Web1- Geometria Analítica- Maria da Salete Leite- Mod A

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Webconferência I
Profª: Maria da Salete Leite Pedrosa
Ementa
Unidade 1- Iniciando a geometria analítica : vetores
Unidade 2- Equações e interseções de retas
Unidade 3- Planos e distâncias
Unidade 4- Seções cônicas, quádricas, superfícies quádricas, superfície
cônica e cilíndrica
VETOR
• VETOR: É um conjunto de todos os segmentos orientados de mesma
direção, sentido e comprimento.
• A palavra “VETOR” vem do latim, cujo significado é transportar, levar.
Então, se pensarmos em física ou geometria, fica fácil visualizar que um
ponto A é transportado a um ponto B, por exemplo.
• É necessário compreender melhor a relação entre o ponto A e B, pois é um
segmento orientado, isto é, um par ordenado (A,B) de pontos do espaço.
Neste caso, A é a origem e B é a extremidade do segmento orientado.
• Se o segmento orientado for (A,A) será chamado de segmento orientado
nulo. É importante reforçar que, se A≠B, o segmento (A,B) também é
diferente de (B,A), tendo em vista que no primeiro caso A é a origem e B é a
extremidade. No segundo exemplo, ocorre o inverso: B é a origem e A é a
extremidade.
VETOR
• A B ; H
• C D ; G 
• E F . 
• Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesma direção e sentido, mas
não têm o mesmo comprimento.
• Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) possuem o mesmo comprimento e
mesma direção, porém sentidos opostos.
• Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) possuem o mesmo
comprimento,porém direção diferente. Vale salientar, que não faz sentido
em falar sobre sentido quando os segmentos orientados apresentam
direções diferentes.
• Segmentos orientados de mesma direção, são paralelos.
Medida
• A medida de um segmento orientado é o seu comprimento, também
conhecido como módulo. Note que o comprimento do segmento AB é de
cinco unidades (u.c.). B
A 
Segmentos Equipolentes- são aqueles que têm a mesma direção, mesmo comprimento e mesmo sentido.
A representação de equipolência entre dois segmentos (A,B) e (C,D) é feita por (A,B) ~ (C,D).
OBS.: Jamais use a expressão equipolentes para vetores! Essa expressão diz respeitos à segmentos
orientados, e não a vetores.
Direção e Sentido
Os segmentos orientados não nulos terão a mesma direção se as retas
suportes desses segmentos forem paralelas.
Não podemos comparar os sentidos de dois segmentos quando ambos têm
direções diferentes.
B
A
Grandeza Escalar X Grandeza Vetorial 
Grandezas Escalares: são aquelas que ficam completamente definidas por
um número real. Exemplo: Volume, área, temperatura.
Grandezas Vetoriais: são aquelas que não ficam completamente definidas
penas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade
correspondente. Para ficarem perfeitamente caracterizadas, necessitam de
sua direção e sentido. Exemplo: Força, velocidade, aceleração, entre outros
exemplos.
Como reconhecer um vetor?
Geralmente, os vetores são representados por uma letra latina minúscula
com uma seta na parte superior:
Tipos de Vetores
É importante entender que nem todos vetores são iguais.
a)Vetor nulo- não apresenta coordenadas e o seu módulo, norma ou
comprimento é igual a zero. É sempre indicado por 0. Os seus
representantes são todos segmentos orientados nulos, com origem e
extremidade coincidentes, por exemplo (A,A). Vale salientar que o vetor
nulo é sempre paralelo a qualquer vetor.
b)Vetor unitário- apresenta módulo, norma ou comprimento igual a 1.
c)Vetor oposto- o oposto de um vetor é , sendo representado por :
= -
d)Vetores paralelos ou colineares – apresentam a mesma direção e suas
imagens geométricas podem ser representadas em uma mesma reta.
Tipos de Vetores
Vetores iguais – os dois vetores e são considerados iguais somente se AB ~ CD.
Vetores coplanares – são assim definidos se estiverem suas imagens geométricas contidas no 
mesmo plano.
Tipos de Vetores
Vetores iguais- neste caso os dois vetores são considerados iguais
somente se AB ~ CD.
Vetores equiversos – são vetores de mesmo sentido.
Vetores contraversos - são vetores de sentido contrário.
Módulo e Versor
• A medida do comprimento, também conhecida como módulo é obtida pelo 
teorema de Pitágoras:
• Chamamos de versor de um vetor não nulo ,, o vetor unitário que tem a 
mesma direção e sentido de . 
• Exemplo: O versor de = (3,-4) é um vetor unitário, pois = , pois 
substituindo
Operações com Vetores
• Multiplicação de um vetor por um escalar(número real): “Seja α um
número real e um vetor , então o produto α. // ; α e são de mesmo
sentido se α > 0, e de sentidos contrário se α < 0.
• Soma de dois vetores:
- MÉTODO GRÁFICO: é o primeiro caminho para a adição de dois vetores.
Operações com Vetores
• Soma de vetores – A regra do paralelogramo nada mais que escolher dois 
vetores com a mesma origem. O vetor soma será a diagonal “S”, originando 
um paralelogramo.
• Diferença entre dois vetores escrito .Observe:
•
Operações com Vetores
• Igualdade: Já vimos que dois vetores =(x1,y1) e =(x2,y2) são iguais, 
somente se x1=x2 e y1=y2. Na prática , se =(x+1,4) é igual ao vetor =(5, 
2y-6) somente se x+1=5 e 2y-6=4. Dessa forma, = = (5,4).
• Ponto médio: Em um segmento de reta A(x1,y1) e B(x2,y2), sendo M(x,y) o 
ponto médio de AB, expressamos de forma vetorial AM= MB.
Classificação dos Vetores quanto ao Ângulo
• Se os vetores e não nulos e o ângulo θ formado entre eles, então:
a) Se θ=π, e têm a mesma direção e sentidos contrários.
b)Já se θ=0, e têm a mesma direção e mesmo sentido.
c) Mas .se θ= π/2, e são ortogonais. E indica-se por u ḻ v. 
Base Canônica
• É aquela que determinará o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, onde os
vetores ortogonais estão representados com origem no ponto O. A partir da
origem e a direção de cada um dos vetores da base se determinam os três
eixos cartesianos. São eles: eixo Ox (das abscissas) e corresponde ao vetor i,
o eixo Oy (das ordenadas), que corresponde ao vetor j e o eixo Oz (das
cotas) que corresponde ao vetor k.
• Vale lembrar que uma base no espaço é ortonormal se os três vetores
forem unitários, e , se dois a dois, ortogonais.
De acordo com a definição geométrica de produto escalar, se e são vetores não nulos e 
θ, o ângulos entre eles, logo:
. = Ӏ Ӏ. Ӏ Ӏ. cos θ.
Produto vetorial
Produto Misto
• Já aprendemos que o produto escalar é dois vetores é um número real e 
que o produto vetorial é um vetor. O 
• O que acontece quando misturamos o produto escalar e o produto 
vetorial? Obtemos um número real.
Reta
Se a reta r passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo , para que um ponto P
do espaço pertença à r é suficiente e necessário que os vetores AP e V sejam colineares, isto
é, paralelos.