PROJETO DE ENSINO TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM

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SUMÁRIO
RESUMO ----------------------------------------------------------------------------------------------- 3
PALAVRAS-CHAVE ----------------------------------------------------------------------------------3
INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------------------- 4
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ----------------------------------------------------------------5 a 10
DESENVOLVIMENTO --------------------------------------------------------------------------11 a 13
 
CONCLUSÃO -----------------------------------------------------------------------------------------14
REFERÊNCIA -----------------------------------------------------------------------------------------15
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RESUMO
Para o presente projeto de ensino foi escolhido como foco de investigação à elaboração de uma Trajetória hipotética de aprendizagem (THA), que busca por meio da aprendizagem colaborativa, proporcionar novos encaminhamentos de aprendizagem com alunos do 1º ano do Ensino Médio, tendo como objetivos que os alunos sejam participantes ativos no processo de ensino e aprendizagem e não meros receptores de uma matemática pronta. Como metodologia para aplicação da THA, utilizou-se a resolução de problema de progressão aritmética. Assim, concluiu-se que o método aplicado (THA) oportuniza ao aluno desenvolver o raciocínio lógico, crítico e participativo.
PALAVRAS CHAVE: Trajetória hipotética de aprendizagem (THA), Progressão Aritmética (PA), Situação-problema, Ensino Aprendizagem. 
INTRODUÇÃO
A Trajetória Hipotética da Aprendizagem (THA) é um planejamento realizado pelo professor, que busca determinar uma trajetória para a aprendizagem, em que o aluno terá o papel principal e o professor será o mediador nesse contexto de ensino-aprendizagem, estimulando o seu raciocínio lógico, o senso crítico e participativo em sala de aula. Segundo Simon (1995), a THA constitui-se de estabelecimento de objetivos para aprendizagem dos alunos, de tarefas matemáticas para promover a aprendizagem, e do levantamento de hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos alunos. Nesse sentido, conforme aponta Van Den Heuvel-Panhuizen, (2010), a partir do planejamento das aulas o professor determina a trajetória e um caminho que pretende seguir com os estudantes. 
A partir dos conceitos acima, o trabalho teve inicio com a análise de documentos e revisão bibliográfica em teses, dissertações e artigos referentes à Trajetória hipotética de aprendizagem (THA) e ao ensino e aprendizagem de Progressão Aritmética. Com base no quadro teórico e nos resultados das pesquisas foi elaborada a atividade que constitui a Trajetória hipoteca de aprendizagem (THA), aplicada para o 1º Ano do Ensino Médio, da modalidade de Ensino Regular.
Dessa forma, o presente projeto tem como objetivo geral construir, analisar e avaliar situações de ensino-aprendizagem do Ensino Médio, a partir da construção de trajetórias hipotéticas de aprendizagem (THA). Como objetivos específicos, tem-se o processo de construção, discussão e avaliação de uma trajetória hipotética de aprendizagem sobre Progressão Aritmética. Diante de tais considerações, justifica-se o presente trabalho, a fim de demonstrar a importância da aplicação metodológica da THA para o entendimento da melhoria de vida dos estudantes como pessoas, a partir da construção crítica do raciocínio.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA) foi proposta por Simon (1995), de acordo com o autor: 
Eu uso o termo “trajetória hipotética de aprendizagem” para me referir a previsão do professor como um caminho pelo qual a aprendizagem pode ocorrer. É hipotético porque a trajetória real de aprendizagem não é conhecida previamente. Ela caracteriza uma tendência esperada. A aprendizagem individual dos estudantes ocorre de forma idiossincrática, embora frequentemente em caminhos similares. É assumido que uma aprendizagem individual tem alguma regularidade, que a sala de aula limita a atividade matemática frequentemente de formas previsíveis, e que muitos estudantes na mesma sala podem se beneficiar da mesma tarefa matemática. Uma trajetória hipotética de aprendizagem fornece ao professor uma análise racional para escolher um projeto instrucional particular; assim, eu tomo as minhas decisões baseado nas minhas melhores suposições de como a aprendizagem pode acontecer (SIMON, 1995, p. 135, tradução nossa).
