01 Erros e medidas

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Maria Cristina Hellmeister 
Adaptado pelo Laboratório de Ensino 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erros e Medidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro de Física Experimental 1 
Roteiro 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió 
2017 
 
 
Sumário 
 1 Relatório ......................................................................................................................... 3 
 2 Objetivos do laboratório ................................................................................................. 4 
 3 Elementos da teoria de erros e medidas ...................................................................... 4 
 3.1 Introdução ................................................................................................................ 4 
 3.2 Erros e desvios ........................................................................................................ 5 
 3.3 Algarismos significativos .......................................................................................... 6 
 3.4 Medidas e incertezas ............................................................................................... 7 
 3.5 Propagação de incertezas ..................................................................................... 10 
 3.5.1 Incerteza devido à soma ou subtração .......................................................... 11 
 3.5.2 Incerteza devido a outras operações ............................................................. 12 
 3.6 Gráficos .................................................................................................................. 13 
 3.7 Avaliação de incertezas em gráficos ..................................................................... 15 
 3.7.1 Coeficiente angular: avaliação de sua incerteza ........................................... 15 
 3.8 Determinação da dependência funcional a partir dos dados experimentais........ 17 
 3.8.1 Relações lineares ........................................................................................... 18 
 3.8.2 Relações não lineares .................................................................................... 19 
 3.9 Escala regular e escala logarítmica ...................................................................... 21 
 3.9.1 Escala regular ................................................................................................. 21 
 3.9.2 Escala logarítmica .......................................................................................... 21 
 3.9.2.1 Algumas características .......................................................................... 21 
 3.9.2.2 Gráfico retilíneo no papel log-log ............................................................ 22 
 3.9.3 Papel mono-log............................................................................................... 23 
 
 1 Relatório 
O que é? - A descrição de um trabalho realizado. 
Para que serve? - Registrar e/ou divulgar um trabalho realizado. 
É interessante notar que o relato de um trabalho científico, de um projeto de 
engenharia, ou simplesmente de um experimento de laboratório de disciplina de 
graduação pode ser dividido nas seguintes partes: 
 Título; 
 Objetivos; 
 Material utilizado; 
 Fundamentação; 
 Procedimento; 
 Resultados e discussão; 
 Conclusão. 
Título: Todas as coisas têm nome para serem identificadas, existe a 
necessidade de identificação do seu trabalho. 
Objetivo: Deve mostrar a finalidade do seu experimento. 
Material Disponível: A descrição do material com as suas características 
principais. É útil no julgamento de decisão do método utilizado para chegar ao objetivo 
de seu trabalho. 
Fundamentação: Uma descrição fenomenológica dos conceitos envolvidos no 
experimento com suas principais relações. É útil para a compreensão dos 
procedimentos adotados para chegar ao objetivo de seu trabalho. 
Procedimento: Descreve-se aqui como e porque foram feitas as medidas. 
Uma das razões desta descrição é melhor avaliar a precisão dos resultados do seu 
trabalho. 
Resultados e discussão: Nesta parte devem ser apresentados os resultados 
das suas medidas (tabelas, gráficos, cálculos, etc.), assim como uma breve discussão 
dos mesmos. 
Conclusão: É nesta parte que se deve apresentar uma discussão sobre seus 
resultados, os métodos de medida utilizados, tendo em vista o objetivo do seu trabalho. 
 2 Objetivos do laboratório 
Este curso foi preparado com intuito de orientar os alunos a adquirirem 
conhecimentos sobre física experimental, visando especificamente: a compreensão 
dos conceitos fundamentais, a medição das grandezas relacionadas com esses 
conceitos, interpretação e representação correta dessas medidas. 
O texto dessa apostila está dividido em duas partes. Na primeira, o aluno terá 
conhecimento sobre algarismos significativos, medidas, erros, desvios, incertezas 
como também o tratamento adequado para representar corretamente os resultados 
dos experimentos, quer seja uma única medida ou de um conjunto de medidas. A 
segunda parte visa familiarizar o aluno na construção de gráficos, linearização de 
curvas e a determinação da dependência funcional entre as grandezas medidas a 
partir do conhecimento dos dados experimentais. 
Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos básicos para 
que ele possa expressar corretamente as medidas e resultados de suas 
experiências, assim como discuti-los com um mínimo de correção e rigor tanto 
do ponto de vista numérico como conceitual. 
 3 Elementos da teoria de erros e medidas 
 3.1 Introdução 
Toda operação de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de 
instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes 
instrumentos. Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra 
através de uma régua; é preciso saber expressar corretamente essa medida e 
avaliar adequadamente a sua incerteza, que vem das características dos aparelhos 
usados na sua determinação e mesmo do próprio experimentador. Assim a 
experiência mostra que sendo uma medida repetida várias vezes com as mesmas 
precauções pelo mesmo observador ou observadores diferentes, os resultados 
achados não são, em geral, idênticos. Muitas vezes efetuam-se diversas medidas 
de uma mesma grandeza; neste caso a melhor maneira de expressar o valor 
desta grandeza será através do valor médio dos dados. A incerteza destas grandezas 
será obtida por um tratamento estatístico elementar. 
Há grandezas ainda que nem sempre podem ser obtidas diretamente, 
como áreas, volume, densidade, etc. Assim são feitas várias medidas e através 
de fórmulas matemáticas ou físicas, determina-se a grandeza desejada. É claro 
que, em geral, cada termo da fórmula está afetado de uma incerteza e que todas 
elas interferirão no valor final da grandeza. Observamos que as incertezas se 
propagam e o processo de cálculo para determiná-las denomina-se propagação 
de incertezas. 
 3.2 Erros e desvios 
Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três 
situações são possíveis: 
1. O valor da grandeza já é conhecido com exatidão – Ex. A soma dos ângulos 
internos de um triângulo. 
2. O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor 
adotado como “melhor” – Ex. A aceleração da gravidade num determinado 
local. 
3. O valor da grandeza não é conhecido – Ex. O comprimento de uma barra, 
o volume de uma esfera, etc. 
Quando o valor obtido para uma grandeza difere do seu valor real (verdadeiro) 
(item 1), dizemos estar afetado de um erro. Matematicamente:ERRO = │VALOR MÉDIO - VALOR REAL│ 
(Valor em módulo) 
Quando o valor obtido difere do valor adotado como o melhor (item 2), dizemos 
estar afetado de um desvio. Então: 
DESVIO = │VALOR MÉDIO - VALOR REAL│ 
(Valor em módulo) 
Embora conceitualmente haja diferença entre erro e desvio, matematicamente 
são equivalentes. A partir deles define-se desvio (ou erro) relativo e percentual, 
sendo que este último permite avaliar melhor o resultado de uma experiência. 
 Re
 
