capitulo_20

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Cap´ıtulo 20
Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o
pela Reta Tangente
20.1 Introduc¸a˜o
Como ja´ vimos, a derivada f ′(x) de uma func¸a˜o y = f(x) pode ser definida como
f ′(x) = lim
∆ x→0
∆ y
∆x
,
onde ∆x e´ uma variac¸a˜o na˜o-nula na varia´vel independente x e ∆ y = f(x+∆x)− f(x) e´ a variac¸a˜o correspondente
em y. No Cap. 9 , introduzimos a notac¸a˜o de Liebniz dydx para a derivada da func¸a˜o y = f(x) e enfatizamos que esta
notac¸a˜o era apenas um s´ımbolo e na˜o uma frac¸a˜o. No entanto, e´ verdade que dydx parece uma frac¸a˜o, e, em alguns
contextos funciona como tal.
O exemplo mais importante disto se da´ na regra da cadeia, que, usando-se a notac¸a˜o de Leibniz, pode ser enunciada
da seguinte maneira:
dy
dt
=
dy dx
dx dt
Neste caso, a fo´rmula correta para a derivada de uma func¸a˜o composta y(x(t)) parece ser obtida cancelando-se dx
como se as derivadas dydx e
dx
dt fossem de fato frac¸o˜es.
O objetivo deste cap´ıtulo e´ dar significado aos termos dy e dx, de tal modo que o seu quociente seja a derivada
f ′(x). Para isso e´ preciso estabelecer a relac¸a˜o entre o acre´scimo ou incremento ∆ y e a derivada (taxa de variac¸a˜o) da
func¸a˜o f . Neste cap´ıtulo, daremos uma resposta aproximada para esta questa˜o. A resposta exata para esta pergunta
e´ dada pelo teorema do valor me´dio.
20.2 Aproximac¸a˜o pela reta tangente
Seja f uma func¸a˜o deriva´vel definida num intervalo fechado [a, b]. O problema que se coloca e´ como estimar, de
maneira ra´pida e simples, a variac¸a˜o ocorrida em y = f(x), quando x varia de um certo valor original x0 para um
novo valor x0 +∆x. O valor exato desta variac¸a˜o, como sabemos, e´ o incremento correspondente em y, dado por
∆ y = f(x0 +∆x)− f(x0), como mostra a figura abaixo.
x∆
y∆
xo x
Nem sempre e´ poss´ıvel calcular exatamente este valor. Por exemplo, seja f(x) =
√
1 + x. Para calcular a variac¸a˜o
ocorrida em y = f(x), quando x varia de zero a 0,05, seria necessa´rio conhecermos o valor exato de
√
1.05. Como
e´ sempre fa´cil calcular valores de func¸o˜es cujos gra´ficos sa˜o retas (para isto basta saber somar e multiplicar), a ide´ia
e´ comparar a variac¸a˜o efetiva ∆ y com a alterac¸a˜o que ocorreria no valor de y se a func¸a˜o f continuasse a variar a`
taxa fixa f ′(x0), enquanto a varia´vel independente passasse de x0 para x0 +∆x, isto e´, aproximar a variac¸a˜o ocorrida
259
260 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
nos valores de y pela variac¸a˜o correspondente ocorrida sobre a reta tangente a` curva y = f(x ). Esta variac¸a˜o, que
notaremos por dy, e´ chamada de diferencial de y. (Veja a figura abaixo.)
y+dy
dy
x∆
y∆
y
xo
y∆y+
x
A diferencial de y e´, portanto, a variac¸a˜o ocorrida na altura de um ponto que se move ao longo da reta tangente a`
curva y = f(x), quando x varia de x0 a x0 +∆x, e e´ dada por dy = f
′(x)∆x. Quando ∆x e´ pequeno, a diferencial
dy e´ uma “boa” aproximac¸a˜o para o incremento ∆ y. Na figura acima, o erro que cometemos ao aproximarmos ∆ y
por dy e´ a diferenc¸a entre ∆ y e dy. Observe, no diagrama abaixo, como este erro diminui a` medida que ∆x tende a
zero.
Assim, quando ∆x e´ pequeno, temos que ∆ y ≈ dy . Lembrando que ∆ y = f(x0 +∆x) − f(x0) e dy = f ′(x0)∆x,
tem-se que f(x0 +∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0)∆x. Como ∆x = x− x0 , tem-se ainda que
f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0) , (20.1)
e esta aproximac¸a˜o sera´ tanto melhor quanto mais perto x estiver de x0. Repare que o lado direito da expressa˜o acima
representa a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0)). Por isso, dizemos que a reta tangente e´
uma boa aproximac¸a˜o da func¸a˜o f para valores pro´ximos ao ponto de tangeˆncia, ou que esta e´ a aproximac¸a˜o linear
da func¸a˜o f na vizinhanc¸a do ponto x = x0.
Vamos usar o resultado obtido acima para calcular um valor aproximado para
√
25, 4. Para isso consideraremos
f(x) =
√
x e x0 = 25 (porque 25 e´ o ponto mais pro´ximo de 25,4 no qual sabemos calcular o valor exato de f(x)).
Neste caso, ∆x = 0, 4, f ′(x0) = 12√25 e a fo´rmula acima fornece√
25, 4 = f(x0 +∆x) ≈ f(x0) + f ′(x0)∆x =
√
25 +
0, 4
2
√
25
= 5, 04.
O valor de
√
25, 4 com 9 casas decimais, fornecido pelo Maple e´
> sqrt(25.4);
5.039841267
Consequ¨entemente, o erro E da nossa aproximac¸a˜o e´ dado por
> E=abs(sqrt(25.4)-5.04);
E = .000158733
que na˜o e´ de todo mal. Lembre-se que a aproximac¸a˜o acima so´ deve ser “boa” quando ∆x for muito pequeno e
∆x = 0, 4 na˜o e´ muito pequeno. Se usarmos ∆x = 0, 1, obteremos
√
25, 1 ≈ 5, 01, e o erro neste caso sera´ dado por
> E=abs(sqrt(25.1)-5.01);
E = .9980 10−5
Define-se o erro absoluto em um valor medido ou aproximado como a diferenc¸a entre o valor aproximado e o valor
verdadeiro. O erro relativo ou me´dio e´ a raza˜o entre o erro absoluto e o valor verdadeiro. Assim, nos dois exemplos
W.Bianchini, A.R.Santos 261
anteriores, os respectivos erros relativos de
∆x
x
=
0, 4
5
= 0, 08 = 8%
e de
∆x
x
=
0, 1
5
= 0, 02 = 2%
em x, conduzem a um erro relativo no valor estimado de
> E[r]=abs(sqrt(25.4)-5.04)/sqrt(25.4);
Er = .00003149563480
e de
> E[r]=abs(sqrt(25.1)-5.01)/sqrt(25.1);
Er = .1992019936 10
−5
isto e´, 0,003 % e 0,0001 %, respectivamente.
E´ natural perguntar por que a aproximac¸a˜o
dy = f ′(x0)∆x
e´ ta˜o boa, como ficou mostrado nos exemplos acima.
Como vimos no diagrama anterior, quanto menor for ∆x, mais pro´ximos da reta tangente estara˜o os pontos
correspondentes na curva y = f(x). A diferenc¸a entre as alturas de dois desses pontos para uma determinada escolha
de ∆x e´ dada por ∆ y − dy e conclu´ımos que ∆ y − dy tende para zero quando ∆x e´ pequeno. Na realidade, a
diferenc¸a ∆ y − dy e´ pequena, mesmo em comparac¸a˜o com ∆x. Para mostrar esta afirmac¸a˜o, basta observar que
∆ y − dy
∆x
=
f(x+∆x)− f(x)
∆x
− f ′(x) = E(∆x) ,
portanto, lembrando a definic¸a˜o de derivada, podemos concluir que o erro relativo e´ uma func¸a˜o de ∆x que se aproxima
de zero quando ∆x tende a zero. Assim, quando ∆x tende a zero, o erro na aproximac¸a˜o ∆ y ≈ dy na˜o e´ simplesmente
pequeno, mas duplamente pequeno, pois ∆ y − dy = E(∆x)∆x e´ um mu´ltiplo pequeno de um nu´mero pequeno, isto
e´, muito, muito pequeno.
20.3 Diferenciais e func¸o˜es diferencia´veis
Costuma-se definir dx = ∆x escrevendo-se, enta˜o, a fo´rmula 20.1 como:
f(x0 + dx) ≈ f(x0) + f ′(x0) dx .
Neste caso, dx e´ uma varia´vel independente, chamada diferencial de x. Definem-se, assim, as diferenciais de x e de y
como
dx = ∆x
e
dy = f ′(x)∆x = f ′(x) dx
Ale´m disso, dizemos que uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em x0 quando existe uma func¸a˜o linear K e uma func¸a˜o E,
definida na vizinhanc¸a de x0 , tais que
∆ f = K(∆x) + ∆xE(∆x)
onde
lim
∆ x→0
E(∆x)
∆x
= 0 .