Características de uma THA: 
( A construção de uma THA é baseada na compreensão do conhecimento atual dos estudantes envolvidos;
 ( Uma THA é um veículo para o planejamento da aprendizagem de conceitos matemáticos específicos;
 ( Tarefas matemáticas proporcionam ferramentas para promover a aprendizagem de determinados conceitos matemáticos e, assim, são uma parte fundamental do processo de ensino;
 ( Devido à natureza hipotética e inerentemente incerta deste processo, o professor está regularmente frequentemente envolvido na modificação de todos os aspectos da THA (SIMON E TZUR, 2004, p. 93).
Uma trajetória hipotética de aprendizagem é um planejamento (programa) bem detalhado do caminho, ou caminhos, da aprendizagem do estudante. O professor estabelece objetivos que quer que o estudante alcance, seleciona tarefas que farão que esses objetivos sejam alcançados e, por fim, hipotetiza como o estudante desenvolverá a tarefa para atingir os objetivos. Essas hipóteses são variadas e podem ser modificadas.
Freudenthal (1991) propõe que se deve dar aos estudantes a oportunidade de serem autores do seu conhecimento por meio do que ele denomina reinvenção guiada. Nessa perspectiva, o estudante: 
 ( Tem papel ativo no processo de aprendizagem;
 ( Vai tornando-se autor e responsável pelo seu conhecimento matemático;
 ( Desenvolve atitudes que contribuem para reflexão e interesse em novas estratégias de resolução;
 ( Busca entender as resoluções dos outros estudantes, está atento às discussões, justifica suas estratégias (SILVA, 2015).
Freudenthal (1973 apud GRAVEMEIJER, 2005) fala da matemática como uma atividade humana e argumenta que a alternativa é criar oportunidades para os alunos reinventarem a matemática, e que isso é possível por meio da reinvenção guiada. Os professores e manuais tem que ajudar os alunos no processo, garantindo que os alunos tenham experiência da aprendizagem da matemática como um processo de invenção.
Pires (2009) sugere que se faz necessária à formulação de modelos de ensino baseados no construtivismo, incluindo a ideia de Trajetória Hipotética de Aprendizagem (THA). Através das reflexões do grupo, sob a ótica de Simon, Pires (2009) argumenta o quanto é importante a atuação do professor quanto ao planejamento de ensino, considerando que o aluno desempenha um papel central na construção de sua aprendizagem, sendo que este planejamento deve considerar:
O pensamento/entendimento do aluno;
Conhecimento do professor relacionado diretamente com o crescimento do conhecimento do aluno;
Planejamento das instruções, criação de uma THA;
A transformação contínua do conhecimento do professor em relação a sua THA, de modo a atender as formas de aprendizagem dos alunos.
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem pode ser definida como uma descrição detalhada de uma aula hipotética, incluindo um planejamento com tarefas, organizado a partir da definição de objetivos para aprendizagem (expectativas) e das hipóteses sobre o processo de aprendizagem dos alunos. Segundo Simon (1995 apud PIRES, 2009), há três componentes necessários na THA:
O objetivo do ensino com direções definidas;
As atividades de ensino;
O processo hipotético de aprendizagem e as possibilidades de modificações da THA.
