Resolvido 5-8 RM

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5.1 - PROBLEMAS 
5.1. Um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, 
determine o torque máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25 mm 
de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada 
caso. 
 
 Figura 5.1 
 
τadm = Tc0J ∴ T = πc03τadm2 = π × 0,018753 × 84 × 1062 = 0,87 kN.m 
 T ′ = π(c04 − ci4)τadm2c0 = π(0,018754 − 0,01254)(84 × 106)2 × 0,01875 = 0,698 kN.m 
τ′ = T′ciπ2(c04 − ci4) = (0,698 × 103)(0,0125)π2(0,018754 − 0,01254) = 56 MPa 
5.2. O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T. Determine o raio r’ do núcleo interno do eixo que resista à 
metade do torque aplicado (T/2). Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) 
determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento. 
 
 Figura 5.2 
(a) Usando a fórmula da torção 
τmáx = T′cJ1 ∴ T ′ = π(r4 − r′4)τmáx2r ∴ τmáx = TcJ2 = 2Tπr3 
Substituindo τmáx em T′, tem-se: T ′ = (1 − r′4r4 ) T. Sabe-se que T ′ = T2, logo: r′ = r√24 = 0,841r 
(b) Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento 
∫ dTr20 = 2π ∫ τρ2dρr′0 = 2π ∫ ρr τmáxρ2dρr′0 = ∫ ρr ( 2Tπr3) ρ2dρr′0 T2 = 4Tr4 ∫ ρ3dρr′0 ∴ r′ = r4√24 = 0,841r 
Torção 
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5.3. O eixo maciço de raio r está sujeito a um torque T. Determine o raio r’ do núcleo interno do eixo que resista a 1/4 
do torque aplicado (T/4). Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a 
resultante da distribuição da tensão de cisalhamento. 
 
 Figura 5.3 
(a) Usando a fórmula da torção 
τmáx = T′cJ1 ∴ T ′ = π(r4 − r′4)τmáx2r ∴ τmáx = TcJ2 = 2Tπr3 
Substituindo τmáx em T′, tem-se: T ′ = (1 − r′4r4 ) T. Sabe-se que T ′ = 3T4 , logo: r′ = r√44 = 0,707r 
(b) Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento 
τ = ρc τmáx = ρr ( 2Tπr3) = 2Tπr4 ρ ; dA = 2πρdρ 
dT = ρτdA = ρ ( 2Tπr4 ρ) (2πρdρ) = 4Tr4 ρ3dρ 
 ∫ dTr40 = 4Tr4 ∫ ρ3dρr′0 ∴ 14 = (r′)4r4 ∴ r’ = 0,707r 
*5.4. O tubo é submetido a um torque de 750 N.m. Determine a parcela desse torque à qual a seção sombreada cinza 
resiste. Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a resultante da 
distribuição da tensão de cisalhamento. 
 
 
Figura 5.4 
(a) Usando a fórmula da torção 
τmáx = TcJ = 750 × 0,1π2(0,14 − 0,0254) = 0,4793 MPa ∴ τmáx = 0,4793 × 106 = T′× 0,1π2(0,14 − 0,0754) ∴ T’ = 515 N.m 
(b) Determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento 
τ = (ρc) τmáx ∴ T′ = ∫ 2πτρ2dρ =0,10,075 2π ∫ τmáx (ρc)0,10,075 ρ2dρ = 2π × 0,4793 × 1060,1 ∫ ρ3dρ0,10,075 = 𝟓𝟏𝟓 𝐍. 𝐦 
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5.5. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. 
 
 Figura 5.5 
 
τmáx = TmáxcJ = 2Tmáxπc3 = 2 × 400 × 103π × 153 = 75,5 MPa 
5.6. O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estiver 
apoiado em mancais lisos em A e B, que não resistem a torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no 
eixo nos pontos C e D. Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
 
 Figura 5.6 
 
Ponto C 
τC = TCcJ = 2TCπc3 = 2 × 185 × 103π × 163 = 28,75 MPa 
 
Ponto D 
τD = TDcJ = 2TDπc3 = 2 × 75 × 103π × 163 = 11,66 MPa 
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5.7. O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm. Se for submetido aos torques aplicados 
mostrado na figura, determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta desenvolvida no eixo. Os mancais lisos em A 
e B não resistem a torque. 
 
Figura 5.7 
 
τmáx = Tmáxc0π2(c04− ci4) = 2Tmáxc0π(c04 − ci4) = 2 × 185 × 103 × 16π(164 − 12,54) = 45,82 MPa 
*5.8. O eixo tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm. Se for submetido aos torques aplicados 
mostrado na figura, faça o gráfico da distribuição da tensão de cisalhamento que age ao longo de uma linha radial que 
se encontra no interior da região EA do eixo. Os mancais lisos em A e B não resistem a torque. 
 
Figura 5.8 
τmáx = Tmáxc0π2(c04− ci4) = 185 × 103 × 16π2(164 − 12,54) = 45,82 MPa τρ = Tmáxciπ2(c04− ci4) = 185 × 103 × 12,5π2(164 − 12,54) = 35,80 MPa 
 
Torção 
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5.9. O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligados por uma redução em B. O tubo 
menor tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno de 17 mm, enquanto que o tubo maior tem diâmetro 
externo de 25 mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, determine a tensão 
de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figura for aplicado ao 
cabo da chave. 
 
 Figura 5.9 
TAB = 75(0,15 + 0,2) = 26,25 N.m ∴ τAB = (26,25)(0,009375)π2(0,0093754 − 0,00854) = 62,55 MPa 
τBC = (26,25)(0,0125)π2(0,01254 − 0,010754) = 18,89 MPa 
5.10. O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de alumínio conectado tiver 
25 mm de diâmetro interno e parede de 5 mm de espessura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo quando 
a força de 600 N for aplicada aos cabos. Além disso, trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento na 
seção transversal. 
 
 Figura 5.10 
c0 = ci + t = 12,5 + 5 = 17,5 mm 
T = (600)(0,75 + 0,75) = 90 N.m ∴ τmáx = Tc0π2(c04 − ci4) = 90 × 103 × 17,5π2(17,54 − 12,54) = 14,5 MPa 
τi = Tciπ2(c04 − ci4) = 90 × 103 × 12,5π2(17,54 − 12,54) = 10,32 MPa 
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5.11. O eixo é composto por três tubos concêntricos, todos do mesmo material, e cada um com os raios internos e 
externos mostrados na figura. Se for aplicado um torque T = 800 N.m ao disco rígido preso à sua extremidade, determine 
a tensão de cisalhamento máxima no eixo. 
 
 
Figura 5.11 
 
J = π2 (0,0384 + 0,034 + 0,0254 − 0,0324 − 0,0264 − 0,0204) = 2,54502 × 10-6 m4 
τmáx = Tc0J = 800 × 0,0382,54502 × 10−6 = 11,9 MPa 
*5.12. O eixo maciço está preso ao suporte em C e sujeito aos carregamentos de torção mostrados. Determine a tensão 
de cisalhamento nos pontos A e B e faça um rascunho da tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados 
nesses pontos. 
 
Figura 5.12 
 
τA = (500)(0,035)π2(0,035)4 = 7,42 MPa 
 τB = (800)(0,020)π2(0,035)4 = 6,79 MPa 
Torção 
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5.13. Um tubo de aço com diâmetro externo de 62,5 mm é usado para transmitir 3 kW quando gira a 27 rev/minuto. 
Determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro interno d do tubo se a tensão de cisalhamento admissível 
for τadm = 70 MPa. 
 
Figura 5.13 
ω = 27 × 2π60 = 2,82743 rad/s 
τadm = TcJ ∴di = √d04 − 16Pd0πωτadm4 = √0,06254 − 16 × 3 × 103 × 0,0625π × 2,82743 × 70 × 1064 = 0,05683 m = 56,83 mm ≅ 60 mm 
5.14. O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm e tensão de cisalhamento admissível τadm = 6 MPa. Determine 
o maior torque T1 que pode ser aplicado ao eixo se ele também estiver sujeito a outros carregamentos de torção. Exige-
se que T1 aja na direção mostrada. Determine também a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões CD e 
DE. 
 
Figura 5.14 
 
 
TBC = (T1– 68) N.m ∴ τadm = TmáxcJ = 2(T1 − 68)πc3 = 2(T1 − 68)π × 0,0253 = 6 × 106 ∴ T1 = 215,26 = 215 N.m 
TCD = 215,26 – 68 – 49 = 98,26 N.m ∴ (τmáx)CD = TCDcJ = 2TCDπc3 = 2 × 98,26π × 0,0253 = 4,00 MPa 
TDE = 215,26 – 68 – 49 – 35 = 63,26 N.m ∴ (τmáx)DE = TDEcJ = 2TDEπc3 = 2 × 63,26 π × 0,0253 = 2,58 MPa 
Torção 
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5.15. O eixo maciço de alumínio tem diâmetro de 50 mm. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no 
eixo e trace um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da linha radial do eixo onde a tensão de 
cisalhamento é máxima. Considere T1 = 20 N.m. 
 
 Figura 5.15 
 
Tmáx = 68 + 49 + 35 – 20 = 132 N.m ∴ τmáx = TmáxcJ = 2Tmáxπc3 = 2 × 132π × 0,0253 = 5,38 MPa 
*5.16. O motor transmite um torque de 50 N.m ao eixo AB. Esse torque é transmitido ao eixo CD pelas engrenagens 
em E e F. Determine o torque de equilíbrio T’ no eixo CD e a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Os mancais 
B, C e D permitem a livre rotação dos eixos. 
 
Figura 5.16 
 
TCD = 
50 × 12550 = 125 N.m 
 
 
 
↶ + ∑ T = 0 
T’ – TCD = 0 
T’ = 125 N.m 
(τmáx)AB = TABcJ = 50 × 0,015π2 × 0,0154 = 9,43 MPa (τmáx)CD = TCDcJ = 125 × 0,0175π2 × 0,01754 = 14,8 MPa 
Torção 
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5.17. Se o torque aplicado ao eixo CD for T’ = 75 N.m, determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta em cada 
eixo. Os mancais B, C e D permitem a livre rotação dos eixos, e o motor impede a rotação dos eixos. 
 
 Figura 5.17 
 (τCD)máx = T′cJ = 75 × 0,0175π2 × 0,01754 = 8,91 MPa 
 TAB = 50 T′125 = 50 × 75125 = 30 N.m ∴ (τEA)máx = TABcJ = 30 × 0,015π2 × 0,0154 = 5,66 MPa 
5.18. O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso à 
parede em C e for submetido a um torque uniformemente distribuído, como mostra a figura, determine a tensão de 
cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B. Esses pontos se encontram na superfície externa do tubo. Faça um 
rascunho da tensão de cisalhamento sobre os elementos de volume localizados em A e B. 
 
 Figura 5.18 
 
TA = 625 × 0,3 = 187,5 N.m ∴ τA = TAc0π2(c04 − ci4) = 187,5 × 0,03125π2(0,031254 − 0,028754) = 13,79 MPa 
TB = 625 × 0,525 = 328,125 N.m ∴ τB = TBc0π2(c04 − ci4) = 328,125 × 0,03125π2(0,031254 − 0,028754) = 24,14 MPa 
 
Torção 
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5.19. O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver firmemente preso à 
parede em C e for submetido ao torque uniformemente distribuído ao longo de todo o seu comprimento, determine a 
tensão de cisalhamento máxima absoluta no tubo. Discuta a validade desse resultado. 
 