Como neste contexto as func¸o˜es lineares K sa˜o da forma K(∆x) = m∆x, onde m e´ uma constante, pelo que vimos
neste cap´ıtulo, m = f ′(x0) e a igualdade acima significa dizer que a func¸a˜o f pode ser aproximada, localmente, pela
reta tangente. Por causa desta propriedade, estas func¸o˜es sa˜o ditas localmente lineares. No caso em estudo, dizer que
uma func¸a˜o e´ diferencia´vel e´ equivalente a dizer que a func¸a˜o e´ deriva´vel.
262 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
Da definic¸a˜o de diferenciais, decorre, imediatamente, que
dy
dx
= f ′(x)
dx
dx
= f ′(x).
Note que a expressa˜o acima mostra que a derivada de uma func¸a˜o, de acordo com a notac¸a˜o de Leibniz que
utilizamos ate´ agora, e´ realmente a raza˜o entre duas quantidades: as diferenciais dy e dx.
Na realidade, Leibniz concebeu a notac¸a˜o diferencial visualizando incrementos “infinitesimais” dx e dy, cuja raza˜o
dy
dx seria o coeficiente angular da reta tangente a` curva y = f(x),como mostra a figura a` esquerda.
A chave da descoberta de Leibniz na de´cada de 1670 foi o seu entendimento de que, se dy e dx forem suficientemente
pequenos (infinitesimais), enta˜o o segmento da curva y = f(x) e o segmento de reta que une os pontos (x, y) e
(x+ dx, y + dy) sera˜o virtualmente indistingu´ıveis, como mostra a ampliac¸a˜o a` direita.
dy
dx
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.92 0.96 11.02 1.06 1.1 1.14 1.18
x
A notac¸a˜o diferencial nos fornece uma forma conveniente de escrever fo´rmulas para derivadas. Por exemplo, as
regras da soma, do produto e do quociente de duas func¸o˜es u e v podem ser escritas, respectivamente, como:
d(u+ v) = du+ dv
d(uv) = u dv + v du
d(
u
v
) =
v du − u dv
v2
Ale´m disso, se u = f(x) e v = g(u), como dv = g′(u) du e du = f ′(x) dx, obte´m-se
dv = g′(u)f ′(x)dx = g′(f(x))f ′(x)dx.
Assim, a regra da cadeia pode ser obtida como se fosse o resultado de manipulac¸o˜es puramente alge´bricas da notac¸a˜o
para diferenciais.
O me´todo das diferenciais e´ u´til, em particular, na derivac¸a˜o impl´ıcita. Suponha, por exemplo, que y seja uma
func¸a˜o deriva´vel de x, que satisfac¸a a relac¸a˜o
x2 y3 − 2x y + 5 = 0. Podemos usar diferenciais para achar uma expressa˜o para dydx . Assim, calculando a diferen-
cial de cada termo da equac¸a˜o e usando as regras de derivac¸a˜o, temos:
2x y3 dx + x2 3 y2 dy − 2 ydx − 2 xdy = 0 ,
e da´ı
(3x2 y2 − 2x) dy = (2 y − 2x y3) dx ,
o que conduz ao resultado:
dy
dx
=
2 y − 2 xy3
3x2 y2 − 2x .
20.4 Exerc´ıcios
1. Nos ı´tens abaixo, determine a aproximac¸a˜o linear para a func¸a˜o dada na vizinhanc¸a de um ponto x0 = 0:
(a) f(x) =
√
1 + x
(b) f(x) = (1 + x)2
(c) f(x) =
1
1 + x
(d) f(x) =
1√
1 + x
(e) f(x) = (1− x)3
(f) f(x) = sen(x)
(g) f(x) = cos(x)
2. Uma fo´rmula de aproximac¸a˜o padra˜o usada em f´ısica e´ dada por sen(x) ≈ x. Esta aproximac¸a˜o vale quando
x ≈ 0. Explique como esta fo´rmula esta´ relacionada com as ide´ias discutidas nesta sec¸a˜o.
W.Bianchini, A.R.Santos 263
3. Uma outra fo´rmula padra˜o de aproximac¸a˜o e´ dada por (1 + nx)n ≈ 1 + nx e vale para pequenos valores de x.
Explique a validade desta fo´rmula tendo em vista a teoria que desenvolvemos acima.
4. Usando uma aproximac¸a˜o linear, estime o valor dos seguintes nu´meros:
(a)
√
36, 7
(b) 15(
1
4 )
(c)
√
103
(d) cos(430)
(e) sen(0, 5432)
(f) sen(880)
20.5 Problemas
1. Mede-se o raio de uma bola esfe´rica, obtendo-se 10 cm, com erro ma´ximo de 110 cm. Qual e´ o erro ma´ximo
resultante no ca´lculo do volume desta bola? Com que precisa˜o se deve medir o raio da bola para assegurar um
erro ma´ximo de 1 cm3 no ca´lculo do volume?
2. A lei da gravitac¸a˜o de Newton afirma que a forc¸a F de atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de massas m1 e m2 e´ dada
por F = gm1m2s2 , onde g e´ uma constante e s e´ a distaˆncia entre as part´ıculas. Se s = 20 cm, use diferenciais
para obter uma aproximac¸a˜o da variac¸a˜o em s que aumente F em 10%.
3. A Lei de Boyle afirma que, entre a pressa˜o p e o volume v de um ga´s confinado, existe a relac¸a˜o p v = c, onde c
e´ uma constante. Mostre que entre dp e dv existe a relac¸a˜o pdv + vdp= 0.
4. O raio equatorial da Terra e´ de aproximadamente 6378 km. Imagine um fio firmemente enrolado ao longo do
equador terrestre. De quanto se deve aumentar o fio para que ele possa dar a volta a` Terra, fixado no topo de
postes de 10 metros de altura acima do solo?
20.6 Um pouco de histo´ria: Os mitos leibnizianos e o comec¸o do ca´lculo
infinitesimal
O conceito moderno de limite so´ apareceu no comec¸o do se´culo XIX, e assim, nenhuma definic¸a˜o de derivada parecida
com a equac¸a˜o
dy
dx
= lim
∆ x→0
∆ y
∆x
era poss´ıvel para Leibniz e seus sucessores.
A maior parte do pensamento matema´tico produtivo desse per´ıodo estava baseada numa outra forma da noc¸a˜o
de “infinitamente pequeno”. Leibniz entendia a equac¸a˜o acima como o quociente de duas quantidades infinitesimais,
denotadas por dy e dx e chamadas de diferenciais. Na imaginac¸a˜o de Leibniz um infinite´simo era uma espe´cie particular
de nu´mero que na˜o era nulo e ainda assim era menor do que qualquer outro nu´mero. Uma versa˜o geome´trica dessas
ide´ias era aquela em que uma curva era pensada como um conjunto infinito de segmentos de reta infinitamente
pequenos. A reta tangente a uma curva era, portanto, uma reta que continha um desses minu´sculos segmentos. Talvez
Leibniz tenha introduzido as diferenciais dx e dy para denotar correspondentes variac¸o˜es infinitesimais nas varia´veis
x e y. Para se ter uma ide´ia de como essas diferenciais eram usadas, suponha que essas varia´veis estejam ligadas pela
equac¸a˜o y = x2. Leibniz substituiria x e y por x + dx e y + dy para obter
y + dy = (x+ dx )2 = x2 + 2 xdx + dx 2 ,
Como y = x2, obteria
dy = 2 xdx + dx 2
Neste esta´gio Leibniz descartava o termo dx 2, e justificava este passo argumentando que o quadrado de um nu´mero
infinitamente pequeno e´ “infinitamente infinitamente pequeno” ou um “infinite´simo de ordem superior” e portanto,
inteiramente desprez´ıvel. Assim, chegava a fo´rmula que conhecemos hoje
dy = 2 xdx ,
que, apo´s divisa˜o por dx, toma a forma fraciona´ria
dy
dx
= 2x .
Para Leibniz, a derivada era um quociente genu´ıno, um quociente de infinite´simos, e sua forma de ca´lculo veio a
ser largamente conhecida como “ca´lculo infinitesimal”.
