Aula 02 Sistemas de Equacoes Lineares

Prévia do material em texto

Prof. Vicente Júlio Carneiro
 Iremos aprender um método que possa ser aplicado na
resolução de qualquer sistema linear.
 A técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de
sistemas lineares muito simples, mas tem a vantagem de poder
ser aplicada sempre e ser facilmente mecanizada.
 Em síntese, este método consiste em substituir o sistema inicial
por sistemas cada vez mais simples, sempre “equivalentes” ao
original.
2
 Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
Com aij, 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, números reais (ou complexos).
 Uma solução para esse sistema é a n-úpla de números (x1, x2,...,
xn) que satisfaça simultaneamente as m equações.
 Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se
apresentam a mesma solução. 3
O sistema anterior pode ser escrito a forma
matricial como:
Ou Ax = B, onde:
 A é a matriz dos coeficientes;
 X é a matriz das incógnitas;
 B é a matriz dos termos independentes.
4
Matriz ampliada do sistema:
5
São três as operações elementares sobre as
linhas de uma matriz.
1. Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li↔Lj)
6
2. Multiplicação da i-ésima por um escalar não
nulo k (Li → kLi)
Ex.:
7
3. Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha
mais k vezes a j-ésima linha (Li→Li + kLj)
Ex.:
As operações com linhas de um sistema
produzem outro sistema equivalente ao inicial, ou
seja, um sistema que possui as mesmas soluções
que o sistema inicial.
8
 Forma Escada
 Definição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma
escada se:
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula 
é 1;
2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não
nulo de alguma linha tem todos os seus outros
elementos iguais a zero;
3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não
nulas;
4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o
primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna
ki, então k1 < k2 < .... < kr
9
Forma Escada:
Exemplos:
10
Não é a forma escada, não satisfaz 2
Não é a forma escada, não satisfaz 1 e 4
Não é a forma escada, não satisfaz 1 e 3
É a forma escada
11
 Forma Escada:
 Teorema: Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma única
matriz-linha reduzida à forma escada.
 Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-linha
reduzida à forma escada linha equivalente a A. O posto de A,
denotado por p, é o número de linhas não-nulas de B. A
nulidade de A é o número n – p.
 Exemplos: Encontre o posto e a nulidade da matriz A.
12
Se tivermos um sistema de uma equação e uma
incógnita ax = b, teremos 3 possibilidades:
 a ≠ 0: neste caso, a equação tem uma única
solução
x = b/a
a = 0 e b = 0: temos 0x = 0 o que significa que
qualquer número real é solução da equação;
a = 0 e b ≠ 0: temos 0x = b o que significa que
não existe solução para essa equação.
13
Exemplos:
a)
b)
c)
14
 Caso Geral:
Consideremos um sistema de m equações lineares
com n incógnitas x1, x2, ..., xn.
Cujos coeficientes aij e termos constantes bi são
números reais.
Este sistema poderá ter:
15
Caso Geral:
i) Uma única solução:
Sistema possível (compatível) e 
determinado.
ii) Infinitas soluções:
Sistema possível (compatível) e 
indeterminado.
iii) Nenhuma solução:
Sistema impossível (incompatível).
16
 Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e
somente se, o posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz
dos coeficientes;
ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n, então a solução
será única;
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, então podemos
escolher n – p incógnitas, as outras p incógnitas serão dadas em
função dessas.
O grau de liberdade do sistema é n – p.
17
18
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
Exemplo: Resolva os seguintes sistemas:
a)
b)
c) 19
20