 Figura 5.19 
Tmáx = (625)(0,3 + 0,225 + 0,1) = 390,625 N.m 
τmáx = Tmáxc0π2(c04 − ci4) = 390,625 × 0,03125π2(0,031254 − 0,028754) = 28,73 MPa 
*5.20. O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados 
mostrados na figura. Determine a tensão de cisalhamento nos pontos A e B e trace um rascunho da tensão de 
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
Figura 5.20 
 
TA = 400 N.m ∴ τA = TAcJ = 400 × 0,03π2 × 0,034 = 9,43 MPa 
TB = 800 + 400 – 600 = 600 N.m ∴ τB = TBcJ = 600 × 0,03π2 × 0,034 = 14,15 MPa 
 
Torção 
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5.21. O eixo maciço com 60 mm de diâmetro está sujeito aos carregamentos de torção e concentrados mostrados na 
figura. Determine as tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo e especifique suas localizações, medidas em 
relação à extremidade fixa. 
 
 
 Figura 5.21 
 
Tmáx = 0,4 + 2 × 0,8 + 0,6 = 1,4 kN.m ∴ τmáx = TmáxcJ = 1,4 × 103 × 0,03π2 × 0,034 = 33,0 MPa (Ocorre em x = 0) 
T – 0,4 + 0,6 – 2(0,8 – x) = 0 ∴ T = (1,4 – 2x) kN.m 
Para que T seja mínimo, T = 0 ∴ 1,4 – 2x = 0 ∴ x = 0,700 m, sendo assim: 𝛕𝐦í𝐧 = 𝟎 
Entretanto, por conta do princípio de Saint-Venant, a τmáx obtida não é válida. 
5.22. O eixo maciço é submetido aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. 
Determine o diâmetro d exigido para o eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 175 MPa. 
 
 Figura 5.22 
 
Tmáx = 0,4 + 2 × 0,8 + 0,6 = 1,4 kN.m 
τmáx = TmáxcJ ∴ c = √2Tmáxπτadm3 = √2 × 1,4 × 106π × 1753 = 17,2 mm 
d = 2c = 2 × 17,2 = 34,4 mm 
Entretanto, a análise não é válida por conta do princípio de Saint Venant. 
Torção 
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5.23. Os eixos de aço estão interligados por um filete de solda como mostra a figura. Determine a tensão de cisalhamento 
média na solda ao longo da seção a-a se o torque aplicado aos eixos for T = 60 N.m. Observação: A seção crítica onde 
a solda falha encontra-se ao longo da seção a-a. 
 
 
Figura 5.23 
 
T = Vd ∴ V = Td = 600,025 + 0,006 = 1.935,48 N 
 A = 2 × [2π(25 + 6) × 6sen45°] = 1.652,7524 mm² ∴ τméd = VA = 1.935,481.652,7524 = 1,17 MPa 
 
*5.24. A haste tem diâmetro de 12 mm e peso de 80 N/m. Determine a tensão de torção máxima provocada na haste 
pelo seu peso em uma seção localizada em A. 
 
 
 Figura 5.24 
 
 
 
w1 = 0,9 × 80 = 72 N 
w2 = 0,9 × 80 = 72 N 
w3 = 0,3 × 80 = 24 N 
Tx = 0,9 × 24 + 0,45 × 72 = 54 N.m 
τA = TxcJ = 54 × 0,006π2 × 0,0064 = 159,15 MPa 
Torção 
190 
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5.25. Resolva o Problema 5.24 para a tensão de torção máxima em B. 
 
 Figura 5.25 
 
 
 
5.27. O poste de madeira, o qual está enterrado no solo até a metade de seu comprimento, é submetido a um momento 
de torção de 50 N.m que o faz girar a uma velocidade angular constante. Esse momento enfrenta a resistência de uma 
distribuição linear de torque desenvolvida pelo atrito com o solo, que varia de zero no solo a t0 N.m/m na base do poste. 
Determine o valor de equilíbrio para t0 e, então, calcule a tensão de cisalhamento nos pontos A e B que se encontram na 
superfície externa do poste. 
 
 Figura 5.27 
Equação da reta do torque distribuído que passa pelos pontos (0,5t0;0) e (0;0,75m): t(y) = t0(12 − 23 𝑦) 
T = 2∫ t(y)dy = 2t0 ∫ (12 − 23 y) dy0,7500,750 = 0,375t0 ↶ + ∑ My = 0 ∴ 0,375t0 – 50 = 0 ∴ t0 = 133,33 = 133 N.m/m 
τA = TAcJ = 50 × 0,05π2 × 0,054 = 0,255 MPa 
TB = 2∫ t(y)dy0,250 = 27,78 N.m ∴ τB = TBcJ = 27,78 × 0,05π2 × 0,054 = 0,141 MPa 
w1 = 80 × 0,9 = 72 kN 
w2 = 80 × 0,9 = 72 kN 
w3 = 80 × 0,3 = 24 kN 
TB = 0,45 × 72 + 0,9 × 24 = 54 N.mτB = TBcJ = 54 × 0,006π2 × 0,0064 = 159,15 MPa 
Torção 
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*5.28. Uma mola cilíndrica é composta por um anel de borracha e eixo rígidos. Mantendo o anel fixo e aplicando um 
torque T ao eixo, determine a tensão de cisalhamento máxima na borracha. 
 
 
 Figura 5.28 
 
τmáx = FA = Tri2πrih = 𝐓𝟐𝛑𝐫𝐢𝟐𝐡 
 
5.29. O eixo tem diâmetro de 80 mm e, devido ao atrito na superfície no interior do furo, está sujeito a um torque 
variável descrito pela função t = (25xex2) N.m, onde x é dado em metros. Determine o torque mínimo T0 necessário 
para vencer o atrito e fazer o eixo girar. Determine também a tensão máxima absoluta no eixo. 
 
 
Figura 5.29 
 
T = ∫ tdx = 25 ∫ xex22020 = 670 N.m 
 
 
 
↶ + ∑ Mx = 0 
T0 – 670 = 0 
T0 = 670 N.m 
τmáx = TcJ = 670 × 0,04π2 × 0,044 = 6,66 MPa 
Torção 
192 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.30. O eixo maciço tem conicidade linear de rA em uma extremidade e rB na outra extremidade. Deduza uma equação 
que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo. 
 
 Figura 5.30 rA − rBy = LL − x ∴ y = (rA − rB) (1 − xL) 
c = y + rB ∴ c = rA + (rB − rA)xL 
τmáx = TcJ = 𝟐𝐓𝐋𝟑𝛑[𝐫𝐀(𝐋 – 𝐱) + 𝐫𝐁𝐱]³ 
5.31. Ao perfurar um poço à velocidade constante, a extremidade inferior do tubo de perfuração encontra uma 
resistência à torção TA. Além disso, o solo ao longo das laterais do tubo cria um torque de atrito distribuído ao longo do 
comprimento do tubo, que varia uniformemente de zero na superfície B a tA em A. Determine o torque mínimo TB que 
deve ser transmitido pela unidade de acionamento para se vencerem os torques de resistência e calcule a tensão de 
cisalhamento máxima no tubo. O tubo tem raio externo ro e raio interno ri. 
 
 Figura 5.31 
Equação da reta do torque distribuído que passa pelos pontos (tA;0) e (0;L): t(y) = tA (1 − yL) 
 T = ∫ t(y)dy = tA ∫ (1 − yL) dyL0L0 = tAL2 
 
 
↶ + ∑ My = 0 
TB – TA – T = 0 ∴ 𝐓𝐁 = 𝟐𝐓𝐀 + 𝐭𝐀𝐋𝟐 τmáx = TBr0π2(r04 − ri4) = (𝟐𝐓𝐀 + 𝐭𝐀𝐋)𝐫𝟎𝛑(𝐫𝟎𝟒 − 𝐫𝐢𝟒) 
Torção 
193 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.32. O eixo de transmissão AB de um automóvel é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm = 56 MPa. 
Se o diâmetro externo do eixo for 62,5 mm e o motor transmitir 165 kW ao eixo quando estiver girando a 1.140 
rev/minuto, determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo. 
 
 
Figura 5.32 
 
ω = 1.140 × 2π60 = 119,38 rad/s 
τadm = Tc0π2(c04 − ci4) ∴ ci = √c04 − 2Pc0πωτadm4 = √0,031254 − 2 × 165 × 103 × 0,03125π × 119,38 × 56 × 1064 = 0,02608 m = 26,08 mm t = c0 − ci = 31,25 – 26,08 = 5,17 mm 
 
5.33. O projeto prevê que o eixo de transmissão AB de um automóvel será um tubo de parede fina. O motor transmite 
125 kW quando o eixo está girando a 1.500 rev/minuto. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro 
externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é τadm = 50 MPa. 
 
 
Figura 5.33 
 
ω = 1.500 × 2π60 = 157,08 rad/s 
τadm = Tc0π2(c04 − ci4) ∴ ci = √c04 − 2Pc0πωτadm4 = √0,031254 − 2 × 125 × 103 × 0,03125π × 157,08 × 50 × 1064 = 0,028252 m = 28,252 mm t = c0 − ci = 31,25 – 28,252 = 2,998 mm 
 
Torção 
194 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.34. O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W quando gira a 300 rev/minuto. Se o eixo tiver diâmetro de 12 
mm, determine a tensão de cisalhamento máxima que será desenvolvida no eixo. 
 
 
Figura 5.34 
 
ω = 300 × 2π60 = 31,416 rad/s 
τadm = TcJ = 2Pπωc3 = 2 × 100 × 103π × 31,416 × 0,0063 = 9,382 MPa 
 
5.35. O motor de engrenagens pode desenvolver 100 W quando gira a 80 rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento 
admissível para o eixo for τadm = 28 MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do 
eixo que pode ser usado. 
 
 
Figura 5.35 
 
ω = 80 × 2π60 = 8,378 rad/s 
τadm = TcJ ∴ d = 2c = 2√ 2Pπωτadm3 = 2√ 2 × 100 × 103π × 8,378 × 28 × 1063 = 0,01016 m = 10,16 mm ≅ 15 mm 
 
Torção 
195 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.36. O eixo de transmissão de um trator é feito de um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível τadm = 42 
MPa. Se o diâmetro externo for 75 mm e o motor transmitir 145 kW ao eixo quando estiver girando a 1.250 rev/minuto, 
determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo. 
 
 
ω = 1.250 × 2π60 = 130,9 rad/s 
τadm = Tc0π2(c04 − ci4) ∴ ci = √c04 − 2Pc0πωτadm4 = √0,03754 − 2 × 145 × 103 × 0,0375π × 130,9 × 42 × 1064 = 0,03407 m = 34,07 mm t = c0 − ci = 37,5 – 34,07 = 3,427 mm 
 
 
5.37. O motor-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minuto. Se o diâmetro do eixo for 20 mm, determine a tensão de 
cisalhamento máxima que será desenvolvida no eixo. 
 
 
Figura 5.37 
 
 
ω = 330 × 2π60 = 34,557 rad/s 
τmáx = TcJ = 2Pπωc3 = 2 × 2,5 × 103π × 34,557 × 0,013 = 46,055 MPa 
 
 
 
 
 
Torção 
196 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.38. O motor-redutor de 2,5 kW pode girar a 330 rev/minuto. Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for 
τadm = 56 MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado. 
 
