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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PARÁ
PRÓ-REITORIA DE EXTENSÃO
DIRETORIA DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
CÁLCULO MUMÉRICO 
MANOEL ALEXANDRE
E
EDSON COSTA CRUZ
2011
SUMÁRIO
PLANO DE ENSINO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO NUMÉRICO
1 – ERROS EM SOLUÇÕES NUMÉRICAS 
– ERROS DE ARRENDONDAMENTO
– ERROS DE TRUNCAMENTO
– ERRO TOTAL
PARA SABER MAIS
REFLEXÕES SOBRE A APRENDIZAGEM
RESUMO DA UNIDADE
SUGESTÕES DE LEITURA
UNIDADE 2 – RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
1 – INTRODUÇÃO
2 – MÉTODO DIRETO
2.1 – INTRODUÇÃO
2.2 – MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
2.1.1 – Resolução de Sistemas Triangulares
2.2.2 – Descrição do Método da Eliminação de Gauss
2.2.3 – Algoritmo para Resolução de Ax = b através da Eliminação de Gauss
2.2.4 – Função Criada no MATLAB para Resolver um Sistema de Equações Usando Eliminação de Gauss
Inserir Subtítulo do Capítulo
2.1.1.1 – Inserir Subtítulo do Capítulo
PARA SABER MAIS
REFLEXÕES SOBRE A APRENDIZAGEM
RESUMO DA UNIDADE
SUGESTÕES DE LEITURA
CONSIDERAÇÕES FINAIS DA DISCIPLINA
CURRÍCULO DO(A) PROFESSOR(A)
PLANO DE ENSINO
1 – IDENTIFICAÇÃO
Instituição: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará
Curso: Licenciatura Plena em Matemática – Modalidade EAD
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor(a): Manoel Alexandre e Edson Costa Cruz
Carga Horária: 60h
2 – EMENTA
Erros; Zeros de Funções; Interpolação; Equações e Sistemas Lineares; Equações não Lineares e Cálculo diferencial e Integral Numérico.
3 – OBJETIVOS
3.1 – GERAL
Espera-se que, no final do curso, o aluno seja capaz de usar os conhecimentos básicos de Métodos Numéricos nos domínios da análise, comparação e da aplicação, a fim de comparar, quando, possíveis resultados analíticos e numéricos. Tendo como ferramentas fundamentais vários problemas utilizando programas computacionais, que serão importantíssimos no decorrer do curso de Matemática e futura atividade de pesquisa. 
3.2 – ESPECÍFICOS
- Fundamentar os conceitos e desenvolver as técnicas de métodos numéricos que envolvem resoluções de cálculos de: erros, raízes de equações não lineares, sistemas lineares, derivadas e integrais.
- Desenvolver a habilidade de operar diversos tipos de programas computacionais nas resoluções de métodos numéricos.
- Generalizar os conceitos dos Diversos métodos numéricos da literatura.
- Introduzir a comparação dos resultados analíticos com diversos métodos numéricos na literatura.
4 – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade 1 – Inserir Título do Conteúdo
– Inserir aqui o texto do conteúdo da disciplina.
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Unidade 2 – Inserir Título do Conteúdo
– Inserir aqui o texto do conteúdo da disciplina.
– Inserir aqui o texto do conteúdo da disciplina.
5 – METODOLOGIA
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6 – PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
Serão realizados três fóruns dissertativos que abordarão as aplicações específicas da disciplina, as notas desses fóruns serão distribuídas da seguinte forma: primeiro fórum 10 pontos, segundo fórum 10 pontos e terceiro fórum 10 pontos. Também serão elaboradas tarefas (online e envio de arquivo único) relacionadas aos conteúdos da disciplina onde cada tarefa valerá 10 pontos a média aritmética dos fóruns e tarefas corresponderá (1ª Bimestral). A avaliação será finalizada com uma prova presencial que valerá 10 pontos (2ª Bimestral), para alunos que não alcançarem a média será aplicado uma prova final valendo 10 pontos.
REFERÊNCIAS
AUTOR DA OBRA. Título da obra: subtítulo. Número da edição. Local de Publicação: Editor, ano de publicação. Número de páginas ou volume. (Série)
AUTOR DO ARTIGO. Título do artigo. Título da Revista, (abreviado ou não) Local de Publicação, Número do Volume, Número do Fascículo, Páginas inicial-final, mês e ano.
AUTOR. Título do trabalho. In: NOME DO CONGRESSO, número, ano, Cidade onde se realizou o Congresso. Título (Anais ou Proceedings ou Resumos…). Local de publicação: Editora, data de publicação. Volume, se houver. Páginas inicial e final do trabalho.
AUTOR. Título: subtítulo. Ano de apresentação. Número de folhas ou volumes. Categoria (Grau e área de concentração) - Instituição, local.
NOME DO CONGRESSO. número, ano, Cidade onde se realizou o Congresso. Título… Local de publicação: Editora, data de publicação. Número de páginas ou volume.
PAÍS, ESTADO ou MUNICÍPIO. Lei ou Decreto, número, data (dia, mês e ano). Ementa. Dados da publicação que publicou a lei ou decreto.
TÍTULO DO PERIÓDICO. Local de publicação (cidade): Editora, volume, número, mês e ano.
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A natureza é extremamente complexa. Para tentar entendê-la, criam-se modelos que seguem leis mais simples do que a rica realidade, dando resultados aproximados. Essas leis, que procuram simular a natureza, são, em geral, expressas matematicamente. As formulações matemáticas, embora simplificações do que se passa na realidade, ainda assim, com freqüência, são muito complexas para serem resolvidas analiticamente. É comum a lei física ser expressa por uma equação diferencial cuja solução exata não é possível de ser obtida. Mesmo um cálculo de raiz, aparentemente simples, pode exigir operações que transcendam as contas elementares. Uma integral definida, nem muito complexa em sua formulação, pode não ser analiticamente resolvida.
Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para essas formulações. Além disso, nos problemas reais, os dados com que se trabalha são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Dessa forma trabalha-se, sempre, com a figura do erro, inerente à própria medição. Os métodos aproximados como indicam o nome, estão buscando uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos o se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio. 
Ao longo do fascículo são apresentados modelos que podem ser resolvidos analiticamente, pela simples aplicação de uma fórmula matemática, ao lado de outros que, por sua complexidade, exigem métodos numéricos, métodos aproximados para sua solução.
A idéia central do curso é mostrar, de maneira simples, a presença dos Métodos Numéricos nos diferentes momentos da Física, da Engenharia, da Economia, das Ciências em geral.
Os autores
UNIDADE 1
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO NUMÉRICO
OBJETIVO DA UNIDADE
A unidade tem como objetivo apresentar a importância do estudo dos métodos numéricos e estudar os problemas numéricos que envolvem os cálculos de arredondamento e truncamento existentes nas maiorias dos métodos aplicados nos capítulos a serem estudados. 
1 – ERROS EM SOLUÇÕES NUMÉRICAS 
INTRODUÇÃO
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico por meio da aplicação de métodos numéricos, nem sempre fornece resultados que se encaixam dentro de limites razoáveis. Isso se aplica mesmo quando o método e adequado e os cálculos são efetuados de uma maneira correta. Tal diferença ocorre devido aos erros acumulados na conversão dos números para o sistema aritmético da máquina e nas sucessivas operações realizadas, isso e inerente ao processo e, na maioria dos casos, não tem como ser evitado. Para entender um pouco melhor a fonte de erros, no processo de solução de um problema físico, por meio da aplicação de métodos computacionais,este processo pode ser representado pelo seguinte diagrama:
Modelagem Matemá
tica
Figura 1: Ilustra as três fases da modelagem de um problema I)
 a modelagem, II) a resolução e III) a validação. 
A modelagem e a fase de obtenção do modelo matemático que representa o comportamento do sistema físico em estudo. A resolução e a fase em que obtemos a solução do modelo matemático, que no escopo do presente texto, estará procurando uma aproximação da solução através de métodos numéricos. A validação e a fase em que analisamos os resultados e os confrontamos com os dados reais, para verificar se o modelo matemático se comporta de acordo com o esperado, ou se o método numérico adotado apresenta resultados compatíveis com a realidade do problema original.
1.1.1 Erros na fase de modelagem:
Ao se tentar representar um fenômeno do mundo real por meio de um modelo matemático, raramente se tem uma descrição exata do fenômeno. Muitas vezes, são feitas simplificações da realidade para que se obtenha um modelo matemático com o qual se possa trabalhar. Assim, ao obtermos os resultados numéricos, e primordial uma análise destes em relação uma realidade (validação). As vezes, determinadas simplificação do problema podem conduzir a um modelo falso da realidade, neste caso, devemos procurar um outro modelo que esteja mais adequado a realidade.
1.1.2 Erros na fase de resolução:
Na resolução dos modelos matemáticos, muitas vezes e necessário o uso de instrumentos de cálculo (uma calculadora científica, ou mesmo um computador), que necessitam para seu funcionamento, de uma série de aproximações. Tais aproximações podem gerar erros que são propagados a cada operação que se realiza. Um exemplo e o sistema binário utilizado para a representação numérica, na maioria dos computadores. No processo de mudança de base aparecem os primeiros erros. Observa-se que acontece na iteração entre o usuário e o computador: os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos.
CONVERSÃO DE NÚMEROS NOS SISTEMAS DECIMAIS E BINÁRIO
Veremos inicialmente a conversão de números inteiros.
Considere os números (347)10 e (10111)2 . Estes números podem ser assim escritos:
(347)10 = 3 x 102 + 4 x 101 + 7 x 100
(10111)2 =1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 
De um modo geral, um número na base , pode ser escrito na forma polinomial:
Com esta representação, podemos facilmente converter um número representado no sistema binário para o sistema decimal.
Por exemplo:
(10111)2 =1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
 Colocando agora o número 2 em evidência teremos:
 (10111)2 = 2 x (1 +2 x (1 + 2 x(1 + 2 x (0 + 2 x 1))) +1 = (23)10
	Deste, exemplo, podemos obter um processo para converter um número representado no sistema binário para o sistema decimal
	A representação do número ()2 na base 10, denotada por b0, é obtida através do processo:
Para (10111)2 , a sequência obtida será:
	Um processo para converter um número inteiro representado no sistema decimal para o sistema binário. Considere o número N0 =(347)10Temos que:
347 = 
e, portanto, o dígito representa o resto da divisão de 347 por 2. Repetindo até agora este processo para o número N1 = 173:
Obtemos o dígito , que será o resto da divisão de N1 por 2. Seguindo este raciocínio obtemos a sequência de números Nj e aj
 
