais triplas. Seja R uma regia˜o em R3 e considere a mudanc¸a de coordenadas x = x(u,v,w) , y = y(u,v,w) , z = z(u,v,w) , (u,v,w) ∈ S⊂ R3, onde cada (x,y,z) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v,w) ∈ S. Se x(u,v,w), y(u,v,w) e z(u,v,w) forem contı´nuas, possuı´rem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante jacobiano J (u,v,w) = ∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣∣∣∣ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∣∣∣∣∣∣∣ for nulo no ma´ximo em pontos isolados de S, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫∫ R f (x,y,z)dV = ∫∫∫ S f (x(u,v,w) ,y(u,v,w) ,z(u,v,w)) ∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w) ∣∣∣∣dudvdw. Ou seja, o elemento de volume e´ dado por dV = dxdydz = ∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣∣∣dudvdw. Integrais Triplas em Coordenadas Cilı´ndricas Um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 pode ser representado pela terna (r,θ,z), onde (r,θ) sa˜o as coordenadas polares da projec¸a˜o de P no plano x× y e z e´ a altura no ponto P em relac¸a˜o ao plano xy. Os nu´meros (r,θ,z) sa˜o as coordenadas cilı´ndricas de P. Ou seja, Coordenadas Cilı´ndricas = Coordenadas Polares no plano xy + coordenada cartesiana no eixo z. Assim, as equac¸o˜es relacionando coordenadas cilı´ndricas e retangulares sa˜o x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, r2 = x2+ y2, tanθ= y/x. Portanto, em coordenadas cilı´ndricas: i) A equac¸a˜o r = a descreve um cilindro de raio a (θ e z esta˜o livres). ii) A equac¸a˜o θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x (r e z esta˜o livres). iii) A equac¸a˜o z = z0 descreve um plano paralelo ao plano xy na altura z0 (r e θ esta˜o livres). Seja E e um so´lido em R3 e D a sua projec¸a˜o no plano x× y. Assim, E = {(x,y,z) | (x,y) ∈ D u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}. Se D possuir uma representac¸a˜o conveniente em coordenadas polares, ou seja, se D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1(θ)≤ r ≤ h2(θ)}, enta˜o, podemos utilizar coordenadas cilı´ndricas para calcular integrais triplas em E. Temos∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫∫ D ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dzdA = ∫ b a ∫ h2(θ) h1(θ) ∫ u2(x,y) u1(x,y) f (x,y,z)dzrdrdθ. Ou seja, o elemento de volume em coordenadas cilı´ndricas e´ dado por: dV = dz r dr dθ. 20 Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas Um outro sistema de coordenadas muito utilizado e´ o sistema de coordenadas esfe´ricas. Neste sistema, um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e´ representado pela terna (ρ,θ,φ), onde: i) ρ e´ a distaˆncia de P a` origem (ρ≥ 0), ii) θ e´ o aˆngulo das coordenadas cilı´ndricas, ou seja, e´ o aˆngulo que o vetor (x,y,0) faz com o eixo-x (0≤ θ≤ 2pi), iii) φ e´ o aˆngulo que ~OP faz com o eixo-z positivo (0≤ φ≤ pi). Para melhor entender e memorizar as fo´rmulas de coordenadas esfe´ricas, e´ interessante considerar a varia´vel r das coordenadas cilı´ndricas. Pelas definic¸o˜es de r, ρ e φ temos que ρ2 = r2+ z2, r = ρsinφ, z = ρcosφ. Como x = r cosθ e y = r sinθ, as equac¸o˜es relacionando coordenadas esfe´ricas e retangulares sa˜o: x = ρsinφcosθ y = ρsinφsinθ z = ρcosφ ⇐⇒ ρ2 = x2+ y2+ z2 tanθ= y/x tanφ= rz = √ x2+y2 z . Em coordenadas esfe´ricas: i) A equac¸a˜o ρ= a descreve uma esfera de raio a e centro na origem (θ e φ esta˜o livres) ii) θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x positivo (ρ e φ livres) iii) φ = φ0 descreve um cone com ve´rtice na origem, com eixo de simetria sendo o eixo-z, e com aˆngulo de abertura 2φ0 (ρ e θ livres). Se φ0 > pi/2, o cone e´ voltado para baixo. Em geral, uma integral tripla num so´lido E ⊂ R3 pode ser calculada usando coordenadas esfe´ricas se E for um so´lido de revoluc¸a˜o ao longo do eixo z, como uma esfera ou um cone. A descric¸a˜o de E em coordenadas esfe´ricas deve ser da forma E = {(ρ,θ,φ) | α≤ θ≤ β, c≤ φ≤ d, g1 (θ,φ)≤ ρ≤ g2(θ,φ)}. Calculando o jacobiano para as coordenadas esfe´ricas, obtemos∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ) ∣∣∣∣= ρ2 sinφ. Logo, o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas e´ dado por: dV = ρ2 sinφ dρdθdφ. Portanto, o ca´lculo de uma integral tripla em E em coordenadas esfe´ricas fica∫∫∫ E f (x,y,z)dV = ∫ b a ∫ d c ∫ g2(θ,φ) g1(θ,φ) f (ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2 sinφ dρdθdφ. 21 Exemplos Exemplo 22. Calcule a integral ∫ 3 0 ∫ 4 0 ∫ (y/2)+1 y/2 ( 2x−y 2 + z 3 ) dxdydz, usando a transformac¸a˜o u= 2x−y2 , v= y 2 , w = z 3 . R: 12. Exemplo 23. Calcule o volume do elipso´ide x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1. Exemplo 24. Encontre o centroide do so´lido de densidade ρ = 1 compreendido dentro do cilindro x2+ y2 = 4, abaixo do paraboloide z = x2+ y2, e acima do plano xy. R: (0,0,4/3). Exemplo 25. Encontre os limites de integrac¸a˜o, em coordenadas cilı´ndricas,para integrar f (x,y,z) sobre a regia˜o limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro circular x2+(y−1)2 = 1 e acima pelo paraboloide z = x2+ y2. Exemplo 26. Calcule a integral tripla ∫ 2 −2 ∫ √4−x2 −√4−x2 ∫ 2 √ x2+y2 x2+ y2dz dy dx. R: 16pi/5. Exemplo 27. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para a esfera x2+ y2+(z−1)2 = 1. Exemplo 28. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para o cone z = √ x2+ y2. Exemplo 29. Calcule o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas. Exemplo 30. Calcule ∫∫∫ B e (x2+y2+z2) 2 3 dV , onde B e´ a bola unita´ria B = { (x,y,z) |x2+ y2+ z2 ≤ 1}. R: 43pi(e−1). Exemplo 31. Calcule o volume do so´lido que esta´ acima do cone z = √ x2+ y2 e abaixo da esfera x2+ y2+ z2 = z. R: pi8 . 22 23 1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas Densidade e Massa Considere um so´lido E com densidade descrita por ρ(x,y,z). Esta densidade pode ser escrita como ρ(x,y,z) = lim ∆V→0 ∆m ∆V , onde ∆m e ∆V sa˜o a massa e o volume de um pequeno cubo contendo o ponto (x,y,z). Podemos dividir o so´lido em n cubos Ri, cada um com volume ∆V = ∆x∆y∆z, e aproximar a massa de cada cubo por ∆m≈ ρ(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆V, onde (x∗i ,y∗i ,x∗i ) e´ um ponto no cubo Ri. Fazendo o nu´mero de cubos n aumentar e somando todas as massas, temos a massa total do so´lido, expressa como uma integral tripla: m = lim n→∞ n ∑ i=1 ρ(x∗i ,y ∗ i ,z ∗ i )∆V = ∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV . Esta expressa˜o pode ser entendida como sendo a soma de todas as massas pontuais ρ(x,y,z)dV de todos os pontos (x,y,z) ∈ E de densidades ρ(x,y,z) e volumes pontuas dV . Momentos e centro de massa Agora, queremos encontrar o centro de massa (ou centro de gravidade) do so´lido D, isto e´, o ponto P no qual ele se equilibra horizontalmente. A situac¸a˜o mais simples e´ quando duas massas m1 e m2 sa˜o presas a um basta˜o de massa desprezı´vel em lados opostos a um apoio e a distaˆncias d1 e d2 do apoio. Pela Lei da Alavanca de Arquimedes, o basta˜o estara´ em equilı´brio se m1d1 = m2d2. Introduzindo um sistema de coordenadas, esta condic¸a˜o e´ escrita como m1 (x− x1) = m2 (x− x2) , onde x e´ a coordenada do centro de massa. Isolando x obtemos x = m1x1+m2x2 m1+m2 . Os nu´meros m1x1 e m2x2 sa˜o chamados momentos das massas m1 e m2 (em relac¸a˜o a` origem) e a equac¸a˜o acima nos diz que o centro de massa e´ igual a soma dos momentos dividida pela soma das massas. Agora, considere va´rias massas no plano xy. De modo ana´logo, as coordenadas do centro de massa sa˜o x = ∑ni=1 mixi ∑ni=1 mi = My m , y = ∑ni=1 miyi ∑ni=1 mi = Mx m onde os nu´meros mixi e miyi sa˜o os momentos de cada massa em relac¸a˜o aos eixos, e My = n ∑ i=1 mixi, Mx = n ∑ i=1 miyi sa˜o os momentos totais da placa com relac¸a˜o ao eixo-y e ao eixo-x, respectivamente. Eles medem a tendeˆncia de o sistema girar em torno destes eixos. 