 
Figura 5.38 
 
ω = 330 × 2π60 = 34,557 rad/s 
τadm = TcJ ∴ d = 2c = 2√ 2Pπωτadm3 = 2√ 2 × 2,5 × 103π × 34,557 × 56 × 1063 = 0,01874 m = 18,74 mm ≅ 20 mm 
 
5.39. O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 mm e está apoiado nos mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado 
a um motor em C, que transmite 3 kW de potência ao eixo quando está girando a 50 rev/s. Se as engrenagens A e B 
absorvem 1 kW e 2 kW, respectivamente, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida no eixo no interior 
das regiões AB e BC. O eixo é livre para girar em seus mancais de apoio D e E. 
 
 
Figura 5.39 
 
ω = 50 × 2π = 314,16 rad/s TAB = PABω = 1.000314,16 = 3,183 N.m (τAB)máx = TABcJ = 3,183 × 0,0125π2 × 0,01254 = 1,04 MPa TBC = PBCω = 3.000314,16 = 9,55 N.m (τBC)máx = TBCcJ = 9,55 × 0,0125π2 × 0,01254 = 3,11 MPa 
Torção 
197 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.40. Um navio tem um eixo de transmissão da hélice que gira a 1.500 rev/minuto quando está desenvolvendo 1.500 
kW. Se o eixo tiver 2,4 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo 
causado por torção. 
 
 
ω = 1.500 × 2π60 = 157,08 rad/s 
τmáx = TcJ = 2Pπωc3 = 2 × 1.500 × 103π × 157,08 × 0,053 = 48,634 MPa 
 
 
5.41. O motor A desenvolve potência de 300 W e gira a polia acoplada a 90 rev/minuto. Determine os diâmetros exigidos 
para os eixos de aço nas polias em A e B se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 85 MPa. 
 
 
Figura 5.41 
 
ω = 90 × 2π60 = 9,425 rad/s 
 TB = 150TA60 = 5P2ω 
τadm = TAcJ ∴ dA = 2cA = 2√ 2Pπωτadm3 = 2√ 2 × 300π × 9,425 × 85 × 1063 = 0,0124 m = 12,4 mm 
τadm = TBcJ ∴ dB = 2cB = 2√ 5Pπωτadm3 = 2√ 5 × 300π × 9,425 × 85 × 1063 = 0,0168 m = 16,8 mm 
 
 
 
 
 
Torção 
198 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.42. O motor transmite 400 kW ao eixo de aço AB, o qual é tubular e tem diâmetro externo de 50 mm e diâmetro 
interno de 46 mm. Determine a menor velocidade angular comque ele pode girar se a tensão de cisalhamento admissível 
para o material for τadm = 175 MPa. 
 
Figura 5.42 
 
τadm = Tc0π2(c04 − ci4) ∴ T = π2c0 τadm(c04 − ci4) 
ω = PT = 2Pc0π(c04 − ci4)τadm = 2 × 400 × 103 × 0,025π(0,0254 − 0,0234)(175 × 106) = (328,3712 rad/s) × 602π = 3.135,714 rpm 
 
5.43. O motor transmite 40 kW quando está girando a taxa constante de 1.350 rpm em A. Esse carregamento é 
transmitido ao eixo de aço BC do ventilador pelo sistema de correia e polia mostrado na figura. Determine, com 
aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro desse eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for 
τadm = 84 MPa. 
 
Figura 5.43 
 
ω = 1.350 × 2π60 = 141,372 rad/s TB = 200TA100 = 2Pω dB = 2cB = 2√ 4Pπωτadm3 = 2√ 4 × 40 × 103π × 141,372 × 84 × 1063 = 0,0325 m = 32,5 mm ≅ 35 mm 
Torção 
199 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.2 - PROBLEMAS 
*5.44. As hélices de um navio estão acopladas a um eixo maciço de aço A-36 com 60 m de comprimento, diâmetro 
externo de 340 mm e diâmetro interno de 260 mm. Se a potência de saída for 4,5 MW quando o eixo gira a 20 rad/s, 
determine a tensão de torção máxima no eixo e seu ângulo de torção. 
 
 
τmáx = Tc0π2(c04 − ci4) = 2Pc0πω(c04 − ci4) = 2 × 4,5 × 103 × 0,17020π(0,1704 − 0,1304) = 44,3 MPa ϕ = TLJGaço = 2PLπω(c04 − ci4)Gaço = 2 × 4,5 × 106 × 6020π(0,1704 − 0,1304)(75 × 109) = (0,2085 rad) × 180°π = 11,9° 
 
 
5.45. Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efetividade da utilização do tubo mostrado na figura com a de 
uma seção maciça de raio c. Para isso, calcule o aumento percentual na tensão de torção e no ângulo de torção por 
unidade de comprimento para o tubo em comparação com o da seção maciça. 
 
 
Figura 5.45 
 
τtubo = Tc0π2(c04 − ci4) = 32T15πc3 
 τmaciça = 2Tπc3 
Aumento percentual na tensão de torção = 100% ( τtuboτmaciça − 1) = 100% (32T 15πc3⁄2T πc3⁄ − 1) = 6,67% 
Aumento percentual do ângulo de torção = Aumento percentual na tensão de torção = 6,67% 
 
 
 
 
 
Torção 
200 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.46. O eixo de transmissão tubular para a hélice de um aerodeslizador tem 6 m de comprimento. Se o motor transmitir 
4 MW de potência ao eixo quando as hélices giram a 25 rad/s, determine o diâmetro interno exigido para o eixo, 
considerando que o diâmetro externo seja 250 mm. Qual é o ângulo de torção do eixo quando ele está em operação? 
Considere τadm = 90 MPa e G = 75 GPa. 
 
Figura 5.46 
 
τadm = Tc0π2(c04 − ci4) ∴ di = 2√c04 − 2Pc0πωτadm4 = 2√0,1254 − 2 × 4 × 106 × 0,125π × 25 × 90 × 1064 = 0,201 m = 201 mm φ = TLπ2(c04 − ci4)G = 2PLπω(c04 − ci4)G = 2 × 4 × 106 × 625π(0,1254 − 0,10054)(75 × 109) = (0,0095558 rad) × 180°π = 3,30° 
5.47. O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que 
permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, presas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques de 85 
N.m, determine o ângulo de torção da engrenagem A em relação à engrenagem D. Os tubos têm diâmetros externos de 
30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 Figura 5.47 
 φAB = φCD = TABLABπ2(c04 − ci4)Gaço = 85 × 0,4π2(0,0154 − 0,0104)(75 × 109) = 0,007104 rad 
 ϕBC = TBCLBCπ2c4Gaço = 85 × 0,25π2 × 0,0204 = 0,001127347 rad ϕA/D = ϕAB + ϕBC + ϕCD = 0,007104 + 0,001127347 + 0,007104 = (0,015335 rad) × 180°π = 0,879° 
Torção 
201 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.48. O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos 
que permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, presas às extremidades do eixo, forem submetidas a torques 
de 85 N.m, determine o ângulo de torção da extremidade B da seção maciça em relação à extremidade C. Os tubos têm 
diâmetro externo de 30 mm e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm. 
 
 Figura 5.48 
 ϕBC = TBCLBCπ2c4Gaço = 85 × 0,250π2 × 0,0204 × 75 × 109 = 0,001127347 rad ϕB/C = 0,001127347 × 180°π = 0,0646° 
 
5.49. O eixo da hélice do hidrofólio é de aço A-36 e tem 30 m de comprimento. Está acoplado a um motor diesel em 
linha, o qual transmite uma potência máxima de 2.000 kW e provoca rotação de 1.700 rpm no eixo. Se o diâmetro 
externo do eixo for 200 mm e a espessura da parede for 10 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida no eixo. Determine também o ângulo de torção no eixo à potência total. 
 
 
Figura 5.49 
ci = c0 – t = 100 – 10 = 90 mm 
ω = 1.700 × 2π60 = 178,0236 rad/s 
τmáx = Tc0π2(c04 − ci4) = 2Pc0πω(c04 − ci4) = 2 × 2.000 × 103 × 0,100178,0236π(0,1004 − 0,0904) = 20,797 MPa ϕ = TLπ2(c04 − ci4)Gaço = 2PLπω(c04 − ci4)Gaço = 2 × 2.000 × 103 × 30178,0236π(0,1004 − 0,0904)(75 × 109) = (0,083188 rad) × 180°π = 4,766° 
Torção 
202 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.50. As extremidades estriadas e engrenagens acopladas ao eixo de aço A-36 estão sujeitas aos torques mostrados. 
Determine o ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem D. O eixo tem diâmetro de 40 mm. 
 
Figura 5.50 TCD = 400 − 200 = 200 N. m ∴ ϕC/D = TCDLCDJGaço = 2TCDLCDπc4Gaço = 2 × 200 × 0,400π × 0,0204 × 75 × 109 = (0,004244 rad) × 180°π = 0,243° 
5.51. O eixo de aço A-36 de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da 
extremidade B. 
 
Figura 5.51 
 
 
TBC = 80 N.m 
TCD = 80 – 20 = 60 N.m 
TDA = 60 + 30 = 90 N.m ϕB = TBCLBCJGaço + TCDLCDJGaço + TDALDAJGaço = 80 × 0,800 + 60 × 0,600 + 90 × 0,200π2 × 0,0104 × 75 × 109 = (0,1 rad) × 180°π = 5,74° 
Torção 
203 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.52. O parafuso de aço A-36 com 8 mm de diâmetro está parafusado firmemente ao bloco em A. Determine as forças 
conjugadas F que devem ser aplicadas à chave de torque de modo que a tensão de cisalhamento máxima no parafuso 
seja de 18 MPa. Calcule também o deslocamento correspondente de cada força F necessário para causar essa tensão. 
Considere que a chave de torque seja rígida. 
 
 Figura 5.52 
T = 2 × 150F = 300F ∴ τadm = TcJ = (300F)(4)π2 × 44 = 18 ∴ F = 6,03 N ϕ = TLJGaço = 600FLπc4Gaço ∴ δ = 150ϕ = 90.000FLπc4Gaço = 90.000 × 6,03 × 800π × 44 × 75 × 103 = 0,720 mm 
5.53. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é transmitida às engrenagens de tal modo que C recebe 70% e D 
recebe 30%. Se a rotação do eixo de aço A-36 de 100 mm de diâmetro for 𝜔 = 800 rev/minuto, determine a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção da extremidade E do eixo em relação a B. O mancal em E 
permite que o eixo gire livremente em torno de seu eixo. 
 
 Figura 5.53 ω = 800 × 2π60 = 83,776 rad/s TCB = Pω = 150 × 10383,776 = 1.790,493 N.m 
PC = 70% × 150 = 105 kW TC = PCω = 105 × 10383,776 = 1253,342 N.m 
PD = 30% × 150 = 45 kW TD = TCD = PDω = 45 × 10383,776 = 537,147 N.m τmáx = TCBcJ = 1.790 × 0,050π2 × 0,0504 = 9,12 MPa 
 ϕE/B = TCBLCBJGaço + TCDLCDJGaço = 2TCBLCB + 2TCDLCDπc4Gaço = 2 × 1.790,493 × 3 + 2 × 537,1467 × 4π × 0,0504 × 75 × 109 = (0,01021317 rad) × 180°π = 0,585° 
Torção 
204 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.54. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é transmitida às engrenagens de tal modo que C e D recebem 
quantidades iguais. Se a rotação do eixo de aço A-36 de 100mm de diâmetro for 𝜔 = 500 rev/minuto, determine a tensão 
de cisalhamento máxima absoluta no eixo e a rotação da extremidade B do eixo em relação a E. O mancal em C permite 
que o eixo gire livremente em torno de seu eixo. 
 