 Portanto, a representação de (347)10 na base 2 será 101011011
1.3 - ERROS EM SOLUÇÕES NUMÉRICAS
Soluções numéricas podem ser muitas precisas, mais em geral são inexatas. Dois tipos de erros são introduzidos quando métodos numéricos são usados na solução de um problema. Um deles, ocorre em função da maneira pela qual computadores digitais armazenam números e executam operações numéricas. Estes são chamados de erro de arredondamento. O segundo tipo de erro é introduzido pelo método numérico usado na solução. Estes são chamados erros de truncamento. Métodos numéricos usam aproximações para resolver problemas. Os erros introduzidos por essas aproximações são erros de truncamento. Juntos, os dois erros constituem o erro total da solução numérica, que é a diferença (que pode ser definida de várias formas) entre a solução verdadeira (exata, e que é usualmente desconhecida) e a solução numérica aproximada. Os erros de arredondamento, de truncamento e total serão abordados a seguir.
1.3.1 - ERROS DE AREDONDAMENTO
	Os números são representados em um computador através de um número finito de bits. Consequentemente, números reais que tem uma mantissa mais longa que o número de bits disponíveis para representá-los tem que ser encurtados. Esses requisitos se aplica aos números irracionais, que devem ser encurtados em qualquer sistema, aos números finitos que são muito longos e aos números finitos na forma decimal que não podem ser representados de forma exata na forma binária. Um número pode ser encurtado seja cortado, ou descartado, os algarismos a mais, ou fazendo-se um arredondamento. No corte, o algarismo da mantissa além do comprimento que pode ser armazenado é simplesmente deixado de fora. No arredondamento, o último algarismo armazenado é arredondado.
	Com uma simples ilustração, considere o número 2/3 (por simplicidade, é usado o formato decimal). Na forma decimal com quatro algarismo significativos, 2/3 pode ser escrito como 0,6666 ou 0,6667. No primeiro caso, o número verdadeiro foi cortado, enquanto no último o número verdadeiro foi arredondado. De qualquer maneira, o corte ou arredondamento de números reais leva a erros nos cálculos numéricos, especialmente quando muitas operações são realizadas.
Exemplo: Considere dois números iguais a p = 9890,9 e q = 9887,1. Use a representação decimal em ponto flutuante (notação cientifica) com três algarismo significativos na mantissa para calcular a diferença desses dois números (p – q). Calcule a primeira usando o corte e depois o arredondamento.
Solução:
A representação decimal em ponto flutuante
p = 9,8909 x 103 e q = 9,8871 x 103
Usando o corte temos:
p = 9,890 x 103 e q = 9,887 x 103
A diferença desses dois números (p – q) = 3
Usando o Arredondamento temos:
p = 9,891 x 103 e q = 9,887 x 103
A diferença desses dois números (p – q) = 4
	A diferença exata (p – q) = 3,8. Esses resultados mostram que, no presente problema, o arredondamento leva a um valor mais próximo à resposta verdadeira.
1.3.2 - ERROS DE TRUNCAMENTO
	Os erros de truncamento ocorrem quando os métodos numéricos usados na solução de um problema matemático adotam um procedimento matemático aproximado.
Exemplo: Um exemplo simples é a avaliação numérica de sen(x), que pode ser feita a partir da expansão em série de Taylor.
	O valor de pode ser determinado de forma exata utilizando a serie de Taylor se um número infinito de termos for usado. O seu valor pode ser aproximado com o uso de apenas um número finito de termos. A diferença entre o valor verdadeiro (exato) e o valor aproximado é o erro de truncamento, denotado por ETR. Por exemplo se o primeiro termo for usado:
Se dois termos da série de Taylor forem usado:
 
O erro de truncamento é dependente do método numérico específico ou do algoritmo usado na solução do problema. Detalhes a respeito do erro de truncamento são discutidos ao longo do fascículo à medida que se apresentam os diversos métodos numéricos. O erro de truncamento é independente do erro de arredondamento; ele existe mesmo quando as operações matemáticas são exatas. 
1.3.3 - ERRO TOTAL
	A solução numérica é uma aproximação. Ela sempre inclui erros de arredondamento e, dependendo do método numérico utilizado, também pode incluir erros de truncamento. Juntos, os erros de arredondamento e de truncamento resultamno erro numérico total incluído na solução numérica. Esse erro total, também chamado erro real, á a diferença entre a solução verdadeira (exata) e a solução numérica:
ErroReal = SoluçãoExata - SoluçãoNumérica
	O valor absoluto da razão entre o erro real e a solução exata é chamado de Erro relativo real:
O erro real e o erro relativo real não podem ser de fato determinados em problemas cujas soluções requer o uso de métodos numéricos, já que a solução verdadeira não é conhecida. Contudo, essas grandezas podem ser úteis na verificação da precisão de diferentes métodos numéricos. Isso é feito com o emprego do método numérico na solução de problemas que tem solução analítica, avaliando-se com isso os erros reais.
 No exemplo anterior do Cálculo de o erro de truncamento corresponde ao erro real, logo para o primeiro termo temos como erro relativo real:
 
Utilizando os dois primeiros termos:
 
UNIDADE 2
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES NÃO LINEARES
OBJETIVO DA UNIDADE
A unidade tem como objetivo o estudar de forma comparativa alguns métodos numéricos utilizados nas resoluções de equações não lineares, tendo, também como ferramenta funções residentes do matlab para resolver tais equações.
1 – INTRODUÇÃO
	Equações precisam ser resolvidas em todas as áreas da ciência e da engenharia. Uma equação de única variável pode ser escrita na forma:
	A solução dessa equação ( também chamada raiz) é um valor numérico de que satisfaz à equação. Graficamente, conforme mostra a figura 1, a solução é o ponto onde a função cruza e toca o eixo . Uma equação pode não ter solução ou uma ou varias raízes (possivelmente muitas).
y = 
f
(
x
)
y 
x 
y = 
f
(
x
)
y 
x 
y = 
f
(
x
)
x 
y 
y = 
f
(
x
)
y = 
f
(
x
)
y 
x 
sem
 solução
uma
 solução
Duas soluções 
Três soluções ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS
Figura 2: Ilustração de equações com nenhuma, uma ou varias soluções.
	Quando a equação é simples, o valor de pode ser determinado analiticamente. Esse é o caso quando escreve explicitamente após aplicação de operações matemáticas, ou quando uma fórmula conhecida ( como fórmulas utilizadas na resoluções de equações quadráticas) pode ser usada para determinar o valor exato de . Em muitas situações, no entanto, é impossível determinar analiticamente a raiz da equação. 
2 – ABORDAGENS USADAS NA SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES
	O processo de solução numérica de uma equação é diferente do procedimento usado na obtenção de uma solução analítica. Uma solução analítica é obtida com a dedução de uma expressão que leva a um valor numérico exato. Uma solução numérica é obtida em um processo que começa com a determinação de uma solução aproximada e é seguido de um procedimento numérico no qual se determina uma solução mais precisa.
Os métodos numéricos usados para resolver equações podem ser divididos em dois grupos: Métodos de Confinamento e Métodos Abertos. Nos métodos de confinamento identifica-se um intervalo que inclui a solução. Por definição, os pontos finais do intervalo são os limites superior e inferior da solução. Então, usando um esquema numérico, o tamanho do intervalo é reduzido sucessivamente até a que a distância entre os pontos finais seja menor que a precisão desejada para a solução, fazem parte do método de confinamento o método da bissecção e o método regula falsi, já nos métodos abertos assume-se uma estimativa inicial para a solução (um ponto). O valor dessa tentativa inicial para a solução deve ser próxima à solução real. Então, usando um esquema numérico, valores melhores (mais precisos) são calculados para a solução, fazem parte dos métodos abertos o método de Newton, o método da secante e o método do ponto fixo. 
3- MÉTODOS DE CONFINAMENTO
3.1 Método da Bissecção
3.1.1 Introdução
	O método da bissecção é um método de confinamento usado para se obter a solução de uma equação na forma quando se sabe que, dentro de um dado intervalo [a,b], é contínua e a equação possui uma solução. Quando esse é o caso tem sinais opostos nos pontos finais do intervalo. Se é contínua e tem uma solução entre os pontos , . Em outras palavras, se há uma solução entre , então .
Graficamente:
Método da Bissecção
Figura 
3
: Ilustra o método da bissecção cujo objetivo é reduzir a amplitude que contém a raiz até atingir a precisão requerida.
As iterações são realizadas da seguinte forma:
Exemplo: Sabendo que a função f(x) = log(x)-1 tem uma raiz no intervalo (2, 3) aplique o método da bissecção
3.1.2 Algoritmo
 Seja contínua em [a, b] e tal que 
Dados iniciais
Intervalo inicial 
Precisão 
Se (b – a) < , então escolha para qualquer . Fim
k =1
M = f(a)
Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 8
b = x
Se (b -a) <, escolha para qualquer . Fim
k = k + 1. Volte para o passo 5
Terminado o processo, teremos um intervalo [a, b] que contem a raiz ( e tal que (b -a) <) e uma aproximação para a raiz exata.
3.1.3 Solução de Equação não linear usando o método da Bissecção
O processo da bissecção deve ser interrompido com a obtenção da solução exata. Isso significa que o valor de deve ser tal que = 0. Na realidade a solução exata em geral não pode ser obtida computacionalmente. Na prática, portanto o processo deve ser interrompido quando o erro estimado,for menor que algum valor predeterminado. A escolha do critério de interrupção pode depender do problema a ser resolvido.
	Um problema escrito para determinar a solução numérica com a aplicação do método da bissecção no MATLAB e mostrado a seguir.
Exemplo:
Escreva um programa no MATLAB que determina a solução da equação f(x) 8 – 4,5(x – senx)= 0 usando o método da bissecção:
Solução:
clear all
%plotar o gráfico da função para determinar valores de a e b proximos a
%solução
x=0:0.1:5;
F=8-4.5*(x-sin(x));
plot(x,F)
grid
f= inline('8- 4.5*(x-sin(x))');
%declaração dos valores de a e b e definição do nº max de iterações
a=input('após análise do gráfico entre com o valor de a=');
b=input('após análise do gráfico entre com o valor de b=')
imax=20;tol=0.001;
fa=f(a);fb=f(b);
%interrompe a função se a função tivero mesmo sinal nos pontos a e b
if fa*fb>0
 disp('Erro:A função tem o mesmo sinal nos pontos a e b.')
else
 disp('iteraçoes a b (Xns)solução f(Xns) Tolerância.')
 %calculos das soluçoes numéricas Xns tolerancia f(Xns)
 for i=1:imax
 Xns=(a+b)/2;
 toli=(b-a)/2;
 fXns=f(Xns);
 fprintf('%3i %11.6f%11.6f%11.6f%11.6f%11.6f\n',i,a,b,Xns,fXns,toli)
 %interrompe o programa se a solução exata, f(x)=0, for determinado
 if fXns==0
 fprint('Uma solução exata x=%11.6f foi obtida', Xns)
 break
 end
 %interrompe as iterações se a tolerancia da iteração for menor 
 if toli<tol
 break
 end
 %interrompe as iterações se a solução não tiver sido obtida para imax
 if i==imax
 fprint('solução não obtida em in%i iterações',imax)
 break
 end
 %Determina se a solução está entre a e Xns, ou Xns e b e seleciona a e
 %b para a proxima iteração
 if f(a)*f(b)<0
 b=Xns;
 else
 a=Xns;
 end
 end
end
3.2 Método Regula Falsi
3.2.1 Método Regula Falsi
 	O método regula falsi ( também chamado de método da falsa posição ou de interpolação linear) é um método de confinamento usado para se obter a solução de uma equação na forma quando se sabe que, dentro de um dado intervalo é contínua e a equação possui uma solução.
	Os pontos finais são então conectados por uma linha reta, e a primeira estimativa da solução numérica,, é o ponto onde a linha reta cruza o eixo x. isso contrasta com o método da bissecção, onde o ponto central do intervalo foi escolhido como solução. Para a segunda iteração, define-se um novo intervalo . Esse novo intervalo corresponde a subseção do primeiro intervalo quecontem a solução. Ele é (e ) ou (e ). Os pontos finais do segundo intervalo são em seguida conectados por uma linha reta, e o ponto onde essa nova reta cruza o eixo x se torna a segunda solução estimada, . Para a terceira iteração, um novo subintervalo é selecionado, e as iterações continuam da mesma forma até que a solução numérica seja considerada suficientemente precisa. Conforme é mostrado na figura 2.
Método Regula Falsi
 