264 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
As ide´ias de Leibniz funcionaram efetivamente, quase como por milagre, e dominaram o desenvolvimento do Ca´lculo
e das Cieˆncias F´ısicas por quase 150 anos. No entanto, essas ide´ias eram falhas, ja´ que os infinite´simos, no sentido
descrito acima, claramente na˜o existem, pois na˜o existe um nu´mero positivo que seja menor que todos os outros
nu´meros positivos. Por todo esse per´ıodo de tempo, o enorme sucesso do Ca´lculo como instrumento de resoluc¸a˜o de
problemas era o´bvio para todos, embora ningue´m fosse capaz de dar uma explicac¸a˜o logicamente aceita´vel do que era o
Ca´lculo. Essa explicac¸a˜o so´ foi dada no comec¸o do se´culo XX, pela teoria cla´ssica dos limites. Embora os argumentos
usados por matema´ticos como Leibniz, os Bernoulli, Euler, Lagrange e outros na˜o fossem rigorosos do ponto de vista
moderno, esses pioneiros tiveram profundos sentimentos intuitivos sobre o que era razoa´vel e correto nos problemas
que estudavam e raramente se perdiam nas suas concluso˜es. As diferenciais de Leibniz foram eliminadas do Ca´lculo
pela teoria dos limites; contudo, elas permanecem como uma parte da histo´ria do desenvolvimento da matema´tica.
20.7 Projetos
20.7.1 O me´todo de Euler e o pa´ra-quedista
Como sabemos, a derivada de uma func¸a˜o f num ponto x0 determina a declividade da reta tangente a` curva y = f(x)
no ponto (x0, y0). Nesta sec¸a˜o usamos a reta tangente para estimar valores de f em pontos pro´ximos ao ponto de
tangeˆncia: para pontos pro´ximos de x0, a diferencial dy e´ uma boa aproximac¸a˜o para o valor exato ∆ y e para estimar
f(a+∆x) por f(a) + f ′(a)∆x. Esta te´cnica e´ especialmente u´til quando os valores de f sa˜o dif´ıceis de calcular.
A linearidade local das func¸o˜es diferencia´veis tem outra importante aplicac¸a˜o na resoluc¸a˜o dos problemas de valor
inicial. Resolver um problema de valor inicial e´ encontrar a func¸a˜o f ou “reconstruir” o seu gra´fico conhecendo-se a
sua derivada f ′(x) e um ponto, o valor inicial, do seu gra´fico.
O objetivo deste projeto e´ usar a reta tangente e a linearidade local das func¸o˜es diferencia´veis para resolver
problemas deste tipo.
Vamos primeiro esclarecer o que entendemos por reconstruir f . Em vez de procurarmos uma expressa˜o anal´ıtica
(fo´rmula) para f , construiremos uma tabela, que fara´ corresponder a cada valor de x escolhido o respectivo valor de
f(x). Estas tabelaspodem conter quantos pontos quisermos. A escolha do nu´mero de pontos dependera´ da precisa˜o
exigida para o resultado, do equipamento e tempo dispon´ıveis e da natureza matema´tica do problema.
Assim, antes de comec¸ar nossos ca´lculos, devemos decidir qual sera´ o tamanho da tabela a ser constru´ıda. Usual-
mente consideramos os valores de x, que va˜o constituir o total de entradas da tabela, igualmente espac¸ados. Neste
caso, o domı´nio da func¸a˜o (intervalo onde o problema sera´ resolvido) e o nu´mero de entradas escolhido determinam o
valor de ∆x (distaˆncia entre dois valores consecutivos de x na tabela). A tabela e´ constru´ıda da maneira descrita a
seguir.
A partir do ponto inicial (x0, y0) e conhecendo-se o valor f
′(x0), e´ poss´ıvel usar a reta tangente para calcular um
valor aproximado de y1 = f(x1), onde x1 = x0 +∆x e´ o pro´ximo valor de x para o qual se quer calcular o valor da
func¸a˜o, isto e´, a pro´xima entrada da tabela. Como a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) no ponto (x0, yo) e´
dada por
f(x)− f(x0) = f ′(x0) (x− x0),
uma valor aproximado para y1 = f(x1) sera´ dado por
y1 = f
′(x0) (x1 − x0) + f(x0) = f ′(x0)∆x+ y0 ,
Tendo-se calculado o valor de f(x1) = y1, o par (x1, f(x1)) sera´ o pro´ximo valor da tabela. Repete-se, enta˜o, o mesmo
processo tomando-se agora o ponto (x1, f(x1)) como o valor inicial. A partir deste ponto e conhecendo-se o valor de
f ′(x1) e´ poss´ıvel usar a reta tangente, como anteriormente, para calcular um novo par (x2, f(x2)), ou seja,
f(x2) = y2 = f
′(x1)∆x+ f(x1)
que sera´ acrescentado a nossa tabela. Usamos este novo par (x2, f(x2)) como o novo valor inicial e repetimos todo o
processo ate´ preenchermos toda a tabela.
Este me´todo de gerar novos valores de f numa tabela seguindo a direc¸a˜o da reta tangente e´ conhecido como o
me´todo de Euler. A figura a seguir ilustra a construc¸a˜o dos primeiros treˆs pontos de uma tabela gerada pelo me´todo
de Euler.
W.Bianchini, A.R.Santos 265
m2=Df(x2)
m1=Df(x1)
mo=Df(xo)
(x3,y3)
(x2,y2)
(x1,y1)
(xo,yo)
No gra´fico a seguir, trac¸amos a func¸a˜o y = x+
sen(2x)
2
soluc¸a˜o do problema de valor inicial
f ′(x) = 1 + cos(2x)
f(0) = 0
e a soluc¸a˜o aproximada obtida pelo me´todo de Euler com o tamanho da tabela determinado pelas seguintes condic¸o˜es:
(i) Intervalo onde vai ser determinada a soluc¸a˜o do problema: de x = 0 ate´ x = 3.
(ii) Nu´mero de entradas na tabela: 51 (50 valores calculados + o ponto inicial).
(iii) Tamanho do passo: ∆x = 3−050 = 0,06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
Vamos resolver o problema de valor inicial f ′(x) = x2 − f(x)2, f(0) = 1 no intervalo [0, 5; 1], passo a passo. Para isso,
arbitramos o valor do passo: ∆x = 0, 1. A tabela a ser constru´ıda tera´, portanto, 6 entradas: 1 valor inicial + 5
valores a serem estimados.
Temos enta˜o que:
> Df:=x->x^2-(f(x))^2;
Df := x→ x2 − f(x)2
> x[0]:=0.5;
x0 := .5
> f(x[0]):=1.0;
f(.5) := 1.0
> dx:=0.1;
dx := .1
Vamos agora calcular as pro´ximas entradas da tabela:
> x[1]:=x[0]+dx;
x1 := .6
> f(x[1]):=f(x[0])+Df(x[0])*dx;
f(.6) := .925
> x[2]:=x[1]+dx;
x2 := .7
> f(x[2]):=f(x[1])+Df(x[1])*dx;
f(.7) := .8754375
> x[3]:=x[2]+dx;
266 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
x3 := .8
> f(x[3]):=f(x[2])+Df(x[2])*dx;
f(.8) := .8477984184
> x[4]:=x[3]+dx;
x4 := .9
> f(x[4]):=f(x[3])+Df(x[3])*dx;
f(.9) := .8399222026
> x[5]:=x[4]+dx;
x5 := 1.0
> f(x[5]):=f(x[4])+Df(x[4])*dx;
f(1.0) := .8503752720
A nossa tabela esta´ pronta. Basta imprimir os seus valores desta forma:
> tabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..5)];
tabela := [[.5, 1.0], [.6, .925], [.7, .8754375], [.8, .8477984184], [.9, .8399222026],
[1.0, .8503752720]]
ou desta outra:
> array(1..6,1..2,tabela); 
.5 1.0
.6 .925
.7 .8754375
.8 .8477984184
.9 .8399222026
1.0 .8503752720

Podemos inclusive trac¸ar o “gra´fico” da soluc¸a˜o aproximada assim obtida ligando por segmentos de reta os pontos
calculados:
> plot(tabela);
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Para “suavizar” esta curva basta aumentarmos o nu´mero de pontos usados na construc¸a˜o da tabela. Evidentemente,
da maneira como calculamos os pontos da tabela acima, um aumento no nu´mero de pontos ou no tamanho do
intervalo considerado acarretara´ um aumento considera´vel de trabalho (pelo menos de digitac¸a˜o de comandos!).