Desvio
Desvio lativo
Valor Adotado

 
 
  Re 100 %Desvio Percentual Desvio lativo   
 
Exemplo: Ao determinar a aceleração da gravidade, onde g é 9,80 m/s2 um 
experimentador obteve 10,04 m/s2. Determine: 
DESVIO = __________________ 
DESVIO RELATIVO = __________________ 
DESVIO PERCENTUAL = ___________________ 
Para avaliação dos resultados, qual deles nos dá uma informação mais objetiva? 
 3.3 Algarismos significativos 
Seja AB o comprimento de uma barra medida em uma régua centimétrica. 
Se três experimentadores fossem anotar o comprimento AB, por exemplo: 
AB = 12,8 cm (exp. 1) 
AB = 12,7 cm (exp. 2) 
AB = 12,6 cm (exp. 3) 
Algum desses valores estaria errado? Se um quarto experimentador avaliasse 
12,75 cm, em que sentido se poderia atribuir esse resultado? 
Medindo-se com régua centimétrica tem sentido avaliar décimos, mas é 
discutível ou mesmo inaceitável avaliar centésimos ou frações menores. Em medições, 
é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão da 
escala do instrumento. 
Estimar centésimos ou milésimos da menor divisão da escala está fora dos 
limites de percepção da maioria dos seres humanos. 
Na medida do segmento AB, observamos que existe uma divergência entre 
os três observadores na avaliação da fração da menor divisão da escala do 
instrumento (nos algarismos ou dígitos 8, 7 e 6), na qual reside a dúvida ou incerteza 
da medida, enquanto que, os dígitos 1 e 2 que constituem o número 12 são isentos 
de dúvidas. 
Algarismos duvidosos (sempre o último à direita): 
AB = 12,8 cm AB = 12,6 cm AB = 12,7 cm 
OS ALGARISMOS CORRETOS (NÃO DUVIDOSOS) E TAMBÉM O ALGARISMO 
DUVIDOSO (UM SÓ), CONSTITUEM OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA 
MEDIDA. 
EXERCÍCIO 1: Quantos são os algarismos significativos das seguintes medidas? 
a) 12,6 cm 
b) 9 cm 
c) 2 cm 
d) 12,6×10-5 m 
e) 1,2×103 m 
 