Figura 
4
: A solução tem inicio com a obtenção de um intervalo 
que confine a solução
	Para um dado intervalo , a equação da linha reta que conecta os pontos é dado por:
	O ponto onde a reta cruza o eixo x é determinado pela substituição de y = 0 da equação anterior e a solução da equação para x:
	O procedimento (ou algoritmo) usado para se obter uma solução com o método regula falsi é quase o mesmo empregado no método da bissecção.
Exemplo: O método da posição aplicado a f(x) = xlog-1 em [a0,b0] = [2, 3], fica:
3.2.2 Algoritmo
Seja contínua em e tal que 
Dados iniciais
Intervalo inicial 
Precisões 
Se , então escolha para x qualquer . FIM.
Se 
k = 1
Se 
Se faça a = x. Vá para o passo 9.
b = x
Se , então escolha para qualquer . FIM.
k = k+1. Volte ao passo 5
4- MÉTODOS ABERTOS
4.1 Método de Newton
4.1.1 Introdução
Método de Newton	O método de Newton (também chamado de método de Newton-Raphson) é um esquema usado para se obter a solução numérica de uma equação na forma , onde é contínua e diferenciável e sua equação possui uma solução próxima a um ponto dado como ilustramos na figura 3. 
Figura 5: Ilustra o processo com a escolha do ponto x
0
 como a primeira estimativa da solução.
	O processo de solução começa com a escolha do ponto x0 como a primeira estimativa da solução. A segunda estimativa, x1, é obtida a partir do cruzamento com o eixo x da reta tangente a no ponto . A estimativa seguinte, x2, é a intersecção com o eixo x da reta tangente a no ponto , e assim por diante. Matematicamente, na primeira iteração, a inclinação da tangente no ponto é dada por:
Resolvendo tal equação obtém-se:
Sendo assim generalizada para a próxima solução seja obtida a partir da solução atual:
Conhecida como a fórmula iterativa geral do método de Newton. Ela é chamada de fórmula iterativa porque a solução é aplicada com a aplicação repetida da equação em cada valor sucessivo de i.
	O método de Newton também pode ser deduzido a partir da série de Taylor. A expansão em série de Taylor de em torno de é dado por:
Se é uma solução da equação e é um ponto próximo a , então:
	Considerando apenas os dois primeiros termos da série, uma solução aproximada pode ser determinada resolvendo a série para :
Exemplo: Consideremos a função 
4.1.2 Convergência do Método de Newton
	O método de Newton, quando bem sucedido, converge rapidamente. A não convergência usualmente ocorre porque o ponto de partida não está suficientemente próximo da solução. Problemas de convergência ocorrem tipicamente quando o valor de é próximo de zero na vizinhança da solução (onde ). É possível mostrar que o método de Newton converge se a função e suas derivadas primeira e segunda, e , forem continuas, se for diferente de zero na solução, e se o ponto de partida x0 estiver próximo da solução exata.
4.1.3 Algoritmo
Seja a equação 
Suponha que são satisfeitas todas as condições 
Dados iniciais:
x0: aproximação inicial
 precisões 
Se , faça . FIM
k = 1
Se ou se 
k = k+1
volte para o passo 4
4.1.4 Solução de Equação não Linear usando o Método de Newton
A programação do método de Newton é muito simples. Que faz a determinação da raiz de f(x) = 0. O programa consiste em uma repetição na qual a solução seguinte xi é calculada a partir da solução atual x0. As repetições param se o erro for pequeno suficiente de acordo com o erro estimado, para evitar a situação em que as repetições continuar indefinitivamente (porque a solução não converge).
Exemplo: Obtenha a solução da equação y = 8 – 4,5(x-senx) usando o método de Newton utilizando a programação Matlab.
Solução: function Xs=NewtonRaiz(Fun,FunDer,Xest,Err,imax)
%NewtonRaiz determina a raiz de Fun=0 na vizinhança do ponto Xest usando o metodo de Newton
%variaveis de Entrada
%Fun Nome (string) da função que calcula Fun para um dado x
%FUNDER nome (string)da função que calcula a derivada de FUN para um dado x
%Xest Estimativa inicial da função
%Err Erro máximo
%imax número máximo de iterações
%variável de Saida
% Xs solução
for i = 1:imax
Xi=Xest-feval(Fun,Xest)/feval(FunDer,Xest);
if abs((Xi-Xest)/Xest)<Err
 Xs=Xi;
 break
end
Xest=Xi;
end
if i==imax
 fprintf('A solução não foi obtida em %iterações.\n',imax)
 Xs=('Sem resposta');
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y = FunExemplo2(x)
y=8-4.5*(x-sin(x));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y=FunDerExemplo2(x)
y=-4.5+4.5*cos(x);
4.2 Método da Secante.
4.2.1 Introdução
	O método da secante é um esquema usado para se obter a solução numérica de equação na forma . O método usa dois pontos na vizinhança da solução para determinar a nova solução estimada (figura 4). Os dois pontos (marcados como na figura 4) são usados para definir uma linha reta (reta secante), e o ponto onde essa reta intercepta o eixo x (marcada como ponto na figura 4) é a nova solução estimada. Conforme ilustrado, ambos os pontos podem estar de um lado da solução figura 4ª, ou a solução pode estar entre os dois pontos figura 4b.
Método da Secante 
Figura 6: Ilustra o método da Secante com a reta secante depois (a) e entre a solução exata (b).
	