Por isto e´ recomenda´vel que automatizemos o procedimento, usando a estrutura for .. from .. to .. do
..od: Por exemplo, para estender a soluc¸a˜o do problema acima ao intervalo [0, 5; 2, 5], o que, com o passo fixado
em 0,1, gerara´ uma tabela com 21 entradas, basta calcularmos os valores (xi, f(xi) da seguinte maneira:
> for i from 0 to 19 do
> x[i+1]:=x[i]+dx;
> f(x[i+1]):=f(x[i])+dx*Df(x[i]);
> od:
> Novatabela:=[seq([x[i],f(x[i])],i=0..20)]:
> array(1..21,1..2,Novatabela);
W.Bianchini, A.R.Santos 267

.5 1.0
.6 .925
.7 .8754375
.8 .8477984184
.9 .8399222026
1.0 .8503752720
1.1 .8780614617
1.2 .9219622687
1.3 .9809608262
1.4 1.053732412
1.5 1.138697212


1.6 1.234034078
1.7 1.337750067
1.8 1.447792543
1.9 1.562182218
2.0 1.679140890
2.1 1.797189477
2.2 1.915200475
2.3 2.032401189
2.4 2.148335730
2.5 2.262801089

> plot(Novatabela);
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
Ao dar entrada nos valores iniciais na˜o esquec¸a de escreveˆ-los na forma decimal (ponto flutuante). O Maple calcula
de formas diferentes f(1) e f(1.0).
Use o Me´todo de Euler para resolver os problemas abaixo:
1. Uma cultura de Paramecium Caudatum cresce de acordo com a lei P ′(t) = (1, 2875 − 0, 0061P )P , onde P (t) e´
o nu´mero de bacte´rias presentes na coloˆnia em cada instante de tempo t(horas). Sabendo que inicialmente a
coloˆnia era composta de 8 bacte´rias, construa uma tabela com valores estimados de t e P no intervalo [0, 8] e
fac¸a um gra´fico correspondente aos pontos calculados.
2. Um pa´ra-quedista pula de um avia˜o voando a 500 m de altitude, e cai livremente durante 5 s (durante este
tempo supo˜e-se desprez´ıvel a resisteˆncia do ar. Quando seu pa´ra-quedas abre, a resisteˆncia do ar e´ proporcional
a` velocidade da queda. A partir deste momento, a velocidade da queda e´ governada pela lei v′(t) = g − 2, 1v(t),
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Estime a velocidade de queda do pa´ra-quedista quando ele atinge o solo.
20.7.2 Aproximando func¸o˜es por polinoˆmios - O polinoˆmio de Taylor
No Exerc´ıcio 1 deste cap´ıtulo, vimos que a func¸a˜o y = x e´ uma aproximac¸a˜o linear para a func¸a˜o y = sen(x) e que
esta e´ uma boa aproximac¸a˜o para valores de x pro´ximos de zero. Este fato pode ser visualizado trac¸ando-se na mesma
janela os gra´ficos destas duas func¸o˜es:
> plot([sin(x),x],x=-2*Pi..2*Pi,y=-1..1,color=[red,blue]);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
–6 –4 –2 2 4 6x
Na realidade, podemos provar que sen(x) ≤ x , para x ≥ 0. Para isso observe que a func¸a˜o f(x) = x− sen(x) se
anula para x = 0 e e´ na˜o decrescente para x ≥ 0, pois a sua derivada f ′(x) = 1 − cos(x) e´ sempre maior ou igual a
zero.
268 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
1. Usando um racioc´ınio ana´logo, mostre que, para x ≥ 0 valem as seguintes desigualdades:
(a) sen(x) + x
3
6 − x ≥ 0 (b) −sen(x) + x
5
120 − x
3
6 + x ≥ 0
Veja estas desigualdades ilustradas no gra´fico:
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
2. Combine as partes (a) e (b) do item anterior para mostrar que, parax ≥ 0,
x− x
3
6
≤ sen(x) ≤ x− x
3
6
+
x5
120
3. Use a estimativa obtida para mostrar que sen(1) = 201240 com um erro ma´ximo de
1
240 .
4. Observando os gra´ficos trac¸ados, tente determinar para que valores de x o polinoˆmio x− x33 fornece uma “boa”
aproximac¸a˜o para sen(x )? Idem para o polinoˆmio x− x33 + x
5
120 .
Estimativas destes tipo, envolvendo polinoˆmios, permitem que se calcule valores aproximados para func¸o˜es trigonome´tricas
ou exponenciais utilizando-se apenas as quatro operac¸o˜es ba´sicas – adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o. Como,
na verdade, estas sa˜o as u´nicas operac¸o˜es que sabemos efetuar, qualquer ca´lculo alge´brico deve, em u´ltima ana´lise, se
reduzir a estas operac¸o˜es, por isso, estimativas obtidas via polinoˆmios sa˜o frequ¨entemente utilizadas em calculadoras,
computadores e rotinas computacionais para obter valores aproximados de va´rias func¸o˜es. Por exemplo, quando aper-
tamos a tecla sen na calculadora ou quando utilizamos o comando sin(x) do Maple para calcular o valor da func¸a˜o
seno no ponto x = 1, o ca´lculo e´ feito utilizando aproximac¸o˜es por polinoˆmios. Note tambe´m que aproximac¸o˜es sa˜o
necessa´rias, pois nu´meros da forma pi ou
√
10 na˜o nos dizem nada, a menos que saibamos calcular uma estimativa para
eles. Por exemplo, na˜o e´ claro, a priori, que pi <
√
10, mas esta desigualdade se torna o´bvia calculando-se aproximac¸o˜es
decimais para estes nu´meros, como e´ feito a seguir com a ajuda do Maple.
> evalf(Pi);
3.141592654
> sqrt(10.);
3.162277660
O objetivo deste projeto e´ construir polinoˆmios que fornec¸am aproximac¸o˜es para uma dada func¸a˜o. Ale´m disso, o
me´todo empregado permitira´ obter estas aproximac¸o˜es com uma precisa˜o prefixada.
Como foi visto neste cap´ıtulo, a reta tangente a` curva y = f(x), cuja equac¸a˜o e´ dada por T (x) = f ′(x0) (x −
x0) + f(x0), se aproxima da curva na vizinhanc¸a do ponto de tangeˆncia (x0, f(x0)). Ale´m disso, da equac¸a˜o da reta
tangente, podemos concluir imediatamente que T (x0) = f(x0) e que T
′(x0) = f ′(x0), isto e´, a reta tangente coincide
com a func¸a˜o no ponto de tangeˆncia e a inclinac¸a˜o (derivada) desta reta coincide com a inclinac¸a˜o (derivada) da curva
naquele ponto. Assim, existe um polinoˆmio de grau um, a saber T1(x ) = C0 − C1 (x− x0) tal que T1(x0) = C0 =
f(x0) e T
′
1(x0) = C1= f
′(x0), que aproxima a curva para valores de x, pro´ximos ao ponto de tangeˆncia. Veja esta
afirmac¸a˜o ilustrada no gra´fico:
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4
x
Sera´ poss´ıvel construir polinoˆmios de grau maior do que um que, de alguma maneira, generalize as propriedades
da reta tangente e, portanto, fornec¸a aproximac¸o˜es melhores para a func¸a˜o y = f(x )? O exemplo estudado no in´ıcio
deste projeto indica que a resposta a esta pergunta e´ afirmativa. Considere, portanto, um polinoˆmio de grau n,
W.Bianchini, A.R.Santos 269
Tn(x) = C0 + C1 (x− x0) + C2 (x− xo)2 + . . .+ Cn (x− x0)n
A questa˜o que se coloca e´ como escolher os coeficientes desse polinoˆmio de forma a garantir que Tn(x) esteja pro´ximo
de f(x). Sabemos responder a esta pergunta quando n = 1. Neste caso, o polinoˆmio T1(x) deve coincidir com a reta
tangente a` curva y = f(x) e, enta˜o, Co0 = f(x0) e C1 = f
′(x0). Como queremos estender as propriedades da reta
tangente a polinoˆmios de grau maior que um, e´ razoa´vel supor que, para aproximar a curva na vizinhanc¸a de um
ponto x0, o polinoˆmio que buscamos deve coincidir com a func¸a˜o y = f(x) no ponto x0, e todas as suas derivadas, ate´
a ordem n, calculadas no ponto x = x0, devem coincidir com as derivadas de f , ate´ a ordem n, respectivamente, neste
ponto.
1. Determine as constantes Co, C1, C2 de tal modo que o polinoˆmio de grau dois
T2(x) = Co + C1 (x− x0) + C2 (x− x0)2,
verifique as seguintes propriedades:
(a) T2(x0) = f(x0) (b) T2
′(x0) = f ′(x0) (c) T2′′(x0) = f ′′(x0)
2. Aplique o resultado obtido para calcular o polinoˆmio de grau dois associado a` func¸a˜o cosseno e use o Maple para
trac¸ar na mesma janela os gra´ficos de cos(x ) e de T2(x), no caso em que x0 = 0.
3. Para que valores de x voceˆ acha que este polinoˆmio fornece boas aproximac¸o˜es da func¸a˜o cosseno?
4. Seguindo o racioc´ınio anterior construa Tn(x) impondo que
dk Tn
dxk
(x0) =
dk f
dxk
(x0), para k = 0, 1, 2, . . . n. Os
polinoˆmios desta forma sa˜o chamados de polinoˆmios de Taylor de grau n para f em torno de x0.