24 Finalmente, interpretando um so´lido E de densidade ρ(x,y,z) como uma nuvem de va´rias massas pontuais dm = ρ(x,y,z)dV , podemos calcular, de maneira ana´loga, os momentos em relac¸a˜o aos planos x× y, x× z e y× z como sendo, respectivamente, Mxy = ∫∫∫ E z ρ(x,y,z)dV , Mxz = ∫∫∫ E y ρ(x,y,z)dV , Myz = ∫∫∫ E x ρ(x,y,z)dV . Assim, o centro de massa de E e´ dado por (x,y,z), onde x = Myz m = ∫∫∫ E x ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV , y = Mxz m = ∫∫∫ E y ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV , z = Mxy m = ∫∫∫ E z ρ(x,y,z)dV∫∫∫ E ρ(x,y,z)dV . O centro de massa e´ o ponto que concentra toda a massa do so´lido. Como mx = Myz, my = Mxz e mz=Mxy, uma partı´cula u´nica de massa m posicionada neste mesmo ponto teria os mesmos momentos que o so´lido. Se a densidade ρ(x,y,z) e´ constante, o centro de massa e´ chamado centroide. Momentos de ine´rcia O momento de ine´rcia (tambe´m chamado segundo momento) de uma partı´cula de massa m em relac¸a˜o a um eixo e´ definido como mr2, onde r e´ a distaˆncia da partı´cula ao eixo. Assim, procedendo com a mesma divisa˜o do so´lido E feita anteriormente, podemos definir os seus momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x, y e z, como sendo, respectivamente: Ix = ∫∫∫ E ( y2+ z2 ) ρ(x,y,z)dV , Iy = ∫∫∫ E ( x2+ z2 ) ρ(x,y,z)dV , Iz = ∫∫∫ E ( x2+ y2 ) ρ(x,y,z)dV . Tambe´m consideramos o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia): I0 = ∫∫∫ E ( x2+ y2+ z2 ) ρ(x,y,z)dV . Note que I0 = 12(Ix+ Iy+ Iz). A energia cine´tica de um objeto se movendo com velocidade linear v, de massa m, e´ Ec = 12mv 2. A energia cine´tica de um eixo girando com velocidade angular w e momento de ine´rcia I, em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, e´ Ec = 12 Iw 2. Portanto, da mesma maneira que a massa m de um corpo esta´ relacionada a energia inercial para colocar o corpo em movimento retilı´neo, o momento de ine´rcia em relac¸a˜o a um eixo esta´ relacionado a` quantidade de energia necessa´ria para efetuar um movimento de rotac¸a˜o em torno daquele eixo. Quanto maior for I, mais energia e´ necessa´ria. Quanto mais a massa estiver distribuı´da longe do eixo, maior sera´ I. 25 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas Todas as aplicac¸o˜es das integrais triplas podem ser reduzidas naturalmente para integrais duplas. Ou seja, se D representa uma placa fina com densidade laminar ρ(x,y) em cada ponto, enta˜o: i) A massa de D e´ dada por ∫∫ Dρ(x,y)dA. ii) Os momentos em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente, Mx = ∫∫ D ydm = ∫∫ D y ρ(x,y)dA, My= ∫∫ D xdm = ∫∫ D x ρ(x,y)dA. iii) O centro de massa e´ o ponto (x,y), onde x = My m = ∫∫ D x ρ(x,y)dA∫∫ D ρ(x,y)dA , y = Mx m = ∫∫ D y ρ(x,y)dA∫∫ D ρ(x,y)dA . iv) Os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente Ix = ∫∫ D y2ρ(x,y)dA, Iy = ∫∫ D x2ρ(x,y)dA. v) O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia) e´ I0 = ∫∫ D ( x2+ y2 ) ρ(x,y)dA = (Ix+ Iy). 26 Exemplos Exemplo 32. A fronteira de uma laˆmina consiste dos semicı´rculos y = √ 1− x2 e y =√4− x2 jun- tamente com a porc¸a˜o do eixo-x que une. Calcule a massa desta laˆmina, sabendo que a densidade ρ(x,y) em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem. Exemplo 33. Calcule o centro de massa da laˆmina do Exemplo 32. R = ( 0, 4514pi ) Exemplo 34. Considere um disco homogeˆneo D de raio a e densidade constante ρ. Verifique que seu momento de ine´rcia de em relac¸a˜o ao seu centro (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser escrito como I0 = 1 2 ( ρpia2 ) a2 = 1 2 ma2, de modo que se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de ine´rcia. Exemplo 35. Uma placa fina consiste da regia˜o triangular delimitada pelo eixo-x e pelas retas x = 1 e y = 2x no primeiro quadrante. Encontre os momentos de ine´rcia da placa em relac¸a˜o aos eixos x e y e em relac¸a˜o a` origem. A densidade em cada ponto e´ ρ(x,y) = 6x+6y+6. Exemplo 36. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo-z, da “casquinha de sorvete” cortada da bola ρ≤ 1 pelo cone φ= pi/3, sabendo que a densidade e´ constante igual a 1. R: pi12 . 27 28 Capı´tulo 2 Integrais de Linha 29 2.1 Curvas Parametrizadas Descrevendo o movimento de uma partı´cula no espac¸o Definic¸a˜o 12 (Curva Parametrizada). Considere um ponto P= (x,y,z) se movendo no espac¸o. Enta˜o, seu vetor posic¸a˜o~r varia com o tempo t, isto e´ ~r =~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = x(t)~i+ y(t)~j+ z(t)~k. A medida que t varia num certo intervalo I, ~r (t) descreve uma curva C no espac¸o. Esta curva C e´ chamada curva parametrizada, e a func¸a˜o vetorial, ~r (t) e´ chamada parametrizac¸a˜o de C. As func¸o˜es x(t), y(t), z(t)sa˜o chamadas componentes de~r (t). A varia´vel independente t e´ chamada paraˆmetro. A curva C tambe´m e´ chamada de imagem ou trac¸o da parametrizac¸a˜o~r(t). Definic¸a˜o 13 (Curvas suaves e suaves por partes). Dizemos que uma curva C, com parametrizac¸a˜o~r(t), e´ suave se as suas componentes x(t), y(t) e z(t) possuı´rem derivadas de primeira ordem contı´nuas. Dizemos que uma curva parametrizada C e´ suave por partes se ela puder ser escrita como a unia˜o de pedac¸os suaves, isto e´, se C =C1∪C2∪ ...∪Cn, onde cada Ci e´ suave. Definic¸a˜o 14 (Vetor tangente, Velocidade e Acelerac¸a˜o). O vetor tangente a uma curva parametrizada C no ponto~r(t) e´ dado por ~r′ (t) = lim ∆t→0 ~r (t+∆t)−~r (t) ∆t = ( x′(t),y′(t),z′(t) ) . Este limite sempre existe se C e´ suave, e e´ chamado a derivada da func¸a˜o vetorial~r(t). Ele tambe´m e´ o vetor velocidade da partı´cula cuja posic¸a˜o e´~r (t). Ele aponta na direc¸a˜o do movimento da partı´cula, e seu comprimento ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣ representa a velocidade escalar da partı´cula. A acelerac¸a˜o da partı´cula e´ dada pela derivada segunda de~r (t): ~a(t) =~r ′′ (t) . 30 Exemplos Exemplo 37. Dados dois pontos A, B∈Rd (d = 2 ou 3), fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para o segmento de reta unindo A e B. Qual e´ uma parametrizac¸a˜o para a reta passando por A e B? Exemplo 38. a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o~r (t) para o cı´rculo x2+ y2 = 1 em R2, que percorra o cı´rculo no sentido anti-hora´rio, a` medida que t cresce. b) Generalize para o cı´rculo de raio r e centro C = (x0,y0), e depois para uma elipse de semi-eixos a e b e centro C = (x0,y0). c) Para todas estas curvas, obtenha tambe´m parametrizac¸o˜es no sentido hora´rio. Exemplo 39. Esboce as curvas dadas pela parametrizac¸o˜es~r1 (t)= (cos t ,sin t , t),~r2 (t)= (t,cos t ,sin t ) e~r3 (t) = (tcos t , tsin t , t). Exemplo 40. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 4 com o plano y+ z =5. Exemplo 41. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o gra´fico de uma func¸a˜o contı´nua y = f (x). Exemplo 42. Encontre a posic¸a˜o ~r(t) de uma partı´cula lanc¸ada do cha˜o com velocidade inicial ~v0 e aˆngulo de elevac¸a˜o a, supondo que ela esta´ sujeita apenas a ac¸a˜o da gravidade, e desprezando a resisteˆncia do ar. Encontre o tempo que ela demora para retornar ao cha˜o. A que distaˆncia ela retorna? Qual aˆngulo a maximiza esta distaˆncia? E qual aˆngulo a maximiza o tempo que ela fica no ar? 31 32 2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares Calculando o comprimento de uma curva Seja C uma curva com parametrizac¸a˜o~r (t) = (x(t) ,y(t)) , t ∈ [a,b] . Queremos calcular o seu com- primento. Para isto, fazemos o seguinte: - Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an . - Os extremos dos intervalos [ti−1, ti] determinam pontos Pi =~r(ti) em C. - A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi. - O comprimento de cada segmento Pi−1Pi e´ ∆si = |~r (ti)−~r(ti−1)|. - Temos que ∆si = |~r(ti)−~r(ti−1)|∆t ∆t ≈ |~r′ (t∗i )|∆t = √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t, para algum t∗i ∈ (ti−1, ti). - Assim, o comprimento e´ aproximadamente L≈ n ∑ i=1 ∆si = n ∑ i=1 ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑ i=1 √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t. - Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o comprimento exato de C, dado por L = ∫ C ds = ∫ b a ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a √ x′(t)2+ y′(t)2dt. Calculando a massa de um fio fino No mesmo contexto anterior, suponhamos que C representa um fio fino com densidade linear varia´vel ρ(x,y) em cada ponto. Queremos calcular a massa de C. Realizando a mesma divisa˜o anterior temos: i) A massa de cada segmento Pi−1Pi pode ser aproximada por ∆mi = ρ(x∗i ,y ∗ i )∆si ≈ ρ(~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t. ii) Portanto, a massa total do fio e´ aproximadamente m≈ n ∑ i=1 ∆mi ≈ n ∑ i=1 ρ(~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑ i=1 ρ(x(t∗i ) ,y(t ∗ i )) √ x′(t∗i ) 2+ y′(t∗i ) 2∆t. iii) Novamente fazendo n→ ∞, temos a massa exata de C : m = ∫ C ρ(x,y)ds = ∫ b a ρ(~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a ρ(x(t) ,y(t)) √ x′(t)2+ y′(t)2dt. 33 Integrais de Linha de Campos Escalares Definic¸a˜o 15 (Integral de Linha de Campo Escalar). Sejam C uma curva suave com parametrizac¸a˜o ~r (t) , t ∈ [a,b] e f uma func¸a˜o (campo escalar) contı´nua numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de f sobre C e´ definida como o limite∫ C f ds = lim n→∞ n ∑ i=1 f (~r (t∗i )) ∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t e e´ calculada da seguinte maneira: ∫ C f ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt. Quando f = f (x,y) e C e´ uma curva plana temos: ∫ C f (x,y)ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a f (x(t) ,y(t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 dt. Quando f = f (x,y,z) e C e´ uma curva espacial: ∫ C f (x,y,z)ds = ∫ b a f (~r (t)) ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b a f (x(t) ,y(t) ,z(t)) √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 dt. Em ambos os casos, dizemos que ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 ou ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = √( dx dt )2 + ( dy dt )2 + ( dz dt )2 e´ o elemento de comprimento de arco. Aplicac¸o˜es e Propriedades A integral de linha de f sobre C, ∫ C f ds, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades: i) Se f = 1, o resultado ∫ C ds representa o comprimento da curva C. ii) Se f representa a densidade linear do fio fino C, enta˜o ∫ C f ds e´ a massa deste fio. iii) Se f (x,y) ≥ 0, enta˜o ∫C f (x,y)ds representa a a´rea da ‘superfı´cie cerca’, cuja base e´ C e cuja altura em cada ponto e´ f (x,y) (fac¸a uma figura). iv) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja se C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫ C f ds = ∫ C1 f ds+ · · ·+ ∫ Cn f ds. v) Se C e´ percorrida num sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio, enta˜o ∫ C f ds = ∫ −C f ds 34 Exemplos Exemplo 43. Calcule ∫ C f ds, onde a) f (x,y)= x2+y e C e´ formado pelos segmentos horizontal e vertical que ligam os pontos (0,0) ,(1,0) e (1,1) . b) f (x,y,z)= x+y e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do semiplano y= x, y≥ 0, com o paraboloide z = x2+ y2, z≤ 2. Exemplo 44. Um arame tem a forma de uma curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera x2+ y2+ z2 = 4, y≥ 0, com o plano x+ z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame e´ f (x,y,z) = xy, calcule a massa total do arame. Exemplo 45. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superfı´cie do cilindro x2+ y2 = 4, compreendida entre os planos z= 0 e x+y+ z= 2, z≥ 0. Se o metro quadrado de zinco custa M reais, calcule o custo total da pec¸a. 35 36 2.3 Campos Vetoriais Campos Vetoriais Definic¸a˜o 16 (Campo Vetorial). Um campo vetorial em R2 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y) que a cada ponto (x,y) do plano associa um vetor ~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y))=P(x,y)~i + Q(x,y)~j ∈ R2. Geometricamente, podemos visualizar campos de vetores esboc¸ando vetores ~F (x,y) com origem em (x,y). Note que P(x,y) e´ a componente horizontal do campo, e Q(x,y) e´ a componente vertical do campo. Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y,z) que a cada ponto (x,y,z) do espac¸o associa um vetor ~F (x,y,z) = (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z))=P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k ∈ R3. Campos vetoriais sa˜o usados para descrever diversas grandezas vetoriais distribuı´das espacial- mente, como o campo de velocidades de um fluido em movimento, a direc¸a˜o e velocidade do vento ou das correntes marı´timas, forc¸as gravitacionais, campos ele´tricos ou magne´ticos, etc. Campos Gradientes Seja f (x,y) uma func¸a˜o com derivadas parciais contı´nuas. O gradiente de f (x,y) e´ um vetor, dado por ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y) . Portanto, a partir da func¸a˜o escalar f (x,y) podemos construir o campo vetorial ~F = ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) = ∂ f ∂x ~i + ∂ f ∂y ~j. Ele possui as seguintes propriedades: i) ~∇ f e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte. ii) ~∇ f aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y). iii) ∣∣∣~∇ f ∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f . Definic¸a˜o 17. Um campo ~F da forma ~F = ~∇ f e´ chamado campo gradiente, e a func¸a˜o f (x,y) e´ chamada func¸a˜o potencial do campo ~F . 37 Exemplos Exemplo 46. O vetor posic¸a˜o do ponto (x,y),~r = x~i+ y~j, e´ um campo radial. O comprimento de cada vetor aumenta a medida que nos afastamos da origem |~r|= √ x2+ y2 = r OBS: r e´ nu´mero (distaˆncia) e~r e´ vetor. Exemplo 47. O campo vetorial ~rr = x√ x2+y2 ~i+ y√ x2+y2 ~j, e´ um campo vetorial radial e unita´rio, apontando para fora da origem. OBS: todo campo vetorial ~F (x,y) que possa ser escrito como ~F (x,y) = λ(x,y,z)~r onde λ(x,y,z) e´ uma func¸a˜o escalar, e´ chamado campo radial. Exemplo 48. Considere o campo vetorial ~S (x,y) = −y~i+ x~j. Para esboc¸a´-lo, observe o produto escalar: ~r ·~S =−xy+ xy = 0 Portanto, ~S e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o~r em cada ponto. Assim, ~S gira em torno da origem, e∣∣∣~S∣∣∣= r. Exemplo 49. Se considerarmos ~Sr = − y√x2+y2~i+ x√ x2+y2 ~j, temos um campo unita´rio que gira em torno da origem. O campo ~Sr2 tambe´m gira em torno da origem, mas possui norma 1 r . Por isto, ~S, ~S r e ~S r2 sa˜o chamados campos spin. Exemplo 50. Esboce as curvas de nı´vel da func¸a˜o potencial f (x,y) = x2y−y3, calcule seu gradiente e esboce-o junto a`s curvas de nı´vel. Exemplo 51 (Forc¸as Gravitacionais). a) Na superfı´cie da terra, a forc¸a gravitacional aponta para baixo, e pode ser descrita pelo campo vertical: ~F =−mg~k Assim, ~F e´ o gradiente de f (x,y,z) =−mgz. Portanto, ~F e´ menos o gradiente da func¸a˜o P(x,y,z) = mgz, que e´ a energia potencial gravitacional. b) No espac¸o, a forc¸a gravitacional aponta para o centro da terra, e e´ descrita pelo campo radial ~F =−mMG r3 ~r. Sua magnitude e´ ∣∣∣~F∣∣∣ = mMGr2 , proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia. Verifique que ~F e´ o gradiente do potencial f (x,y,z) = mMGr = mMG√ x2+y2+z2 . 