 Figura 5.54 ω = 500 × 2π60 = 52,36 rad/s TCB = PCBω = 150 × 10352,36 = 2.864,789 N.m ∴ τmáx = TCBcJ = 2.864,789 × 0,050π2 × 0,0504 = 14,6 MPa TCD = PDω = 75 × 10352,36 = 1.432,394 N.m ϕE/B = TCDLCDJGaço + TCBLCBJGaço = 2TCBLCBπc4Gaço + 2TCDLCDπc4Gaço = 2 × 2.864,789 × 3 + 2 × 1.432,394 × 4π × 0,0504 × 75 × 109 = (0,019454 rad) × 180°π = 1,11° 
5.55. O motor transmite 33 kW ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20 Hz. O eixo é apoiado em mancais lisos 
em A e B, que permite a livre rotação do eixo. As engrenagens C e D presas ao eixo absorvem 20 kW e 12 kW, 
respectivamente. Determine o diâmetro do eixo com aproximação de mm se a tensão de cisalhamento admissível for 
τadm = 56 MPa e o ângulo de torção admissível de C em relação a D for 0,2º. 
 
 Figura 5.55 ϕ = 0,2° = 3,491 rad 
 Tm = Pm2πf = 33 × 1032 × π × 20 = 262,6056 N.m ∴ τadm = TmcJ ∴ c = √ 2Tmπτadm3 = √2 × 262.605,6π × 56 × 1033 = 14,4 mm 
TCD = PD2πf = 12 × 1032 × π × 20 = 95,493 N.m ∴ (ϕC/D)adm = TCDLCDJGaço ∴ c′ = √ 2TCDLCDπϕC/DGaço4 = √ 2 × 95.493 × 200π × 3,491 × 75 × 1034 = 14,68 mm 
d = 2c = 2 × 14,4 = 28,8 mm ≅ 30 mm 
Torção 
205 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.56. O motor transmite 32 kW ao eixo de aço inoxidável 304 quando gira a 20 Hz. O eixo tem diâmetro de 37,5 mm 
e está apoiado em mancais lisos em A e B, que permitem a livre rotação do eixo. As engrenagens C e D presas ao eixo 
absorvem 20 kW e 12 kW, respectivamente. Determine a tensão máxima absoluta no eixo e o ângulo de torção da 
engrenagem C em relação à engrenagem D. 
 
 
 Figura 5.56 
 Tmáx = P2πf = 32 × 1032 × π × 20 = 254,65 N.m ∴ τmáx = TmáxcJ = 254,65 × 0,01875π2 × 0,018754 = 24,59 MPa TCD = PD2πf = 12 × 1032 × π × 20 = 95,493 N.m ∴ ϕC/D = TCDLCDJGaço = 95,493 × 0,200π2 × 0,018754 × 75 × 103 = (0,001312 rad) × 180°π = 0,075152° 
 
5.57. O motor produz um torque T = 20 N.m na engrenagem A. Se a engrenagem C travar repentinamente e parar de 
girar, mas B puder girar livremente, determine o ângulo de torção F em relação a E e de F em relação a D do eixo de 
aço L2 cujo diâmetro interno é 30 mm e diâmetro externo é 50 mm. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima 
absoluta no eixo. O eixo está apoiado em mancais em G e H. 
 
 
Figura 5.57 
 TF = 100T30 = 10 × 203 = 66,67 N.m ∴ τmáx = TFc0π2(c04 −ci4) = 66,67 × 0,025π2(0,0254 − 0,0154) = 3,12 MPa ϕF/E = ϕF/D = TFLEFπ2(c04 − ci4)Gaço = 66,67 × 0,6 π2(0,0254 − 0,0154) = 0,999 × 10-3 rad 
Torção 
206 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.58. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em 
A, B e C que permitem livre rotação. Se o apoio em D for fixo, determine o ângulo de torção da extremidade B quando 
os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura. 
 
Figura 5.58 TEH = 150 × 60100 = 90 N.m ∴ TDH = 120 – 90 = 30 N.m ϕE = ϕDH + ϕEH = TEHLEHJGaço − TDHLDHJGaço = 90 × 0,750 − 30 × 0,250π2 × 0,01254 × 75 × 109 = 0,020861 rad 
 ϕF = 1,5ϕE = 1,5 × 0,020861 = 0,0313 rad ∴ ϕB = 0,0313 × 180°π = 1,793° 
5.59. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 25 mm e ambos estão apoiados em mancais em 
A, B e C que permitem livre rotação. Se o apoio em D for fixo, determine o ângulo de torção da extremidade A quando 
os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura. 
 
Figura 5.59 TEH = 150 × 60100 = 90 N.m ∴ TDH = 120 – 90 = 30 N.m ϕE = ϕDH + ϕEH = TEHLEHJGaço − TDHLDHJGaço = 90 × 0,750 − 30 × 0,250π2 × 0,01254 × 75 × 109 = 0,020861 rad ∴ ϕF = 1,5 × 0,020861 = 0,0313 rad ϕA = ϕG + ϕF = TGLFGJGaço + ϕF = 60 × 0,250π2 × 0,01254 × 75 × 109 + 0,0313 = (0,03651 rad) × 180°π = 2,092° 
Torção 
207 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.61. Os eixos de 30 mm de diâmetro são feitos de aço-ferramenta L2 e estão apoiados em mancais que permitem aos 
eixos girarem livremente. Se o motor em A desenvolver um torque T = 45 N.m no eixo AB, enquanto a turbina em E é 
fixa e não pode girar, determine a quantidade de rotação das engrenagens B e C. 
 
 
Figura 5.61 TCE = 75TAB50 = 1,5 × 45 = 67,5 N.m ϕB = TABLABJGaço = 45 × 1,5π2 × 0,0154 × 75 × 109 = 0,648° ϕC = TCELCEJGaço = 67,5 × 0,75π2 × 0,0154 × 75 × 109 = (0,0084883 rad) = 0,486° 
 
5.62. O eixo maciço de 60 mm de diâmetro é feito de aço A-36 e está sujeito aos carregamentos de torção distribuídos 
e concentrados mostrados na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre A do eixo devido a esses 
carregamentos. 
 
 
 Figura 5.62 
 
T(x) = (2.000x) N.m ϕA = 400 × 0,6π2 × 0,034 × 75 × 109 − 200 × 0,8π2 × 0,034 × 75 × 109 + ∫ (2.000x) dxπ2 × 0,034 × 75 × 1090,80 = (0,007545 rad) × 180°π = 0,432° 
 
Torção 
208 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.63. Quando um poço é perfurado, considera-se que a extremidade do tubo da perfuratriz que se aprofunda no solo 
encontra uma resistência à torção TA. Além disso, o atrito do solo ao longo das laterais do tubo cria uma distribuição 
linear de torque por unidade de comprimento que varia de zero na superfície B a t0 em A. Determine o torque necessário 
TB que deve ser fornecido pela unidade de acionamento para girar o tubo. Calcule também o ângulo de torção relativo 
de uma extremidade do tubo em relação à outra extremidade no instante em que o tubo está prestes a girar. O tubo tem 
raio externo ro e raio interno ri. O módulo de cisalhamento é G. 
 
 Figura 5.63 
Equação do torque distribuído que passa pelos pontos (0,5t0;0) e (0,L) é: t(y) = t02 (1 − yL) T = ∫ t(y) dyL0 = 2 × t02 ∫ (1 − yL)L0 dy = t0L2 [1] 
 
 T(y) = 2t(y)(y) = t0 (y − y2L ) ∴ ϕB/A = ∫ T(y)dyπ2(r04 − ri4)GL0 − TBLπ2(r4 − ri4)G = 𝟐𝐋(𝟑𝐓𝐀 + 𝐭𝟎𝐋)𝟑𝛑(𝐫𝟎𝟒 − 𝐫𝐢𝟒)𝐆 
 
*5.64. O conjunto é feito de aço A-36 e é composto por uma haste maciça de 15 mm de diâmetro conectada ao interior 
de um tubo por meio de um disco rígido em B. Determine o ângulo de torção em A. O tubo tem diâmetro externo de 30 
mm e espessura de parede de 3 mm. 
 
 Figura 5.64 ϕA = ϕA/D + ϕD/B + ϕB/C ϕA = 50 × 0,3π2 × 0,00754 × 75 × 109 + 80 × 0,3π2 × (0,0154 − 0,0124)(75 × 109) = (0,0470565 rad) × 180°π = 2,70° 
↶ + ∑ My = 0 
TA − TB + T = 0 [2] Substituindo [1] em [2], obtem-se: 𝐓𝐁 = 𝟐𝐓𝐀 + 𝐭𝟎𝐋𝟐 
Torção 
209 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.65. O dispositivo serve como uma mola de torção compacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno 
maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B. Podemos considerar que o anel 
em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar. Se um torque T = 0,25 kN.m for aplicado ao eixo, 
determine o ângulo de torção na extremidade C e a tensão de cisalhamento máxima no tubo e eixo. 
 
 Figura 5.65 
 ϕC = 250 × 0,6(π2 × 0,01254)(75 × 109) + 250 × 0,3π2 × (0,0254 − 0,018754)(75 × 109) = (0,054536 rad) × 180°π = 3,125° τBC = 250 × 0,0125π2 × 0,01254 = 81,49 MPa τAB = 250 × 0,025π2(0,0254 − 0,018754) = 14,9 MPa 
 
5.66. O dispositivo serve como uma mola de torção compacta. É feitode aço A-36 e composto por um eixo interno 
maciço CB embutido em um tubo AB e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B. Podemos considerar que o anel 
em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar. Se a tensão de cisalhamento admissível para o material 
for τadm = 84 MPa e o ângulo de torção em C estiver limitado a ϕadm = 3º, determine o torque máximo T que pode ser 
aplicado na extremidade C. 
 
 
 Figura 5.66 
 ϕadm = 3° × π180° = TC × 0,6π2 × 0,01254 × 75 × 109 + TC × 0,3π2 × (0,0254 − 0,018754)(75 × 109) ∴ TC = 240,02 N.m 
Substituindo T na fórmula da tensão de torção, obtem-se: τmáx = TcJ = 240 × 0,0125π2 × 0,01254 = 78,23 MPa < τadm = 84 MPa Ok! 
Torção 
210 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.67. O eixo tem raio c e está sujeito a um torque por unidade de comprimento t0 distribuído uniformemente por todo o 
comprimento L do eixo. Se ele estiver preso em sua extremidade distante A, determine o ângulo de torção ϕ na 
extremidade B. O módulo de cisalhamento é G. 
 
 Figura 5.67 
 
T(x) = t0x ϕ = ∫ T(x)dxJGL0 = 2t0πc4G ∫ xdxL0 = 𝐭𝟎𝐋𝟐𝛑𝐜𝟒𝐆 
 
*5.68. O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um furo de modo que o torque de reação na haste AB pode ser 
expresso pela equação t = (kx²) N.m/m, onde x é dado em metros. Se um torque T = 50 N.m for aplicado à cabeça do 
parafuso, determine a constante k e a quantidade de torção nos 50 mm de comprimento da haste. Considere que a haste 
tem um raio constante de 4 mm. 
 
 
 Figura 5.68 
 T = ∫ kx2dx0,050 = 41,667(10−6)k ∴ 50 – 41,667(10−6)k = 0 ∴ k = 1,20 × 106 N/m² T = ∫ kx2dxx0 = 1,20 × 106 ∫ x2dx = 0,4(106)x3x0 ϕ = ∫ T(x)dxJGL0 = 2π × 0,0044 × 75 × 109 ∫ [50 − 0,4(106)x3]dx0,050 = 0,06217 rad = 3,56° 
Torção 
211 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.69. Resolva o Problema 5.68 se o torque distribuído for t = (kx2/3)N.m/m. 
 