5. Determine os polinoˆmios de Taylor de grau 3, 4 e 5, em torno do zero, para as func¸o˜es y = sen(x) e y = cos(x).
6. Use o Maple para trac¸ar, em cada caso, os gra´ficos das func¸o˜es dadas e de seus polinoˆmios de Taylor na mesma
janela. O que voceˆ pode observar?
7. Se f(x) = a0 + a1 x+ a2 + x
2 + . . .+ an x
n, qual o seu polinoˆmio de Taylor em torno de x0 = 0? E em torno de
x0 = 1?
A questa˜o agora e´ saber qua˜o bons sa˜o estes polinoˆmios para aproximar func¸o˜es. Para responder a esta pergunta e´
necessa´rio calcular o erro que cometemos ao aproximarmos o valor de uma func¸a˜o usando o seu polinoˆmio de Taylor,
isto e´, precisamos calcular ou pelo menos estimar o valor de Rn(x) = f(x)− Tn(x). No caso mais simples (n = 0),
e´ fa´cil estimar este valor. O polinoˆmio de Taylor de grau zero, T0(x) e´ dado por T0(x) = f(x0). Assim, temos que
R0(x) = f(x)− f(x0), e da´ı, aplicando-se o teorema do valor me´dio a` func¸a˜o f(x), obtemos R0(x) = (x − x0) f ′(c),
para c entre x e x0.
Mesmo na˜o conhecendo o valor de c, sabemos que |R0 | ≤ |x− xo | M , ondeM e´ tal que |f ′(x)| ≤M no intervalo (x,
x0). Repare que, se f fosse constante, sua derivada seria zero e a aproximac¸a˜o, perfeita. A derivada da func¸a˜o f mede,
de uma certa maneira, quanto f se afasta da horizontal, por isso e´ razoa´vel esperar que a exatida˜o da aproximac¸a˜o
seja controlada pelo ma´ximo de f ′ no intervalo considerado. Neste caso,
f(x) = Tn(x) +Rn(x) = f(x0) + f
′(c)(x− x0)
para algum c entre x e x0.
Consideremos agora o caso em que n = 1. Temos que T1(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) e, portanto,
R1(x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0) (x− x0).
Esta u´ltima expressa˜o para R1(x) permite concluir que R1(x0) = 0, R
′
1(x) = f
′(x)− f ′(x0). Da´ı, temos que R′′1 (x) =
f ′′(x). Pelo teorema do valor me´dio, aplicado a` func¸a˜o f ′′ no intervalo (x, x0), sabemos que existe c entre x e x0 tal
que f ′′(c) = f
′(x)−f ′(x0)
x−x0 . Assim R
′
1(x) = f
′′(c) (x−x0). Da´ı, podemos concluir que R1(x) = f ′′(c) (x−x0)
2
2 +C. Como,
R1(x0) = 0, temos que C = 0, e finalmente obtemos R1(x) = f
′′(c) (x−x0)
2
2 .
Como no caso anterior,
f(x) = f(x0) + f
′(x0) (x− x0) + f ′′(c) (x− x0)
2
2
para algum c entre x e x0.
Repare, tambe´m, que o erro cometido ao aproximarmos os valores da func¸a˜o f pela sua reta tangente depende
do ma´ximo de f ′′ no intervalo considerado.(Explique!) Se f ′ fosse constante, o gra´fico de f seria uma linha reta e a
aproximac¸a˜o pela reta tangente seria o´tima. Quando f ′ varia, f ′′ mede o quanto f se desvia de sua reta tangente,
portanto, e´ razoa´vel esperar que a precisa˜o da aproximac¸a˜o seja controlada pelo ma´ximo de f ′′.
270 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
1. Generalize este resultado, isto e´, mostre que f(x) = Tn(x) +Rn(x) onde
Rn(x) = f
n+1(c)
(x− x0)(n+1)
(n+ 1)!
para algum c entre x e x0. Rn(x) e´ chamado resto de Lagrange do polinoˆmio de Taylor de grau n. Determine,
tambe´m, condic¸o˜es sobre f que garantam a validade dos ca´lculos feitos.
2. Use o resultado acima para provar que, para f(x) = sen(x), o polinoˆmio de Taylor de grau 5 difere do valor
exato de sen(x ) por no ma´ximo 0,00002, para todo x no intervalo [−0.5, 0.5].
3. Como voceˆ justificaria a fo´rmula 11+x ≈ 1 + x+ x2 . . . xn para |x | < 1?
4. O comando do Maple taylor(f(x),x,n+1) calculao polinoˆmio de Taylor de grau n da func¸a˜o f :
> taylor(sin(x),x,6);
x− 1
6
x3 +
1
120
x5 +O(x6)
O termo ”O( x6)”representa o resto. Para remover este termo e converter o resultado anterior em um polinoˆmio
use o comando convert:
> convert(%,polynom);
x− 1
6
x3 +
1
120
x5
Para visualizar a convergeˆncia do me´todo de aproximac¸a˜o, descrito neste projeto, trace um gra´fico na janela
[−8, 8]× [−3, 3], que mostre, em conjunto, as func¸o˜es sen(x ), T3(x), T5(x) e T17(x).
5. Observando o gra´fico trac¸ado no item anterior, indique um intervalo no qual o gra´fico de T5(x) parec¸a coincidir
com o gra´fico de sen(x ) e um intervalo onde o gra´fico de T17(x) parec¸a coincidir com o gra´fico de sen(x ). Use
a fo´rmula do erro de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximarmos os valores de sen(x ) por T5(x) e
T17(x), respectivamente, em cada um dos intervalos que voceˆ achou.
6. Como Tn(x) e´ um polinoˆmio e −1 ≤ sen(x) ≤ 1, Tn(x) pode ser uma boa aproximac¸a˜o para sen(x ) para todos
os valores de x?
7. Por que na˜o se pode usar o polinoˆmio de Taylor para aproximar a func¸a˜o
f(x) = arcsen(sen(x)) no intervalo [−pi, pi]?
8. Ache o polinoˆmio de Taylor que aproxima a func¸a˜o f(x) = sen(x) + sen(4 x)4 no intervalo [−3, 3] com erro ma´ximo
na˜o superior a 0,5. Trace na mesma janela o gra´fico desta func¸a˜o e do polinoˆmio de Taylor que voceˆ calculou
para visualizar a aproximac¸a˜o obtida.
20.7.3 Polinoˆmios de Taylor - Aplicac¸o˜es a` f´ısica
Polinoˆmios de Taylor (veja o projeto Aproximando func¸o˜es por polinoˆmios) sa˜o usados com frequ¨eˆncia em F´ısica.
Com o objetivo de compreender melhor o fenoˆmeno descrito por uma dada func¸a˜o, os f´ısicos em geral simplificam esta
func¸a˜o considerando apenas os dois ou treˆs primeiros termos de sua fo´rmula de Taylor. Em outras palavras, os f´ısicos
usam o polinoˆmio de Taylor para aproximar a func¸a˜o que modela o fenoˆmeno e, em alguns casos, podem ainda estimar
a precisa˜o desta aproximac¸a˜o. O objetivo deste projeto e´ estudar alguns modelos f´ısicos que exemplificam como este
tipo de aproximac¸a˜o ajuda a compreender o fenoˆmeno estudado.
Radiac¸a˜o de um corpo escuro
Todo objeto emite radiac¸a˜o quando aquecido. Um corpo escuro e´ um sistema que absorve toda a radiac¸a˜o que incide
sobre ele. A lei de Rayleigh-Jeans, do final do se´culo XIX, expressa a densidade de energia de radiac¸a˜o de um corpo
escuro, de comprimento de onda λ, por f(λ) = 8pi k Tλ4 , onde λ e´ medido em metros, T e´ a temperatura dada em
graus Kelvins e k e´ a constante de Boltzmann. A lei de Rayleigh-Jeans concorda com medidas experimentais para
comprimentos de onda longos, mas discorda drasticamente para comprimentos de onda curtos. Neste caso, a lei preveˆ
que f(λ)→∞ quando λ→ 0+. No entanto, experimentalmente, verifica-se que f(λ)→ 0. Este fato e´ conhecido como
cata´strofe ultravioleta. Em 1900, Max Planck formulou um modelo mais fiel para a radiac¸a˜o de um corpo escuro,
conhecido hoje como lei de Planck. Por esta lei temos que f(λ) =
8pi h c
λ5 e(
h c
λ k T ) − 1 , onde h e´ a constante de Planck e c e´
a velocidade da luz.