Nesse sentido, a aprendizagem é entendidacomo um processo de construção individual e social mediado por professores com a concepção de um trabalho estruturado. A trajetória hipotética da aprendizagem dá ao professor a possibilidade de construir seu projeto de decisões, baseado em suas melhores suposições de como o conhecimento poderia ser processado. Enfatizando o papel do professor na construção e revisão permanente, ou seja, o professor está constantemente comprometido em ajustar a trajetória hipotética de aprendizagem que criou, pois há possibilidade de uma nova ou uma modificada Trajetória Hipotética de Aprendizagem. Por mais que o planejamento seja detalhado, podem ocorrer imprevistos que exijam novas decisões. Mesmo que o professor desenvolva um plano para sala de aula, ele poderá ser repensado e modificado, pois as interações professor – aluno e as observações do professor fazem com que isso acorra. A modificação da THA não ocorre somente durante o planejamento entre as aulas, o professor está continuamente empenhado em ajustar a trajetória de aprendizado que ele “hipotetizou”. Dessa forma, alterações e modificações podem ser feitas em um ou todos os três componentes da trajetória hipotética de aprendizagem: a meta, as atividades, ou o processo hipotético de aprendizagem (SIMON, 1995, p. 138).
O conhecimento do professor serve como um mapa que traduz seu empenho na construção de projetos de ensino que favorecem a compreensão dos alunos e a construção de seu conhecimento, identificando o potencial de aprendizagem. As ações docentes e as estruturas metodológicas terão que sujeitar-se a transformações experimentais, pois não se tem acesso direto ao conhecimento dos alunos, restando as hipóteses levantadas como pressuposto para o planejamento e construção de tarefas, levando em conta que o aluno desempenha papel central na construção de suas aprendizagens. As possíveis perguntas e dúvidas previstas na elaboração da THA podem permitir ao professor maior segurança no gerenciamento da elaboração da proposta
A aprendizagem é um processo individual e social de construção onde o professor faz a mediação por meio da utilização de trabalhos estruturados e onde o aprendizado dos alunos é compreendido. É de grande utilidade à compreensão do desenvolvimento da aprendizagem e como tal fato remete à questão de como o construtivismo poderia contribuir para a reconstrução de uma Pedagogia da Matemática (SIMON, 1995, apud PIRES, 2009, p. 153). 
A experiência com alunos, conforme nos mostra Simon (1995) apud Pires (2009), indica que o professor, ao formular seu plano de atividades, precisa compreender como se dá o entendimento dos alunos, que conduz a formulação da ideia de trajetórias hipotéticas de aprendizagem. O autor também demonstra que os objetivos, as atividades de aprendizagem e o conhecimento dos alunos que estarão envolvidos neste processo constituem elementos importantes na construção de uma trajetória hipotética de aprendizagem. Por parte do conhecimento dos professores, além das hipóteses sobre o conhecimento dos alunos, outros saberes exercem interferência como teorias de ensino de matemática, representações matemáticas, materiais didáticos e atividades, teorias sobre como os alunos constroem seu conhecimento a cerca de um dado assunto.
O professor, ao propor atividades planejadas, se comunica com os alunos e os observa. Os alunos passam a resolver estas atividades. A observação leva o professor a uma nova compreensão da concepção dos estudantes e com isso há a evolução do ambiente de aprendizagem com o resultado desta interação entre professor e alunos e como eles se envolvem com o conteúdo matemático. O potencial de aprendizagem é determinado pela relação entre os alunos e a tarefa proposta pelo professor e sua experiência com ela (SIMON, 1995, p. 132). O pensamento/entendimento dos estudantes tem lugar central na estruturação e implementação das atividades de ensino (ANGIOLIN, 2009).
O trabalho de Simon (1995) contribuiu para o ensino em sala de aula, mostrando que se pode construir o currículo assim como materiais de ensino podem ser desenvolvidos, justificando que o ensino assim realizado origina-se em uma perspectiva de construção do conhecimento (MIRANDA, 2011, p. 25). Rosembaum (2010) aponta que o Ciclo de Ensino de Matemática foi desenvolvido por Simon (1995) para demonstrar como ocorre o processo cíclico entre os conhecimentos do professor, pensamento, reflexões e ações. Conforme a metodologia desenvolvida por Simon (1995), ao iniciar a execução de um planejamento, este muitas vezes necessita ser modificado em virtude das intervenções dos alunos, que requerem adaptações. Assim, novos ciclos se iniciam e novos esforços demandam novas ações.