A inclinação da reta é dada por:
Logo:
Assim que o ponto é determinado, ele é usado juntamente com o ponto para calcular a próxima estimativa da solução, . Logo podemos generalizar a equação iterativa do método da secante para uma fórmula geral na qual a nova estimativa da solução é determinada das duas soluções anteriores e dada por:
Exemplo: Consideremos utilizando o método da secante, temos
4.1.3 Algoritmo
Seja a equação 
Suponha que são satisfeitas todas as condições 
Dados iniciais:
x1: aproximação inicial
 precisões 
Se , faça . FIM
k = 1
Se ou se então . FIM
k = k+1
volte para o passo 5
4.1.4 Convergência 
	A análise do método da secante é uma aproximação para o método de Newton, as condições para a convergência do método são praticamente as mesmas; acrescenta-se que o método pode divergir se . A ordem de convergência do método da secante não é quadrática como a do método de Newton, mas também não é linear.
4.1.5 Solução de Equação Não Linear usando o Método da Secante
	A programação do método da secante é muito similar àquele do método de Newton que pode ser usada na determinação da raiz de no matlab. O programa consiste em um laço de repetição no qual a solução seguinte a xi a partir das duas soluções anteriores. A repetição é interrompida se o erro for menor que o estipulado pelo usuário.
Exemplo: 
Obtenha a solução da equação y = 8 – 4,5(x-senx) usando o método da Secante utilizando a programação Matlab.
function Xs=SecanteRaiz(Fun,Xa,Xb,Err,imax)
%SecanteRaiz determina a raiz de Fun=0 usando o metodo da Secante
%variaveis de Entrada
%Fun Nome (string) da função que calcula Fun para um dado x
%a e b dois pontos da vizinhança da raiz
%Xest Estimativa inicial da função
%Err Erro máximo
%imax número máximo de iterações
%variável de Saida
% Xs solução
for i = 1:imax
 FunXb=feval(Fun,Xb);
Xi=Xb-FunXb*(Xa-Xb)/(feval(Fun,Xa)-FunXb);
if abs((Xi-Xb)/Xb)<Err
 Xs=Xi;
 break
end
Xa=Xb;
Xb=Xi;
end
if i==imax
 fprintf('A solução não foi obtida em %iterações.\n',imax)
 Xs=('Sem resposta');
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y= FunExemplo2(x)
y=8-4.5*(x-sin(x));
UNIDADE 3
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 
OBJETIVO DA UNIDADE
A unidade tem como objetivo estudar alguns dos métodos diretos e métodos iterativos utilizados nas resoluções de sistemas lineares, tendo, também como ferramenta a computação científica nas soluções numéricas dos sistemas.
1 – INTRODUÇÃO 
Sistemas de equações lineares aparecem em problemas que contem muitas variáveis dependentes. Tais problemas ocorrem não apenas na engenharia e na ciência, mas também pode aparecer em outras áreas de conhecimento como economia, administração, estatística, etc. Um sistema de duas ou (três) equações com duas ou (três) incógnitas pode ser resolvido manualmente por substituição ou com o uso de métodos matemáticos (por exemplo, a regra de Cramer). Resolver um sistema dessa maneira é praticamente impossível se o número de equação (e incognitas) for maior que três. Daí a necessidade do método numérico quando surgir um problema de engenharia elétrica quando temos um circuito com quatro correntes utilizando a lei de Kirchoff recai num sistema de quatro equação com quatro incógnitas. Obviamente um circuito mais complicado pode requerer uma solução de sistema com um número maior de equações. 
2 – MÉTODO DIRETO
2.1 – INTRODUÇÃO
 Pertencem a esta classe todos os métodos estudados no ensino básico, destacando-se a regra de Cramer. Este método, aplicado à resolução de um sistema n x n envolve o cálculo de (n+1) determinantes de ordem n. Se for igual a 20 podemos mostrar que o número total de operações efetuadas será 21 x20! X 19 multiplicações mais um número semelhante de adições. Assim, um computador que efetue cerca de cem milhões de multiplicações por segundo levaria 3 x 105 anos para efetuar as operações necessárias.
	Dessa forma, o estudo de um método mais eficientes é necessário, pois, em geral, os problemas práticos exigem a resolução de sistemas lineares de grande porte, isto é, sistemas que envolvem um grande número de equações e variáveis.
	Devemos observar que no caso de sistemas lineares n x n, com solução única, o vetor x* é dado por: x* = A-1b. No entanto, calcular explicitamente a matriz A-1 e em seguida calcular efetuar o produto A-1b é desaconselhável, uma vez que o número de operações envolvidas é grande, o que torna este processo não competitivo com os métodos que estudaremos a seguir 	 
2.2 – MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS
	Entre os métodos diretos, destacam-se os métodos de eliminação que evitam o cálculo direto da matriz inversa de A e além disto não apresentam problemas com o tempo de execução com a regra de Cramer.
	O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata. Dizemos que dois sistemas lineares São equivalentes quando possuem a mesma solução.
	Veremos a seguir um algoritmo para resolução de sistemas triangulares e estudaremos como o método da Eliminação de Gauss efetua a transformação do sistema linear original no sistema linear equivalente. 
2.2.1 Resolução de Sistemas Triangulares
Seja o sistema linear Ax = b, onde A: matriz n x n, triangular superior, com elementos da diagonal diferente de zero. Escrevendo as equações deste sistema, temos:
Da última equação, temos:
 pode então ser obtido da penúltima equação:
E assim sucessivamente obtém-se e finalmente 
Em termo geral temos
2.2.2 Descrição do Método da Eliminação de Gauss
Conforme dissemos anteriormente, o método consiste em transformar convenientemente o sistema linear original para obter um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes triangular superior.
Para modificar convenientemente o sistema linear dado de forma a obter um sistema equivalente, faremos uso do teorema.
Teorema1
Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando sobre as equações deste sistema uma sequência de operações elementares escolhidas entre:
Trocar duas equações
Multiplicar uma equação por uma constante não nula
Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação
Obtemos um novo sistema A”x = b” e os sistemas Ax = b e A”x = b” são equivalentes.
Suponhamos que det(A) ≠ 0 para triangularizar a matriz a eliminação é feita por colunas e chamaremos de etapa k do processo a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1, k+2,.........,n. Usaremos a notação para denotar o coeficiente da linha i e coluna j no final da k-ésima etapa, bem como será o i-ésimo elemento do vetor constante no final da etapa k.
2.2.3 Algoritmo para Resolução de Ax = b através da Eliminação de Gauss
Seja o sistema linear Ax = b, A: n x n, x: n x 1, b: n x1
	Supor que o elemento que está na posição akk é diferente de zero no início da etapa k.
Eliminação
Resolução do Sistema
2.2.4 Função Criada no MATLAB para Resolver um Sistema de Equações Usando Eliminação de Gauss
Quando o método de eliminação de Gauss é programado, é conveniente e mais eficiente criar uma matriz que inclua a matriz de coeficiente [a] e o vetor [b] que contem os lados diretos das equações. Isso é feito acrescentando-se o vetor [b] à matriz [a] (matriz aumentada).
Exemplo: Escreva uma matriz no MATLAB para resolver um sistema de equações lineares, [a] [x] = [b], usando o método de eliminação de Gauss. Use x = Gauss(a,b) como nome de função e argumentos, onde a é a matriz de coeficientes, b é o vetor coluna contendo os termos no lado direito das equações e x é um vetor coluna contendo a solução.
% Programa função definida pelo usuário (eliminação de Gauss)
% A função resolve um Sistema de eq. Lineares usando método de Gauss
% Variáveis de Entrada
% a Matriz de coeficientes
% b Vetor coluna contendo as constantes do lado direito do sistema
% x vetor coluna com solução
function x = Gauss(a,b)
ab = [a,b];
[R,C] = size(ab);
for j = 1:R-1
 for i = j+1:R
 ab(i,j:C) = ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);
 end
end
x = zeros(R,1);
x(R) = ab(R,C)/ab(R,R);
for i = R-1:-1:1
 x(i) = (ab(i,C)-ab(i,i+1:R)*x(i+1:R))/ab(i,i);
end
 
Resolva o sistema abaixo utilizando o programa computacional
3 – MÉTODOS ITERATIVO
3.1 – INTRODUÇÃO
A idéia central dos métodos iterativos é generalizar o método do ponto fixo utilizado na busca de raízes de uma equação.
 	
	Seja o sistema linear Ax = b, onde:
	A: matriz dos coeficientes, n x n
	x: vetor das variáveis n x 1
	b: vetor dos termos constantes, n x 1.
	Este sistema é convertido, de alguma forma, num sistema do tipo x =Cx + g onde C é matriz n x n e g vetor n x 1. Observemos que φ(x) = Cx + g é uma função iteração dada na forma matricial.
	É então proposto o esquema iterativo:
	Partindode x(0) (vetor de aproximação inicial) e então construímos consecutivamente os vetores:
 		x(1) = Cx(0) + g = φ (x(0)) (primeira aproximação)
 x(2) = Cx(1) + g = φ (x(1)) (segunda aproximação) etc.
De modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula x(k+1) = Cx(k) + g, ou seja, x(k+1) = φ (x(k)), k = 0,1,......
	É importante observar que se a sequência de aproximação x(0) , x(1) ,........., x(k) ,...... é tal que , então , ou seja, é a solução do sistema linear Ax = b.
 
3.2 – TESTE DA PARADA
	O Processo iterativo é repetido até que o vetor x(k) esteja suficientemente próximo do vetor x(k-1).
	Medindo a distância entre x(k) e x(k-1) por:
	Assim, dada uma precisão , o vetor x(k) será escolhido como , solução aproximada da solução exata, de .
	Da mesma maneira que no teste de parada dos métodos iterativos para zeros de funções, podemos efetuar aqui o teste de erro relativo:
Computacionalmente usamos também como teste de parada um número máximo de iterações. 
 
3.3 – MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-JACOBI
	No método de Jacobi, um valor inicial é escolhido para cada uma das incógnitas, Se não houvernenhuma informação a respeito de valores aproximados de incógnitas, pode-se assumir que o valor inicial de todas elas seja igual a zero. A segunda estimativa da solução , é calculada com a substituição da primeira estimativa.
A forma como o método de Gauss-Jocobi transformar o sistema linear Ax = b em x = Cx + g é a seguir:
Tomamos o sistema original:
E supondo , isolamos o vetor mediante a separação pela diagonal, assim:
Desta forma, temos x = Cx +g, onde
O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado x(0), aproximação inicial, obter x(1) ......, x(k) .....
Através da relação recursiva x(k+1) = Cx(k) + g :
Exemplo 1:
Resolva o sistema Linear:
 
Pelo método de Gauss- Jacobi com 
O processo iterativo é
Na forma matricial x(k+1) = Cx(k) + g
Assim (k = 0) temos:
Calculando para saber se satisfaz o erro estipulado no problema, temos
Prosseguindo as iterações, temos:
Então a solução do sistema linear, com erro menor que 0.05, obtido pelo método de Gauss- Jacobi, é:
 
3.4 – CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA
	O teorema que estabelece uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss- Jacobi é dado por:
Teorema (Critério das Linhas): Seja o sistema linear Ax = b e seja então o método de Gauss-Jacobi gera uma sequência {x(k)} convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial, x(0)
Exemplo 2:
Analisando a matriz do sistema linear do Exemplo 1,
 
Então onde, pelo critério das linhas, temos garantia de convergência para o método de Gauss-Jacobi.
3.5 – MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SIEDEL
No método de Gauss-Siedel o sistema linear Ax = b e escrito na forma equivalente x = Cx +g por separação da diagonal.
	O processo iterativo consiste em, sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(1),
x(2), x(3),........, x(k),.... por:
	Portanto, no processo iterativo de Gauss-Siedel, no momento de se calcular usamos todos os valores , que já foram calculados e os valores restantes.
Exemplo 3: Resolva o sistema linear
 