W.Bianchini, A.R.Santos 271
1. Trace, na mesma janela, os gra´ficos das func¸o˜es f dadas pelas duas Leis e comente as semelhanc¸as e diferenc¸as.
Para isso, use T = 5700K (temperatura do sol), h = 6.6262×10−34 Js, c = 2.99792×108 m/s e k = 1.3807×10−23
J/K
2. Usando o polinoˆmio de Taylor, mostre que para comprimentos de onda longos, a lei de Planck fornece, aproxi-
madamente, os mesmos valores obtidos pela lei de Rayleigh-Jeans.
Resistividade
A resistividade r de um fio condutor e´ o rec´ıproco da sua condutividade e e´ medida em ohm por metros (Ω.m). A
resistividade de um determinado metal depende de sua temperatura de acordo com a lei r(t) = r20 e
(α (t−20)), onde
t e´ a temperatura em graus Celsius e r20 a resistividade do material a 20
o C. Existem tabelas que listam os valores
de α, denominado coeficiente de temperatura, e de r20, para diversos metais. Exceto em temperaturas muito baixas,
a resistividade varia quase linearmente com a temperatura, sendo comum aproximar-se a expressa˜o para r(t) por
polinoˆmios de grau um ou dois em torno de r = 20.
1. Encontre expresso˜es para estas aproximac¸o˜es linear e quadra´tica.
2. Para o cobre, as tabelas fornecem α = .0039o C e r20 = 1.7 10
(−8) Ωm. Fac¸a os gra´ficos da resistividade do cobre
e de suas aproximac¸o˜es linear e quadra´tica para temperaturas entre −250 e 1000 graus Celsius.
3. Para que valores de t a aproximac¸a˜o linear concorda com a expressa˜o exponencial com erro inferior a 1%?
Velocidade de propagac¸a˜o de ondas
Se uma onda, de comprimento L, se propaga na a´gua com velocidade v ao longo de uma regia˜o com profundidade d,
enta˜o v2 = g L2pi tgh(
2pi d
L ), onde tgh(x) =
ex−e−x
ex+e−x e g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
1. Se a regia˜o e´ profunda, mostre que v ≈
√
g L
2pi .
2. Se a regia˜o e´ rasa, use o polinoˆmio de Taylor em torno do zero para aproximar a func¸a˜o tanh(x) e mostre
que v ≈ √g d, ou seja, em a´guas rasas a velocidade de propagac¸a˜o da onda tende a ser independente do seu
comprimento.
3. Mostre que, se L > 10 d, enta˜o
√
g d aproxima a velocidade de propagac¸a˜o da onda com erro de 0, 014 g L.
20.7.4 Polinoˆmios de Taylor - Um algoritmo para calcular o seno
A expansa˜o da func¸a˜o f(x) = sen(x) pela fo´rmula de Taylor permite calcular o valor do seno de um nu´mero real
qualquer utilizando-se apenas as quatro operac¸o˜es ba´sicas. No entanto, a fo´rmula de Taylor em torno de x0, so´ e´ uma
boa aproximac¸a˜o para a func¸a˜o f numa vizinhanc¸a desse ponto. Por outro lado, sabemos que esta aproximac¸a˜o sera´
cada vez melhor, a` medida em que considerarmos mais e mais termos na expansa˜o.
1. Comprove, numericamente, a afirmac¸a˜o acima construindo os polinoˆmios de Taylor de graus 1, 3, 5, 7 e 9 da
func¸a˜o seno em torno de x0 = 0.
2. Calcule sen( pi12 ) usando o Maple e usando as aproximac¸o˜es polinomiais que voceˆ construiu. O que voceˆ pode
observar?
3. Fac¸a o mesmo para calcular sen( 49pi12 ). O que aconteceu?
Embora exista a alternativa de trocarmos o ponto x0 em torno do qual a fo´rmula esteja sendo calculada, no caso do
seno, em termos computacionais, e´ mais conveniente fazer a expansa˜o em torno de x0 = 0 e explorar a periodicidade
desta func¸a˜o.
Siga o roteiro dado a seguir para reproduzir a sequ¨eˆncia de procedimentos efetuados quando o comando sin (.) do
Maple e´ utilizado.
Suponha que queremos calcular sen(x ):
1. Ache x* em [0, 2pi], tal que sen(x ) = sen(x*), caso isto na˜o se verifique inicialmente.
2. Determine y* em [0, pi2 ], tal que | sen(x∗) | = sen(y∗). Crie um marcador m para guardar a informac¸a˜o do sinal
de sen(x*) do seguinte modo: m = 1 se x ∈ [0, pi] e m = −1 se x ∈ [pi, 2pi].
272 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
3. Se y ∈ [0, pi4 ], considere a fo´rmula de Taylor para a func¸a˜o seno em torno de x0 = 0. Se y∗ ∈ (pi4 , pi2 ], considere a
fo´rmula de Taylor para a func¸a˜o cosseno em torno de x0 = 0 e utilize a identidade cos(z ) = sen(y*) se z =
pi
2 -y*
(Repare que, neste caso, z ∈ [0, pi4 )). Qual a vantagem de trabalhar com valores entre 0 e pi4 ?
4. Use a fo´rmula do resto de Lagrange para determinar o grau do polinoˆmio necessa´rio para calcular sen(x ) com
erro menor do que 10−8, isto e´, com oito d´ıgitos corretos.
5. Observe que as fo´rmulas de Taylor para as func¸o˜es seno e cosseno envolvem termos da forma x
n
n! . Use a relac¸a˜o
xn
n! =
x(n−2)
(n−2)!
x2
(n−1)n para calcular os termos dos polinoˆmios de maneira eficiente. Por exemplo:
sen 0, 8 ≈ 0, 8
3
3!
+
0, 85
5!
− 0, 8
7
7!
e podemos aproveitar cada termo para calcular o termo seguinte. Assim,
0,83
3! = 0, 8 (
0,82
2 );
0,85
5! =
0,83
3!
0,82(4) (5) , e assim por diante.
6. Organize as ide´ias acima na forma de uma sequ¨encia de procedimentos encadeados tambe´m chamada de algoritmo
para o ca´lculo eficiente de sen(x ), onde x e´ um nu´mero real qualquer, com precisa˜o de p d´ıgitos corretos.
7. Fac¸a alguns testes com diferentes valores de x, comparando os valores obtidos pelo seu algoritmo com aqueles
fornecidos usando-se a func¸a˜o sin(.) do Maple.
20.7.5 Tangentes, o´rbitas e caos
Escolha um nu´mero x0 qualquer e calcule o seu cosseno. Calcule o cosseno do resultado obtido. Repita esse procedi-
mento um grande nu´mero de vezes. Para isso utilize, em sequ¨eˆncia, os comandos abaixo repetindo o u´ltimo um grande
nu´mero de vezes:
> xo:=2.;
> cos(xo);
> cos(%);
O procedimento descrito acima e´ ilustrado na animac¸a˜o (veja versa˜o eletroˆnica) e no gra´fico:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
1. O que voceˆ pode concluir? Que equac¸a˜o voceˆ resolveu?
2. Teste o me´todo descrito no item anterior para calcular as ra´ızes reais de x2 = x, tomando como valor inicial
x0 =
1
2 e x0 = 2.
Observe as animac¸o˜es (versa˜o eletroˆnica) e os gra´ficos a seguir para ajuda´-lo a tirar concluso˜es.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y
1 2 3 4
x
Dizemos que um nu´mero p e´ um ponto fixo da func¸a˜o y = f(x), quando f(p) = p.
W.Bianchini, A.R.Santos 273
1. Qual o ponto fixo da func¸a˜o y = cos(x).
2. Que equac¸a˜o voceˆ resolveu para achar este valor? Como e´ poss´ıvel encontrar, geometricamente ou graficamente,
este valor?
3. Sabemos que zero e´ um ponto fixo da func¸a˜o sen(x ). Use o me´todo descrito acima para tentar resolver a equac¸a˜o
sen(x) = x, tomando como valor inicial x0 = 0, 5.
4. Qual o ponto fixo da func¸a˜o f(x) = ecos(x)?
5. Escolha va´rios valores iniciais x0 e estude o comportamento da sequ¨eˆncia de valores f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))),...
onde f(x) = ecos(x).
6. O me´todo descrito acima funciona para calcular pontos fixos de qualquer func¸a˜o?
Entender o comportamento e predizer o que acontece com repetidas iterac¸o˜es de uma func¸a˜o e´ o objetivo deste
projeto.
Seja f uma func¸a˜o cont´ınua e x0 um nu´mero real qualquer, tomado como valor inicial. A o´rbita de x0 e´ uma
sequ¨encia sn definida, a partir da func¸a˜o f , da seguinte maneira:
s0 = x0, s1 = f(x0), s2 = f(x1) = f(f(x0)) = f
2 (x0)
s3 = (x2) = f(f(f(x0))) = f
3 (x0), . . ., sn = f(xn−1) = fn (x0).