 
Figura 5.69 
 T = ∫ t dx = ∫ (kx2 3⁄ )0,0500,050 dx = 0,00407163k ↶ + ∑ M = 0 ∴ 0,00407163k − 50 = 0 
k = 12,28 × 10³ 
 
5.70. O contorno da superfície do eixo é definido pela equação y = eax, onde a é uma constante. Se o eixo for submetido 
a um torque T em suas extremidades, determine o ângulo de torção na extremidade A em relação à extremidade B. O 
módulo de cisalhamento é G. 
 
 
Figura 5.70 
 ϕA/B = ∫ T dxJGL0 = ∫ 2T dxπ(eax)4GL0 = 𝐓𝟐𝐚𝛑𝐆 (𝟏 − 𝐞−𝟒𝐚𝐋) 
 
Torção 
212 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.71. O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e está sujeito aos carregamentos distribuídos e concentrados 
mostrados. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo e construa um gráfico para o ângulo de torção 
do eixo em radianos em relação a x. 
 
 
Figura 5.71 
 
 
 
T(x) = (150 + 200x) N.m, o torque T será máximo para x = 0,5, portanto: Tmáx = 150 + 200 × 0,5 = 250 N.m τmáx = TmáxcJ = 250 × 0,025π2 × 0,0254 = 10,2 MPa ϕ(x) = ∫ T(x)dxJG = 2π × 0,0254 × 75 × 109 ∫ (150 + 200x)dxx0L0 = [3,26x + 2,17x²](10-3) rad 
 
 
 
Torção 
213 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.72. Uma mola cilíndrica é composta por um anel de borracha preso a um anel e eixo rígidos. Se o anel for mantido 
fixo e um torque T for aplicado ao eixo rígido, determine o ângulo de torção do eixo. O módulo de cisalhamento da 
borracha é G. Dica: Como mostrado na figura, a deformação do elemento no raio r pode ser determinada por rdθ = dr𝛾. 
Use essa expressão juntamente com 𝜏 = 𝑇/(2𝜋𝑟2ℎ) do Problema 5.28 para obter o resultado. 
 
 
Figura 5.72 
 
 
 τ = T2πr2h γ = τG ∴ γ = T2πr2hG rdθ = γdr ∴ dθ = γdrr θ = T2πhG ∫ drr3r0ri 𝛉 = 𝐓𝟒𝛑𝐡𝐆 ( 𝟏𝐫𝐢𝟐 − 𝟏𝐫𝟎𝟐) 
 
 
 
 
 
Torção 
214 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.3 - PROBLEMAS 
5.73. O eixo de aço A-36 tem diâmetro de 50 mm e está preso nas extremidades A e B. Se for submetido ao momento, 
determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB do eixo. 
 
 Figura 5.73 
 
 
 (τAC)máx = TACcJ = 200 × 0,025π2 × 0,0254 = 8,15 MPa (τCB)máx = TCBcJ = 100 × 0,025π2 × 0,0254 = 4,07 MPa 
 
5.74. O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 37,5 mm e espessura de 0,3 mm. A conexão C está sendo 
apertada com uma chave de torque. Se o torque desenvolvido em A for 16 N.m, determine o valor F das forças 
conjugadas. O tubo está engastado na extremidade B. 
 
 
 Figura 5.74 
 
 
 
 
Substituindo TBC na equação [1], obtem-se: F = 120 N 
↶ + ∑ M = 0 
300 – TAC – TBC = 0 [1] 
ϕB/A = TACLAC − TBCLBCJGaço = 0,4TAC − 0,8TBCπ2(0,0254)(75 × 109) = 0 ∴ TAC = 2TBC [2] 
Substituindo TAC na equação [1], obtem-se: TAC = 200 N.m e TBC = 100 N.m 
↶ + ∑ M = 0 
16 + TBC – 0,3F = 0 [1] 
ϕB/C = ϕC/A TBC × 200JG = 16 × 250JG ∴ TBC = 20 N.m [2] 
Torção 
215 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.75. O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 37,5 mm e espessura de 3 mm. A conexão em C está sendo 
apertada com uma chave de torque. Se for aplicada uma força F = 100 N, determine a tensão de cisalhamento máxima 
no tubo. 
 
 Figura 5.75 
 
 
 
 
ci = c0 – t = 18,75 – 3 = 15,75 mm ∴ τmáx = TBCc0π2(c04 − ci4) = 16,667 × 0,01875π2(0,018754 − 0,015754) = 3,21 Mpa 
 
*5.76. O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 12 mm e CB, com diâmetro de 25 mm. Se 
estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 750 N.m, determine a tensão de cisalhamento 
máxima no eixo. Gaço = 75 GPa. 
 
 Figura 5.76 
 ϕA/B = ϕAC + ϕCD + ϕDB ϕA/B = TA × 125π2 × 0,0064 × 75 × 109 + TA × 200π2 × 0,01254 × 75 × 109 + (TA − 750) × 300π2 × 0,01254 × 75 × 109 = 0 ∴ TA = 78,816 N.m τmáx = 78,816 × 0,006π2 × 0,0064 = 232,30 MPa 
↶ + ∑ M = 0 
TBC + TAC – 30 = 0 [1] 
ϕB/C = ϕC/A TBC × 200JG = TAC × 250JG ∴ TBC = 1,25TAC [2] 
Substituindo TBC na equação, obtem-se: TAC = 13,333 N.m e TBC = 1,25 × 13,333 = 16,667 N.m 
Torção 
216 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.77. O eixo é feito de aço-ferramenta L2, tem diâmetro de 40 mm e está preso em suas extremidades A e B. Se for 
submetido ao conjugado, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB. 
 
 
 Figura 5.77 
 
 
 
 (τAC)máx = TAcJ = 120 × 0,020π2 × 0,0204 = 9,55 MPa (τCB)máx = TBcJ = 80 × 0,020π2 × 0,0204 = 6,37 MPa 
5.78. O eixo composto tem uma seção média que indica o eixo maciço de 20 mm de diâmetro e um tubo soldado a 
flanges rígidas em A e B. Despreze a espessura das flanges e determine o ângulo de torção da extremidade C do eixo em 
relação à extremidade D. O eixo é submetido a um torque de 800 N.m. O material é aço A-36. 
 
 
 Figura 5.78 
 
 
 
 ϕC/D = 2 × 18,632 × 0,1(π2 × 0,0104)(75 x 109) + 781,38 × 0,15π2 × (0,0304 − 0,0254)(75 × 109) = (0,00553536 rad) × 180°π = 0,317° 
↶ + ∑ M = 0 
TA + TB – 200 = 0 [1] 
ϕA/B = ϕC/B 400TAJGaço = 600TBJGaço ∴ TA = 1,5TB [2] 
Substituindo TA na equação [1], obtem-se: TB = 80 N.m e TA = 120 N.m 
↶ + ∑ M = 0 
Ttubo + Teixo – 800 = 0 [1]ϕtubo = ϕeixo Ttubo = (304− 254104 ) Teixo= (67116 )Teixo [2] 
Substituindo Ttubo na equação[1], obtem-se: Teixo = 18,632 N.m e Ttubo = 781,38 N.m 
Torção 
217 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.79. O eixo é composto por uma seção maciça de aço AB e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão. Se o 
eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um torque T = 50 N.m a ele em C, determine o ângulo de torção 
que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no 
aço. Considere Gaço = 80 GPa, Glat = 40 GPa. 
 
 Figura 5.79 
 
 
 
Substituindo Taço na equação [1], obtem-se: Tlat = 1,613 N.m e Taço = 48,387 N.m ϕC = ϕlat + ϕaço = 1,613 × 1(π2 × 0,0104)(40 × 109) + 50 × 1,5(π2 × 0,0204)(80 × 109) = (0,0062974 rad) × 180°π = 0,361° τaço = 48,387 × 0,020π2 × (0,0204 − 0,0104) = 4,11 MPa τlat = 1,613 × 0,010π2 × 0,0104 = 1,03 MPa γaço = τaçoGaço = 4,11 × 10680 × 109 = 51,34 × 10-6 rad γlat = τlatGlat = 1,03 × 10640 × 109 = 25,67 × 10-6 rad 
*5.80. Os dois eixos de 1 m de comprimento são feitos de alumínio 2014-T6. Cada eixo tem diâmetro de 30 mm e os 
dois estão acoplados pelas engrenagens presas a uma das extremidades de cada um deles. As outras extremidades de 
cada um dos eixos estão engastadas em apoios fixos em A e B. Além disso, os eixos estão apoiados em mancais em C e 
D, que permitem que eles girem livremente ao longo de suas linhas centrais. Se um torque de 900 N.m for aplicado à 
engrenagem que está mais acima, como mostra a figura, determine a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. 
 
Figura 5.80 
 
 
 
↶ + ∑ T = 0 
Taço + Tlat – 50 = 0 [1] 
ϕaço = ϕlat Taço = (204 − 104) × 80104 × 40 Tlat = 30Tlat [2] 
↶ + ∑ M = 0 
TA + 0,8F – 900 = 0 [1] 
F = 2,5TB [2] 
TA + 2TB – 900 = 0 [3] 
80ϕE = 40ϕF 
TB = 2TA [4] 
Substituindo TB na equação [3], obtem-se: 
 TA = 180 N.m e TB = 360 N.m 
τAC = TAcJ = 180 × 0,015π2 × 0,0154 = 33,95 MPa τBD = TBcJ = 360 × 0,015π2 × 0,0154 = 67,91 MPa 
Torção 
218 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.81. Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada eixo tem diâmetro de 25 mm e os dois estão acoplados pelas 
engrenagens presas a uma das extremidades de cada um deles. As outras extremidades de cada um dos eixos estão 
engastadas em apoios fixos em A e B. Além disso, os eixos estão apoiados em mancais em C e D, que permitem que 
eles girem livremente ao longo de suas linhas centrais. Se for aplicado um torque de 500 N.m à engrenagem em E, como 
mostra a figura, determine as reações em A e B. 
 
Figura 5.81 
 
 
 
Substituindo TA na equação [3], obtem-se: TA = 55,6 N.m e TB = 222 N.m 
5.82. Determine a rotação da engrenagem em E no Problema 5.81. 
 
Figura 5.82 
 
 
 
 
 ϕE = ϕF2 = TBLBFπc4Gaço = 222,222 × 0,75π × 0,01254 × 75 × 109 = (0,028973 rad) × 180°π = 1,66° 
TA + 0,1F – 500 = 0 [1] 
TB – 0,05F = 0 [2] 
TA + 2TB = 500 [3] 
100ϕE = 50ϕF ∴ 100 × TA × 1,5JG = 50 × TB × 0,75 JG 
TA = 0,25TB [4] 
TA + 0,1F – 500 = 0 [1] 
TB – 0,05F = 0 [2] 
TA + 2TB = 500 [3] 
100ϕE = 50ϕF ∴ 100 × TA × 1,5JG = 50 × TB × 0,75 JG 
TA = 0,25TB [4] 
Substituindo TA na equação [3], obtem-se: TA = 55,6 N.m e TB = 222 N.m 
Torção 
219 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.83. O eixo de aço A-36 é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 10 mm e CB, com diâmetro de 20 mm. 
Se o eixo estiver engastado em suas extremidades A e B e for submetido a um torque distribuído uniforme de 300 N.m/m 
ao longo do segmento CB, determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. 
 