OS DÍGITOS DE UM NÚMERO CONTAM-SE DA ESQUERDA PARA A DIREITA, A 
PARTIR DO PRIMEIRO NÃO NULO, SÃO SIGNIFICATIVOS TODOS OS 
CORRETOS, TAMBÉM O PRIMEIRO ALGARISMO DUVIDOSO E MAIS NENHUM. 
 3.4 Medidas e incertezas 
Para estudar um fenômeno físico é preciso adotar um procedimento que se 
possa repetir e variar tantas quantas forem necessárias, até que se tenha reunido 
certa quantidade de dados experimentais. Esses dados são obtidos através do 
processo de medidas. A importância desses processos e muitas vezes sua 
complexidade tornam o ato de medir uma tarefa fundamental e frequentemente nada 
simples. 
Nenhuma medida pode ser considerada absolutamente precisa. Por exemplo, 
o valor atualmente aceito para a velocidade da luz propagando-se no vácuo é: 
c = (2,99792458 ± 0,00000004) x 108 m/s 
Isto significa que, apesar das sofisticadas técnicas empregadas e do esforço de 
muitos cientistas, ainda persiste uma incerteza de medida de 4x 10-8 m/s na velocidade 
da luz. 
Na obtenção de uma medida podem ocorrer dois tipos de erros: o aleatório 
e o sistemático. Este último deve ser evitado de todas as formas; um instrumento 
mal calibrado ou com defeito, um experimentador que repete erro na operação, de 
interpretação ou de leitura ou de fatores externos ao laboratório, como fenômenos 
climáticos, são fontes de erros sistemáticos que devem ser controlados pelo 
experimentador. O erro aleatório decorre de flutuações dos resultados das medidas 
em torno de um valor médio, essas flutuações acarretam uma imprecisão para mais 
ou para menos nesse valor. Qual é, então, o valor de uma grandeza que se quer 
medir? Nem sempre a resposta é simples e em parte a solução deste problema 
está num estudo mais profundo da teoria de erros. Apesar de caber nesta disciplina a 
análise mais geral deste problema, podemos convencionar critérios para obter um valor 
confiável da grandeza a ser medida. 
Para escrever o resultado final da medição de uma grandeza, adotaremos a 
forma: 
(valor mais provável ± incerteza) x 10N unidades de grandeza 
 
“A incerteza estimada será escrita com no máximo um algarismo 
significativo” 
Se o experimentador realizar apenas uma medida da grandeza, o valor mais 
provável desta será a própria medida. A incerteza estimada dependerá da forma como 
foi construído o instrumento de medidas. Se o instrumento não permitir avaliar o 
algarismo duvidoso, a incerteza estimada será a menor divisão na escala do 
instrumento. 
Exemplo. Um estudante fez um experimento d e m e d i d a d e t e m p o 
u s a n d o um cronômetro eletrônico. A figura abaixo mostra o valor no cronômetro. 
7 9 6 ms 
A medida é expressa como 
(796 ± 1) ms ou (796 ± 1) x 10-3 s 
Se for possível avaliar o algarismo duvidoso, a incerteza estimada será adotada 
como a metade da menor divisão da escala do instrumento. 
Exemplo: Um estudante mede o comprimento de um pêndulo simples, em 
relação ao centro de massa, como o indicado abaixo. A medida é expressa como: 
(774,3 ± 1) mm ou (77,43 ± 0,05) cm 
 
Se o experimentador tiver um conjunto de medidas, o valor mais provável da 
grandeza será a média aritmética�̅�das medidas. 
1
n
i
G
G
n

 
e a incerteza estimada poderá ser obtida, de uma maneira mais apurada, através da 
média aritmética 〈G〉 dos desvios absolutos: 
1 1
1 1n n
i i
i i
G G G G
n n 
    
 
EXERCÍCIO 2: Determinar a força eletromotriz de uma pilha elétrica e a sua 
incerteza (ver tabela 01 abaixo). 
Ordem das 
medidas  ME V
 
ME E
 
1 1,55 0,000667 
2 1,56 0,009333 
3 1,57 0,019333 
4 1,54 0,010667 
5 1,55 0,000667 
6 1,56 0,009333 
7 1,53 0,020667 
8 1,54 0,010667 
9 1,55 0,000667 
10 1,54 0,010667 
11 1,55 0,000667 
12 1,57 0,019333 
13 1,56 0,009333 
14 1,55 0,000667 
15 1,54 0,010667 
E 
 1,550667 0,008889 
Tabela 1 
 3.5 Propagação de incertezas 
Nem sempre é possível determinar certas medições diretamente; para 
determinar a densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e 
o seu volume, que por sua vez é determinado pela medida de suas dimensões. Todas 
estas medidas estarão afetadas de incertezas que na, determinação da densidade, se 
propagarão e darão origem a uma incerteza na densidade. 
Inicialmente vamos uniformizar a nossa linguagem; em vez de erros, desvios e 
incertezas, utilizaremos apenas incertezas, que nos parece mais abrangente. Quanto 
à representação matemática, para grandezas tais como X, Y, T, V, etc. 
representaremos suas incertezas por ΔX, ΔY, ΔT, ΔV, etc. e consequentemente suas 
incertezas relativas por: ΔX/X, ΔY/Y, ΔT/T, ΔV/V, etc. 
 3.5.1 Incerteza devido à soma ou subtração 
Suponha que vamos determinar a grandeza, 
S A B C   
 para qual a 
foram feitas as seguintes medidas: 
; ; ; A A B B C C  
 