38 39 2.4 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais O vetor gradiente como derivada de um campo escalar Uma func¸a˜o f (x,y) pode ser vista como um campo escalar no plano xy. Por exemplo: altura, tempera- tura, intensidade de luz, densidade populacional, etc. O gradiente de f (x,y) e´ o vetor ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) . No caso de uma func¸a˜o de uma varia´vel, f = f (x), temos ~∇ f = ( d f dx ) , de modo que o vetor gradiente de f (x) e´ o vetor de uma dimensa˜o formado pela derivada f ′(x). Voltando a uma func¸a˜o de duas varia´veis f = f (x,y), podemos estender este fato e dizer que sua derivada “total” e´ o seu vetor gradiente, composto pelas suas derivadas parciais: f ′ = ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) . Esta generalizac¸a˜o na˜o e´ apenas um artifı´cio puramente notacional, pois e´ fortemente justificada por fatos geome´tricos. Para entender o porqueˆ, basta observar que todas as treˆs propriedades geome´tricas do vetor gradiente ~∇ f de uma func¸a˜o f (x,y) sa˜o tambe´m propriedades geome´tricas da derivada f ′(x) de uma func¸a˜o f (x) (fac¸a um esboc¸o gra´fico destes fatos para se convencer deles): i) ~∇ f (x,y) e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte, enquanto f ′(x) e´ “perpendicular” a` “curva de nı´vel” f (x) = cte. ii) ~∇ f (x,y) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y), enquanto f ′(x), vista como vetor no eixo-x, aponta na direc¸a˜o de crescimento de f (x). iii) ∣∣∣~∇ f (x,y)∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f , enquanto f ′(x) mede inclinac¸a˜o do gra´fico de f (x) e, portanto, e´ uma medida de qua˜o ra´pido f (x) esta´ mudando. Assim, nada mais natural do que considerar o gradiente ~∇ f como sendo a derivada da func¸a˜o f (x,y). O operador diferencial ~∇ e as derivadas de um campo vetorial ~F O gradiente de f (x,y), ~∇ f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) pode ser visto como o produto do ‘vetor’ ~∇= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) = ∂ ∂x ~i+ ∂ ∂y ~j pelo nu´mero escalar f (x,y): ~∇ f = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) f = ( ∂ f ∂x , ∂ f ∂y ) = ∂ f ∂x ~i+ ∂ f ∂y ~j. O ‘vetor’ ~∇ = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) = ∂∂x ~i+ ∂∂y ~j, chamado de ‘nabla’, na˜o e´ um vetor de nu´meros reais. Suas componentes ∂∂x e ∂ ∂y sa˜o operadores diferenciais, i.e´, representam operac¸o˜es que calculam derivadas. De acordo com o que vimos acima, o produto ~∇ f e´ a derivada ‘total’ de uma func¸a˜o escalar f (x,y) (vetor gradiente), de modo que podemos enxergar ~∇ como um operador diferencial, ou melhor, como o ‘operador derivada generalizado’. Utilizando esta ideia, podemos definir e calcular a derivada ‘total’ de um campo vetorial ~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) fazendo o produto entre os vetores ~∇ e ~F . Contudo, existem dois tipos de produtos entre vetores, de modo que um campo vetorial ~F ira´ possuir duas ‘derivadas’ diferentes. 40 Definic¸a˜o 18 (Divergente e Rotacional). O produto escalar ~∇ ·~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) · (P(x,y) ,Q(x,y)) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y e´ chamado divergente do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por div ~F . O produto vetorial ~∇×~F = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y ) × (P,Q) = ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂x ∂y 0 P Q 0 ∣∣∣∣∣∣= ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) ~k e´ chamado rotacional do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por rot ~F (observe que para calcularmos rot ~F , consideramos ~∇×~F como vetores em R3). Para campos em R3, estas definic¸o˜es sa˜o ana´logas. O divergente de um campo ~F = (P,Q,R) e´ div ~F = ~∇ ·~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) · (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z)) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z e o rotacional de ~F e´ rot ~F =~∇×~F= ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) ×(P,Q,R)= ∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ∂x ∂y ∂z P Q R ∣∣∣∣∣∣= ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z ) ~i+ ( ∂P ∂z − ∂R ∂x ) ~j+ ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) ~k Observac¸a˜o 19: Note que o divergente de um campo ~F e´ um nu´mero real, enquanto o rotacional de ~F e´ um vetor com a mesma dimensa˜o de ~F . Interpretac¸a˜o Fı´sica do Divergente e Rotacional Suponha que ~F representa o campo de velocidades de um fluido (um ga´s ou um lı´quido) escoando no plano ou espac¸o. Divergente O valor do divergente de ~F num ponto P0 do fluido representa a taxa de variac¸a˜o total da massa de fluido escoando do ponto, por unidade de a´rea (ou volume). Esta valor e´ chamado de densidade de fluxo no ponto P0. Assim, - div ~F(P0)> 0 significa que o fluido esta´ se expandindo em P0. - div ~F(P0)< 0 significa que o fluido esta´ se contraindo em P0. Se div ~F = 0 em todo ponto, dizemos que o fluido e´ incompressı´vel. A maioria dos lı´quidos, como a a´gua, por exemplo, sa˜o incompressı´veis. Rotacional O valor da componente~k do rotacional de ~F num ponto P0, dada por rot ~F(P0) ·~k = ∂Q∂x (P0)− ∂P ∂y (P0), representa o quanto uma partı´cula no fluido esta´ ‘girando’ em torno de P0, no sentido anti-hora´rio. Este valor e´ chamado de densidade de circulac¸a˜o. Assim, - rot ~F(P0) ·~k > 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido anti-hora´rio em P0. - rot ~F(P0) ·~k < 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido hora´rio em P0. Se rot ~F =~0 em todo ponto, enta˜o dizemos que o fluido e´ irrotacional. 41 Exemplos Exemplo 52. Calcule o divergente e o rotacional do campo ~F (x,y,z)=x2y~i+ y2z ~j+ z2x~k Exemplo 53. Calcule o divergente e o rotacional dos campos a) ~F (x,y)=cx~i+ cy ~j (expansa˜o se c > 0, e contrac¸a˜o se c < 0) b) ~F (x,y)=− cy~i+ cx ~j (rotac¸a˜ouniforme) c) ~F (x,y)=y~i (cisalhamento) d) ~F (x,y)=− y√ x2+y2 ~i+ x√ x2+y2 ~j (redemoinho) 42 43 2.5 Integrais de Linha de Campos Vetoriais Calculando o trabalho ao longo de uma curva Suponha que uma forc¸a ~F (x,y,z) move uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C parame- trizada por ~r (t), t ∈ [a,b]. Queremos calcular trabalho de ~F ao longo de C. Para isto, fazemos o seguinte: - Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an . - Os pontos ti = a+ i∆x, i = 0, . . . ,n, determinam pontos Pi =~r(ti) em C. - A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi. - O deslocamento em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆~ri =~r (ti)−~r (ti−1) =~r′ (t∗i )∆t, para algum t∗i ∈ [ti−1, ti]. - O trabalho de ~F em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆wi = ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t. - Assim, o trabalho total e´ aproximadamente W ≈ n ∑ i=1 ∆wi = n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t. - Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o valor exato do trabalho de ~F ao longo C: W= ∫ C ~F · ~dr= ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt. Integrais de Linha de Campos Vetoriais Definic¸a˜o 20 (Integral de Linha de Campo Vetorial). Sejam C uma curva suave por partes com parametrizac¸a˜o ~r (t), t ∈ [a,b], e ~F um campo vetorial contı´nuo numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de ~F sobre C e´ definida como sendo o limite ∫ C ~F · ~dr = lim n→∞ n ∑ i=1 ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t , e calculada da seguinte maneira: ∫ C ~F · ~dr = ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt. Dizemos que ~dr =~r ′ (t)dt e´ o elemento de deslocamento. Diferentes notac¸o˜es Notac¸a˜o Diferencial Em R2, quando ~F = ~F (x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) e C e´ uma curva plana, pode- mos escrever ~dr =~r′(t)dt = (x′(t),y′(t))dt = (dx,dy) e daı´ ∫ C ~F · ~dr = ∫ b a ~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt = ∫ b a P(~r (t))x′ (t)dt+Q(~r (t))y′ (t)dt, ou seja, podemos escrever ∫ C ~F · ~dr = ∫ C Pdx+Qdy. (2.1) Esta notac¸a˜o sera´ frequentemente utilizada, especialmente no Teorema de Green. 