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Ca´lculo Diferencial e Integral 1 - Lista de Exerc´ıcios 10
Gustavo Marra - marra@unifei.edu.br - Sala 2429
EXERCI´CIO 1: Calcule a primitiva mais geral da
func¸a˜o. Verifique a sua resposta derivando.
(a) f(x) = x
(b) f(x) = 2x
(c) f(x) = x2
(d) f(x) = 3x3
(e) f(x) = 3x
(f) f(x) = 3x+ 2
(g) f(x) = 12x
(h) f(x) = 3
(i) f(x) = x3 + x2
(j) f(x) =
1
2
√
x
(k) f(x) =
√
x
(l) f(x) =
x√
x2 + 1
(m) f(x) = x−3
(n) f(x) =
1
x3
(o) f(x) =
−1
x2
(p) f(x) = sen(x)
(q) f(x) =
1
x
(r) f(x) = −sen(x) + cos(x)
(s) f(x) = sec2(x)
(t) f(x) = ex
(u) f(x) = e2x
(v) f(x) = cos(3x)
EXERCI´CIO 2: Encontre a primitiva particular
F (x) para as func¸o˜es f(x) abaixo, satisfazendo a condic¸a˜o
dada.
(a) f(x) = 2x, F (3) = 2.
(b) f(x) = 5ex − 3 cos(x), F (0) = 2.
(c) f(x) = 3, F (1) = 1.
(d) f(x) = cos(x) + 3, F (−1) = 0.
(e) f(x) =
x+ 1
x2
, F (2) = 2.
(f) f(x) = 5x4 − 2x5, F (0) = 4.
EXERCI´CIO 3: Encontre f(x) no caso em que:
(a) f ′′(x) = 20x3 − 12x2 + 6x
(b) f ′′(x) = x6 − 4x4 + x+ 1
(c) f ′′(x) =
2
3
x
2
3
(d) f ′′′(x) = cos(x)
(e) f ′′(x) = ex + x−4
(f) f ′′(x) = 8x+ 5, f(1) = 0, f ′(1) = 8.
(g) f ′′(x) = x−2, x > 0, f(1) = 0, f(2) = 0.
EXERCI´CIO 4: Use o Teorema Fundamental do
Ca´lculo para calcular as seguintes integrais definidas.
(a)
∫ 2
−1
x3 − 2x dx
(b)
∫ 1
−1
x100 dx
(c)
∫ 4
1
5− 2t+ 3t2 dt
(d)
∫ 1
0
1 +
1
2
θ4 − 2
5
θ9 dθ
(e)
∫ 1
0
x
4
5 dx
(f)
∫ 8
1
3
√
x dx
(g)
∫ 2
1
3
u4
du
(h)
∫ pi
2pi
cos(t) dt
(i)
∫ 2
0
x(2 + x5) dx
(j)
∫ 1
0
3 + x
√
x dx
(k)
∫ 9
1
x− 1√
x
dx
(l)
∫ 2
0
(y − 1)(2y + 1) dy
(m)
∫ −1
−2
2
x2
dx
(n)
∫ pi
0
sen(x) dx
(o)
∫ pi
2
−pi2
8y2 + sen(y) dy
(p)
∫ pi
0
1 + cos(t) dt
1
(q)
∫ 5pi
6
pi
6
cossec2(x) dx
EXERCI´CIO 5: Use o Teorema Fundamental do
Ca´lculo para determinar:
(a)
d
dx
∫ x
pi
cos(t) dt
(b)
d
dx
∫ x
0
1
1 + t2
dt
(c)
dy
dx
se y =
∫ 5
x
3t · sen(t) dt
(d)
dy
dx
se y =
∫ x2
1
cos(t) dt
(e)
dy
dx
se g(x) =
∫ 2x
3x
u2 − 1
u2 + 1
du
EXERCI´CIO 6: Sejam F (x) e G(x) primitivas das
func¸o˜es deriva´veis f(x) e g(x), respectivamente, e C um
nu´mero real qualquer. Abaixo esta˜o uma se´rie de afirma-
tivas. Justifique se sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS, e
por queˆ.
(a) As primitivas de f(x)·g(x) sa˜o F (x)·G(x)+C (isto e´,
a primitiva do produto e´ o produto das primitivas?)
(b) As primitivas de 2 · f(x) · f ′(x) sa˜o (f(x))2 + C.
(c) As primitivas de
f(x)
g(x)
sa˜o
F (x)
G(x)
+C (isto e´, a prim-
itiva do quociente e´ o quociente das primitivas?)
(d) Se f(x) > 0, uma primitiva de
f ′(x)
f(x)
e´ `n(f(x))+C.
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