Lista 16 de Exercícios

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Lista 16 de Exercícios –Áreas e Volumes 
 
1) Determine as áreas totais das regiões sombreadas a seguir: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: Para o item c), descubra o valor de y que delimita a parte debaixo da área sombreada. 
 
d) e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: Para os itens d), e), f), será necessário subdividir as áreas em duas integrais. 
 
g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: Para os itens g), h) faça a integração em y. 
 
2) Determine a área das regiões compreendidas entre as curvas: 
 
a) 𝑦 = 𝑥2 − 2 e 𝑦 = 2 b) 𝑦 = 𝑥4 e 𝑦 = 8𝑥 c) 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 
 
d) 𝑥 = 2𝑦2, 𝑥 = 0 e 𝑦 = 3 e) 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = 𝑦 + 2 f) 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = 3 − 2𝑦2 
 
Dica: Para os itens d), e), f), faça a integração em y. 
 
3) Determine o volume do sólio obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: No item a), isole o y em função de x e integre em x; no item b), integre em y. 
 
4) Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas em torno do eixo x. 
a) 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 0 e 𝑥 = 2 b) 𝑦 = √9 − 𝑥2, 𝑦 = 0 c) 𝑦 = √cos⁡(𝑥),⁡⁡⁡𝑦 = 0 
 
5) Calcule o volume sólido obtido com a rotação da região limitada por 𝑦 = √𝑥 e pelas retas y=2 e x=0 em 
torno do eixo y. 
 
Dica: Isole o x em função de y e faça a rotação em torno do eixo y integrando em y. 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) a) 
128
15
 b) 
22
15
 c) √3 −
𝜋
3
 d) 
5
6
 e)⁡
5
6
 f) 
38
3
 g) 
1
12
 h) 
4
3
 
 
2) a) 
32
3
 b) 
48
5
 c) 
8
3
 d) 18 e)⁡
9
2
 f) 4 
 
3) a) 
2𝜋
3
 b) 6𝜋 
 
4) a) 
32𝜋
5
 b) 36𝜋 c) 𝜋 
 
5) 
32𝜋
5