Figura 5.83 
 
t = 300 N.m /m ∴ T(x) = tx = 300x ϕA/B = ϕAC + ϕCB = 0 ∴ 0,1TA(π2 × 0,0054)(75 × 109) + 0,4TA(π2 × 0,0104)(75 × 109) − ∫ T(X)dx(π2 × 0,0104)(75 × 109)0,40 = 0 ∴ TA = 12 N.m 
TB = ∫ 300dx0,40 − 12 = 108 N.m ∴ τmáx = TBcBCJBC = 2TBπcBC3 = 2 × 108π × 0,0103 = 68,75 MPa 
 
*5.84. O eixo cônico está confinado pelos apoios fixos em A e B. Se for aplicado um torque T em seu ponto médio, 
determine as reações nos apoios. 
 
 
 Figura 5.84 
 
 
 
 
↶ + ∑ M = 0 
TA + TB – T = 0 
Lx = cy ∴ y = (cL) x c′ = c + y = c (1 + xL) 
ϕ1 + ϕ2 = 0 ∴ ∫ TBdxπ2c′4GL 2⁄0 + ∫ (TB − T)dxπ2c′4GLL 2⁄ = 0 
Solucionando a integral, obtem-se: 𝐓𝐁 = 𝟑𝟕𝟏𝟖𝟗 𝐓 e TA = T − 37189 T = 𝟏𝟓𝟐𝟏𝟖𝟗 𝐓 
Torção 
220 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.85. Uma porção do eixo de aço A-36 é submetida a um carregamento de torção distribuído linearmente. Se o eixo 
tiver as dimensões mostradas na figura, determine as reações nos apoios fixos A e C. O segmento AB tem diâmetro de 
30 mm, e o segmento BC tem diâmetro de 15 mm. 
 
 
 Figura 5.85 
Usando semelhança de triângulos, a equação do torque distribuído é: 1,5t(x) = 1,21,2 − x ∴ t(x) = (1.500 − 1.250x) N.m/m ∴ T(x) = t(x)x = (1.500x − 1.250x2) N.m ϕC/A = 0 ∴ 0,96TCπ2 × 0,00754 × 75 × 109 + 1,2TCπ2 × 0,0154 × 75 × 109 − ∫ T(x)dxπ2 × 0,0154 × 75 × 1091,20 = 0 
Resolvendo a integral, obtem-se: TC = 21,74 N.m e TA = ∫ (1.500 − 1.250x)dx − 21,741,20 = 878,26 N.m 
5.86. Determine a rotação da junta B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo do Problema 5.85. 
 
 Figura 5.86 
Usando semelhança de triângulos, a equação do torque distribuído é: 1,5t(x) = 1,21,2−x ∴ t(x) = (1.500 − 1.250x) N.m/m ∴ T(x) = t(x)x = (1.500x − 1.250x2) N.m ϕC/A = 0 ∴ 0,96TCπ2 × 0,00754 × 75 × 109 + 1,2TCπ2 × 0,0154 × 75 × 109 − ∫ T(x)dxπ2 × 0,0154 × 75 × 1091,20 = 0 
Resolvendo a integral, obtem-se: TC = 21,74 N.m e TA = ∫ (1.500 − 1.250x)dx − 21,741,20 = 878,26 N.m τmáx = TAcABJAB = 2TAπcAB3 = 2 × 878,26π × 0,0153 = 165,66 MPa 
 ϕB = TCLBCJBCGaço = 21,74 × 0,96π2 × 0,00754 × 75 × 109 = (0,056 rad) × 180°π = 3,208° 
Torção 
221 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.87. O eixo de raio c é submetido a um torque distribuído t, medido como torque/comprimento do eixo. Determine as 
reações nos apoios A e B. 
 
 
Figura 5.87 
 ↶ + ∑ M = 0 
T – TA – TB = 0 [1] T = ∫ t dx = t0 ∫ [1 + (xL)2] dxL0L0 = 43 t0L T(x) = tx = t0 (x + x3L2) ϕA/B = ∫ T(x)dxJGL0 = t0JG ∫ (x + x3L2) dx = 3t0L24JGL0 
 ϕA/C = ϕA ∴ 𝐓𝐀 = 𝟑𝟒 𝐭𝟎𝐋 [2] 
Substituindo TA na equação [1], obtem-se: TB = T − 34 t0L = 𝟕𝟏𝟐 𝐭𝟎𝐋 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Torção 
222 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.4 - PROBLEMAS 
*5.88. Compare os valores da tensão de cisalhamento elástica máxima e do ângulo de torção desenvolvidos em eixos 
de aço inoxidável 304 com seções transversais circular e quadrada. Cada eixo tem a mesma área de seção transversal de 
5.600 mm², comprimento de 900 mm e está submetido a um torque de 500 N.m. 
 
Figura 5.88 r = √Aπ = √5.600π = 42,22 mm ∴ a = √A = √5.600 = 74,83 mm (τC)máx = TrJ = 500 × 0,04222π2 × 0,042224 = 4,23 MPa (τS)máx = 4,81Ta3 = 4,81 × 5000,074833 = 5,74 MPa ϕC = TLJGaço = 500 × 0,9π2 × 0,042224 × 75 × 109 = (0,00120215 rad) × 180°π = 0,0689° 
 ϕS = 7,10TLa4Gaço = 7,10 × 500 × 0,90,074834 × 75 × 109 = (0,001359 rad) × 180°π = 0,0778° 
5.89. O eixo é feito de latão vermelho C83400 e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de 
torção mostrado, determine a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC e o ângulo de torçãoϕ da 
extremidade B em relação à extremidade A. 
 
Figura 5.89 
 τAC = 2TACπab2 = 2 × 50π × 0,050 × 0,0202 = 1,592 MPa τBC = 2 × 30π × 0,050 × 0,0202 = 0,955 MPa ϕB/A = ∑ (a2 + b2)TLπa3b3Glat = (0,0502 + 0,0202)[−50 × 2 − 30 × 1,5]π × 0,0503 × 0,0203 × 37 × 109 = (−0,0036175 rad) × 180°π = −0,2073° 
Torção 
223 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.90. Resolva o Problema 5.89 para a tensão de cisalhamento máxima no interior das regiões AC e BC e ângulo de 
torção ϕ da extremidade B em relação à C. 
 
 
Figura 5.90 
 τAC = 2TACπab2 = 2 × 50π × 0,050 × 0,0202 = 1,592 MPa 
 τBC = 2 × 30π × 0,050 × 0,0202 = 0,955 MPa ϕB/C = − (a2 + b2)TBCLBCπa3b3Glat = − (0,0502 + 0,0202)(30)(1,5)π × 0,0503 × 0,0203 × 37 × 109 = (−0,0011227 rad) × 180°π = −0,0643° 
5.91. O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é parafusado em parede com uma chave de torque. Determine as 
maiores forças conjugadas F que podem ser aplicadas ao eixo sem provocar o escoamento do aço. 𝜏e = 56 MPa. 
 
 
 Figura 5.91 
T = 0,4F 
 τe = 4,81Ta3 = 4,81 × 0,4F0,0253 = 56 × 106 ∴ F = 454,78 N 
Torção 
224 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.92. O eixo de aço tem 300 mm de comprimento e é parafusado em uma parede com uma chave de torque. Determine 
a máxima tensão de cisalhamento no eixo e o deslocamento que cada força conjugada sofre se o valor das forças 
conjugadas for F = 150 N. Gaço = 75 GPa. 
 
 Figura 5.92 
T = 0,4 × 150 = 60 N.m τmáx = 4,81Ta3 = 4,81 × 600,0253 = 18,47 MPa 
 ϕ = 7,10TLa4Gaço = 7,10 × 60 × 0,30,0254 × 75 × 109 = 0,004362 rad δF = 200ϕ = 200 × 0,004362 = 0,872 mm 
5.93. O eixo é feito de plástico e tem seção transversal elíptica. Se for submetido ao carregamento de torção mostrado, 
determine a tensão de cisalhamento no ponto A e mostre a tensão de cisalhamento em um elemento de volume localizado 
nesse ponto. Determine também o ângulo de torção ϕ na extremidade B. Gp = 15 GPa. 
 
 Figura 5.93 
 
 τA = 2TAπab2 = 2 × 90π × 0,050 × 0,020² = 2,86 MPa ϕB = ∑ (a2+ b2)TLπa3b3Gp = (0,0502 + 0,0202)(50 × 1,5 + 90 × 2)π × 0,050³ × 0,020³ × 15 × 109 = (0,0157 rad) × 180°π = 0,899° 
Torção 
225 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.94. O eixo quadra é usado na extremidade de um cabo de acionamento para registrar a rotação do cabo em um 
medidor. Se tiver as dimensões mostradas na figura e for submetido a um torque de 8 N.m, determine a tensão de 
cisalhamento no eixo no ponto A. Faça um rascunho da tensão de cisalhamento sobre um elemento de volume localizada 
nesse ponto. 
 
Figura 5.94 
 
 (τmáx)A = 4,81Ta3 = 4,81 × 80,005³ = 308 MPa 
5.95. O cabo de latão tem seção transversal triangular de 2 mm em um lado. Se a tensão de escoamento para o latão for 
τe = 205 MPa, determine o torque máximo T ao qual o cabo pode ser submetido de modo a não sofrer escoamento. Se 
esse torque for aplicado a um segmento de 4 m de comprimento, determine o maior ângulo de torção de uma extremidade 
do cabo em relação à outra extremidade que não causará dano permanente ao cabo. Glat = 37 GPa. 
 
Figura 5.95 
 τe = 20Ta3 ∴ T = τea320 = 205 × 106 × 0,002320 = 0,0820 N.m ϕ = 46TLa4Glat = 46 × 0,082 × 40,0024× 37 × 109 = 25,5 rad 
Torção 
226 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.96. Pretende-se fabricar uma barra circular para resistir a torque; todavia, durante o processo de fabricação, a barra 
ficou elíptica, sendo que uma dimensão ficou menor que a outra por um fator k, como mostra a figura. Determine o fator 
k que causará aumento da tensão de cisalhamento máxima. 
 
Figura 5.96 (τmáx)c = TcJ = T(d2)π2 × (d2)4 = 16Tπd3 ∴ (τmáx)e = 2Tπab2 = 2Tπ(d2)(kd2 )2 = 16Tπk2d3 
Fator de aumento da tensão de cisalhamento máxima = 
(τmáx)e(τmáx)c = 16T πk2d3⁄16T πd3⁄ = 𝟏𝐤𝟐 
5.97. Uma escora de alumínio 2014-T6 está presa entre as duas paredes em A e B. Se tiver seção transversal quadrada 
de 50 mm por 50 mm e for submetida ao carregamento de torção mostrado, determine as reações nos apoios fixos. 
Determine também o ângulo de torção em C. 
 
Figura 5.97 
 
 
 ϕB/A = 0 ∴ 7,10 × TB × 0,60,0504× 27 × 109 + 7,10(TB − 30)(0,6)0,0504× 27 × 109 + 7,10(TB − 90)(0,6)0,0504× 27 × 109 = 0 ∴ TB = 40 N.m 
TA = 60 + 30 – 40 = 50 N.m ∴ ϕC = 7,10TALACa4Gal = 7,10 × 50 × 0,60,0504× 27 × 109 = (0,001262 rad) × 180°π = 0,0723° 
Torção 
227 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.98. O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm. Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 80 MPa, 
determine o torque máximo T que ele pode transmitir. Calcule também o ângulo de torção de uma extremidade do tubo 
em relação à outra se o tubo tiver 4 m de comprimento. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões 
médias são mostradas na figura. 
 