Pelo método de Gauss-Seidel com e 
O processo iterativo é:
Assim, (k = 1) e
Continuando as iterações obtemos:
Assim, a solução do sistema linear dado com erro menor que , pelo método de Gauss-Siedel, é
3.6 – CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SIEDEL
	Para determinar a convergência do método de Gauss-Siedel utilizaremos o critério de Sassenfeld.
	Seja a solução exata do sistema Ax = b seja:
a k-enézima aproximação de x*.
Uma condição que nos garanta que quando , ou seja, que 
Agora 
 
Chamaremos de e sejam
O critério de Sassenfeld estabelece que :
Seja 
Se , então o método de Gauss-Siedel gera uma sequência convergente qualquer que seja x(0). Além disto, quanto menor for , mais rápido será a convergência. 
Exemplo 4: Seja o sistema Linear
Para este sistema linear com esta disposição de linhas e colunas, temos:
Portanto, então temos a garantia de que o método de Gauss-Siedel vai gerar uma sequência convergente.
2.2.4 Funções Criadas no MATLAB para Resolver um Sistema de Equações Usando o Método Iterativo de Gauss-Jacobi e Gauss Siedel
	No método de Gauss-Siedel, os valores atuais das incógnitas são utilizados no cálculo do novo valor da próxima incógnita. Em outras palavras, à medida que um novo valor é calculado, ele é imediatamente utilizado na próxima aplicação enquanto que no método de Jacobi, os valores das incógnitas obtidas em uma iteração são utilizados como um conjunto completo no cálculo dos novos valores das incógnitas na próxima iteração,por este motivo o método de Gauss-Siedel converge mais rápido do que o método de Gauss-Jacobi e requer menos memória computacional quando programado. Segue abaixo programa que resolve qualquer sistemas lineares 3 x 3 utilizando os dois métodos.
% -------------------------------------------------------------------------
% Este programa partindo da aproximação inicial X0=[5/4,-1/4]
% aproxime a solução do sistema
% qualquer 3 X 3
% aplicando o método de Jacobi e o método de Gauss-Seidel por forma a que
% ||xk - xk-1 || < 0.5 x 10-1
% -------------------------------------------------------------------------
A = input('Entre com a matriz A') %A=introduzir a matriz A
b = input('entre com o vetor b')%b=[2.5 0.5]' % introduzir o vector b
X0 = input('entre com a soluçao inicial')% introduzir a solução inicial X0 qualquer
[X,dX,Z]=jacobi(A,b,X0,0.05,2);
m=length(Z);
k=1:m;
disp('');
disp('---------------------Método de Jacobi --------------------');
disp(' Iteração x(1) x(2) x(3) ');
disp('--------------------------------------------------------------');
disp([k',Z])
disp('--------------------------------------------------------------');
disp(' ');
disp(['A solução: ','x1= ',num2str(Z(m,1),8),' x2= ',num2str(Z(m,2),8),' x3= ',num2str(Z(m,3),8)]);
[X,dX,Z]=gseidel(A,b,X0,0.05,2);
m=length(Z);
k=1:m;
disp(' ');
disp('-------------------Método de Gauss-Seidel --------------------');
disp(' Iteração x(1) x(2) x(3)');
disp('--------------------------------------------------------------');
disp([k',Z])
disp('--------------------------------------------------------------');
disp(' ');
disp(['A solução: ','x1= ',num2str(Z(m,1),8),' x2= ',num2str(Z(m,2),8),' x3= ',num2str(Z(m,3),8)]);
function [X,delta,Z] = gseidel(A,b,X0,eps,max)
%--------------------------------------------------------------------------
% Implementa o método iterativo de Gauss-Seidel para determinar uma solução
%aproximada de Ax=b
% Executar
% [X,delta] = gseidel(A,B,P,delta,max1)
% [X,delta,Z] = gseidel(A,B,P,delta,max1)
% Entrada
% A a matriz A do sistema
% b o vector dos termos independentes
% X0 a solução inicial
% eps se abs(X(k)-X(k-1))< eps FIM !!!
% max número máximo de iterações
% Devolve
% X o vector com a solução
% delta a norma do vector abs(X(k)-X(k-1))
% Z Matrix com todas as soluções (uma por linha)
%--------------------------------------------------------------------------
n = length(b);
Xant = X0; % inicializa Xant
X=X0; % inicializa X
Z = X0'; % inicializa Z
for k=1:max, % iterar até max vezes
for j = 1:n, % para cada equação
% X(j)= (b(j)-a(j,1)*X(1)-...-a(j,j-1)*X(j-1)- a(j,j+1)*Xant(j+1)-...-
%a(n,n)*Xant(n))/ ajj
if j==1
Sum = b(1) - A(1,2:n)*Xant(2:n);
elseif j==n
Sum = b(n) - A(n,1:n-1)*X(1:n-1);
else
Sum = b(j)-A(j,1:j-1)*X(1:j-1)-A(j,j+1:n)*Xant(j+1:n);
end
X(j) = Sum/A(j,j);
end
Z = [Z;X']; % armazena a história
delta = norm(abs(X-Xant),1);
if (delta<eps) break, end
Xant = X;
end
function [X,delta,Z] = jacobi(A,b,X0,eps,max)
%-----------------------------------------------------------------------
% Implementa o método iterativo de Jacobi para determinar uma solução
% aproximada de Ax=b
% Executar
% [X,delta] = jacobi(A,B,P,delta,max1)
% [X,delta,Z] = jacobi(A,B,P,delta,max1)
% Entrada
% A a matriz A do sistema
% b o vector dos termos independentes
% X0 a solução inicial
% eps se abs(X(k)-X(k-1))< eps FIM !!!
% max número máximo de iterações
% Devolve
% X o vector com a solução
% delta a norma do vector abs(X(k)-X(k-1))
% Z Matrix com todas as soluções (uma por linha)
%-----------------------------------------------------------------------
n=length(b);
Xant = X0; % inicializa Xant
X=X0; % inicializa X
Z = X0'; % inicializa Z
for k=1:max, % iterar até max vezes
for j = 1:n, % para cada equação
% X(j)= (b(j)-a(j,1)*Xant(1)-...-a(j,j-1)*Xant(j-1)-
%a(j,j+1)*Xant(j+1)-...-a(n,n)*Xant(n))/ ajj
Sum = b(j) - A(j,[1:j-1,j+1:n])*Xant([1:j-1,j+1:n]);
X(j) = Sum/A(j,j);
end
Z = [Z;X']; % armazena a história
delta = norm(abs(X-Xant),1);
if (delta<eps) break, end
Xant = X;
end
Ajuste os programas para calcular o sistema linear 4 x4 abaixo
 
UNIDADE 4
AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAÇÃO 
OBJETIVO DA UNIDADE
A unidade tem como objetivo estudar alguns dosmétodos numéricos para ajustar curvas lineares e não lineares e métodos numéricos de interpolação sempre fazendo a comparação dos diversos métodos com objetivo de identificar qual o melhor método que melhor se ajusta ao problema estudado.
AJUSTE DE CURVAS
INTRODUÇÃO
O ajuste de curvas é um procedimento no qual uma fórmula matemática (equação) é usada para produzir uma curva que melhor represente um conjunto de dados. O objetivo é encontrar uma equação que possa fazer isso de forma geral. Isso significa que a função que não tem que fornecer valor exato em cada ponto, mas sim representar o conjunto de dados de forma satisfatória como um todo. O ajuste de curva é tipicamente utilizado quando os valores dos dados medidos apresentam algum erro ou dispersão. Em geral qualquer medição experimental apresenta erro ou incertezas inerentes, e a procura por uma curva que passe por todos os pontos medidos não traz consigo qualquer benefício. O procedimento de ajuste também é usado para determinar os valores dos parâmetros (coeficientes) nas equações. Isso pode ser feito com muitas funções diferentes e com polinômios de varias ordens. 
REGRESSÃO LINEAR POR MÍNIMOS QUADRADOS
A regressão linear por mínimos quadrados é um procedimento no qual os coeficientes da função linear são determinados de tal forma que essa função leve ao melhor ajuste de um determinado conjunto de pontos. O melhor ajuste é definido como o menor erro total calculado com a soma dos quadrados dos resíduos.
	Para um dado conjunto de pontos , o erro global calculado é:
 (1)
	Como todos os valores de são conhecidos. E da equação (1) é uma função não linear de duas variáveis . A função E tem um mínimo nos valores de nos quais as derivadas parciais de E em relação a cada variável são iguais a zero. Calculando as derivadas e as igualando a zero, obtém-se:
(2)
 (3)
As equações (2) e (3) formam um sistema de duas equações lineares com incógnitas e podem ser escritas na forma:
 (5)
 (6)
A solução do sistema é:
 (7)
 (8)
Com as equações (7) e (8) contêm somas idênticas, é conveniente calculá-las primeiramente para então substituí-las nas equações, para fazer isso, tais somas são definidas como:
 (9)
Com essas definições, as equações dos coeficientes são:
 
 (10)
 (11)
As equações (10) e (11) fornecem os valores de na função que levam ao melhor ajuste dos pontos do conjunto de dados.
Aplicação computacional do método dos mínimos quadrados para ajuste de curva
O método pode ser utilizado no ajuste de uma equação linear construída após a coleta de um conjunto de dados experimentais como:
Exemplo 1: De acordo com a lei de Charles para um gás ideal em um volume constante, existem uma relação linear entre a pressão p e a temperatura T. A temperatura de gás é então elevada em incremento de 10 graus Celsius a partir de 0º até 100º e os dados obtidos são:
	T(ºC)
	0
	10
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	80
	90
	100
	p(atm)
	0,94
	0,96
	1,0
	1,05
	1,07
	1,09
	1,14
	1,17
	1,21
	1,24
	1,28
 
Trace o gráfico dos dados no matlab
Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar a função linear usando apenas 4 pontos 0, 30, 70 e 100ºC.
Use o matlab para plotar o gráfico de dados e o gráfico utilizando a equação depois de utilizar o método de mínimos quadrados (mostre os valores dos coeficientes ).
Solução:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	a) cria-se um gráfico no matlab com o programa
T=0:10:100;
p=[0.94 0.96 1 1.05 1.07 1.09 1.14 1.17 1.21 1.24 1.28];
plot(T,p,'or')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%b) Os coeficientes são calculados com:
 