Gravemeijer (2004) propõe três fases para o desenvolvimento da sequência de atividades:
 a) elaborar um desenho preliminar das atividades (THA);
 b) concretizar a THA em sala de aula; 
c) realizar uma análise da THA aplicada em sala de aula e indica em suas teorias locais de ensino que sua proposta é a descrição e a fundamentação para o caminho de aprendizagem prevista em sua relação com uma coleção de atividades de ensino relacionadas a um tema (GRAVEMEIJER, 2004, p. 107).
Durante o desenvolvimento da THA em sala de aula, as perguntas e dúvidas previstas ou não na elaboração da THA podem permitir ao professor maior segurança no gerenciamento da execução da proposta.
A proposta de THA enfatiza a importância da relação entre a meta pretendida com o raciocínio das intenções/decisões de ensino e a hipótese desse percurso da aprendizagem.
Para Simon (1995), há uma relação simbiótica entre o desenvolvimento de uma THA e o desenvolvimento das tarefas de aprendizagem: a origem das ideias para a elaboração das tarefas de aprendizagem depende das hipóteses do professor a respeito do desenvolvimento do pensamento e da aprendizagem dos alunos.
 É possível olhar para a THA sob três pontos de vista:
Da elaboração (planejamento):
( As tomadas de decisões do professor a respeito dos conteúdos e das tarefas; 
( Previsão do professor sobre a trajetória que possibilitará a aprendizagem; 
( Diálogos hipotéticos entre professor e alunos;
( Previsão de perguntas que podem levar os alunos a refletirem, pensarem a respeito da tarefa. 
( Previsão de perguntas que podem levar os alunos a refletirem, pensarem a respeito da tarefa.
Da execução (processo): 
( O pensamento/ entendimento dos estudantes tem lugar central na estruturação e implementação das tarefas de ensino; 
( Podem ocorrer imprevistos que exijam novas decisões para a continuidade do trabalho;
 ( O professor está continuamente empenhado em ajustar a trajetória de aprendizado que ele “hipotetizou”; 
( Alterações e modificações podem ser feitas em um ou todos os três componentes da trajetória hipotética de aprendizagem;
 ( Os estudantes também fazem perguntas, e o professor que encaminha a THA a partir das possíveis dúvidas e perguntas deles. 
E da execução (replanejamento): 
( A avaliação do conhecimento do aluno pode trazer ajustes a respeito de qualquer conhecimento do professor;
( O plano para sala de aula poderá ser repensado, modificado, pois as interações professor – aluno e as observações do professor podem fazer com que isso ocorra.
Trabalhar com trajetórias de ensino e aprendizagem não implica em construir uma sequência de passos que serão rigidamente seguidos pelo professor ou pelos estudantes, até porque não há garantia de que seguirão o mesmo caminho na mesma velocidade no desenvolvimento da trajetória de aprendizagem, ou de que os conteúdos previstos pelo professor serão trabalhados pelos estudantes (VAN DEN HEUVELPANHUIZEN, 2000; BAKKER; DOORMAN; DRIJVERS, 2003). Angiolin (2009) complementa que a avaliação do conhecimento do aluno pode trazer ajustes a respeito de qualquer conhecimento do professor. 
Nessa perspectiva, o presente projeto de ensino pretende apresentar uma THA relacionada ao estudo de Progressão Aritmética,ressaltando as discussões desencadeadas no decorrer da THA com o intuito de promover a aprendizagem.
A TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM NO ENSINO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA DO ENSINO MÉDIO
Está tarefa será aplicada por alunos do 1º ano do Ensino Médio, com duração de uma a duas aulas conforme a necessidade. Como objetivo, pretende alcançar com o desenvolvimento da THA que o aluno consiga:
Compreender o significado de sucessor, antecessor, termo geral, regularidade;
Retirar dados de uma situação e expressão por meio de equação;
Escrever equações a partir dos dados de uma situação-problema;
Aprender a não ter receio do erro;
Aprender a buscar informações por meio de livros e internet;
Demonstrar mais interesse pela Matemática.