Figura 5.98 
 
Am = 30 × 70 = 2.100 mm² 
 τméd = τadm = T2tAm ∴ 80 × 106 = T2 × 0,010 × 2.100 × 10−6 ∴ T = 3,36 kN.m 
s = 2 × 30 + 2 × 70 = 200 mm 
 ϕ = TL4Am2Gaço ∮ dst = TLs4tAm2Gaço = 3,36 × 103 × 4 × 0,24 × 0,010 × 0,00214× 75× 109 = (0,2032 rad) × 180°π = 11,6° 
 
5.99. O tubo de aço inoxidável 304 tem espessura de 10 mm. Se o torque aplicado for T = 50 N.m, determine a tensão 
de cisalhamento média no tubo. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões médias são mostradas 
na figura. 
 
 Figura 5.99 τméd = T2tAm = 502(0,010)(0,030 × 0,07) = 1,19 MPa 
Torção 
228 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.100. Determine a espessura constante do tubo retangular se a tensão de cisalhamento média não pode ultrapassar 84 
MPa quando um torque T = 2,5 kN.m for aplicado ao tubo. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As 
dimensões médias do tubo são mostradas na figura. 
 
Figura 5.100 
 Am = 100 × 50 = 5.000 mm² τméd = T2tAm ∴ t = T2Amτméd = 2,5 × 1032 × 5.000 × 10−6 × 84 × 106 = 0,00298 m = 2,98 mm 
5.101. Determine o torque T que pode ser aplicado ao tubo retangular se a tensão de cisalhamento média não pode 
ultrapassar 84 MPa. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. As dimensões médias do tubo são mostradas na 
figura e o tubo tem espessura de 3 mm. 
 
 Figura 5.101 Am = 100 × 50 = 5.000 mm² τméd = T2tAm ∴ T = 2tAmτméd = 2 × 0,003 × 5.000 × 10−6 × 84 × 106 = 2.520 N.m 
Torção 
229 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.102. Um tubo com as dimensões mostradas na figura é submetido a um torque a T = 50 N.m. Despreze as 
concentrações de tensão em seus cantos, determine a tensão de cisalhamento média no tubo nos pontos A e B. Mostre a 
tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
 Figura 5.102 Am = (50 + 442 ) (50 + 442 ) = 2.115 mm² (τA)méd = T2tAAm = 50 × 1032 × 3 × 2.115 = 3,94 MPa (τB)méd = T2tBAm = 50 × 1032 × 5 × 2.115 = 2,36 MPa 
5.103. O tubo é feito de plástico, tem 5 mm de espessura, e as dimensões médias mostradas na figura. Determine a 
tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se ele for submetido ao torque T = 5 N.m. Mostre a tensão de 
cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
Figura 5.103 
 Am = 110 × 80 + 40 × 302 = 9.400 mm² τB = T2tAm = 5 × 1032 × 5 × 9.400 = 53 kPa 𝛕𝐀 = 𝛕𝐁 = 53 kPa 
Torção 
230 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos,2016 
*5.104. O tubo de aço tem seção transversal elíptica com as dimensões médias mostradas na figura e espessura constante 
t = 5 mm. Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa e o tubo tiver de resistir a um torque T = 375 N.m, 
determine a dimensão b. A área média para a elipse é Am = πb(0,5b). 
 
Figura 5.104 
 
Am = 0,5πb² τadm = T2tAm ∴ b = √ Tπtτadm = √375 × 103π × 5 × 56 = 20,65 mm 
5.105. O tubo é feito de plástico, tem 5 mm de espessura e as dimensões médias são mostradas na figura. Determine a 
tensão de cisalhamento média nos pontos A e B se o tubo for submetido a um torque T = 500 N.m. Mostre a tensão de 
cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos. Despreze as concentrações de tensão nos cantos. 
 
 Figura 5.105 
 
 Am = (40 × 30)(2)2 + (100 × 40) = 5.200 mm² (τméd)A = (τméd)B = T2tAm = 500 × 1032 × 5 × 5.200 = 9,62 MPa 
Torção 
231 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.106. O tubo de aço tem seção transversal elíptica de dimensões médias mostradas na figura e espessura constante t = 
5 mm. Se a tensão de cisalhamento admissível for τadm = 56 MPa, determine a dimensão b necessária para resistir ao 
torque mostrado. A área média para a elipse é Am = πb(0,5b). 
 
 
 Figura 5.106 
 
 
 
 
 
5.107. O tubo simétrico é feito de aço de alta resistência, tem as dimensões médias mostradas na figura e 5 mm de 
espessura. Se for submetido a um torque T = 40 N.m, determine a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos pontos 
A e B. Indique a tensão de cisalhamento em elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
Figura 5.107 
 
Am = (40 × 60) × 2 + (60 + 60 + 40) × 40 = 11.200 mm² (τméd)A = (τméd)B = T2tAm = 40 × 1032 × 5 × 11.200 = 357 kPa 
↶ + ∑ M = 0 
Tmáx – 450 + 120 – 75 = 0 
Tmáx = 405 N.m 
Am = 0,5πb² τadm = T2tAm b = √ Tπtτadm = √405 × 103π × 5 × 56 = 21,46 mm 
Torção 
232 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.108. Devido a um erro de fabricação, o círculo interno do tubo é excêntrico em relação ao círculo externo. Qual é a 
porcentagem de redução da resistência à torção quando a excentricidade e for igual a 1/4 da diferença entre os raios? 
 
Figura 5.108 τméd = T2tAm = T2(a − b)π(a + b 2 )2 ∴ T = 2(a − b)π (a + b2 )2 τméd τméd = T′2tAm = T2(a − b)π(a + b 2 )2 t = a − e2 − (e2 + b) = a − e − b T′ = 2 [34 (a − b)] π (a + b2 )2 τméd, sendo assim a relação será: T′T = 34 
Percentual de redução da resistência à torção = 100% (1 − 34) = 𝟐𝟓% 
5.109. Para uma tensão de cisalhamento média dada, determine o fator de elevação da capacidade de resistência ao 
torque se as seções semicirculares forem invertidas das posições indicadas pelas linhas tracejadas para as posições da 
seção mostrada na figura. O tubo tem 2,5 mm de espessura. 
 
 Figura 5.109 
 y = √225 − 12,5² = 8,292 mm ∴ θ = arctang ( y12,5) = 33,557° ∴ ϕ = 180° − 2 × 33,557° = 112,885° am = (45 − 2y + 45)2 = 36,708 mm 
 C = 15πϕ180° = 15 × π × 112,885°180° = 29,553 mm ∴ Cm = 29,553 + 12,5π2 = 34,412 mm 
Continua... 
Torção 
233 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
34,412 = πrm ∴ rm = 10,954 mm ∴ Am1 = 2 × 36,708 × 10,954 − π × 10,9542 = 427,246 mm² Cm = 15π + 12,5π2 = 43,197 mm ∴ 43,197 = πrm ∴ rm = 13,75 mm am = 45 mm ∴ Am2 = 2 × 45 × 13,75 + π × 13,752 = 1.215,457 mm² 
Logo, o fator de elevação da capacidade de resistência ao torque será: α = Am2Am1 = 1.215,457427,246 = 2,85 
5.110. Para uma dada tensão de cisalhamento máxima, determine o fator de elevação da capacidade de resistência ao 
torque se a seção semicircular for invertida da posição indicada pelas linhas tracejadas para a posição da seção mostradas 
na figura. O tubo tem 2,5 mm de espessura. 
 
 
 Figura 5.110 
 
 
 y = √225 − 12,5² = 8,292 mm ∴ am = (45 − 8,292 − 2,5) + 452 = 39,604 mm ∴ bm = 30 + 252 = 27,5 mm θ = arctang (8,29212,5 ) = 33,557° ∴ ϕ = 180° − 2 × 33,557° = 112,885° ∴ C = 15π × 112,885°180° = 29,553 mm Cm = 29,553 + 12,5π2 = 34,412 mm ∴ 34,412 = πrm ∴ rm = 10,954 mm Am1 = 39,604 × 27,5 − π2 × 10,9542 = 900,65 mm² am = 45 + (45 − 2,5)2 = 43,75 mm ∴ Cm = 15π + 12,5π2 = 43,197 mm ∴ 3,197 = πrm ∴ rm = 13,75 mm Am2 = 2ambm + π2 rm2 = 2 × 39,604 × 27,5 + π2 × 13,752 = 1.500 mm² α = Am2Am1 = 1.500900,65 = 1,66 
Torção 
234 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.5 - PROBLEMAS 
5.111. A tensão de cisalhamento admissível para o aço usada no eixo é τadm = 8 MPa. Se os elementos forem interligados 
por um filete de solda de raio r = 4 mm, determine o torque máximo T que pode ser aplicado. 
 
 
Figura 5.111 
 Dd = 5020 = 2,5 ∴ rd = 420 = 0,2 ∴ k = 1,25 τadm = k (T 2⁄ )cJ = 1,25 × 0,5T × 0,01π2 × 0,014 = 8 × 106 ∴ T = 20,1 N.m 
 
*5.112. O eixo é usado para transmitir 660 W ao girar a 450 rpm. Determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. 
Os segmentos são interligados por um filete de solda de raio 1,875 mm. 
 
 
Figura 5.112 
 ω = 450 × 2π60 = 47,124 rad/s Dd = 2512,5 = 2 ∴ rd = 1,87512,5 = 0,15 ∴ k = 1,3 τmáx = k TcJ = k 2Pπωc3 = 1,3 × 2 × 660π × 47,124 × 0,006253 = 47,48 MPa 
 
 
 
Torção 
235 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.113. O eixo está preso à parede em A e é submetido aos torques mostrados na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento máxima no eixo. Um filete de solda de raio 4,5 mm é usado para interligar os eixos em B. 
 
Figura 5.113 
 Dd = 6030 = 2 ∴ rd = 4,530 = 0,15 ∴ k = 1,3 (τCD)máx = 250 × 0,015π2 × 0,0154 = 47,2 MPa (τEA)máx = 750 × 0,030π2 × 0,0304 = 17,68 MPa 
 (τDB)máx = 1,3 × 50 × 0,015π2 × 0,0154 = 12,26 MPa 
5.114. O eixo aumentado foi projetado para girar a 720 rpm enquanto transmite 30 kW de potência. Isso é possível? A 
tensão de cisalhamento admissível é τadm = 12 MPa. 
 
Figura 5.114 ω = 720 × 2π60 = 75,398 rad/s Dd = 7560 = 1,25 ∴ rd = 7,9860 = 0,133 ∴ k = 1,28 
 τadm = k TcJ ∴ T = π × 0,0303× 12 × 1062 × 1,28 = 397,61 N.m ∴ Pmáx = 75,398 × 397,6 = 29,98 kW 
Não, não é possível, pois Pmáx < P = 30 kW 
Torção 
236 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.115. O eixo aumentado foi projetado para girar a 540 rpm. Se o raio do filete de solda que interliga os eixos for r = 
7,20 mm e a tensão de cisalhamento admissível para o material for τadm = 55 MPa, determine a potência máxima que o 
eixo pode transmitir. 
 