Como determinar S? Para simplificar, adotaremos o critério mais desfavorável, 
isto é, vamos supor que todas as incertezas tenham o mesmo sinal, então obteremos: 
ΔS = ΔA + ΔB + ΔC +… 
Exemplo: Na determinação do perímetro de um quadrilátero mediram-se seus 
lados a, b, c e d com instrumentos diferentes: 
a = (2,03 ± 0,02) cm; b = (4,1 ± 0,2) cm; c = (0,842 ± 0,001) cm e d = (1,26 ± 0,03) cm 
o perímetro será: 
p a b c d   
 
então, 𝑝 = 2,03 + 4,1 + 0,842 + 1,26 = 8,232𝑐𝑚 
a incertezaserá: 
p a b c d     
 
portanto, Δ𝑝 = 0,02 + 0,2 + 0,001 + 0,03 = 0,251𝑐𝑚 
O resultado de perímetro será expresso como: 
 8,232 0,251p cm 
 
 
 0 38,2 ,p cm 
 
Observe que em nossos cálculos, propositalmente, colocamos grandezas com 
números de algarismos significativos diferentes. Como a incerteza será representada 
por um e somente um algarismo significativo, que atua no duvidoso, é ela quem 
comandará o número de algarismos significativos no resultado final. Isto é, os 
algarismos após o primeiro duvidoso são descartados (contando da esquerda para 
direita). 
 3.5.2 Incerteza devido a outras operações 
Para Calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicações, divisões, 
potenciação e/ou radiciação como em 
p q rY K a b c   
 
Usaremos a seguinte expressão, 
Δ𝑌
𝑌
= |𝑝|
Δ𝑎
𝑎
+ |𝑞|
Δ𝑏
𝑏
+ |𝑟|
Δ𝑐
𝑐
 
Para verificar o resultado acima, lembre que o diferencial de uma função 
 , ,Y Y a b c
 é dado por: 
Y Y Y
dY da db dc
a b c
  
  
  
 
que após dividirmos ambos os lados por Y e tomarmos os módulos, da origem a 
expressão para a incerteza estimada. 
 
Exemplo: Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: 
 2,02 0,03r cm 
 , 
 8,432 0,005h cm 
 
Sabemos que 
2V r h
, então: 
V = 3,14 (2,02)2 (8,432) = 108,0346 cm3 
De acordo com a primeira expressão, já que 
0 
 por ser constante, temos: 
0,03 0,005
2 1 0,0303
2,02 8,432
V
V
    
     
   
 = 3,2734𝑐𝑚3 
Teremos então, 
 
30,0303 108,0346 0,0303 3,2734 V V cm     
 
𝑉 = (108 ± 3)𝑐𝑚3 
EXERCÍCIO 3: Num tubo capilar de raio r, um líquido de densidade ρ e tensão 
superficial Y, devido à capilaridade, ergue-se de uma altura h, tal que,𝑌 =
(𝑟 × ℎ × 𝜌 × 𝑔)2, onde g é a aceleração da gravidade. Dados obtidos: 
 
 
 
 2
0,030 0,001
5,000 0,005
9,81 
r cm
h cm
g m s adotado como exato
 
 