44 Notac¸a˜o Componente Tangente Uma outra importante notac¸a˜o e´ a seguinte. Denotando por ~T (t) o vetor unita´rio tangente a` curva C, apontando na direc¸a˜o do movimento, temos ~T (t) = ~r′ (t) |~r′ (t) | . Lembrando que ds = ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt, podemos escrever ~dr =~r ′ (t)dt = ~r′ (t) |~r′ (t) | ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ~T (t)ds. Portanto, podemos escrever tambe´m ∫ C ~F · ~dr = ∫ C ~F ·~T ds (2.2) Resumindo A integral de linha ∫ C ~F · ~dr possui as seguintes notac¸o˜es:∫ C ~F · ~dr= ∫ C Pdx+Qdy = ∫ C ~F ·~T ds. Aplicac¸o˜es e Propriedades A integral de linha do campo ~F sobre C, ∫ C ~F · ~dr, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades: i) Se ~F representa um campo de forc¸as e C e´ a trajeto´ria de uma partı´cula movimentada por ~F , enta˜o ∫ C ~F · ~dr e´ o trabalho realizado por ~F . ii) Se~v representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano ou no espac¸o, enta˜o∫ C ~v ·~T ds e´ chamada de escoamento do fluido ao longo da curva C. Note que ~v ·~T representa a compo- nente da velocidade do fluido que e´ tangente a` curva C. Assim, esta integral mede o quando o fluido escoa na direc¸a˜o de C. Quando C e´ uma curva fechada, o escoamento e´ tambe´m chamado de circulac¸a˜o de~v ao longo de C. iii) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja, C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫ C ~F · ~dr = ∫ C1 ~F · ~dr+ · · ·+ ∫ Cn ~F · ~dr. iv) Se C e´ percorrida num dado sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio, enta˜o ∫ C ~F · ~dr =− ∫ −C ~F · ~dr. Curvas Fechadas Definic¸a˜o 21 (Curva fechada). Dizemos que uma curva parametrizada C e´ uma curva fechada se o seu ponto inicial e´ igual ao seu ponto final. A integral de linha de um campo ~F ao longo de uma curva fechada C tem a seguinte notac¸a˜o especial: ∫ C ~F · ~dr = ∮ C ~F · ~dr. 45 Exemplos Exemplo 54. Calcule ∫ C ~F · ~dr, onde ~F = (z,xy,−y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t)= (t2, t,√t), 0≤ t ≤ 1. (R=17/20) Exemplo 55. Calcule ∫ C ( y− x2)dx+(z−y2)dy+ (x− z2)dz,onde C e a curva parametrizada por~r (t)=( t, t2, t3 ) , 0≤ t ≤ 1. (R = 29/60). Exemplo 56. Um homem de 80kg sobe uma escada helicoidal que circunda um silo, carregando uma lata de tinta de 25 kg. Se o silo possui 20 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e se a escada faz treˆs voltas completas ao longo da subida ate´ o topo, qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a ac¸a˜o da gravidade? (considere g = 10m/s2). 46 47 48 Capı´tulo 3 Ca´lculo Vetorial em R2 49 3.1 Teorema de Green O Teorema de Green e´ uma importantı´ssima ferramenta do Ca´lculo Vetorial. Podemos utiliza´-lo para transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples. Ale´m disso, mais adiante veremos que ele tambe´m possui implicac¸o˜es teo´ricas importantes. Definic¸a˜o 22 (Curva fechada simples). Dizemos que uma curva fechada e´ simples, se ela na˜o possuir auto-intersec¸o˜es, exceto a do ponto inicial com o final. Teorema 23 (Teorema de Green). Sejam C uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, e D a regia˜o cercada por C. Se o campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) possui derivadas parciais contı´nuas em D, enta˜o ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∮ C Pdx+Qdy. A´rea como Integral de Linha Seja C uma curva nas hipo´teses do Teorema de Green. Se encontrarmos um campo ~F = (P,Q) tal que ∂Q ∂x − ∂P∂y = 1, teremos, pelo Teorema de Green, que∮ C Pdx+Qdy = ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∫∫ D 1dA = A´rea(D) . (3.1) Ou seja, a a´rea de D sera´ dada por uma integral de linha ao longo de sua fronteira C. Existem va´rias possibilidades para F satisfazendo a condic¸a˜o acima. Os exemplos mais comuns sa˜o: P = 0, Q = x; P =−y,Q = 0; P =−1 2 y, Q = 1 2 x Portanto, aplicando o resultado dado em (3.1), temos A´rea(D) = ∮ C xdy = ∮ C −ydx = 1 2 ∮ C −ydx+ xdy. Versa˜o estendida do Teorema de Green - Regio˜es com furos Seja D a regia˜o compreendida entre duas curvas fechadas simples, suaves por partes, C1 e C2, sendo C2 a curva de dentro, e C1 a de fora. Diremos que a fronteira de D e´ a curva C = C1 ∪C2, onde a orientac¸a˜o de C1e´ no sentido anti-hora´rio, e a orientac¸a˜o de C2 e´ no sentido hora´rio, de modo que D estara´ sempre a` esquerda ao caminharmos em ambas as curvas nestas orientac¸o˜es. Nestas condic¸o˜es, vale tambe´m uma versa˜o estendida do Teorema de Green, entendendo que ∮ C= ∮ C1 + ∮ C2 :∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∮ C Pdx+Qdy = ∮ C1 Pdx+Qdy+ ∮ C2 Pdx+Qdy. 50 Exemplos Exemplo 57. Utilizando o Teorema de Green, calcule:∮ C ( x4− y3)dx+(x3+ y5)dy onde C e´ parametrizada por~r (t) = (cos t ,sint ) , t ∈ [0,2p]. Exemplo 58. Utilizando o Teorema de Green, calcule:∮ C ( 3y+ ex2cosx ) dx+ (√ y2+8−2x ) dy onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0,0) ,(1,0) ,(1,1) . Exemplo 59. Verifique que a´rea de uma elipse de semi-eixos a e b e´ piab. Exemplo 60. Considere o campo ~F= ( −y x2+y2 , x x2+y2 ) . Verifique que, para toda curva suave fechada simples por partes, envolvendo a origem, temos∮ C ~F · ~dr = 2pi (utilize o Teorema de Green na sua versa˜o estendida). 51 52 3.2 Teorema Fundamental das Integrais de Linha Relembremos o Teorema Fundamental do Ca´lculo: Teorema 24 (Teorema Fundamental do Ca´lculo). Se f ′ (x) e´ contı´nua em [a,b], enta˜o ∫ b a f ′ (x)dx = f (b)− f (a). Este teorema relaciona as operac¸o˜es de derivac¸a˜o e integrac¸a˜o para func¸o˜es f (x) de uma varia´vel. A seguir,veremos um teorema que estabelece uma relac¸a˜o ana´loga para func¸o˜es de va´rias varia´veis, como f (x,y) ou f (x,y,z). Para entendeˆ-lo melhor, lembre que o gradiente ~∇ f de um campo escalar (func¸a˜o) f va´rias varia´veis pode ser concebido como a derivada de f . Teorema 25 (Teorema Fundamental das Integrais de Linha). Se C e´ uma curva suave por partes, com ponto inicial A e ponto final B, e se as derivadas parciais de f sa˜o contı´nuas em uma rega˜o D contendo C, enta˜o∫ C ~∇ f · ~dr = f (B)− f (A). Compare e veja as analogias entre estes dois teoremas fundamentais. Campos conservativos Definic¸a˜o 26 (Campo Conservativo). Um campo gradiente tambe´m e´ chamado de campo conservativo. Ou seja, um campo vetorial ~F e´ conservativo se existir uma func¸a˜o f tal que ~F = ~∇ f , enta˜o ~F . Neste caso dizemos que f e´ uma func¸a˜o potencial do campo ~F . Observac¸a˜o 27 (Condic¸a˜o Necessa´ria para ser