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�������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%�� � INTRODUÇÃO À LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 7. Escalas É um importante elemento presente nos mapas. 7.1. Definição A escala, em cartografia, é a relação entre a dimensão representada graficamente e a dimensão real. É dada por: E = d / D, onde d = é a dimensão gráfica e D = dimensão real Constitui-se em um dos elementos essenciais de um mapa, juntamente com a orientação, a legenda (convenções cartográficas) e a fonte. 7.2. Escala Numérica 1:50.000 ou 1/50.000 ► lê-se 1 cm no mapa equivale 50.000cm na realidade. A realidade foi reduzida em 50.000 vezes. Os valores são em “cm” 1:50.000 – mais usual nas representações. 7.3. Escala Gráfica É a representação em forma de gráfico de uma escala numérica. É de grande utilidade para acompanhar a representação em ampliações ou reduções. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%&� � Fig. 6 – Modelos de Escalas Gráficas. Os valores da Escala gráfica aparecem quase sempre em “m” ou “Km”. 7.4. Escalas usuais em Topografia Aplicação Escala Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 e 1:1000 Planta de propriedades rurais 1:1000, 1:2000 e 1:5000 Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais 1:5000, 1:10000 e 1:25000 Exercícios a. Em um mapa cuja escala é 1:2.500.000, duas cidades estão separadas, em linha reta, por 5cm. A distância real (no terreno) entre essas duas cidades é de? Resp. D = 125Km �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%'� � b. Um muro de 28,5m esta representado num desenho na escala 1:75. Qual o comprimento do muro no desenho? Resp. d = 38cm c. Em um mapa de uma cidade pequena, destaca-se a presença de uma rodovia, cuja extensão é de 15Km. No mapa sua medida é de 10cm. Qual a escala do mapa? Resp. E = 1:150.000cm d. Numa planta em 1:50, o alinhamento de um terreno está representado por uma linha de extensão de 12 cm, qual o comprimento real do alinhamento do terreno? Resp. 6,00m �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%(� � 8. Levantamento Topográfico De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: “Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” Tradicionalmente o levantamento topográfico pode ser divido em duas partes: • o levantamento planimétrico, onde se procura determinar a posição planimétrica dos pontos (coordenadas X e Y); e • o levantamento altimétrico, onde o objetivo é determinar a cota ou altitude de um ponto (coordenada Z). A realização simultânea dos dois levantamentos dá origem ao chamado levantamento planialtimétrico. As figuras 13 e 14 ilustram resultados de levantamentos planialtimétricos de uma área. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%)� � Fig. 7 – Desenho representando o resultado de um levantamento Planialtimétrico. Fig. 8 – Desenho representando o resultado de um levantamento Planialtimétrico. A Topografia é a base para diversos trabalhos de engenharia, onde o conhecimento das formas e dimensões do terreno é importante. Alguns exemplos de aplicação: • projetos e execução de estradas; • grandes obras de engenharia, como pontes, portos, viadutos, túneis, etc.; • locação de obras; • trabalhos de terraplenagem; • monitoramento de estruturas; • planejamento urbano; • irrigação e drenagem; • reflorestamentos; • etc. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%*� � Em diversos trabalhos a Topografia está presente na etapa de planejamento e projeto, fornecendo informações sobre o terreno; na execução e acompanhamento da obra, realizando locações e fazendo verificações métricas; e finalmente no monitoramento da obra após a sua execução, para determinar, por exemplo, deslocamentos de estruturas. 9. Topografia e Geodésia A Topografia e a Geodésia procuram representar a superfície terrestre, porém a Topografia representa uma pequena parte da superfície terrestre e a projeta numa superfície plana, enquanto a Geodésia considera a deformação decorrente da superfície geoidal. A Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia, pois se utilizam dos mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre.�� Fig. 9 – Mapa Geoidal do Estado de São Paulo e do Brasil. O modelo geoidal é um modelo que considera a superfície terrestre como prolongamento do nível médio dos mares. O geóide não é uma superfície regular �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%+� � conhecida e possui grande complexidade em seu tratamento. Para a determinação das coordenadas é utilizado o modelo elipsoidal. a) b) Fig. 10 (a e b) Superfície física da Terra, elipsóide e geóide. SUPERFÍCIE FÍSICA: É a superfície onde são realizados todos os levantamentos geodésicos. SUPERÍCIE GEOIDAL: É a equipotencial que coincide com o nível médio dos mares não perturbados. Corresponde a altitude "zero" definida pelo marégrafo. É um modelo físico da forma da Terra. SUPERFÍCIE ELISPOIDAL: É a equipotencial limitante do Elipsóide adotado. As observações geodésicas são reduzidas a esta superfície. Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projeções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais. 9.1. Modelo Matemático Um modelo matemático é uma representação ou interpretação simplificada da realidade, ou uma interpretação de um fragmento de um sistema, segundo uma estrutura de conceitos mentais ou experimentais. 9.2. Projeções Cartográficas Um sistema de projeção é uma rede ordenada de meridianos e paralelos que se utiliza para traçar um mapa sobre uma superfície plana. O desafio da cartografia se resume na transferência de uma rede geográfica sobre uma forma esférica para uma superfície plana, com a maior exatidão possível e com as maiores vantagens possíveis para o fim a que se destinam. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����%,� �A confecção de uma carta ou mapa exige, antes de tudo, o estabelecimento de parâmetros para correlacionar cada ponto da superfície da Terra a um ponto da carta e vice-versa. Os diversos métodos empregados para se obter essa correspondência de pontos, constituem os Sistemas de Projeções Cartográficas. Fig. 11 – Diferenças de Sistemas de Projeções de uma mesma área. 10. Limites da Topografia Pela NBR 13.133 (1994) – Execução de Levantamento Topográfico, o plano de projeção não pode ultrapassar 80 km, mas é recomendado trabalhar com áreas até 30 km, dependendo da precisão do levantamento, uma vez que devido à curvatura da Terra as medidas perdem a exatidão. 11. Coordenadas Geográficas (Latitude e Longitude) Uma das formas utilizadas para localização de pontos na superfície terrestre é utilizando as coordenadas geográficas. As coordenadas geográficas são um sistema de linhas imaginárias traçadas sobre o globo terrestre ou um mapa. É através da interseção de um meridiano com um paralelo que podemos localizar cada ponto da superfície da Terra. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"������� � Suas coordenadas são a latitude e a longitude e o princípio utilizado é a graduação (graus, minutos e segundos). Os paralelos e os meridianos são indicados por graus de circunferências. Os paralelos são linhas paralelas ao Equador, sendo que a própria linha imaginária do Equador é um paralelo. O 0º corresponde ao equador, o 90º ao pólo norte e o -90º ao pólo sul Os meridianos são linhas perpendiculares ao Equador que vão do Pólo Norte ao Pólo Sul e cruzam com os paralelos. Todos os meridianos possuem o mesmo tamanho e o ponto de partida para a numeração dos meridianos é o meridiano que passa pelo observatório de Greenwich, na Inglaterra. Logo, o meridiano de Greenwich é o meridiano principal (0°). A leste de Greenwich os meridianos são medidos por valores crescentes até 180º e, a oeste, suas medidas são decrescentes até o limite de -180º. Fig. 12 – Paralelos e Meridianos. A partir dos meridianos e paralelos, foram estabelecidas as coordenadas geográficas que são medidas em graus e, a partir das coordenadas geográficas é possível localizar qualquer ponto da superfície da Terra. Latitude de um ponto é o ângulo formado entre o plano do Equador e o paralelo deste ponto. Sua contagem é feita a partir do plano do Equador (0 graus) e varia até 90 graus, sendo positivo para Norte e negativo para Sul. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����%� � Longitude de um ponto é o ângulo formado entre Meridiano de Greenwich (0 graus) e o meridiano do ponto. Sua contagem varia entre 0 grau e 180 graus, positivo para Leste e negativo para Oeste. Fig. 13 – Latitude e Longitude. Exemplo: • Calculando a distância entre dois pontos geográficos Fazendo uma análise simples, qualquer coordenada pode ser representada em um sistema de eixos do tipo “x” e “y”. Vamos pegar como exemplo as coordenadas geográficas das duas cabeceiras da pista de SBMT (Aeroporto Campo de Marte, São Paulo): SBMT: PISTA 12 (23º 30’ 29,93” S / 046º 38’ 32,90” W) SBMT: PISTA 30 (23º 30’ 36,50” S / 046º 37’ 53,01” W) �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"������� � Vamos agora calcular o comprimento da pista, utilizando as duas coordenadas. Basta uma pequena análise para se perceber que o comprimento da pista é definido por uma linha que liga os dois pontos e que esta linha nada mais é do que a hipotenusa de um triângulo retângulo definido pelas diferenças de latitude (DLA) e de longitude (DLO), que