 
Determine a tensão superficial. 
 3.6 Gráficos 
Nas atividades experimentais, muitas vezes, objetiva-se estudar a maneira de 
como uma propriedade ou quantidade depende ou varia com relação à outra 
propriedade ou quantidade. Por exemplo: 
“De que modo a variação do comprimento de um pêndulo simples afeta o 
seu período ou como se comporta a força de atrito entre duas superfícies 
relativamente à força normal exercida por uma superfície sobre a outra?” 
Tais variáveis podem s e r convenientemente tratadas pelo método gráfico no 
sentido de ilustrar e sintetizar suas relações. 
As leis físicas expressam relações entre quantidades de grandezas físicas. 
Estas relações podem ser expressas de três modos: 
a) Em palavras, formando as sentenças conceituais; 
b) Em símbolos matemáticos em forma de equações; 
c) Em representações pictóricas conhecidas como gráficos. 
A escolha do meio (ou meios) para expressar as relações entre grandezas 
depende do uso que se pretende fazer destas relações. Particularmente, 
analisaremos a terceira representação. 
Para representar graficamente a relação entre duas variáveis deve-se observar 
os seguintes pontos: 
a) No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente; no eixo vertical 
(ordenada) é lançada a variável dependente. Evite tomar margens do papel 
como eixos. 
b) Em geral a curva deve cobrir pelo menos três quartos do papel. Em muitos 
casos não é necessário ou possível que a interseção dos eixos represente 
simultaneamente o valor zero. 
c) Escolha as escalas de forma que as divisões principais possam ser facilmente 
subdivididas. A escala do eixo vertical não necessita ser a mesma do eixo 
horizontal. 
d) Se os valores forem excessivamente grandes ou pequenos utilizar um artifício 
que permita usar um ou dois dígitos para indicar os valores das divisões 
principais. Pode-se usar um fator multiplicativo como 10-2, 10-3, etc., à direita 
da escala. 
e) Escreva em cada eixo o título, ou seja, o nome da grandeza e sua unidade, 
separados por vírgula ou parênteses. 
f) Localizar o ponto e não escreva no eixo o valor relativo ao ponto localizado, se 
estiver fora da divisão adotada na escala. 
g) A representação gráfica de uma grandeza é feita por uma barra de incerteza 
que é um pequeno segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor 
verdadeiro deve estar contido. Se houver incerteza nos dois eixos a grandeza 
será representada por uma cruz cujos braços serão as barras de incertezas, 
como mostra a figura. 
 
h) O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se da melhor forma 
aos dados experimentais a menos que não se trate de uma função contínua. 
Unir pontos experimentais com traços retos implica em que a relação entre duas 
grandezas tenha forma quebrada o que, exceto circunstâncias especiais, é 
pouco provável ocorrer. 
i) Se for preciso desenhar várias curvas na mesma folha, faça a distinção das 
curvas por símbolos diferentes (círculos, quadrados, triângulos, etc.), ou utilize 
cores diferentes ou ainda linhas deferentes (pontilhadas, interrompidas, etc.). 
 3.7 Avaliação de incertezas em gráficos 
A representação gráfica, como vimos, tem a sua importância, no sentido de 
ilustrar e sintetizar as relações entre as variáveis de grandezas representativas de 
um fenômeno. Estas variáveis a serem plotadas em papel gráfico, podem originar-se 
de: 
a) Medições diretas através de instrumentos de medição. 
b) Derivadas de medições diretas, mediante operações matemáticas. 
De qualquer forma, as variáveis vêm afetadas de incertezas (precisão 
experimental, desvios provenientes de propagação, etc.). Essas incertezas podem 
ser representadas, graficamente, por uma barra de incerteza, que é um segmento de 
reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro está contido. 
Os dados emersos de um gráfico virão, portanto, afetados de incertezas. Como 
avaliá- los? Concentraremos no caso específico de um gráfico linear cujo coeficiente 
angular tem significado físico, e muitas vezes representa a quantidade procurada em 
ensaios experimentais. Para uma melhor avaliação, o experimentador deve tomar 
alguns cuidados iniciais, ou seja: 
 
 Ter certeza que a curva traçada representa mais de ¾ do papel gráfico, para 
uma melhor visualização do comprimento das barras de incerteza. 
 Desprezar pontos que fogem consideravelmente da tendência geral, derivados 
de erros grosseiros. 
 3.7.1 Coeficiente angular: avaliação de sua incerteza 
a) Traçar duas retas paralelas que contenham a maioria das barras de incertezas, 
formando uma figura retangular. 
b) Traçar duas retas que corresponderão às diagonais da figura retangular, nos pontos 
ABCD. 
c) Determinar seus coeficientes angulares. 
 
A média aritmética entre esses dois coeficientes angulares dará a reta 
média e a metade do intervalo entre esses coeficientes dará a incerteza angular. 
Exemplificando: Vamos supor que o gráfico construído a abixo foi para 
determinar o coeficiente angular K de uma reta. 
 
 
Da figura, temos que: 
Reta BC = Kmax 
Reta AD = Kmin 
O coeficiente angular da reta média será: 
 
e a sua incerteza 
Δ𝐾 =
|𝐾𝑚𝑎𝑥 − 𝐾𝑚𝑖𝑛|
2
 
logo: 
𝐾 = (𝐾 ± Δ𝐾)𝑢𝑛𝑖𝑑. 𝑎𝑟𝑏𝑡. 
Pela dificuldade que se tem para traçar a reta média achamos sempre preferível 
a determinação do coeficiente angular pela média dos coeficientes máximo e mínimo, 
como no exemplo acima. 
É interessante observar que muitas vezes as barras de incerteza são tão 
pequenas que, no gráfico reduzem-se no próprio ponto, mesmo assim este processo 
para determinação do coeficiente angularpode ser aplicado. 
 