Como recursos necessários para o desenvolvimento da THA será adotado livros e pesquisas na internet. Para a metodologia, o desenvolvimento da THA será por meio de Resolução de Problemas como metodologia de ensino, os conceitos e as técnicas operatórias são apresentadas aos alunos fazendo uma relação entre a ideia matemática e o contexto. Diniz (2001) afirma que a resolução de problemas é um caminho para se ensinar matemática. Nessa perspectiva, por meio da resolução de problemas como ponto de partida, é possível introduzir novos conceitos, fazer a conexão com outros ramos da matemática e iniciar novos conteúdos. Na resolução de problemas, a comunicação é essencial, seja ela oral, escrita, ou através de desenhos. Isso possibilita ao professor, observar as mudanças de atitudes e acompanhar o progresso do aluno, bem como, interferir nas dificuldades encontradas, seja para o desenvolvimento das estratégias planejadas, ou mesmo para entender determinados conceitos.
A proposta de planejamento a ser apresentada será a seguinte:
Pense em uma indústria que começou suas atividades com 20 funcionários no inicio do ano, passou para 25 funcionários no segundo mês, e para 30 funcionários no terceiro mês e assim sucessivamente, até chegar a 50 funcionários.
PROFESSOR: O que vocês entendem em relação à situação-problema?
ALUNO: Temos o, 20, depois o, 25, o, 30... Vai aumentando de cinco em cinco. 
PROFESSOR: Certo! Como você percebeu essa regularidade?
ALUNO: O que é regularidade?
PROFESSOR: Pesquisem! Use a internet ou o glossário do livro didático...
ALUNO: Tá!... Olha o que encontrei na pesquisa.
PROFESSOR: Muito bom! Para você, o que é regularidade?
ALUNO: Regularidade é a operação que se repete na sequência... 
ALUNO: Nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido da soma do anterior a um número fixo.
PROFESSOR: Isso mesmo! Sequências deste tipo são chamadas de Progressão Aritmética, ou simplesmente PA e como podemos escrever isso matematicamente?
ALUNO: 20+5=25+5=30 e assim sucessivamente.
PROFESSOR: Tá! Qual são o número e a operação que sempre aparece nas parcelas que você montou?
ALUNO: O +5!
PROFESSOR: Isso! Assim imaginem uma PA (a1, a2, a3, a4… an), que tem regularidade “r”, se quisermos descobrir o 2° termo desta PA, basta somarmos a razão ao 1º termo (a2 = a1 + r), é isso?
ALUNO: Sim, entendi! Se quisermos descobrir o 3° termo, basta somar 2r ao 1º termo (a3= a1 + 2r).
PROFESSOR: Isso! E se quisermos descobrir o 22° termo?
ALUNO: Basta somar 21r ao 1º termo (a22 = a1 + 21r).
PROFESSOR: Certo! E assim por diante, fácil né?! E como podemos escrever isso matematicamente?
ALUNO: A partir desta continha podemos obter o termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1). R. 
PROFESSOR: Agora que vocês já sabem o conceito de PA e como encontrar cada termo dela, vamos resolver a situação-problema para que vocês entendam melhor o assunto.
ALUNO: Como já sabemos a sequência e a regularidade desta PA, fica fácil!
PROFESSOR: Agora pessoal, imaginem que o presidente da empresa quer saber quantos funcionários a indústria tinha no 5° mês de trabalho.
ALUNO: Como acabamos de ver! a5 = a1 + 4r .
PROFESSOR: Isso mesmo! Então quantos funcionários tinham no 5° mês de trabalho?
ALUNO: Sabendo que a regularidade é cinco, ficam 40 funcionários no 5° mês de trabalho.
PROFESSOR: E quantos meses será que a indústria precisou para chegar aos 50 funcionários? 
ALUNO: Queremos saber o número de termos desta sequência para chegar a 50 funcionários, temos o número do 1° mês (a1) que é 20 e a regularidade (r) que é cinco.
