AVS FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

Prévia do material em texto

Disciplina: FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA AVS 
Aluno: 
 
Professor: ANA LUCIA DE SOUSA 
 
Turma: 9001 
CEL0687_AVS_201607038901 01/07/2019 (F) 
 
 
Avaliação: 
8,0 
Nota Partic.: Av. Parcial.: 
2,0 
Nota SIA: 
10,0 pts 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
 
 
 1. Ref.: 737342 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
 
 
Não, pois não existe elemento neutro. 
 
Não, pois não existe elemento simétrico. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe 
elemento simétrico. 
 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z 
com a operação dada ser um grupo. 
 
 
 2. Ref.: 737349 Pontos: 0,00 / 1,00 
 
Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 
 
 
7 
 
35 
 3 
 
10 
 5 
 
 
 3. Ref.: 737337 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o 
subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-
1 ∈∈3Z 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-
1 ∈∈3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 
 4. Ref.: 737319 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
 
 
 
H 
 
2 + H 
 
1 + H 
 3 + H 
 
H + H 
 
 
 5. Ref.: 1073204 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
 
 
 
 1234241312342413 
 1234324112343241 
 
 
 
 
 1234143212341432 
 
 1234421312344213 
 1234312412343124 
 
 
 6. Ref.: 737446 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 
no Anel Z7 . 
 
 
X= 2 e y=3 
 
X= 2 e y=4 
 X= 3 e y=3 
 
X= 2 e y=2 
 
X= 5 e y=6 
 
 
 7. Ref.: 737461 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de 
Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x∈Ax∈A então - (-x) = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8. Ref.: 721660 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, 
 se o mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 
 
 9. Ref.: 721681 Pontos: 0,00 / 1,00 
 
No anel Z6 determine Idemp (Z6 ). 
 
 Idemp (Z6 ) = {2,3,4} 
 Idemp (Z6 ) = {1,3,4} 
 Idemp (Z6 ) = {1,2,3} 
 Idemp (Z6 ) = {1,2} 
 Idemp (Z6 ) = {1} 
 
 
 10. Ref.: 737493 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel 
Q. 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, 
então I ≠ A. 
 2Z é um ideal no anel Z.