EXERCÍCIO 4: Determine a constante elástica de uma mola ideal, bem como a sua 
incerteza. Precisão do instrumento de medida (dinamômetro) igual a 0,5N. 
 F N
 4,1 7,9 12,2 15,8 20,1 23,7 30,9 32,4 
 X cm
 5 10 15 20 25 30 35 40 
 3.8 Determinação da dependência funcional a partir dos dados 
experimentais 
Feita a representação gráfica de duas grandezas, a análise do gráfico pode 
conduzir a uma relação matemática, embora isso nem sempre seja possível. Se o 
gráfico mostrar que tal relação existe, deve-se continuar a análise à procura do tipo 
de relação, ou seja, da forma que define a curva encontrada. 
Uma norma do método analítico é que apenas duas grandezas podem ser 
relacionadas de uma só vez. Tanto o experimento como os dados devem ser 
ordenadas de modo a manter todas as variáveis constantes, exceto duas, 
estudando-se então a maneira como uma destas variáveis afeta a outra. 
A equação que descreve uma curva desconhecida, nem sempre pode ser 
definida com exatidão. Relações do tipo1 𝑥⁄ e1 √𝑥⁄ facilmente podem ser confundidas 
num gráfico. Esta dificuldade desaparece quando se obtém uma linha reta. A linha reta 
é, portanto, a chave da análise gráfica. Ela pode ser identificada com segurança. O 
problema então é como lançar dados experimentais no gráfico para obter uma linha 
reta. Embora não exista um método geral, normalmente é preciso fazer algumas 
tentativas antes de obter-se uma solução. Falaremos aqui apenas do método gráfico, 
o mais facilmente aproveitável no laboratório no caso de duas grandezas X e Y, 
relacionadas por uma dependência funcional simples. 
 3.8.1 Relações lineares 
Y aX b 
 (equação de uma reta) 
A equação acima mostra a dependência linear entre duas grandezas X e Y. Para 
X = 0 o valor de Y intercepta o eixo y, definido a constante b. O quociente
Δ𝑌
Δ𝑋
define a 
constante a (inclinação da reta) e suas unidades são dadas pelo quociente das 
unidades de X e Y. Seja (X1, Y1), (X2, Y2) dois pontos quaisquer da reta, de modo que; 
𝑎 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
e 
𝑌1 = 𝑎𝑋1 + 𝑏 
Quando a reta traçada está sobre uma sucessão de pontos, deve-se escolher o 
traçado de modo a deixar alguns pontos acima e outros abaixo. Convêm, entretanto, 
tomar o cuidado de não converter a reta em alguma curva suave. 
O exemplo a seguir mostra como, a partir de gráficos construídos com dados 
experimentais, pode-se obter um a relação matemática entre as variáveis envolvidas 
no experimento. A figura abaixo representa o gráfico plotado da velocidade em função 
do tempo. A reta mostra a relação linear entre velocidade e tempo. 
A equação correspondente é, então, da forma: 
𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏 ou 𝑉 = 𝑏 + 𝑎𝑡 
Onde as constantes 𝑎 e 𝑏 são: 
a = coeficiente angular da reta (inclinação da reta) 
b = coeficiente linear da reta (ordenada p/ abscissa zero, X = 0) 
 
A inclinação da reta (a) é obtida dos pontos A e B do gráfico. 
𝑎 =
Δ𝑣
Δ𝑡
=
(60 − 20)
(4,6 − 0,5)
= 9,8 𝑚 𝑠2⁄ 
que é a aceleração da gravidade g, e a constante b é o valor da velocidade para t = 0, 
ou seja, a velocidade inicial v0. 
𝑏 = 𝑣0 = 15 𝑚 𝑠⁄ 
Logo, a equação da reta no gráfico é: 
𝑣 = 𝑏 + 𝑎𝑡 = 𝑣0 + 𝑔𝑡 = 15 + 9,8𝑡(𝑚 𝑠⁄ ) 
A partir da equação obtida, frequentemente, outras informações podem ser 
derivadas, através de processos matemáticos. Por exemplo: 
𝑣 = 15 + 9,8𝑡(𝑚 𝑠⁄ ) 
Integrando, tem-se: 
𝑆 = 𝑆0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑔𝑡2 
 3.8.2 Relações não lineares 
Como vimos, sempre que os pontos experimentais caem sobre uma linha reta, a 
lei de variação que relaciona as quantidades físicas são facilmente deduzidas. 
Entretanto, quando os pontos experimentais não se ajustam a uma linha reta como 
frequentemente acontece, o problema torna-se um pouco mais difícil. 
O método mais simples para encontrarmos as leis de variação entre duas 
quantidades relacionadas entre si que obedecem as equações não lineares, é o que 
consiste em transformar tais equações em lineares e fazermos o mesmo tratamento 
usado anteriormente para equações da reta. 
 