Conservativo): Verifique que rot(~∇ f ) =~0. Assim, se ~F e´ um campo conservativo, enta˜o ~F e´ irrotacional (possui rotacional nulo). Deste modo, temos uma condic¸a˜o alge´brica fa´cil de ser verificada, para saber se um campo ~F pode ou na˜o ser conservativo: se rot ( ~F ) =~0, enta˜o ~F pode ser conservativo. Para concluir que de fato ele e´ conservativo, devemos encontrar uma func¸a˜o potencial f para ele, o que significa, quando ~F = (P,Q,R), resolver as equac¸o˜es fx = P, fy = Q, fz = R. O pro´ximo Teorema explica o porqueˆ do uso da palavra conservativo para um campo gradiente. Teorema 28 (Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica). Considere um campo de forc¸as contı´nuo ~F movendo uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C. Enta˜o, o trabalho realizado por ~F e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica da partı´cula, i.e´., W = K (B)−K(A), onde A e B sa˜o os pontos inicial e final de C e K(X) representa a energia cine´tica no ponto X . Ainda, se o campo ~F for conservativo, isto e´, se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o potencial f , enta˜o, denotando por P = − f a energia potencial, temos que a energia mecaˆnica total e´ conservada ao longo do movimento: K (A)+P(A) = K (B)+P(B) 53 Exemplos Exemplo 61. Um homem de 80kg sobe uma escada helicoidal que circunda um silo, carregando uma lata de tinta de 25 kg. Se o silo possui 20 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e se a escada faz treˆs voltas completas ao longo da subida ate´ o topo, qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a ac¸a˜o da gravidade? (considere g = 10m/s2). Mostre que, qualquer que seja o caminho do homem do cha˜o ate´ o topo do silo, o trabalho e´ sempre o mesmo. Exemplo 62. Calcule ∫ C ~F · ~dr, onde ~F = (3+2xy,x2−3y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t) = (e−tsin t ,e−tcos t ) , 0≤ t ≤ 8p. Exemplo 63. O campo ~F = ( y2,2xy+ e3z,3ye3z ) e´ conservativo? 54 55 3.3 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos Veremos agora algumas propriedades que os campos conservativos possuem. Estas propriedades tambe´m caracterizam estes campos, ou seja, se um campo possui uma delas, enta˜o, necessariamente, ele e´ conservativo. Em particular, veremos que a propriedade de possuir rotacional nulo caracteriza um campo como sendo conservativo, se certas hipo´teses adicionais forem satisfeitas. Para enunciar o Teorema de Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos, precisamos das seguintes definic¸o˜es. Definic¸a˜o 29 (Aberto, conexo por caminhos, simplesmente conexo). i) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ aberto se, para todo ponto P em D e´ possı´vel obter um disco ou uma bola contendo P, e inteiramente contido em D. Ou seja, D e´ aberto se na˜o conteˆm nenhum ponto de sua fronteira. ii) Um conjunto D emR2 ouR3 e´ conexo por caminhos se, quaisquer dois pontos P e Q em D podem ser unidos por um caminho inteiramente contido em D. iii) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ simplesmente conexo se ele for conexo por caminhos e, ale´m disso, se qualquer curva fechada simples contida D envolver, em seu interior, apenas pontos de D. Ou seja, uma regia˜o simplesmente conexa na˜o possui ‘buracos’. Teorema 30 (Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos). Sejam D uma regia˜o aberta, conexa por caminhos, contida em R2 ou R3, e ~F um campo vetorial contı´nuo em D. i) Independeˆncia do Caminho. O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, a integral∫ C ~F · ~dr e´ independente do caminho, isto e´, fixados dois pontos A e B, esta integral possui o mesmo valor para qualquer curva C suave por partes contida em D, ligando A e B. ii) Integral em Caminhos fechados. O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, para qualquer curva fechada C, suave por partes, contida em D, tivermos ∮ C ~F · ~dr = 0. iii) Rotacional nulo. Se ~F e´ conservativo, enta˜o o rotacional de ~F e´ nulo, i.e´, ~∇×~F=~0. Sob as condic¸o˜es adicionais de D ser uma regia˜o simplesmente conexa e de as derivadas parciais de ~F serem contı´nuas em D, vale a volta desta implicac¸a˜o, ou seja, “se ~∇×~F =~0 em D, enta˜o ~F e´ um campo conservativo”. Observac¸a˜o 31: a) Se ~F = (P,Q) e´ um campo em R2, a condic¸a˜o iii) equivale a ∂Q∂x = ∂P ∂y . b) Usaremos muito a sua contrapositiva da propriedade iii): “se ~∇×~F 6=~0 enta˜o ~F na˜o e´ um campo conservativo”. 56 Exemplos Exemplo 64. Considere o campo ~F = ( −y x2+y2 , x x2+y2 ) . a) Verifique que rot ~F =~0. b) Verifique que ~F na˜o e´ conservativo. Para isto, calcule diretamente a integral de linha∮ C ~F · ~dr onde C e´ o cı´rculo x2+ y2 = a2. c) Explique porque os itens a) e b) na˜o se contradizem. Exemplo 65. Para que valores de b e c o campo ~F = ( y2+2czx ) ~i+ y(bx+ cz)~j+ ( y2+ cx ) ~k e´ conservativo? Exemplo 66. Mostre que o trabalho feito por um campo de forc¸as constante ~F = a~i+b~j+ c~k para mover uma partı´cula ao longo de qualquer caminho ligando os pontos A e B e´ dado por W = ~F · ~AB 57 58 3.4 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano Sejam C uma curva fechada simples, orientada no sentido anti-hora´rio, e D a regia˜o delimitada por ela. Suponha que~v(x,y) descreve o campo de velocidades de um fluido escoando em R2 e que ρ(x,y) e´ a densidade (massa/a´rea) do fluido no ponto (x,y). Queremos calcular a quantidade (massa) de fluido que sai de D, ou seja, que passa atrave´s da curva C, ao longo do tempo. Para isto, fixe um ponto P na curva, e considere os seguintes elementos: - ds: elemento de comprimento de arco em torno de P - ~n : vetor unita´rio normal a` curva C no ponto P, apontando para fora de D - dt : intervalo de tempo muito pequeno - dl: distaˆncia percorrida pelas partı´culas do fluido, a partir do ponto P, durante o intervalo dt, na direc¸a˜o do vetor ~n - dA: a´rea de fluido que passa atrave´s de C em ds durante o intervalo dt - dm : massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt Temos o seguinte. Apo´s um tempo dt, as partı´culas que estavam em P, va˜o sofrer um deslocamento ~vdt. Deste deslocamento, a componente na direc¸a˜o~n e´ dl =~v ·~n dt Assim, a a´rea de fluido que efetivamente sai de D, atravessando C em ds durante o intervalo dt e´ dA = dl ds =~v ·~n dt ds Portanto, a massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt e´ dm = ρ dA = ρ~v ·~n dt ds Somando, para cada ponto da curva, essas massas que atravessam a curva C, temos massa total dM que atravessa a curva C durante o intervalo dt: dM = ∮ C dm = ∮ C ρ~v ·~n dt ds Logo, a taxa de escoamento, ou vaza˜o, ou fluxo, do fluido passando atrave´s da curva C em cada instante de tempo (em unidades de massa/tempo) e´ dM dt = ∮ C ρ~v ·~n ds Compare as unidades do lado direito para confirmar que dM/dt realmente possui unidades de massa/tempo. O fluxo de um campo vetorial atrave´s de uma curva fechada. A deduc¸a˜o acima motiva a seguinte definic¸a˜o: Definic¸a˜o 32 (O fluxo de um campo atrave´s de umacurva). Sejam C uma curva fechada simples, suave por partes, e D a regia˜o delimitada por ela. O fluxo do campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) atrave´s da curva C e´ definido como sendo a integral de linha: ∮ C ~F ·~n ds onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D. 59 Notac¸o˜es para o vetor normal e para o fluxo No contexto acima, seja r (t) = (x(t) ,y(t)) uma parametrizac¸a˜o de C. Queremos agora obter uma expressa˜o para o vetor normal unita´rio exterior ~n e, com isto, calcular