P2-C4-Solucao

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
SOLUC¸A˜O DA SEGUNDA PROVA DE CA´LCULO 4
1. Determine o intervalo ma´ximo I de definic¸a˜o da soluc¸a˜o do Problema de Valor Inicial (PVI)
t2(t− 2)y′′ − ety′ + 2y = cos t, y(3) = 0, y′(3) = 0 (1)
Soluc¸a˜o.
Teorema. (Existeˆncia e Unicidade) Sejam p, q, g : I → R func¸o˜es cont´ınua no intervalo
aberto I e t0 ∈ I. Dados y0, y′0 ∈ R quaisquer, o Problema de Valor Inicial
y′′ + p(t)y′ + q(t)y = g(t), y(t0) = y0, y′(t0) = y′0
admite uma u´nica soluc¸a˜o φ(t) cujo intervalo ma´ximo de definic¸a˜o e´ I.
Colocando a EDO (1) na forma normal obtemos o PVI
y′′ − e
t
t2(t− 2)y
′ +
2
t2(t− 2)y =
cos t
t2(t− 2) , y(3) = 0, y
′(3) = 0 (1.1)
Como as func¸o˜es p, q, g na˜o esta˜o definidas em t = 0 e t = 2, o domı´nio e´ o conjunto R− {0, 2}
e, ale´m disso, as func¸o˜es p, q, g sa˜o cont´ınuas em R− {0, 2}.
Portanto, os intervalos onde as func¸o˜es p, q, g esta˜o definidas e sa˜o cont´ınuas, sa˜o:
(−∞, 0), (0, 2) e (2,+∞)
Como o intervalo ma´ximo I deve conter t0 = 3, segue-se que I = (2,+∞) .
2. Se o Wronskiano W (f, g)(t) = 3e4t e f(t) = e2t, encontre g(t).
Soluc¸a˜o.
W (f, g)(t) = f g′ − f ′ g = 3e4t ⇒ e2tg′ − 2e2tg = 3e4t × e−2t
g′ − 2g = 3e2t (*)
(*) e´ uma EDO linear de 1a ordem. Me´todo do fator integrante
µ(t) = e
∫ −2 dt = e−2t (fator integrante)
(g e−2t)′ = 3e2t e−2t = 3 ⇒ g e−2t =
∫
3 dt = 3t+ c × e2t
g(t) = 3te2t + c e2t
g(t) = (3t+ c)e2t , para qualquer c ∈ R.
3. Na EDO linear homogeˆnea
2t2y′′ + 3ty′ − y = 0 (2)
e´ conhecido que a func¸a˜o y1(t) = t
−1, e´ uma soluc¸a˜o de (2) no intervalo (0,+∞).
Use o Me´todo da Reduc¸a˜o da Ordem para obter uma segunda soluc¸a˜o de (2), y2(t), no mesmo
intervalo, com W (y1, y2)(t) 6= 0 e, em seguida, exiba a soluc¸a˜o geral de (2).
Soluc¸a˜o.
Me´todo da Reduc¸a˜o da Ordem
Suponhamos que uma soluc¸a˜o y(t) tem o formato: y(t) = y1(t)v(t) = t
−1v
y′ = −t−2v + t−1v′; y′′ = 2t−3v − t−2v′ − t−2v′ + t−1v′′
y′′ = t−1v′′ − 2t−2v′ + 2t−3v
Substituindo estas expresso˜es em (2) tem-se
2t2(t−1v′′ − 2t−2v′ + 2t−3v) + 3t(−t−2v + t−1v′)− t−1v = 0, ∀t > 0
Realizando as operac¸o˜es acima e simplificando, tem-se
2tv′′ − v′ = 0
v′′ − 1
2t
v′ = 0 (2.1)
Na EDO (2.1) considera-se a mudanc¸a de varia´vel u = v′, assim tem-se
u′ − 1
2t
u = 0 (2.2)
(2.2) e´ uma EDO linear de 1a ordem. Me´todo do Fator Integrante
µ(t) = e
∫ − 1
2t
dt = e−(1/2) ln t = eln t−(1/2) = t−1/2
(u t−1/2)′ = 0 ⇒ u t−1/2 = k1 ⇒ u(t) = k1t1/2
v′ = u ⇒ v =
∫
u dt =
∫
k1t
1/2 dt = k1
2
3
t3/2 + k2
v(t) = k1t
3/2 + k2
y(t) = t−1v(t) = t−1(k1t3/2 + k2) = k1t1/2 + k2t−1
Assim, as possibilidades para uma segunda soluc¸a˜o y2(t) sa˜o:
y2(t) = k1t
1/2 + k2t
−1
Como W (y1, y2)(t) 6= 0, ou seja, y1 e y2 independentes, a escolha mais simples e´ k1 = 1 e k2 = 0,
produzindo
y2(t) = t
1/2
A soluc¸a˜o geral de (2) no intervalo (0,+∞) e´ y(t) = c1t−1 + c2t1/2
4. Determine a soluc¸a˜o do PVI (3), onde ω > 0 e´ uma constante.
y′′ + ω2y = cos(ωt), y(0) = 0, y′(0) = 0 (3)
Soluc¸a˜o.