Vamos supor que duas grandezas físicas obedeçam às seguintes leis de variação 
não linear: 
a) 𝑌2 = 𝑎 + 𝑏𝑋3 
Se fizermos Y2 igual a uma nova variável (v) e X3 igual a (u) a equação tornar-se-
á: 
𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑢 
que é uma equação linear, portanto, o gráfico de v x u será linear e todo 
tratamento relatado anteriormente pode ser empregado aqui. 
b) 𝑌 = 𝐴𝑋𝐵 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados da relação teremos: 
log𝑎𝑌 = log𝑎(𝐴𝑋
𝐵) = log𝑎𝐴 + log𝑎(𝑋
𝐵) = log𝑎𝐴 + 𝐵log𝑎𝑋 
Fazendolog𝑎𝑌 = 𝑌’;log𝑎𝐴 = 𝐴’; elog𝑎𝑋 = 𝑋’; teremos: 
𝑌’ = 𝐴’ + 𝐵𝑋’, 
que é uma equação linear. 
c) 𝑌 = 𝐴𝑒𝐵𝑋 
Aplicando a função logarítmica na base “a” a ambos os lados dessa equação 
teremos: 
log𝑎𝑌 = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝐴𝑒
𝐵𝑋) = log𝑎𝐴 + 𝐵log𝑎(𝑒
𝑋) = log𝑎𝐴 + (𝐵log𝑎𝑒)𝑋 
Fazendolog𝑎𝑌 = 𝑌’;log𝑎𝐴 = 𝐴’;𝑋 = 𝑋’e sabendo quelog𝑎𝑒é uma constante, 
teremos então: 
𝑌’ = 𝐴’ + 𝐵log𝑎(𝑒)𝑋’ 
que é uma equação linear. 
 3.9 Escala regular e escala logarítmica 
Neste item desenvolveremos algumas noções básicas sobre escalas, 
principalmente a logarítmica, usada no papel log-log e no papel mono-log. 
 3.9.1 Escala regular 
O exemplo mais comum de um papel para gráficos com escala regular é o 
milimetrado. Neste tipo de papel os traços são igualmente espaçados – tanto no 
eixo das ordenadas como no eixo das abscissas – podendo este espaçamento ser em 
mm, cm, m, etc. 
Durante a representação de grandezas físicas neste tipo de papel, faz-se 
corresponder o valor da grandeza a ser representada com uma das distâncias entre 
os traços. Deste modo, cada intervalo corresponde a uma distância fixa em cada eixo. 
 3.9.2 Escala logarítmica 
Vamos começar a incursão no assunto através do papel log-log (ou di-log). 
 3.9.2.1 Algumas características 
a) A origem não é no ponto (0,0), mas sim no ponto (1,1) podendo deslocar o 
eixo de um ciclo a mais ou a menos de acordo com os dados experimentais. 
(Lembrem que na origem log x = 0, log y = 0 → x = 1, y = 1). 
b) Em ambos os eixos a escala é sempre a mesma, ou seja, ela é fixada no próprio 
papel. 
c) Se o primeiro ciclo vai de 1 (100) até 10 (101), o segundo ciclo vai de 10 (101) 
até 100 (102) e assim por diante, pois em cada ciclo os números variam de um 
fator de dez. 
d) A distância entre os pontos de 1 a 2 no primeiro ciclo é a mesma de 10 a 20 no 
segundo, de 100 a 200 no terceiro e assim por diante. 
e) Não é necessário calcular o logaritmo dos números, pois o papel já se 
apresenta na escala logarítmica. 
 3.9.2.2 Gráfico retilíneo no papel log-log 
O papel log-log é aquele que apresenta escala logarítmica nas duas dimensões, 
isto é, tanto no eixo das ordenadas quanto no eixo das abscissas. 
A representação da relação entre duas grandezas, neste tipo de papel, pode 
resultar uma curva qualquer. No caso particular da curva mais simples, isto é, 
segmento de reta, pode-se facilmente determinar a correspondente equação 
matemática. A equação da reta será 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
onde Y = log (y); X = log (x) e B = log (b). Y e X são grandezas plotadas 
nos eixos das ordenadas e no das abscissas, respectivamente, a e b são constantes. 
A equação que representa uma reta no papel di-log é: 
log𝑦 = 𝑎log𝑥 + log𝑏 
que pode ser modificada aplicando a transformação logarítmica inversa para y 
= bx
a 
que é a função y = f(x) procurada. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
Se a função é y = bxa, a constante “b” será igual a y para x = 1. 
𝑦 = 𝑏(1)𝑎 = 𝑏ou 
então da equação, log (y)= a log (x) + log (b) 
𝑥 = 1 → log(𝑦) = 𝑎log(1) + log(𝑏) = log(𝑏)log(𝑦) = log(𝑏) → 𝑦 = 𝑏 
Como se pode observar no gráfico do papel di-log procura-se o valor de y para 
x = 1 e desta forma encontra-se, neste caso, y = b = 80.
 