o fluxo de ~F atrave´s de C. O vetor unita´rio tangente a C e´ dado por ~T = ~r′ |~r′| = (x′,y′)√ x′2+ y′2 E´ fa´cil ver que os vetores ~n+ = (y′,−x′)√ x′2+ y′2 e ~n− =− (y ′,−x′)√ x′2+ y′2 sa˜o unita´rios e sa˜o ortogonais a ~T , pois~n+ ·~T = 0=~n− ·~T . Assim, o vetor normal exterior~n procurado sera´ ou ~n+ ou ~n−. Fazendo um desenho da curva C e de ~T em um ponto onde x′ > 0 e y′ > 0, concluı´mos que~n e´ dado por~n+, ou seja, ~n(t) = (y′ (t) ,−x′ (t))√ x′(t)2+ y′ (t)2 . Utilizando este fato, vamos obter uma expressa˜o simplificada para~nds, que facilite o ca´lculo do fluxo∫ C ~F ·~nds. Lembrando que o elemento de comprimento de arco e´ ds = ∣∣~r′ (t)∣∣dt =√x′(t)2+ y′ (t)2dt podemos escrever ~n ds = (y′ (t) ,−x′ (t))√ x′(t)2+ y′ (t)2 √ x′(t)2+ y′ (t)2dt = ( y′ (t) ,−x′ (t))dt ou seja, ~n ds = (dy,−dx) . (3.2) (compare com ~T ds = ~dr = (dx,dy)). Ainda, lembrando que o elemento de deslocamento e´ ~dr = (dx,dy), podemos definir o elemento de deslocamento ortogonal, ~dr ⊥ = (dy,−dx) para simbolizar o vetor ortogonal a ~dr de mesmo comprimento que ~dr, de modo que tambe´m temos ~n ds = ~dr ⊥ . (3.3) Com as notac¸o˜es (3.2) e (3.3) acima para a expressa˜o ~nds, podemos escrever a integral de linha que representa o fluxo de ~F = (P,Q) atrave´s de C de duas maneiras:∮ C ~F ·~n ds = ∮ C ~F · ~dr⊥, ou ∮ C ~F ·~n ds = ∮ C Pdy−Qdx. A primeira notac¸a˜o enfatiza que o fluxo de ~F atrave´s de C e´ dado pela soma das componentes de ~F normais a C em cada ponto. A segunda notac¸a˜o nos da´ a maneira mais pra´tica e ra´pida de calcular o fluxo. 60 Exemplos 61 62 3.5 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano No que segue abaixo, assumiremos va´lidas todas as hipo´teses do Teorema de Green, isto e´: C e´ uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, D e´ a regia˜o cercada por C, e ~F = (P(x,y) ,Q(x,y)) e´ um campo que possui derivadas parciais contı´nuas em D. Ale´m disso,~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D. Neste contexto, relembremos que o Teorema de Green nos diz que∮ C Pdx+Qdy = ∫∫ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA. Veremos a seguir os importantes Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano, que nada mais sa˜o do que verso˜es vetoriais do Teorema de Green. Circulac¸a˜o e o Teorema de Stokes no Plano Se ~F representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano, a integral de linha∮ C ~F ·~T ds = ∮ C ~F · ~dr = ∮ C Pdx+Qdy representa a circulac¸a˜o de ~F ao longo de C, uma medida de quanto o campo escoa ou circula ao longo da curva, no sentido anti-hora´rio. Lembrando que ∂Q ∂x − ∂P ∂y = ( rot ~F ) ·~k podemos aplicar o Teorema de Green a integral de circulac¸a˜o de ~F , relacionando-a a uma integral dupla, obtendo o seguinte: Circulac¸a˜o de ~F = ∮ C ~F ·~T ds = ∮ C Pdx+Qdy = ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA = ∫∫ D ( rot ~F ) ·~k dA. Esta igualdade e´ conhecida como Teorema de Stokes no Plano. Teorema 33 (Stokes no Plano). Nas hipo´teses do Teorema de Green, temos que∫∫ D ( rot ~F ) ·~k dA = ∮ C ~F ·~T ds. Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Stokes no Plano 63 Fluxo e o Teorema da Divergeˆncia no Plano Por outro lado, vimos tambe´m que o fluxo do campo ~F atrave´s de C e´ dado pela integral de linha∮ C ~F ·~n ds = ∮ C Pdy−Qdx. Da mesma forma que acima, podemos aplicar o Teorema de Greena a esta integral e obter outro resultado interessantı´ssimo e muito importante: Fluxo de ~F = ∮ C ~F ·~n ds = ∮ C Pdy−Qdx = ∮ C (−Q)dx+Pdy = ∫∫ D ( ∂ ∂x (P)− ∂ ∂y (−Q) ) dA = ∫∫ D ( ∂P ∂x + ∂Q ∂y ) dA = ∫∫ D div ~F dA. Este resultado e´ conhecido como Teorema da Divergeˆncia no Plano, ou Teorema de Gauss no plano, e enunciamo-lo a seguir para maior clareza. Teorema 34 (Divergeˆncia no Plano). Nas hipo´teses do Teorema de Green, temos que∫∫ D div ~F dA = ∮ C ~F ·~n ds onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D. Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Divergeˆncia no Plano No contexto onde ~v(x,y) e´ o campo de velocidades de um fluido escoando no plano e ρ(x,y) e´ a densidade do fluido, vimos que a massa de fluido que sai de D atrave´s de C, por unidade de tempo, e´ o fluxo do campo ρ~v, isto e´: dM dt = ∮ C ρ~v ·~n ds Aplicando o Teorema da Divergeˆncia, temos que dM dt = ∮ C ρ~v ·~n ds = ∫∫ D div (ρ~v) dA ou seja, a quantidade de fluido que sai de D atrave´s de sua fronteira C e´ o resultado da soma de todas as divergeˆncias div (ρ(x,y)~v(x,y)) em cada ponto (x,y) do interior de D. Assim, temos uma lei de balanc¸o, ou, lei de conservac¸a˜o: fluxo atrave´s de C (o que sai menos o que entra) = variac¸a˜o no interior (fontes menos sumidouros) Comparac¸a˜o dos Teoremas Fundamentais Note as semelhanc¸as que os dois teoremas acima possuem com o Teorema Fundamental do Ca´lculo, onde uma integrac¸a˜o se cancela com uma derivac¸a˜o. Teorema de Stokes no Plano - Versa˜o vetorial tangencial do Teorema de Green:∫∫ D ( ~∇×~F ) ·~k dA = ∮ C ~F ·~T ds = ∮ C ~F · ~dr Teorema da Divergeˆncia no Plano - Versa˜o vetorial normal do Teorema de Green:∫∫ D ~∇ ·~F dA = ∮ C ~F ·~n ds = ∮ C ~F · ~dr⊥ 64 Exemplos Exemplo 67. Calcule a circulac¸a˜o e o fluxo dos campos ~F = (x,y) e ~G = (−y,x) ao longo do cı´rculo x2+ y2 = 1. Exemplo 68. Calcule diretamente o fluxo do campo vetorial ~v = ( x x2+y2 , y x2+y2 ) atrave´s do circulo x2+ y2 = a2. Depois, tente aplicar o Teorema da Divergeˆncia. Porque na˜o e´ possı´vel aplica´-lo? Se~v representa a velocidade de um fluido, como explicar o fluxo ser positivo, se div~v =~0? 65 66 Capı´tulo 4 Ca´lculo Vetorial em R3 67 4.1 Superfı´cies Parametrizadas Relembrando a ideia de curvas parametrizadas Lembre-se que uma curva no espac¸o, R3, e´ representada, ou parametrizada, por uma func¸a˜o vetorial ~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) , t ∈ [a,b]. Assim, podemos imaginar que~r(t) e´ uma func¸a˜o que transforma o intervalo unidimensional, retilı´neo, [a,b], na curva espacial unidimensional C = {~r(t) | t ∈ [a,b]}. Temos um paraˆmetro livre, t, e por isso o domı´nio [a,b] e a imagem C possuem dimensa˜o um. A ideia para descrever superfı´cies no espac¸o sera´ esta mesma ideia, so´ que com dois paraˆmetros livres, para obtermos objetos de dimensa˜o dois, de modo que uma superfı´cie e´ um plano curvado. Extendendo para dimensa˜o dois: o conceito de superfı´cie parametrizada Definic¸a˜o 35 (Superfı´cie Parametrizada). Dizemos que uma superfı´cie S contida no espac¸o R3 esta´ parametrizada, ou representada, pela parametrizac¸a˜o ~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D, D⊂ R2, se S for a imagem de~r(u,v), ou seja, se S = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y,z) =~r(u,v), (u,v) ∈ D}. Neste caso, dizemos que as equac¸o˜es parame´tricas de S sa˜o x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v) , (u,v) ∈ D. Note que o domı´nio D da parametrizac¸a˜o e´ um subconjunto de R2, e portanto, e´ um pedac¸o de plano, possuindo dimensa˜o dois. Este pedac¸o D e´ transformado por ~r(u,v) na superfı´cie S, que possui, portanto, dimensa˜o dois. Os dois paraˆmetros livres aqui sa˜o ue v. Note tambe´m que as equac¸o˜es u = u0 = cte e v = v0 = cte, para va´rios valores de u0 e v0, definem, respectivamente, retas verticais e horizontais contidas no domı´nio D. Estas retas sa˜o levadas, pela parametrizac¸a˜o~r(u,v), nas chamadas curvas de grade da superfı´cie S, dadas pelas equac¸o˜es ~r(u0,v), (u0,v) ∈ D e ~r(u,v0), (u,v0) ∈ D. Assim, a superfı´cie S pode ser vista tambe´m como a unia˜o de um feixe de curvas de grade~r(u0,v), ou ~r(u,v0). Agora, considere um ponto P0 =~r(u0,v0) contido em S, e as curvas de grade passando por P0. Os vetores tangentes a estas curvas de grade, no ponto P0, sa˜o dados por ~ru(u0,v0) e ~rv(u0,v0). Como as curvas esta˜o contidas em S, segue que estes dois vetores sa˜o tangentes a superfı´cie S em P0, de modo que eles geram o plano tangente a S no ponto P0. Definiremos o vetor normal a superfı´cie S no ponto P0 como sendo o vetor normal ao plano tangente a S em P0, que e´ dado por qualquer mu´ltiplo do produto vetorial ~ru(u0,v0)×~rv(u0,v0). 