 
A substituição das somas acima nas equações (10) e (11)
 
Logo a equação da pressão em função da temperatura é dada por:
Programa para calcular os coeficientes 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Regressao linear minimos quadrados
function [a1,a0]=RegressaoLinear(x,y)
nx=length(x);
ny=length(y);
if nx~=ny;
 disp('ERRO:o numero de elementos de x deve ser o mesmo que em y')
 a1='Erro';
 a0='Erro';
else
 Sx=sum(x);
 Sy=sum(y);
 Sxy=sum(x.*y);
 Sxx=sum(x.^2);
 a1=(nx*Sxy-Sx*Sy)/(nx*Sxx-Sx^2);
 a0=(Sxx*Sy-Sxy*Sx)/(nx*Sxx-Sx^2);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Programa para plotar os gráficos 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
T=0:10:100;
p=[0.94 0.96 1 1.05 1.07 1.09 1.14 1.17 1.21 1.24 1.28];
[a1,a0]=RegressaoLinear(T,p);
coefa1ea0=[a1 a0]
T2=0:0.1:100;
rmq=polyval(coefa1ea0,T2);
plot(T,p,'or')
hold on
plot(T2,rmq,'k','linewidth',2 )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
AJUSTE DE CURVA COM POLINÔMIOS QUADRÁTRICOS E DE ORDEM SUPERIOR
Polinômios são funções que tem forma:
 (12)
		Os coeficientes são números reais e , que é um inteiro não negativo, é o grau , ou ordem, do polinômio. O gráfico do polinômio é uma curva. Um polinômio de primeira ordem é uma função linear, e seu gráfico é uma linha reta. Polinômio de ordem mais elevadas são funções não lineares, e seus gráficos são curvas. Um polinômio quadrático (de segunda ordem) gera uma curva (parábola) que é côncava para cima ou para baixo. Um polinômio de terceira ordem gera um ponto de inflexão que faz com que a curva associada seja côncava para cima (ou para baixo) em uma região, é côncava para baixo (ou para cima) em outra. Em geral, a medida que a ordem do polinômio aumenta, suas curvas passa a ter mais tortuosidades.
		Um determinado conjunto de dados contendo pontos pode ser ajustado com polinômios de ordens diferentes até uma ordem . Conforme mostra a figura 1, os coeficientes de um polinômio podem ser determinados de tal forma que forneça o melhor ajuste para um determinado conjunto de dados, o que é feito com a minimização do erro utilizando mínimos quadrados. A Figura 1 mostra o ajuste de curvas com polinômios de diferentes ordens, tendo como referencia um mesmo conjunto de 11 pontos. Os gráficos mostram que, a medida que a ordem do polinômio aumenta, as curvas se aproximam dos pontos. Na realidade é possível ter um polinômio que passe exatamente por todos os pontos. Para pontos, isso ocorre com o polinômio . Na figura 1 isso ocorre com o polinômio de grau 10.
Figura 1: Ilustra ajuste de curva de um mesmo conjunto de dados usando polinômios com diferentes graus 	
 REGRESSÃO POLINOMIAL
A regressão polinomial é um procedimento usado na determinação dos coeficientes de um polinômio de segundo grau, ou de ordem maior, de forma que esse polinômio produza o melhor ajuste de um determinado conjunto de dados. Como na regressão linear, a dedução das equações utilizadas para determinar os coeficientes se baseia na minimização do erro total de acordo com a equação (1).
Se o polinômio de ordem usado no ajuste da curva é:
 (13)
Então, para um dado conjunto pontos(é menor que ), o erro total calculado pela equação (1) é:
 (14)
Como todos os valores que constituem o conjunto de dados são conhecidos. E da equação (14) é uma função não linear das variáveis (os coeficientes ). A função E tem um mínimo nos valores de nos quais as derivadas parciais de E em relação a cada uma das variáveis são iguais a zero. Calculando as derivadas parciais de E na equação (14) e as igualando a zero obtém-se um conjunto equações lineares para os coeficientes. Para simplificar a apresentação,a dedução para o caso (polinômio quadrático) é mostrado abaixo:
Logo a equação (14) , teremos:
 (15)
Calculando as derivadas parciais em relação a e igualando os resultados a zero, obtém-se:
(16)
 
(17)
(18)
As equações (16), (17) e (18) formam um sistema de três equações lineares em função das incógnitas , que podem escritos na forma:
 (19)
 (20)
 (21)
A solução do sistema de equações (19) a (21) fornece os valores de dos coeficientes do polinômio que melhor se ajusta aos pontos. Os coeficientes de polinômios de ordem superior são deduzidos da mesma forma.
 programa para calcular os coeficientes de polinômios de ordem superior usando regressão POLINOMIAL
Usando os valores obtidos em teste de tensão para determinar o comportamento tensão-deformação da borracha. Os dados coletados no teste são mostrados na tabela abaixo. Determine o programa do matlab o polinômio de quinta ordem que faça o melhor ajuste dos pontos. Teste um gráfico que inclua esses pontos e a curva correspondente ao polinômio.
	Deformação
	0
	0,4
	0,8
	1,2
	1,6
	2,0
	2,4
	2,8
	3,2
	Tensão
	0
	3,0
	4,5
	5,8
	5,9
	5,8
	6,2
	7,4
	9,6
	Deformação
	3,6
	4,0
	4,4
	4,8
	5,2
	5,6
	6,0
	
	
	Tensão
	15,6
	20,7
	26,7
	31,1
	35,6
	39,3
	41,5
	
	
Solução:
Um polinômio de quinta ordem pode ser escrito como:
O ajuste de curva para representar os 16 pontos medidos é feito com o emprego da regressão polinomial. Os valores dos coeficientes são obtidos com a solução de um sistema com seis equações lineares. Estas seis equações podem ser escritas a partir da extensão das equações (19) a (21). 
Os cálculos e o traçado do gráfico são feitos no matlab utilizando o programa:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%AJUSTE DE CURVA REGRESÃO POLINOMIAL
clear all
x=0:0.4:6;
y= [0 3 4.5 5.8 5.9 5.8 6.2 7.4 9.6 15.6 20.7 26.7 31.1 35.6 39.3 41.5];
n= length(x);
m=5;
for i=1:2*m
 xsum(i)=sum(x.^(i));
end
%inicio do paaso 3
a(1,1)=n;
b(1,1)=sum(y);
for j=2:m+1
 a(1,j)=xsum(j-1);
end
for i=2:m+1
 for j=1:m+1
a(i,j)=xsum(j+i-2);
 end
b(i,1)=sum(x.^(i-1).*y);
end
%inicio do paaso 4
p=(a\b)'
for i=1:m+1
 pcoef(i)=p(m+2-i);
end
epsilon=0:0.1:6;
str=polyval(pcoef,epsilon);
plot(x,y,'or')
hold on
plot(epsilon,str,'k','linewidth',2 )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O polinômio obtido após o ajuste de curva é:
interpolação usando um único polinômio
A interpolação é um processo no qual uma fórmula matemática é usada para fornecer o valor exato dos pontos pertencentes a um conjunto de dados e um valor estimado entre esses pontos. Esta seção mostra como isso é feito empregando-se um único polinômio, independentemente do número de pontos envolvidos. Conforme mencionado na seção anterior, para qualquer numero n de pontos existem um polinômio de ordem n-1 que passa por todos esses pontos. Para dois pontos, esse polinômio é de primeira ordem (uma linha reta os conectando). Para três pontos, o polinômio é de segunda ordem (uma parábola os conectando), e assim por diante. Isso é ilustrado na Figura 2, que mostra polinômio de primeira, segunda, terceira e quarta ordem conectado, respectivamente, dois, três, quatro e cinco pontos.
Figura 2: Ilustra polinômios de várias ordens
Uma vez determinado o polinômio, ele pode ser usada para estimar os valores de y entre os pontos conhecidos, o que é feito simplesmente com a substituição com a coordenada de x desejada no polinômio. A interpolação usando um único polinômio fornece bons resultados apenas para pequeno número de pontos. Para um grande número de pontos, a ordem do polinômio deve ser elevada e, embora esse polinômio passe por todos os pontos, ele pode apresentar um desvio significativo fora deles. Isso foi mostrado na Figura 1 para um polinômio de grau 10. Consequentemente, a interpolação com apenas um polinômio pode não ser apropriado para um número elevado de pontos.
Para um dado conjunto de n pontos, apenas um (único) polinômio de ordem m (m = n-1) passa exatamente por todos os pontos. Esse polinômio, no entanto, pode ser escrito de diferentes formas matemáticas. A forma padrão de um polinômio de ordem m é dada na equação (13) 
 programa para calcular os coeficientes de polinômios de ordem superior usando interpolação POLINOMIAL
Utilizando seis pontos do problema da seção anterior calcular os coeficientes do polinômio de 5 ordem utilizando o programa matlab temos:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%interpolação usando um unico polinomio de 5ªordem 
% deformação 0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 
%Tensão 3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5
x=[0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0];
y=[3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5];
a=[0.4.^5 0.4.^4 0.4.^3 0.4.^2 0.4.^1 1
 1.2.^5 1.2.^4 1.2.^3 1.2.^2 1.2.^1 1
 2.4.^5 2.4.^4 2.4.^3 2.4.^2 2.4.^1 1
 3.6.^5 3.6.^4 3.6.^3 3.6.^2 3.6.^1 1
 4.8.^5 4.8.^4 4.8.^3 4.8.^2 4.8.^1 1
 6.^5 6.^4 6.^3 6.^2 6.^1 1];
b=[3;5.8;6.2;15.6;31.1;41.5];
coef=(a\b)'
epsilon=0:0.1:6;
str=polyval(coef,epsilon);
plot(x,y,'or')
hold on
plot(epsilon,str,'k','linewidth',2 )
plot(x,y,'or')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
O polinômio correspondente utilizando os seis pontos no programa é:
Na prática, a solução de um sistema de equação não é eficiente, especialmente quando polinômios de ordem mais elevada estão envolvidos. Alem disso, a matriz dos coeficientes é frequentemente mal condicionada.
	É possível escrever o polinômio em outras formas de uso mais fácil. Duas dessas formas, as formas de Lagrange e de Newton, são descritas nas duas seções a seguir.
polinômios interpoladores de lagrange
Os polinômios interpoladores de Lagrange formam uma classe específica de polinômios que podem ser usados para fazer o ajuste de um determinado conjunto de dados simplesmente a partir dos valores dos pontos. Os polinômios podem ser escritos diretamente, e os coeficientes são determinados sem a necessidade de nenhum cálculo preliminar.
Fiura 
3
: Ilustra o polinômio de Lagrange de Primeira ordem 
Para dois pontos da Figura 3 o polinômio de Lagrange de primeira ordem tem a forma:
 (22)
Substituindo os dois pontos na equação (22), obtem-se:
 (23)
e
 (24)
Substituindo os coeficientes na equação (22), obtém-se:
 (25)
Para três pontos , o polinômio de Lagrange de segunda ordem Figura 4 tem forma:
 (26)
Figura 4: Ilustra
 