EDO homogeˆnea associada
y′′ + ω2y = 0 (3.1)
Equac¸a˜o Caracter´ıstica (EC):
r2 + ω2 = 0
Ra´ızes da EC:
r1 = iω, r2 = −iω
Uma soluc¸a˜o complexa:
φ(t) = eiω t = cos(ωt) + i sen (ωt)
Soluc¸o˜es Fundamentais da EDO homogeˆnea associada:
y1(t) = cos(ωt), y2(t) = sen (ωt)
Soluc¸a˜o particular da EDO na˜o-homogeˆnea. Me´todo dos Coeficientes Indeterminados
cos(ωt) = Pn(t)e
αt cos(βt) com Pn(t) = 1, α = 0, β = ω
α+ iβ = iω e´ ra´ız da EC com multiplicidade s = 1. Portanto o formato da soluc¸a˜o particular e´
Y = A t cos(ωt) +B t sen (ωt)
Y ′ = A cos(ωt) +B sen (ωt)− ωAt sen (ωt) + ωBt cos(ωt)
Y ′′ = 2ωB cos(ωt)− 2ωAsen (ωt)− ω2A t cos(ωt)− ω2B t sen (ωt)
Y ′′ + ω2Y = cos(ωt), ∀t ∈ R
2ωB cos(ωt) − 2ωAsen (ωt) − ω2A t cos(ωt) − ω2B t sen (ωt) + ω2(A t cos(ωt) + B t sen (ωt)) =
cos(ωt), ∀t ∈ R
2ωB cos(ωt)− 2ωAsen (ωt) = cos(ωt), ∀t ∈ R
2ωB = 1, 2ωA = 0 ⇒ B = 1
2ω
e A = 0
Y (t) =
t
2ω
sen (ωt) (Soluc¸a˜o particular da EDO na˜o-homogeˆnea)
y(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen (ωt) +
t
2ω
sen (ωt) (Soluc¸a˜o geral da EDO na˜o-homogeˆnea)
Note que Y (0) = 0, Y ′(t) =
1
2ω
sen (ωt) +
t
2
cos(ωt) ⇒ Y ′(0) = 0.
Como Y (t) satisfaz o PVI (3), segue pela parte de Unicidade do Teorema de Existeˆncia e Uni-
cidade, que a soluc¸a˜o do PVI e´ a soluc¸a˜o particular Y (t).
5. Uma EDO linear, homogeˆnea e de coeficientes constantes tem por Equac¸a˜o Caracter´ıstica
3r2(r2 + 1)(r2 + 2r + 5) = 0 (4)
(a) Exiba a EDO
(b) Exiba um conjunto de soluc¸o˜es fundamentais.
Soluc¸a˜o.
(a) 3r2(r2 + 1)(r2 + 2r + 5) = (3r4 + 3r2)(r2 + 2r + 5) = 3r6 + 6r5 + 18r4 + 6r3 + 15r2
Assim, uma EDO linear, homogeˆnea e de coeficientes constantes, cuja Equac¸a˜o Caracter´ıstica e´
3r6 + 6r5 + 18r4 + 6r3 + 15r2 = 0 (4.1)
e´
3y(6) + 6y(5) + 18y′′′′ + 6y′′′ + 15y′′ = 0
(b) Da Equac¸a˜o Caracter´ıstica (4) acima, tem-se que as ra´ızes sa˜o:
r = 0, com multiplicidade alge´brica 2
r = i, com multiplicidade alge´brica 1
r = −i, com multiplicidade alge´brica 1
r = −1 + 2i, com multiplicidade alge´brica 1
r = −1− 2i, com multiplicidade alge´brica 1
Um conjunto fundamental de soluc¸o˜es deve conter 6 soluc¸o˜es linearmente independentes
Associadas a` raiz 0, tem-se, y1(t) = 1 e y2(t) = t.
Associadas a`s ra´ızes ±i, tem-se y3(t) = cos t e y4(t) = sen t
Associadas a`s ra´ızes −1± 2i, tem-se y5(t) = e−t cos(2t) e y6(t) = e−tsen (2t)
Segue-se que um conjunto fundamental de soluc¸o˜es e´ dado por
{1, t, cos t, sen t, e−t cos(2t), e−tsen (2t)}
Apeˆndice
Me´todo da Reduc¸a˜o da Ordem
Conhecendo uma soluc¸a˜o na˜o-trivial y1(t) da EDO linear homogeˆnea y
′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0,
admite-se que uma segunda soluc¸a˜o e´ da forma y2(t) = y1(t) v(t). Substitui-se y2(t) na EDO
obtendo uma EDO para a func¸a˜o v(t). Determina-se v(t) e em seguida obtem-se y2(t) = y1(t) v(t)
atribuindo valores convenientes para as constantes provenientes da EDO da v(t) e sabendo-se
que W (y1, y2)(t) 6= 0.