PROFESSOR: Certo! E como fica matematicamente?
ALUNO: Como não sabemos os meses, vamos chamar de n, o número de termos, que fica:
Percebi que no 7° mês de trabalho a empresa atingiu aos 50 funcionários contratados.
PROFESSOR: Muito Bem! Então essa é uma PA de quantos termos?
ALUNO: Está é uma PA de setes termos, pois nosso último termo (an) é igual ao nosso 7° termo (a7).
PROFESSOR: Parabéns, vocês compreenderam!
A avaliação no decorrer da trajetória foi com base na compreensão do conteúdo abordado em sala de aula, interesse e participação nas atividades propostas, frequência e resolução da atividade, onde cada aluno deverá escrever o que entendeu sobre Progressão Aritmética em seu caderno como uma forma de fixação de conteúdo. 
conclusão
Segundo Van Den Heuvel-Panhuizen (2000), “a educação deve fornecer aos estudantes a oportunidade ‘guiada’ para ‘reinventar’ a matemática, colocando a ‘mão na massa’”. Na sequência, o autor afirma que “o professor, quando planeja suas aulas, já esta delineando um caminho, uma trajetória que pretende seguir com os estudantes” (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2010).
O planejamento de uma Trajetória hipotética de aprendizagem (THA) constitui em primeiro lugar, um instrumento para o aluno, por meio do qual o professor estabelece com objetividade, simplicidade, validade e funcionalidade a ação educativa em matemática, cuja finalidade é contribuir com a formação do aluno em dimensão integral. Todavia, as ações matemáticas educativas necessitam serem pensadas, de forma critica e consciente, pois devem visar o entendimento da melhoria de vida dos estudantes como pessoas. 
Assim concluir o quanto a THA contribui no planejamento do professor, desta forma proporciona mais segurança, pois se ele antecipou as possíveis situações que podem ocorrer em sala de aula, ele também já estruturou como será a sua reação à determinada dúvida ou discussão que surgir, e se por acaso surgir alguma dúvida que o professor não havia antecipado, ele poderá esclarecer essa dúvida do estudante e complementar a sua THA.
 
 
REFERÊNCIAS
ANGIOLIN, A. G. Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem sobre Funções Exponenciais. 2009. 196 fls. Dissertação (Mestrado em Educação) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.
BARBOSA, A. A. Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem relacionadas às Razões e às Funções Trigonométricas, visando uma Perspectiva Construtivista. 2009. 159 fls. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - PUC-SP, São Paulo 2009.
FERNANDES, R. K. PIRES, M. N. Uma Trajetória Hipotética de Aprendizagem: Construindo o Pensamento Algébrico nos Anos Iniciais. In: XI Encontro Nacional de Educação Matemática, 2013, Curitiba. Anais... XI ENEM, Curitiba, 2013. 
FIGUEIREDO. S. A., COSTA. N. M. L. Trajetória Hipotética de Aprendizagem e a Compreensão das Relações Trigonométricas no ciclo. 2016. In: XII Encontro Nacional de Educação Matemática, 2016, São Paulo/SP. Anais... São Paulo: XII ENEM, 2016. Disponível em: <http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/6101_2558_ID.pdf>. Acesso em 26 abr. 2019. 
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 ROSSETTO, Hallynnee Héllenn Pires. Trajetória Hipotética de Aprendizagem sob um olhar realístico. 2016. 104f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2016. 
Sistema de Ensino Presencial Conectado 
licenciatura em matemática
franciele crestani de aguiar
TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM NO ENSINO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA DO ENSINO MÉDIO
Cacequi
2019
franciele crestani de aguiar
TRAJETÓRIA HIPOTÉTICA DE APRENDIZAGEM NO ENSINO DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA DO ENSINO MÉDIO
Trabalho de matemática apresentado à Universidade Pitágoras Unopar, como requisito parcial para a obtenção de média semestral na disciplina de projeto de ensino.
Orientador: Professora Fabricia Cristina Garcia Redmershi.
Cacequi
2019