 
 
 
Para determinar a constante a, basta tomar dois pontos quaisquer da reta. 
Sejam(𝑥1, 𝑦1)e(𝑥2, 𝑦2)dois pontos pertencentes a reta dada pela equação: 
log𝑦 = 𝑎log𝑥 + log𝑏 
então, 
log𝑦2 = 𝑎log𝑥2 + log𝑏 
log𝑦1 = 𝑎log𝑥1 + log𝑏 
Como as escalas das ordenadas e das abscissas são iguais, podemos medir com 
uma 
régua as variações𝛥𝑙𝑜𝑔𝑦 = 𝛥𝑦e𝛥𝑙𝑜𝑔𝑥 = 𝛥𝑥e obter o valor da constante a: 
𝛥𝑙𝑜𝑔𝑦 = 𝛥𝑦 
Do gráfico do papel di-log temos que,𝛥𝑦 = 5,9𝑐𝑚e𝛥𝑥 = 9,8𝑐𝑚, portanto,𝑎 = 0,6e a 
equação para𝑦será: 
𝑦 = 800,60 
que é a função procurada. 
A determinação de coeficiente angular torna-se bastante simples quando em ambos os 
eixos a escala é a mesma, como no caso do papel di-log, e o procedimento é o adotado na 
determinação da constante acima. 
 3.9.3 Papel mono-log 
Em geral o papel mono-log apresenta o eixo das ordenadas em escala logarítmica e o 
eixo das abscissas em escala regular. Neste caso pode-se atribuir origem igual a ZERO 
quando da graduação do eixo das abscissas, enquanto que para o eixo das ordenadas 
prevalecem as normas da escala logarítmica. 
Neste papel, quando os pontos plotados estiverem alinhados (linha reta) a função pode 
ser uma exponencial da forma: 
𝑦 = 𝑎𝑒𝑏𝑥 
onde𝑎e𝑏são constantes positivas ou negativas e𝑒 = 2,718 …(base do logaritmo 
neperiano). A razão de uma função exponencial transparecer como uma reta (função 
linear) no papel mono-log é pelo seguinte: 
log𝑦 = log𝑎 + 𝑏𝑥 log𝑒 
ou 
log𝑦 = │𝑏log𝑒│ + log𝑎 
onde a constante │𝑏log𝑒│é o coeficiente angular e a constante log a é o coeficiente linear da 
reta. 
Podemos observar que a variável dependente (eixo das ordenadas) varia 
logaritmicamente enquanto a variável independente (eixo das abscissas) varia linearmente. 
Para se determinar a função exponencial, devemos determinar os valores das 
constantes a e b. 
 
DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES “a” E “b” 
Como a função exponencial é𝑦 = 𝑎𝑒𝑏𝑥observa-se que para𝑥 = 0tem-se que𝑦 = 𝑎𝑒𝑏0 =
𝑎𝑒0 = 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎. Portanto, determina-se a procurando-se o valor de𝑦 = 𝑎para𝑥 = 0, então do 
gráfico do papel mono-log,𝑎 = 23,2. 
 
 
 
Para se determinar a constante b toma-se dois pontos quaisquer, que pertençam a 
reta do papel mono-log, (t1,I1) e (t2,I2) onde, 
log𝐼2 = (𝑏log𝑒)𝑡2 + log𝑎 
log𝐼1 = (𝑏log𝑒)𝑡1 + log𝑎 
subtraindo as equações tem-se 
𝑏 =
Δlog(𝑙)
log𝑒 ∙ ∆𝑡
 
do gráfico no papel mono-log,𝑏 = −1,4 × 10−3𝑠−1. 
Substituindo a e b na equação𝑦 = 𝑎𝑒𝑏𝑥tem-se 
𝐼 = 23,2exp(−1,4 ∙ 10−3𝑡) 
que é a função procurada.