o polinômio de Lagrange de segunda ordem
Uma vez determinados os coeficientes de forma que o coeficiente passe pelos três pontos, o polinômio é:
 (27)
Seguindo o formato dos polinômios nas equações (25) e (27), a fórmula geral de um polinômio de Lagrange de ordem n-1 que passe por n pontos é:
 (28)
A equação (28) pode ser escrita de forma compactada usando a notação de soma e produto como:
 (29)
Onde as funções são chamadas de funções de Lagrange.
 Programa para calcular os polinômios interpoladores de lagrange
Usando o exemplo experimental dos capítulos anteriores para uma interpolação de 5 ordem teremos o seguinte programa:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%interpolação usando o polinomio de LAGRANGE de 5ªordem 
% deformação 0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 
%Tensão 3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5
x=[0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0];
y=[3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5];
X=0:0.1:6;
T1=((X-1.2).*(X-2.4).*(X-3.6).*(X-4.8).*(X-6)*3)/((0.4-1.2).*(0.4-2.4).*(0.4-3.6).*(0.4-4.8).*(0.4-6));
T2=((X-0.4).*(X-2.4).*(X-3.6).*(X-4.8).*(X-6)*5.8)/((1.2-0.4).*(1.2-2.4).*(1.2-3.6).*(1.2-4.8).*(1.2-6));
T3=((X-1.2).*(X-0.4).*(X-3.6).*(X-4.8).*(X-6)*6.2)/((2.4-1.2).*(2.4-0.4).*(2.4-3.6).*(2.4-4.8).*(2.4-6));T4=((X-1.2).*(X-2.4).*(X-0.4).*(X-4.8).*(X-6)*15.6)/((3.6-1.2).*(3.6-2.4).*(3.6-0.4).*(3.6-4.8).*(3.6-6));
T5=((X-1.2).*(X-2.4).*(X-3.6).*(X-0.4).*(X-6)*31.1)/((4.8-1.2).*(4.8-2.4).*(4.8-3.6).*(4.8-0.4).*(4.8-6));
T6=((X-1.2).*(X-2.4).*(X-3.6).*(X-4.8).*(X-0.4)*41.5)/((6-1.2).*(6-2.4).*(6-3.6).*(6-4.8).*(6-0.4));
ylagrange=T1+T2+T3+T4+T5+T6;
plot(x,y,'or')
hold on
plot(X,ylagrange,'k','linewidth',2 )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 polinômios interpoladores de newton
Os polinômios interpoladores de Newton são uma forma popularmente usadas no ajuste exato de conjuntos de dados. A forma geral do polinômio de Newton de ordem n-1 que passa Por n pontos é:
 (30)
A característica especial de um polinômio como esse está no fato de os coeficientes poderem ser determinados a partir de um procedimento matemático simples (a determinação dos coeficientes não requer a solução de um sistema com n equações). Uma vez conhecidos os coeficientes, o polinômio pode ser usado para calcular um valor interpolado em qualquer x.
Os polinômios interpoladores de Newton tem características adicionais desejáveis que os fazem uma escolha popular. Os pontos do conjunto de dados não precisam estar ordenados de forma ascendente ou decrescente, ou mesmo em qualquer ordem. Alem disso, após a determinação dos n pontos coeficientes de um polinômio interpolador de Newton de ordem n-1, mais pontos podem ser adicionados ao conjunto de dados, sendo necessário apenas determinar os coeficientes adicionais.
Figura 5: Ilustra o polinômio de Newton de primeira ordem
Para dois pontos , o polinômio de Newton de primeira ordem tem a forma:
 (31)
Conforme mostra a figura 5 a equação da reta que passa pelos dois pontos é dado por:
 (32) 
Resolvendo a equação (32), obtemos:
 (33)
Comparando a equação (31) com a equação (33), obtêm-se os valores dos coeficientes em termos de coordenadas dos pontos:
 (34)
Nota-se que o coeficiente é a inclinação da reta que conecta os dois pontos. 
Figura 5: Ilustra o polinômio de Newton de segunda ordem
	Para três pontos, o polinômio de Newton de segunda ordem tem a forma:
 (35)
Conforme mostrado na figura 6 a equação (35) descreve uma parábola que passa pelos três pontos dados. Os coeficientes , podem ser determinados com a substituição dos três pontos na equação (35). A substituição de resulta em . A substituição do segundo ponto, , na equação 35 resulta em:
A substituição do terceiro ponto na equação (35) resulta em:
 (36)
Para quatro pontos 
 o polinômio de Newton de terceira ordem tem a forma:
 (37)
As fórmulas para os coeficientes são as mesmas usadas para o polinômio de segunda ordem. A fórmula para determinar o coeficiente pode ser obtida com a substituição dos pontos na equação (37):
 (38)
Um exame cuidadoso das equações dos coeficientes as equações (34), (36) e (38) mostram que essas expressões seguem um certo modelo. Esse modelo fica mais claro com a definição das chamadas diferenças divididas.
	Para dois pontos a diferença dividida é definida como a inclinação da reta que conecta os dois pontos é escrita como:
(39)
Para três pontos:
 (40)
Para quatro pontos:
 (41)
A terceira diferença dividida é portanto igual ao coeficiente a4.
A próxima (quarta) diferença dividida para cinco pontos é
 (42)
	O procedimento de determinação dos coeficientes usando as diferenças divididas pode ser acompanhado em uma tabela. Uma tabela como essa é ilustrada na figura 7 para o caso de um conjunto de dados com cinco pontos.
	Em termos gerais, para n pontos as primeiras diferenças divididas entre os dois pontos
 são dadas por:
 (43)
Figura 7: Ilustra a tabela de diferenças divididas para um conjunto de dados com cinco pontos
	A k- ésima diferença dividida de ordem 2 ou superior é dada por (equação válida até a diferença de ordem (n-1)):
 (44)
Com essas definições, o polinômio de Newton de ordem (n-1), equação (44) é dada por:
 (45)
 Programa para calcular os polinômios interpoladores de newton
Usando o exemplo experimental dos capítulos anteriores para uma interpolação de 5 ordem teremos o seguinte programa:
Com os coeficientes determinados, o polinômio é:
a1=3.0; a3=-1.5835; a4=1.4714; a5=-0.3980; a6=0.0413*;
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%interpolação usando o polinomio de NEWTON de 5ªordem 
% deformação 0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 
%Tensão 3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5
 % a1 
% deformação 0.4 Tensão 3.0 a2 
% ------5.8-3.0/1.2-0.4=3.5
% 1.2 5.8 ---0.333-3.5/2.4-0.4
% ------6.2-5.8/2.4-1.2=0.333
% 2.4 6.2 ---7.833-0.3/3.6-1.2
% ------15.6-6.2/3.6-2.4=7,833
% 3.6 15.6 ---12.9167-7.833/4.8-2.4
% ------31.1-15.6/4.8-3.6=12.9167
% 4.8 31.1 --8,667-12.9167/6-3.6
% ------41.5-31.1/6-4.8=8,667
% 6.0 41.5
% a3
%0.333-3.5/2.4-0.4=-1.5835 a4
% ------3.125+1.5835/3.6-0.4=1.4714 a5
%7.833-0.333/3.6-1.2=3.125 ---- -0,2797-1.4714/4,8-0,4=-0,3980--
% ------2.1182-3.125/4.8-1.2=-0,2797 a6=0.0413
%12.9167-7.833/4.8-2.4=2.1182 ------ -1,0802+0,2797/6-1.2=-0.1668--
% ------ -1.7707-2.1182/6-2.4=-1,0802
%8,667-12.9167/6-3.6=-1.7707
x=[0.4 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0];
y=[3.0 5.8 6.2 15.6 31.1 41.5];
X=0:0.1:6;
a1x=3.0;
a2x=3.5*((X-0.4));
a3x=-1.5835*((X-0.4).*(X-1.2));
a4x=1.4714*((X-0.4).*(X-1.2).*(X-2.4));
a5x=-0.3980*((X-0.4).*(X-1.2).*(X-2.4).*(X-3.6));
a6x=0.0413*((X-0.4).*(X-1.2).*(X-2.4).*(X-3.6).*(X-4.8));
yNewton=a1x+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x;
plot(x,y,'or')
hold on
plot(X,yNewton,'k','linewidth',2 )
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
UNIDADE 5
DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
A unidade tem como objetivo estudar alguns dos métodos numéricos para calcular derivadas e integrais de forma numérica fazendo as comparações dos resultados com resultados analíticos para isso utilizaremos alguns programas computacionais para identificar qual o melhor método que se aproxima do resultado real.
DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
INTRODUÇÃO
A diferenciação dá uma medida da taxa na qual uma grandeza varia. Taxas de variação de grandezas aparecem em muitas disciplinas, especificamente na ciência e na engenharia. Uma das taxas de variação mais fundamentais é a relação entre posição, velocidade e aceleração. Onde certamente já foi estudado que a derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade e de forma similar se encontra a aceleração.
Muitos modelos físicos e de engenharia são expressos em termos de taxas. Em um circuito elétrico, a corrente em um capacitor está relacionada à derivada temporal da tensão. Na análise da condução de calor, a quantidade de fluxo de calor é determinado a partir da derivada da temperatura a diferenciação também é usada na obtenção de Maximo e mínimo de uma função.
 ABORDAGEM PARA A DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
A diferenciação numéricaé realizada em dados especificados como um conjunto de dados discretos. Em muitos casos, os dados são medidos ou gravados em experimentos, ou podem ser resultados de cálculos numéricos em grande escala. Se houver necessidade de se calcular a derivada de uma função dada na forma analítica, então a diferenciação é feita usando pontos discretos da função. Isso significa que, em todos os casos, a diferenciação numérica é feita usando os valores dos pontos.
Figura 1: Ilustra a diferenciação numérica usando aproximação por diferenças finitas (a) e em (b) utiliza função de aproximação. 
Para um determinado conjunto de dados duas abordagens podem ser usadas no cálculo da aproximação numérica da derivada em um ponto. Uma delas é a aproximação por diferenças finitas. A aproximação da derivada em um ponto por diferença finitas se baseia nos valores dos pontos na vizinhança de . Nessa abordagem (Figura 1(a)) , onde a derivada no ponto é aproximada pela inclinação da reta que liga o ponto antes de ao ponto após . A precisão da aproximação por diferenças finitas depende da precisão dos pontos do conjunto de dados, do espaçamento entre os pontos e da fórmula específica usada na aproximação. A formulação mais simples aproxima a derivada como sendo a inclinação da reta que conecta dois pontos adjacentes. 
A segunda abordagem corresponde à aproximação dos pontos utilizando uma expressão analítica que possa ser facilmente diferenciada, seguida do cálculo da derivada com a diferenciação dessa expressão analítica. A expressão analítica aproximada pode ser deduzida com o uso de ajuste de curvas. Essa abordagem é ilustrada na (Figura 1(b)), onde se faz o ajuste de uma curva para representa os pontos. A derivada no ponto é obtida com a diferenciação analítica da função de aproximação é com a sua avaliação no ponto . 
 
