Atividade Autonoma 12

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
MAT01339 – Cálculo e Geometria Analítica para arquitetos – 2019/1
Atividade Autônoma 12
Assunto: Áreas e Volumes
Questão 1: Fórmula da área para parábolas de Arquimedes.
(Adaptado da questão 71, pág. 322, Cálculo, v.1, Thomas, 12 Ed)
 Arquimedes (287 - 212 a.C.), inventor, engenheiro militar,
médico e o maior matemático da época clássica no mundo
ocidental, descobriu que a área sob um arco parabólico é dois
t e r ço s d a base vezes a a l tu r a. Para provar isso, faça o seguinte: 
a) considere a parábola de equação
y= h − 4 h
b2
x2
para −b/2⩽x⩽b /2 supondo que h e b sejam positivos. 
(Conforme ilustra o gráfico ao lado).
Então, use o cálculo da integral definida para determinar a área 
da região compreendida entre o arco parabólico e o eixo x.
b) Se b=8 cm e h=6 cm, qual seria a área (em cm2) desse arco parabólico?
Questão 2: Projeto de uma frigideira 
(Adaptado da questão 61, pág. 361, Cálculo, v.1, Thomas, 12ed)
Você está projetando uma frigideira que terá o formato de uma tigela esférica com alças. Ao
fazer uma experimentação em casa, percebe que conseguirá um modelo com cerca de 3 litros de
capacidade, se a profundidade for de 9 cm e o raio da esfera 16 cm. Para ter certeza, você
desenha a frigideira como um sólido de revolução, como se vê na figura abaixo:
Você deve então calcular o volume do sólido de revolução pela integral definida. Para isso, faça
o seguinte:
a) Isole o x na equação x2+ y2=256 em função de y. Então, calcule a integral definida pela
rotação dessa função em torno do eixo y, estabelecendo devidamente os valores extremos de y
nessa integral.
b) Você encontrará a resposta em função de π e em cm3 . Usando que π≈3,1416 e que
1 litro=1000cm3 , arredonde o volume obtido para o inteiro mais próxmimo, concluindo que
sua resposta dá aproximadamente o volume de 3 litros pretendidos com o projeto dessa
frigideira.
Bom Trabalho!