1. Prove que se lim
n→∞ sn = l enta˜o l e´ um ponto fixo de f .
O nosso objetivo agora e´ determinar condic¸o˜es sobre f que garantam a convergeˆncia da sequ¨encia sn. Deste modo
poderemos saber que equac¸o˜es podem ou na˜o ser resolvidas usando-se o me´todo do ponto fixo, descrito acima.
1. O gra´fico abaixo mostra que a equac¸a˜o e−x = x tem uma u´nica raiz. Use a te´cnica de zooms sucessivos para
encontrar um valor aproximado para esta raiz. Observe que, usando esta te´cnica (zooms sucessivos) e´ poss´ıvel
observar como a func¸a˜o f(x) = e−x se comporta localmente.
–2
0
2
4
6
–2 –1 1 2
x
2. Use zooms sucessivos para determinar o comportamento local das func¸o˜es dos exemplos dados neste projeto.
3. Que tipo de func¸o˜es se comportam localmente como uma reta?
4. Levando em conta o comportamento local dessas func¸o˜es, uma boa pista para determinar as condic¸o˜es de con-
vergeˆncia da sequ¨eˆncia sn deve ser obtida a partir do estudo do que acontece com esta sequ¨eˆncia quando
f(x) = mx + b. (Por queˆ?) Assim, vamos tentar comec¸ar a tirar concluso˜es estudando os pontos fixos e a
convergeˆncia das o´rbitas para func¸o˜es deste tipo. Quais os pontos fixos da func¸a˜o f(x) = mx + b?
5. Use as animac¸o˜es acima para conjecturar em que casos a sequ¨eˆncia sn converge para o ponto fixo de f . Estude
os casos em que m > 1, m < 1 e m 6= 0, m = 1, m = −1. O que voceˆ pode concluir? O que acontece quando m
= 0?
6. Suponha que p seja o ponto fixo da func¸a˜o f(x) = mx + b, isto e´, f(p) = mp + b = p . Se sn e´ a n-e´sima iterac¸a˜o
na o´rbita do valor inicial x0, prove que sn − p = mn (x0 − p).
Sugesta˜o: Use induc¸a˜o sobre n (veja Projeto O Maple e o Princ´ıpio da Induc¸a˜o Matema´tica).
7. Use o resultado do item anterior para provar a conjectura feita para a convergeˆncia da sequ¨eˆncia sn, quando
f(x) = mx + b.
8. Generalize suas concluso˜es para o caso de func¸o˜es localmente lineares e aplique essas concluso˜es para explicar o
que acontece quando aplicamos este me´todo a` func¸a˜o y = ecos(x).
274 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
9. Explique por que e´ poss´ıvel usar a func¸a˜o f(x) =
x+Rx
2 para calcular uma aproximac¸a˜o nume´rica para a raiz
quadrada de um nu´mero positivo R.
10. Use a func¸a˜o anterior para calcular uma aproximac¸a˜o nume´rica para
√
2 com seis casas decimais exatas.
11. Que crite´rio voceˆ usou para garantir a precisa˜o do resultado?
12. Mostre que o ponto fixo da func¸a˜o f(x) =
x+ a
x(k−1)
2
e´ a raiz k-e´sima do nu´mero positivo a. Explore o que
acontece com as o´rbitas desta func¸a˜o para valores de k = 3, 4, 5 e 6.
13. Tente explicar por que o me´todo do ponto fixo aplicado a` func¸a˜o f = sen(x), converge muito lentamente e por
que este mesmo me´todo, quando aplicado a` func¸a˜o f =
x+Rx
2 , converge muito rapidamente para
√
R.
14. Explore os pontos fixos da func¸a˜o f(x) =
(k − 1) (k + R
k(k−1) )
k
. Por que as iterac¸o˜es dessa func¸a˜o funcionam ta˜o
bem para estimar o valor da k-e´sima raiz do nu´mero positivo R?
15. Quais sa˜o os pontos fixos da func¸a˜o f(x) = x
2
2 − 1? Tente obter aproximac¸o˜es para estes pontos fixos como
limite das o´rbitas tomando diferentes valores para x0. O que voceˆ pode observar? Mude a expressa˜o da func¸a˜o
de iterac¸a˜o para tentar achar todos os pontos fixos de f(x) = x
2
2 − 1.
16. Descubra que func¸o˜es devem ser iteradas para obtermos, por esse me´todo, as ra´ızes da equac¸a˜o x2 = 2x.
17. Encontre aproximac¸o˜es para as treˆs ra´ızes reais da equac¸a˜o x10 = 2x.
18. Considere a func¸a˜o f(x) = 2x2 − 1. As soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = x sa˜o x = 1 e x = −0, 5. Como f(0, 5) = −0, 5,
a o´rbita cujo valor inicial e´ x0 = 0, 5 conduz diretamente (apo´s a primeira iterac¸a˜o) ao ponto fixo x = −0, 5.
Considere valores bem pro´ximo de x0 = 0, 5, por exemplo x0 = 0, 51, e examine o que acontece com a o´rbita de
f para este valor inicial. Examine tambe´m o comportamento das o´rbitas desta func¸a˜o para valores iniciais muito
pro´ximos do outro ponto fixo de f .
O comportamento das o´rbitas desta func¸a˜o nos fornece um exemplo do que, em matema´tica, e´ chamado um
comportamento cao´tico. A sensibilidade dos sistemas cao´ticos aos dados iniciais foi descrita por James Gleick no
seu livro Chaos: Making a New Science (1987) como o “efeito borboleta”, que serve para ilustrar a ide´ia do qua˜o
sens´ıvel e´ o tempo do nosso planeta a`s condic¸o˜es iniciais que “o simples bater de asas de uma borboleta, hoje,
em Pequim, pode se transformar numa tempestade nos pro´ximos meses em Nova York”. E´ muito dif´ıcil para
no´s sequer imaginarmos um sistema que tenha um comportamento ta˜o fra´gil e ta˜o sens´ıvel aos dados iniciais.
Felizmente, ou infelizmente, estamos nos conscientizando cada vez mais de que o comportamento cao´tico e´ uma
descric¸a˜o melhor do nosso mundo do que os sistemas bem comportados aos quais estamos acostumados.
19. Considere a func¸a˜o f(x) = a x2 − 1. Voceˆ e´ capaz de determinar quais valores de a determinam func¸o˜es que
geram sequ¨eˆncias convergentes, quais geram ciclos e quais geram sequ¨eˆncias cao´ticas?
20. Mostramos que o ponto fixo da func¸a˜o f(x) =
x+ a
x(k−1)
2
e´ a raiz k-e´sima do nu´mero positivo a. Apesar disto,
vimos que para k > 3 na˜o e´ poss´ıvel usaresta func¸a˜o para obter aproximac¸o˜es para esta raiz. Estude o
comportamento das o´rbitas desta func¸a˜o para k = 4 e k = 6.
20.7.6 Crescimento de populac¸o˜es - Gerenciando um pesque e pague
A proposta de utilizar a matema´tica para descrever o crescimento de uma populac¸a˜o comec¸ou com o economista ingleˆs
T.R.Malthus (1798). Malthus, em seu modelo, considerava que o crescimento de uma populac¸a˜o era proporcional a`
populac¸a˜o presente em cada instante; desta forma, a populac¸a˜o humana cresceria sem limite (por queˆ?).
Este modelo propunha um crescimento de vida o´timo, sem fome, sem guerra, epidemias ou qualquer outra
cata´strofe, onde todos os indiv´ıduos seriam ideˆnticos, com o mesmo comportamento. O objetivo principal de Malthus
ao formular este modelo foi o de chocar a opinia˜o pu´blica da e´poca, uma vez que estabelecia um crescimento em
progressa˜o geome´trica para a populac¸a˜o, enquanto que a alimentac¸a˜o crescia em progressa˜o aritme´tica.
Os modelos matema´ticos para descrever o crescimento de uma populac¸a˜o passaram por va´rias modificac¸o˜es apo´s
Malthus. Um dos modelos mais importantes e conhecidos e´ o do socio´logo belga P. F. Vehulst (1838), que supo˜e que
qualquer populac¸a˜o e´ predisposta a sofrer inibic¸o˜es naturais em seu crescimento, devendo tender a um valor limite
constante com o transcorrer do tempo.
Este modelo e´ mais significativo e realista do ponto de vista biolo´gico. Sabemos que nenhuma populac¸a˜o cresce
indefinidamente. Existem limitac¸o˜es estabelecidas pela disponibilidade de alimentos, por falta de espac¸o, por condic¸o˜es
W.Bianchini, A.R.Santos 275
f´ısicas intolera´veis ou por uma se´rie de fatores que agem como mecanismos de controle. Todos estes elementos inibidores
fazem com que uma populac¸a˜o tenda a um ma´ximo sustenta´vel (ponto de equil´ıbrio) quando o tempo aumenta.