são os catetos entre estes pontos. Veja o esquema abaixo: Considerando o Teorema de Pitágoras, sendo os catetos os lados DLA e DLO, e a hipotenusa o comprimento da pista (ou a distância entre os dois pontos). Assim: COMPRIMENTO 2 = DLA 2 + DLO 2 Vamos, então, calcular as DLA e DLO: DLA = 23º 30’ 36,50” – 23º 30’ 29,93” = 6,57” DLO = 046º 38’ 32,90” – 046º 37’ 53,01” = 39,89” Sabendo o valor das DLA e DLO, basta transformá-las em distância, dividindo-as por 60: DLA = 6,57” ÷ 60 = 0,1095 NM x 1.852 = 202,8 metros DLO = 39,89” ÷ 60 = 0,6648 NM x 1.852 = 1.231,2 metros (sendo 1NM = 1.852m) Como se sabe, 1º = 60 NM, assim pode-se concluir que 60′ = 60 NM ► 1′ = 1 NM. Ocorre que 1′ = 60″, assim pode-se concluir que 60″ = 1 NM, ou seja, 1″ = 1/60 NM Colocando-se os valores na fórmula: COMPRIMENTO 2 = 202,8 2 + 1.231,2 2 = raiz (41.127,84 + 1.515.853,44) COMPRIMENTO = 1.247,8 metros �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����&� � Exercício: Se as cidades de “São João Batista” e “Imbuzinho” encontram-se representadas pelos pontos P e Q, respectivamente, determine as coordenadas geográficas (φ,λ) destes pontos, marcados na quadrícula a seguir, utilizando o método da interpolação numérica. � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����'� � 12. Coordenadas UTM Um sistema de coordenadas planas. É um sistema de coordenadas baseado no plano cartesiano (eixo x,y) e usa o metro (m) como unidade para medir distâncias e determinar a posição de um objeto. Diferentemente das Coordenadas Geográficas (ou Geodésicas), o sistema UTM, não acompanha a curvatura da Terra. Na Engenharia, geralmente é utilizado o sistema de projeção denominado UTM (Universal Transversa de Mercator), por ser uma projeção útil em áreas pequenas, em escalas 1:50.000 ou 1:10.000. Uma projeção é uma transformação matemática. O sistema UTM consiste na divisão da Terra em 60 fusos de 6º e na projeção deste fuso sobre um cilindro tangente a este fuso. As coordenadas de um ponto qualquer são dadas pelo número de identificação do fuso e a zona da latitude e as coordenadas planas em m (N para as ordenadas e E para as abcissas). Não se podem integrar mapas de fusos diferentes, por terem fusos UTM diferentes, cada um projetado em um cilindro. A origem do fuso está no meridiano central do fuso e na Linha do Equador. Para o Hemisfério Norte as ordenadas variam entre 0 e 10.000.000m e no Sul, entre 10.000.000m e 0. As abcissas variam entre 500.000m e 100.000m para oeste do meridiano central e 500.000m e 900.000m para leste do meridiano. Fig. 14 – Identificação de um Fuso UTM. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����(� � Fig. 15 - Sistema Universal Transversa de Mercator. Fig. 16 – Malha UTM Global. Exemplo: 23 K 333.183,92 m e 7.394.433,80 m (Catedral da Sé – São Paulo) Significa que estamos no fuso 23, na zona K em termos de latitude, 333.183,92 m na coordenada Leste e 7.394.433,80 m na coordenada Norte. 12.1. O sistema de coordenadas UTM no Brasil No Brasil o sistema UTM foi adotado em 1995 pela Diretoria do Serviço Geográfico do Exército, possui 8 fusos UTM cuja numeração é 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����)� � Fig. 17 - Fusos UTMno Brasil e respectivo Meridiano Central de cada um dos fusos. Fig. 18 – Índice de nomenclatura das folhas do Brasil. O uso da projeção UTM é normalizado para cartas com escalas entre 1:1.000.000 e 1:25.000. É o caso, principalmente, das cartas confeccionadas como resultado de restituição dos levantamentos aerofotogramétricos, independentemente do grau de deformação que apresentam. Para cartas de grande escala, entre 1:20.000 e 1:2.000, não há norma brasileira. Fig. 19 – Índice de Nomenclatura e Articulação das cartas �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����*� � 12.2. RBMC - Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo dos Sistemas GNSS A utilização da tecnologia GNSS (Global Navigation Satellite System) provocou uma verdadeira revolução nas atividades de navegação e posicionamento. Os trabalhos geodésicos e topográficos passaram a ser realizados de forma mais rápida, precisa e econômica. À medida que as técnicas de posicionamento evoluem, diversas aplicações em tempo real e pós-processado têm surgido, tornando o papel da RBMC cada vez mais amplo. � Fig. 20 – Rede GPS-GNSS do estado de São Paulo A Estação GNSS ativa, denominada PPTE, pertence à Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo dos Satélites GNSS(RBMC), em operação desde 1996, em Presidente Prudente-SP. Na cidade de São Paulo existem 302 marcos implantados. Fig. 21 - Estação PPTE. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����+� � Exercícios: a. Determine as coordenadas planas UTM (E,N) dos pontos P e Q marcados na quadrícula a seguir, utilizando o método da interpolação numérica. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"�����,� � b. Calcule as coordenadas UTM dos pontos A e B e calcule a distância entre eles. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&�� � 13. Norte Geográfico e Norte Magnético Em todo levantamento há a necessidade de se apontar a direção do Norte. Por muito tempo acreditava que existia somente um NORTE, porém existem duas direções de Norte: • O geográfico, ponto imaginário onde se “unem” os meridianos, no Hemisfério Norte, é referência para as coordenadas geográficas e UTM; • O magnético, função do magnetismo do Planeta, apontado pela bússola; Fig. 22 – Norte Magnético e Geográfico. Quando é feito o levantamento com orientação de bússola, é necessário corrigir a informação quanto ao norte. Estas direções não são coincidentes, salvo exceções. A diferença angular entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é a Declinação magnética local. A declinação magnética (d) é sempre medida do Norte verdadeiro para o magnético. O valor da declinação magnética varia com a localidade e com o tempo. Os pontos da superfície terrestre que possuem o mesmo valor de declinação magnética �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&%� � pertencem a mesma linha isogônica. As cartas com linhas isogônicas podem ser obtidas através dos Anuários do Observatório Nacional. As agulhas imantadas colocadas em bússolas fornecem os azimutes magnéticos; para transformá-los em verdadeiros é necessário que se conheça a declinação magnética local e fazer a transformação adequada. A posição do Norte verdadeiro pode ser conhecida, diretamente, através de observações aos astros (sol e estrelas), obtendo-se assim o azimute verdadeiro. A declinação magnética pode variar em função dos fatores tempo e lugar. Os tipos de variação são: • Variação geográfica: numa mesma época, cada local apresenta um determinado valor para a declinação. Os pontos da Terra que, num dado instante, tem o mesmo valor de declinação, quando ligados por linhas imaginárias, formam as linhas isogônicas. • Variação secular: com o decorrer dos séculos, o pólo norte magnético caminha em torno do pólo norte verdadeiro, havendo grandes alterações no valor da declinação em um lugar, mudando inclusive de sentido (de E para W, por ex.). • Variação anual: esta variação não é bem definida e sua distribuição não é uniforme pelos meses do ano, sendo pequena e sem importância para trabalhos topográficos comuns. As linhas que unem locais de mesma variação anual da declinação são ditas isopóricas. A posição do norte magnético pode estar à esquerda, à direita ou ainda coincidir com a posição do norte geográfico. Dessa forma temos: Fig. 23 – Orientações em relações aos Nortes Geográfico e Magnético. �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&�� � Fig. 24 – Mapa de Declinação Magnética �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&&� � Exercícios: a. Calcule a declinação magnética para a data de 01/01/2011 para a cidade de São Paulo, sabendo que a declinação magnética em 01/07/1980 era de 16º54’W e variação anual é 8’50”W. Resp. 21º23’25” W b. Em uma cidade a declinação em 1947 era 18º20’ ocidental. Sendo a variação média anual de declinação 9’ocidental. Determinar a Declinação em 2004. Resp. 26º53’ No ponto P a declinação em 1951 era 20º17’ oriental. Sendo a variação anual de 8’ocidental. Determinar a declinação em 2004. Resp. = 13º13’ oriental �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&'� � Quando não temos o valor da declinação para um determinado levantamento, podemos usar o mapa de Declinação Magnética para calcular o valor. Vamos usar o exemplo da cidade de São Paulo: no mapa constatou-se que a declinação de São Paulo esta entre -20° e -21° e tem uma variação anual de -5,5°. Logo com o uso da regra de “três” obtem-se o grau de declinação de São Paulo. 1° ► 0,53cm X ► 0,21cm X = ���� ���� ► X = 0,4° Grau da declinação Partindo do -20°, tem-se a declinação magnética: -20° + (-0,4°) = -20,4° Para determinar a variação da declinação magnética utilizamos a formula: D = Cig + (( A + FA) * Cip �������������������������� � �� ��������������������������������������������� �� �������������������� ����� ������!�"�#��$�� �#"����&(� � D = Variação da Declinação Magnética Cig = Curva isógona (valor interpolado) A = ano da observação FA = fração do ano Cip = curva isopórica (valor interpolado) Então: D = Cig + (( A + FA) * Cip D = -20,4° + [ (3 + 0,9) * (-5,5° / 60’) ] D = -20° 45’ 27” Mapa da declinação de 2010 - variação anual = -5,5° - declinação em 2010 = -20,4°