 APROXIMAÇÃO DA DERIVADA POR DIFERENÇAS FINITAS
A derivada de uma função no ponto é definida como:
 (1)
 	Graficamente, a definição é ilustrada na Figura 2. A derivada é o valor da inclinação da reta tangente à função em . A derivada é obtida com a escolha de um ponto próximo a e o cálculo da inclinação da reta que conecta os dois pontos. A precisão do cálculo da derivada feito dessa forma aumenta à medida que o ponto se aproxima ao ponto . No limite em que o ponto tende ao ponto , a derivada é a inclinação da reta tangente a em . A aplicação da condição descrita na equação 1 , que diz que tende para o ponto , é usado na dedução de regras de diferenciação que fornecem uma expressão analítica para a derivada.
Figura 
2:
Ilustra a definição de derivada
	Na aproximação de derivada usando diferenças finitas, valores da função em diferentes pontos na vizinhança do ponto são usados na estimativa da inclinação. Deve ser lembrado que a função sendo diferenciada é prescrita como um conjunto de pontos discretos. Existem várias fórmulas de aproximação por diferenças finitas. Três dessas fórmulas, nas quais a derivada é calculada a partir de valores de dois pontos, são apresentados a seguir.
Fórmulas de diferença progressiva, regressiva e central para a derivada primeira
As fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central são as mais simples aproximações da derivada por diferenças finitas. Nessas aproximações ilustradas na Figura 3, a derivada no ponto é calculada a partir do valor de dois pontos. A derivada é estimada como a inclinação da reta que conecta esses dois pontos.
Figura 3: Ilustra as aproximações da derivada por dois pontos por diferenças finitas
- A diferença progressiva é inclinação da reta que conecta os pontos : 
 (2)
- A diferença regressiva é inclinação da reta que conecta os pontos :
 (3)
A diferença central é inclinação da reta que conecta os pontos :
 (4)
Exemplo: Considere a função . Calcule numericamente a derivada primeira no ponto x = 3 aplicando as fórmulas de diferenças finitas progressivas, regressivas e central, usando:
Os pontos 
Os pontos 
Solução:
Diferenciação analítica: A derivada da função , e o valor da derivada em é .
Diferenciação numérica:
Os pontos usados na diferenciação numérica são:
Usando as equações (2), (3) e (4), as equações usando as fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central são:
Diferença finita progressiva
Diferença finita regressiva
Diferenciação finita Central
Os pontos usados na diferença numérica são:
Usando as equações (2), (3) e (4), as equações usando as fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central são:
Diferença finita progressiva
Diferença finita regressiva
Diferenciação finita Central
Os resultados mostram que as fórmulas de diferença finita central fornece uma aproximação mais precisa. Verificou-se também que uma menor separação entre os pontos resulta em uma aproximação significamente mais precisa. 
1.5 Fórmulas de diferenças finitas usando a expansão em serie de Taylor
As fórmulas de diferenças finitas progressiva, regressiva e central, bem como muitas outras fórmulas usadas para calcular derivadas de forma de aproximação, podem ser deduzidas a partir da expansão em série de Taylor. Essas fórmulas fornecem uma estimativa da derivada em um ponto usando valores de pontos em sua vizinhança. O número de pontos usados nos cálculos varia com a fórmula, os pontos podem estar à frente, atrás ou em ambos os lados do ponto onde se calcula a derivada. Uma vantagem do uso da expansão em serie de Taylor na dedução das fórmulas está no fato de ela também fornecer uma estimativa do erro de truncamento presente na aproximação. Nessa seção, são deduzidas algumas das muitas fórmulas de diferenças finitas. Embora essas fórmulas possam ser deduzidas para pontos não uniformemente distribuídos, a dedução aqui apresentada se restringe a pontos igualmente espaçados. 
Fórmulas de diferenças finitas Progressiva com três pontos para a derivada primeira
A fórmula de diferença finita progressiva com três pontos calcula a derivada no ponto usando o valor da função nesse ponto e nos dois pontos seguintes, e . Assume-se que os pontos estejam igualmente espaçados, logo (o procedimento também pode ser aplicado em pontos não uniforme espaçado). A dedução da fórmula começa usando-se três termos da expansão em série de Taylor com um resíduo para escrever o valor da função nos pontos e em termos do valor da função e de suas derivadas no ponto .
 (5)
 (6)
Onde é um valor de entre e e é um valor de entre e . As equações (5) e (6) são seguidas combinadas de tal forma que os termos com a derivada segunda desapareçam. Isso é feito multiplicando a equação (5) por 4 e subtraindo a da equação (6):
 (7)
	Uma estimativa para a derivada primeira é obtida resolvendo a equação (7) para sem considerar os resíduos, o que introduz um erro de truncamento da ordem de :
 (8)
A equação (8) é a forma de diferença finita progressiva com três pontos que estima a derivada primeira no ponto usando o valor da função nesse ponto e nos dois pontos seguintes e , com um erro de . Essa fórmula pode ser usada para calcular a derivada do primeiro ponto de uma função descrita por um conjunto discreto de pontos.
Fórmulas de diferenças finitas Regressiva com três pontos para a derivada primeira
A fórmula de diferença finita regressiva com três pontos calcula a derivada no ponto usando o valor desse ponto e dois pontos anteriores, e . A fórmula é deduzida da mesma forma que foi deduzida a fórmula (8). A expansão em série de Taylor com três termos e um resíduo é escrita para o valor da função nos pontos e em tremos do valor da função e de suas derivadasno ponto . As equações são manipuladas para se obter uma equação sem os termos das derivadas segundas, que é resolvida para . A fórmula obtida é:
 (9)
Onde é a distância entre os pontos.
Exemplo: Considere a função . Calcule numericamente a derivada primeira no ponto aplicando-se a fórmula de diferenças finitas progressiva para três pontos usando.
Os pontos 
Os pontos 
Solução:
Diferenciação analítica: A derivada da função , e o valor da derivada em é .
Diferenciação numérica:
Os pontos usados na diferenciação numérica são:
Usando a equação (8), fórmulas de diferenças finitas progressiva para três pontos:
 
FIGURA 1 – TÍTULO DA ILUSTRAÇÃO
Fonte: Inserir informação da fonte da ilustração.
TABELA 01 – INSCRIÇÃO EM FACULDADES LOCAIS
	Faculdade
	Novos alunos
	Alunos de graduação
	Alteração
	
	Universitário
	
	
	Universidade Cedar
	110
	103
	+7
	Universidade 
	115
	100
	+8
	Faculdade Pine
	134
	121
	+13
	Instituto Oak
	202
	210
	-8
Fonte: Dados fictícios, apenas para fins ilustrativos.
GRÁFICO 01 – PERCENTUAIS
Fonte: Inserir informação da fonte da ilustração.
PARA SABER MAIS
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REFLEXÕES SOBRE A APRENDIZAGEM
Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal.
RESUMO DA UNIDADE
Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal. Inserir aqui o texto de parágrafo normal.
SUGESTÕES DE LEITURA
Inserir textos e/ou referências comentadas. Inserir textos e/ou referências comentadas. Inserir textos e/ou referências comentadas. Inserir textos e/ou referências comentadas. Inserir textos e/ou referências comentadas.
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UNIDADE 2
TÍTULO DA UNIDADE 2
OBJETIVO DA UNIDADE
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1 – TÍTULO DO CAPÍTULO
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CAIXA DE TEXTO – TÍTULO – Inserir aqui o texto da nota de interior de Unidade para explicar, comentar, destacar algo que seja relevante na leitura do texto.
1.1 – SUBTÍTULO DO CAPÍTULO
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Sobrenome do Autor (Ano da publicação e página)
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b) Inserir aqui tópicos de uma lista.
c) Inserir aqui tópicos de uma lista.
d) Inserir aqui tópicos de uma lista.
e) Inserir aqui tópicos de uma lista.
PARA SABER MAIS
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REFLEXÕES SOBRE A APRENDIZAGEM
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RESUMO DA UNIDADE
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SUGESTÕES DE LEITURA
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CONSIDERAÇÕES FINAIS DA DISCIPLINA
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CURRÍCULO RESUMIDO
DO(A) PROFESSOR(A) CONTEUDISTA
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NOME COMPLETO DO(A) PROFESSOR(A)
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