O objetivo deste projeto e´ aplicar o me´todo do ponto fixo, introduzido no projeto Tangentes, O´rbitas e Caos, para
determinar pontos de equil´ıbrio para populac¸o˜es cujo crescimento e´ regido pelo modelo de Verhulst, tambe´m conhecido
como lei log´ıstica para o crescimento populacional.
O modelo de Verhulst propo˜e que a taxa de crescimento relativo da populac¸a˜o em cada instante seja uma func¸a˜o
da populac¸a˜o, decrescendo linearmente quando a populac¸a˜o aumenta. Seja P (t) o nu´mero de indiv´ıduos presentes na
populac¸a˜o em cada instante de tempo t. A hipo´tese acima pode ser expressa, matematicamente, pela equac¸a˜o
[dPdt ]
P
= α− β P ,
ou, equivalentemente,
dP
dt
= (α− β P )P ,
com α e β, positivos.
Considerando a populac¸a˜o inicial, P (0) = P0, conhecida, o objetivo e´ prever o que acontece com P (t) quando
t cresce. A func¸a˜o f(P ) = dPdt e´ uma para´bola cuja concavidade e´ voltada para baixo, que e´ zero quando P = 0 e
P = αβ .Portanto, intuitivamente, e´ fa´cil prever que a partir de uma populac¸a˜o inicial P0 6= 0 e P0 < αβ , a populac¸a˜o
P cresce ate´ estabilizar, quando a sua taxa de crescimento dpdt for zero, em algum valor pro´ximo de P =
α
β , que e´ a
capacidade limite do meio ambiente.
Os paraˆmetros α e β devem refletir o fato de que, para populac¸o˜es pequenas, o crescimento e´ quase ilimitado,
enquanto que a competic¸a˜o entre os membros de uma populac¸a˜o grande forc¸ara´ uma diminuic¸a˜o gradual da taxa de
crescimento ate´ que a capacidade limite do meio ambiente seja atingida e o crescimento da populac¸a˜o se estabilize.
Vamos modificar um pouco o nosso modelo e considerar dPdt = F(P ) = r P − r P
2
L , onde r e´ uma constante positiva,
que reflete a taxa o´tima (sem restric¸o˜es ambientais) de crescimento para a populac¸a˜o P, e L e´ a capacidade limite
de um determinado meio ambiente. A varia´vel P, restrita ao intervalo [0, L], representa a frac¸a˜o da populac¸a˜o limite
atingida a cada per´ıodo de tempo t. Assim, temos que P1 = P0 + F(P0), P2 = P1 + F(P1) e, de uma maneira geral,
Pn+1 = Pn + F(Pn). Raciocinando como anteriormente, a populac¸a˜o estara´ estabilizada quando a taxa de crescimento,
F (Pn), for igual a zero. Isto implica que Pn+1 = Pn. Mas, enta˜o, teremos que Pn = Pn + F (Pn) e calcular o limite
atingido por uma determinada populac¸a˜o se reduz a encontrar os pontos fixos da func¸a˜o G(P ) = P + F (P ).
Vamos, por exemplo, examinar o crescimento de uma populac¸a˜o de coelhos com uma taxa de crescimento irrestrita
de 80% ao ano, em uma reserva florestal com capacidade limite de 10000. Para simplificar os ca´lculos, faremos 10000
coelhos igual a 1 unidade. Como vimos, o problema de determinar o comportamento da populac¸a˜o de coelhos ao
longo do tempo se reduz a calcular os pontos fixos da equac¸a˜o G(P ) = 1, 8P − 0, 8P 2, isto e´, resolver a equac¸a˜o
P = 1, 8P − 0, 8P 2. Este processo pode ser visualizado na animac¸a˜o (versa˜o eletroˆnica) e no gra´fico a seguir, onde
cada passo representa a frac¸a˜o da capacidade limite atingida pela populac¸a˜o em cada per´ıodo de tempo fixado, neste
exemplo, um ano.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x
Vemos claramente neste exemplo que na˜o importa qual seja a populac¸a˜o inicial de coelhos: com o passar do
tempo esta populac¸a˜o crescera´ ate´ atingir a capacidade limite do meio ambiente (aqui 1 = 10000), estabilizando neste
patamar. (Nos gra´ficos, este e´ o ponto de intersec¸a˜o da para´bola G(P ) = 1, 8P − 0, 8P 2 com a reta y = P ).
Suponhamos agora que queiramos liberar a cac¸a de coelhos nesta reserva florestal. Precisamos estudar como a cac¸a
afetara´ o crescimento desta populac¸a˜o, isto e´, o que acontecera´ a longo prazo com a populac¸a˜o levando-se em conta
va´rios n´ıveis poss´ıveis de cac¸a.
1. Pense um pouco e explique por que, se permitirmos queK coelhos sejam cac¸ados por ano, a func¸a˜oG(P ), que per-
mite determinar o comportamento da populac¸a˜o com o passar do tempo sera´ dada porG(P ) = 1, 8P − 0, 8P 2 −K.
Observe o diagrama e repare o que acontece com o nu´mero limite de coelhos a` medida que o valor de K aumenta.
276 Cap. 20. Acre´scimos, Diferenciais e Aproximac¸a˜o pela Reta Tangente
2. O que acontecera´, a longo prazo, com a populac¸a˜o de coelhos, se for permitida a cac¸a de 2500 coelhos por ano?
3. Se voceˆ fosse definir a pol´ıtica a ser seguida, qual o nu´mero ma´ximo de coelhos que permitiria fossem cac¸ados por
ano? Se esse n´ıvel for mantido ao longo do tempo, qual sera´ a populac¸a˜o limite de coelhos na reserva? Justifique
a sua resposta.
4. Voceˆ pretende construir na sua fazenda serrana um lago com capacidade de sustento para 20000 trutas e permitir
a pesca no sistema pesque e pague. Para iniciar a sua criac¸a˜o voceˆ coloca no lago 5 000 trutas. Antes que se
permita a pesca, e´ necessa´rio que a populac¸a˜o de trutas do lago esteja pro´xima a` populac¸a˜o limite. Supondo que,
inicialmente, nenhuma pesca seja permitida, e que a populac¸a˜o de trutas, em ambiente favora´vel (sem limitac¸o˜es),
cresc¸a a uma taxa de 70% a cada ano, desenvolva um sistema que modele o crescimento da populac¸a˜o de trutas
ao longo do tempo. Quanto tempo levara´ para que a populac¸a˜o do lago atinja o limite de 20000 trutas?
5. Um dos seus so´cios esta´ impaciente e na˜o quer esperar ate´ que a populac¸a˜o de trutas atinja o limite ambiental e
enta˜o sugere que se deˆ uma ma˜ozinha a` ma˜e natureza, colocando-se no lago, por algum tempo, uma populac¸a˜o
adicional de
5000 trutas por ano. Se isto for feito, quanto tempo passara´ ate´ que a populac¸a˜o de trutas atinja o seu valor
limite? Se a pesca nunca for permitida e se este nu´mero adicional de trutas continuar a ser colocado no lago a
cada ano, o que acontecera´, a longo prazo, com a populac¸a˜o de trutas do lago? Faz sentido que este limite seja
diferente da capacidade original do lago?
6. Apo´s muitas discusso˜es, voceˆs colocaram no lago 10 000 trutas e abriram o pesque e pague imediatamente. Voceˆs
esperam que os visitantespesquem 2500 trutas por ano. Qual sera´ o efeito deste n´ıvel de pesca na populac¸a˜o do
lago a longo prazo? Mantidas estas condic¸o˜es, podera´ a populac¸a˜o de trutas sobreviver a um desastre ecolo´gico
que mate 50% dos peixes existentes no lago?
7. As condic¸o˜es se mostram favora´veis por dois anos e o seu pesque e pague se torna um sucesso. Como resultado
do aumento de visitantes, sa˜o pescadas agora 4000 trutas por ano. Se a pesca for mantida a esta taxa e nenhuma
reposic¸a˜o for feita, quanto tempo a populac¸a˜o de trutas do lago podera´ sobreviver?
8. Seu so´cio percebe que as trutas correm o perigo de se extinguir e decide estabelecer um nu´mero ma´ximo de trutas
a serem pescadas por ano. Qual o nu´mero ma´ximo de trutas que podem ser pescadas por ano a fim de garantir
a sobreviveˆncia da populac¸a˜o do lago? Neste caso, qual sera´ a populac¸a˜o de equil´ıbrio para este sistema?
9. Se nenhuma cata´strofe ambiental ocorrer nos pro´ximos anos, para que possa ser permitida a pesca de 4500 trutas
por ano, quantas trutas voceˆs precisara˜o colocar no lago, por ano, para manter a estabilidade da populac¸a˜o?