68 Caso particular de superfı´cie parametrizada: gra´ficos de func¸a˜o Um caso particular que ocorre frequentemente e´ quando a superfı´cie S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis. Neste caso, podemos ja´ deduzir as fo´rmulas gerais para a parametrizac¸a˜o e vetor normal, e aplica´-las diretamente. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o: x = x y = y z = g(x,y) (x,y) ∈ D , ~rx×~ry = (−gx,−gy,1). Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z), com (x,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o: x = x y = g(x,z) z = z (x,z) ∈ D , ~rx×~rz = (−gx,1,−gz). Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o x = g(y,z), com (y,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o: x = g(y,z) y = y z = z (y,z) ∈ D , ~ry×~rz = (1,−gy,−gz). 69 Exemplos Exemplo 69. a) Identifique e esboce a superfı´cie parametrizada por ~r(u,v) = (2cosu,v,2sinu) e identifique as curvas de grade u = cte e v = cte. b) Desenhe a superfı´cie se restringirmos (u,v) ao domı´nio D = [0,pi/2]× [0,3]. c) Encontre o vetor normal~ru×~rv num ponto qualquer. Exemplo 70. Encontre uma representac¸a˜o parame´trica para a esfera x2+y2+z2 = a2, determine suas curvas de grade, e o vetor normal num ponto qualquer. . Exemplo 71. (a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano contido em R3, passando por um ponto P, e paralelo aos vetores ~A e ~B. (b) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a uma superfı´cie S, num ponto P0 =~r(u0,v0)∈ S. (c) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a esfera do Exemplo 70, no ponto P0 qualquer e, depois, analise os casos em que P0 esta´ no equador, ou nos po´los sul/norte. Exemplo 72. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o paraboloide z = x2+2y2, 0≤ z≤ 1, e o seu vetor normal num ponto qualquer. Exemplo 73. Parametrize o cone x2 = y2 + z2, 0 ≤ x ≤ 3, de duas maneiras diferentes: utilizando a ideia de coordenadas polares, e depois, como gra´fico de func¸a˜o. Em ambos os casos, calcule o vetor normal num ponto qualquer, e no ponto (3,0,3). 70 71 4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares Seja S uma superfı´cie parametrizada com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D. Queremos calcular a a´rea desta superfı´cie. Para isto, fazemos o seguinte: - Dividimos o plano R2 que conteˆm a regia˜o D em retaˆngulos pequenos, todos com base ∆u e altura ∆v e, portanto, com a´rea ∆A = ∆u∆v. - Chamemos de n a quantidade destes retaˆngulos que esta˜o contidos na regia˜o D. Podemos enumera´- los numa ordem qualquer e chama´-los de Ri, i = 1, ...,n. - Cada retaˆngulo Ri em D e´ levado pela parametrizac¸a˜o num pedac¸o Si da superfı´cie S. Embora os Ri’s tenham todos a mesma a´rea ∆u∆v, cada Si pode possuir uma a´rea diferente, que denotaremos por ∆Si. Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente A(S)≈ n ∑ i=1 ∆Si. - E´ possı´vel mostrar que a a´rea de cada Si e´ aproximadamente ∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v, onde (ui,vi) e´ um ponto do retaˆngulo Ri em D. - Ou seja, ao transformar um retaˆngulo Ri de a´rea ∆u∆v em um pedac¸o de superfı´cie Si, a parametrizac¸a˜o multiplica a a´rea deste retaˆngulo por um fator ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||, que depende de cada retaˆngulo. - Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente A(S)≈ n ∑ i=1 ∆Si ≈ n ∑ i=1 ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v. - No limite, quando ∆u,∆v→ 0, a a´rea e´ exata. Cada retaˆngulo Ri tende a um u´nico ponto (u,v) ∈D, e temos uma soma contı´nua ao longo de todos os pontos (u,v) de D. Portanto, a a´rea e´ a integral A(S) = ∫∫ S dS = ∫∫ D ||~ru(u,v)×~rv(u,v)|| du dv. Definic¸a˜o 36 (A´rea de Superfı´cie). A a´rea de uma superfı´cie parametrizada S, com parametrizac¸a˜o ~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D, e´ dada pela integral A(S) = ∫∫ S dS = ∫∫ D ||~ru×~rv||dudv, onde dS = ||~ru×~rv||dudv e´ chamado de elemento de a´rea de superfı´cie. Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o esco- lhida, o valor da integral sera´ o mesmo. 72 Massa como uma integral de superfı´cie No contexto acima, suponha que S representa uma placa fina de metal, na˜o necessariamente plana. Suponha que a densidade (superficial) em cada ponto (x,y,z) desta chapa possa ser descrita por uma func¸a˜o contı´nua ρ(x,y,z). Enta˜o, conforme o procedimento, S pode ser dividida em pedac¸os Si de a´rea ∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v, Como a densidade ρ(x,y,z) e´ contı´nua, e como cada pedac¸o Si e´ muito pequeno, podemos supor que em cada um destes pedac¸os, ρ(x,y,z) e´ aproximadamente constante, igual a ρ(xi,yi,zi), onde (xi,yi,zi) =~r(ui,vi) e´ a imagem do ponto (ui,vi) pela parametrizac¸a˜o. Assim, a massa de cada pedac¸o Si e´ aproximadamente mi ≈ ρ(xi,yi,zi)∆Si, de modo que a massa total da chapa e´ aproximada por m≈ n ∑ i=1 mi ≈ n ∑ i=1 ρ(xi,yi,zi)∆Si. Utilizando as expresso˜es para ∆Si e (xi,yi,zi) em termos da parametrizac¸a˜o, obtemos m≈ n ∑ i=1 ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v. Fazendo ∆u,∆v→ 0, temos a massa exata, e a soma se torna contı´nua. Ou seja, a massa e´: m = ∫∫ S ρ(x,y,z)dS = ∫∫ D ρ(~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv. Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar Motivados pela construc¸a˜o acima, podemos definir a integral de superfı´cie de uma func¸a˜o (campo escalar) f (x,y,z). Definic¸a˜o 37 (Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar). Sejam S uma superfı´cie parametrizada, com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D, e f (x,y,z) uma func¸a˜o contı´nua definida em alguma regia˜o E ⊂ R3 contendo S. A integral de f (x,y,z) sobre S e´ definida como sendo o limite∫∫ S f (x,y,z)dS = lim ∆u,∆v→0 n ∑ i=1 ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v. e calculada da seguinte maneira:∫∫ S f (x,y,z)dS = ∫∫ D f (~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv. Aplicac¸o˜es e Propriedades i) Esta integral tambe´m e´ chamada integral de superfı´cie de 1a espe´cie. ii) Quando f (x,y,z) = 1 o valor desta integral representa a a´rea de S. iii) Quando S representa uma chapa e f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto da chapa, o valor desta integral representa a massa da chapa. iv) Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o escolhida, o valor da integral sera´ o mesmo. 73 Caso particular: gra´ficos de func¸a˜o No caso particular onde S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis, ja´ sabemos as fo´rmulas para a parametrizac¸a˜o e vetor normal, de modo que a fo´rmula para o elemento de a´rea e´ imediata. Temos: i. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, o elemento de a´rea de superfı´cie e´ dS = ||~rx×~ry|| dx dy = √ g2x +g2y +1 dx dy , e a integral de superfı´cie de f sobre S e´∫∫ s f (x,y,z)dS = ∫∫ s f (x,y,g(x,y))
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