 
Figura 5.115 
 ω = 540 × 2π60 = 56,549 rad/s Dd = 7560 = 1,25 ∴ rd = 7,260 = 0,12 ∴ k = 1,3 τadm = k TcJ ∴ T = πc3τadm2k = π × 0,033× 55 × 1062 × 1,3 = 1.794,33 N.m Pmáx = ωT = 56,549 × 1.794,33 = 101,5 kW ≅ 101 kW 
 
*5.116. A tensão de cisalhamento admissível para o aço usado na fabricação do eixo é τadm = 8 MPa. Se os elementos 
forem interligados por um filete de solda de raio r = 2,25 mm, determine o torque máximo T que pode ser aplicado. 
 
 
Figura 5.116 
 Dd = 3015 = 2 ∴ rd = 2,2515 = 0,15 ∴ k = 1,3 τadm = k (T 2⁄ )cJ ∴ T = πc3τadmk = π × 0,00753 × 8 × 1061,3 = 8,16 N.m 
Torção 
237 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.117. Um eixo maciço é submetido ao torque T, que provoca o escoamento do material. Seo material for elástico-
plástico, mostre que o torque pode ser expresso em termos do ângulo de torção ϕ do eixo como T = 4/3Te(1-ϕe3/4ϕ3), 
onde Te e ϕe são o torque e o ângulo de torção quando o material começa a escoar. c = γLϕ ρe = γLϕe T = πτe6 (4c3 − ρe3) [1] 
 τe = Tecπc42 = 2Teπc3 [2] 
Substituindo τe na equação [1], obtem-se: T = 4Te3 (1 − ρe34c3) = 𝟒𝐓𝐞𝟑 (𝟏 − 𝛟𝐞𝟑𝟒𝛟𝟑) 
5.118. Um eixo maciço com diâmetro de 50 mm é feito de material elástico-plástico com tensão de escoamento τe = 
112 MPa e módulo de cisalhamento G = 84 GPa. Determine o torque exigido para desenvolver um núcleo elástico no 
eixo com diâmetro de 25 mm. Calcule também o torque plástico. 
 T = πτe6 (4c3 − ρe3) = π × 112 × 1066 (4 × 0,0253 − 0,01253) = 3,551 kN.m Tp = 2π3 τec3 = 2π3 × 112 × 106 × 0,0253= 3,665 kN.m 
5.119. Determine o torque necessário para torcer um cabo de aço curto de 3 m de diâmetro por várias revoluções se ele 
for feito de um aço que se presume ser elástico-plástico com tensão de escoamento τe = 80 MPa. Considere que o 
material se torna totalmente plástico. 
 Tp = 2π3 τec3 = 2π3 (80 × 106)(0,00153) = 0,565 N.m 
 
*5.120. Um eixo maciço tem diâmetro de 40 mm e comprimento de 1 m e é feito de um material elástico-plástico com 
tensão de escoamento τe = 100 MPa. Determine o torque elástico máximo Te e o ângulo de torção correspondente. Qual 
é o ângulo de torção se o torque for aumentado para T = 1,2Te? G = 80 GPa. Te = τeJc = 100 × 106 × π2 × 0,0240,02 = 1.256,64 N.m = 1,26 kN.m φ = TeLJG = 1256,64 × 1π2 × 0,024 × 80 × 109 = 0,0625 rad = 3,58° γe = τeG = 100 × 10680 × 109 = 0,00125 rad ∴ φ = γeLρe = 0,00125 × 10,02 = 0,0625 rad = 𝟑, 𝟓𝟖° T = πτe6 (4c3 − ρe3) ∴ 1,2 × 1256,64 = π × 100 × 1066 (4 × 0,023 − ρe3) ∴ ρe = 0,01474 m φ′ = γeLρe = 0,00125 × 10,01474 = 0,0848 rad = 4,86° 
Torção 
238 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.121. O eixo é submetido a um torque T que produz escoamento na superfície do segmento de maior diâmetro. 
Determine o raio do núcleo elástico produzido no segmento de menor diâmetro. Despreze a concentração de tensão no 
filete. 
 
Figura 5.121 τe = TecJ ∴ Te = τeJc = (13,5 × 10−6)πτe Te = πτe6 (4c3 − ρe3), substituindoTe, tem-se que: (13,5 × 10−6) πτe = πτe6 [4 × 0,02753 − ρe3] 
Logo, solucionando a equação, obtem-se: ρe = 0,01298 m = 𝟏𝟑, 𝟎 𝐦𝐦 
5.122. Uma barra com seção transversal circular de 75 mm de diâmetro é submetido a um torque de 12 kN.m. Se o 
material for elástico-plástico, com τe = 120 MPa, determine o raio do núcleo elástico. T = πτe6 (4c3 − ρe3) 
Substituindo os dados, tem-se que: 12 × 103 = π × 120 × 1066 (4 × 0,03753 − ρe3) 
Logo, solucionando a equação, obtem-se: 𝛒𝐞 = 𝟐𝟕, 𝟏𝟐 𝐦𝐦 
5.123. Um eixo tubular tem diâmetro interno de 20 mm, diâmetro externo de 40 mm e comprimento de 1 m. É feito de 
um material elástico perfeitamente plástico com tensão de escoamento τe = 100 MPa. Determine o torque máximo que 
ele pode transmitir. Qual é o ângulo de torção de uma extremidade em relação à outra extremidade se a deformação por 
cisalhamento na superfície interna do tubo estiver prestes a escoar? G = 80 GPa. 
 
Figura 5.123 
 Tp = 2π3 τe(c03 − ci3) = 2π3 (100 × 106)(0,0203 − 0,0103) = 1,47 kN.m γe = τeG = 100 × 10680 × 109 = 0,00125 rad ∴ ϕ = γeLρe = 0,00125 × 10,010 = (0,125 rad) × 180°π = 𝟕, 𝟏𝟔° 
Torção 
239 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*5.124. O tubo de 2 m de comprimento é feito de um material elástico-plástico como mostra a figura. Determine o 
torque aplicado T que submete o material da borda externa do tubo a uma deformação por cisalhamento de γmáx =0,008 rad. Qual seria o ângulo de torção permanente do tubo quando o torque for removido? Faça um rascunho da 
distribuição da tensão residual no tubo. 
 
Figura 5.124 
 φ = γmáxLc = 0,008 × 20,045 = 0,3556 rad φ = γrLρr ∴ 0,3556 = 0,003ρr (2) ∴ ρr = 0,016875 m < 0,04 m 0,00845 = r40 ∴ r = 0,00711 > 0,003 Tp = 2π ∫ τrρ2dρc0ci = 2πτr3 (c03 − ci3) = 2π × 240 × 1063 (0,0453 − 0,0403) = 13.634,5 N. m = 𝟏𝟑, 𝟔 𝐤𝐍. 𝐦 
 G = 240 × 1060,003 = 80 GPa φ = TpLJG = 13.634,5 × 2π2(0,0454 − 0,044)(80 × 109) = 0,14085 rad φr = φ − φ′ = 0,35555 − 0,14085 = 0,215 rad = 𝟏𝟐, 𝟑° τp0 = TpcJ = 13.634,5×0,045π2(0,0454−0,044) = 253,5 MPa τp1 = 0,040,045 (253,5) = 225,4 MPa 
Torção 
240 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.125. O tubo tem comprimento de 2 m e é feito de um material elástico – plástico material como mostra a figura. 
Determine o torque necessário só para tornar o material totalmente plástico. Qual é o ângulo de torção permanente do 
tubo quando esse torque é removido? 
 
Figura 1.125 Tp = 2πτe3 (c03 − ci3) = 2π × 350 × 1063 (0,053 − 0,033) = 71.837,75 N.m = 71,8 kN.m ϕp = γeLρe = (0,0070,03 ) (2) = 0,4667 rad ∴ G = 350 × 1060,007 = 50 GPa ϕp′ = TpLJG = 71.837,75 × 2π2(0,054 − 0,034)(50 × 106) = 0,3363 rad ∴ ϕr = ϕp − ϕ′p = 0,4667 − 0,3363 = 0,1304 rad = 𝟕, 𝟒𝟕° 
5.126. O eixo é feito de um material endurecido por deformação cujo diagrama 𝜏 − 𝛾 é mostrado na figura. Determine 
o torque T que deve ser aplicado ao eixo de modo a criar um núcleo elástico no eixo com raio ρc = 12,5 mm. 
 
Figura 5.126 τ1γ = 70(103)0,005 = 14(106) ∴ τ1 = 14(106)γ τ2 − 70(103)γ − 0,005 = 105(103) − 70(103)0,01 − 0,005 ∴ τ2 = 7(106)γ + 35(103) γmáx = ( 1512,5) (0,005) = 0,006 ∴ γ = ρc γmáx = ( ρ15) (0,006) = 0,0004ρ τ1 = 14(106)(0,0004ρ) = 5.600ρ ∴ τ2 = 7(106)(0,0004ρ) + 35(103) = 2.800ρ + 35.000 T = 2π ∫ τρ2dρc0 = 2π ∫ 5.600ρ3dρ12,50 + 2π ∫ [2.800ρ3 + 35.000ρ2]dρ1512,5 = 434.267.915,74 N.mm = 434,27 kN.m 
Torção 
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Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.127. O tubo de 2 m de comprimento é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura. 
Determine o torque aplicado T que submete o material da borda externa do tubo à superfície à deformação por 
cisalhamento 𝛾𝑚á𝑥 = 0,006 rad. Qual será o ângulo de torção permanente do tubo quando esse torque for removido? 
Faça um rascunho da distribuição de tensão residual no tubo. 
 
 Figura 5.127 γmáx = 0,006 rad > γe = 0,003 rad, logo, ocorre escoamento do material Tp = 2π3 τe(c03 − ci3) = 2π3 (210 × 106)(0,0353 − 0,0303) = 6,98 kN.m ∴ ϕp = γmáxLc0 = 0,006 × 20,035 = 0,343 rad G = 210 × 1060,003 = 70 GPa 
 ϕ′p = TpLπ2(c04 − ci4)G = 6,98 × 103 × 2π2(0,0354 − 0,0304)(70 × 109) = 0,184 rad (ângulo de torção após Tp ser removido) ϕr = ϕp − ϕp′ = 0,3434 − 0,184 = (0,159 rad) × 180°π = 9,11° 
*5.128. O diagrama tensão – deformação por cisalhamento para um eixo maciço de 50 mm de diâmetro pode ser 
aproximado como mostra a figura. Determine o torque exigido para provocar uma tensão de cisalhamento máxima de 
125 MPa no eixo. Se o eixo tiver 3 m de comprimento, qual será o ângulo de torção correspondente? 
 
 Figura 5.128 γ = ρc γmáx ∴ ρ = cγγmáx = 0,025 × 0,00250,01 = 0,00625 m ∴ τ − 0ρ − 0 = 50 × 1060,00625 ∴ τ = (8.000 × 106)ρ τ− 50 × 106ρ − 0,00625 = 125 × 106− 50 × 1060,025 − 0,00625 ∴ τ = (4.000 × 106)ρ + 25 × 106 T = 2π ∫ τρ2dρ = 2π ∫ (8.000 × 106)ρ3dρ + 2π ∫ [(4.000 × 106)ρ + (25 × 106)ρ2]dρ0,0250,006250,006250c0 = 3.269 N.m = 3,27 kN.m φ = γmáxLc = 0,01 × 30,025 = 1,20 rad = 68,8° 
Torção 
242 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
5.129. O eixo é composto por duas seções rigidamente acopladas. Se o material for elástico perfeitamente plástico como 
mostra a figura, determine o maior torque T que pode ser aplicado ao eixo. Além disso, desenhe a distribuição da tensão 
de cisalhamento na linha radial para cada seção. Despreze o efeito da