NÚMEROS COMPLEXOS

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8. NÚMEROS COMPLEXOS
8.1. INTRODUÇÃO
Números complexos são aqueles na forma a + bi, em que a e b são números reais e i
é o chamado número imaginário. 
O número a é denominado parte real do número complexo e b é denominado parte
imaginária do número complexo. Atenção: “parte imaginária” não deve ser confun-
dida com “número imaginário”.
O número imaginário i equivale à raiz quadrada de – 1, isto é, i = −1 . O número
imaginário, portanto, não pertence ao conjunto dos números reais R pois a raiz qua-
drada de um número negativo não é real. Por outro lado, o quadrado do número ima-
ginário é real, pois i2 =−1 .
Exemplos:
a) z = 2 + 3i
Neste caso, z é um número complexo cuja parte real é 2 e cuja parte imaginária
é 3.
b) z = – 1 + i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é – 1 e sua parte imaginária é 1.
c) z = 2/3 – i/7
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 2/3 e sua parte imaginária é
– 1/7.
c) z = – 5i
Aqui, z é um número complexo, sua parte real é 0 (zero) e sua parte imaginária
é – 5.
d) z = 6
Note que, neste caso, z é um real; no entanto, também pode ser interpretado
como número complexo com parte imaginária nula.
Um número complexo com parte imaginária nula é chamado complexo real puro e
um número complexo com parte real nula é chamado complexo imaginário puro.
Note que um número complexo real puro é sempre um número real. Decorre disso
que o conjunto dos números reais R é um subconjunto do conjunto de números
complexos, denominado C.
O complexo conjugado de um número z = a + bi é dado por z* = a – bi.
Exemplo:
Se z = 2 – 3i, então seu complexo conjugado é z* = 2 + 3i.
8.2. FORMAS CARTESIANA E POLAR
A forma padrão z = a + bi é também chamada de forma cartesiana de um número
complexo z. Porém, todo número complexo pode ser colocado no que chamamos de
forma polar, que envolve medidas trigonométricas:
z = r cos x   i sen x  ,
em que
r =∣z∣= a2b2
e o ângulo x é determinado a partir da tangente
tg x  = b
a
O valor r, também denotado por |z|, é chamado de módulo do número complexo.
(Atenção: módulo de número complexo não deve ser confundido com módulo de nú-
mero real. Este último é tão somente o valor absoluto do número.)
Nota: A forma polar também pode ser escrita como
z =∣z∣e ix ,
também chamada de forma exponencial, em que eix é dado pela fórmula de Euler:
e ix = cos x   i sen x  ,
sendo e a constante que é base dos logaritmos naturais.
Exercício resolvido:
Escreva o número complexo z = 1 + i na forma polar.
Resolução:
A parte real de z é a = 1 e a parte imaginária é b = 1. Assim, o módulo de z será
r =∣z∣= a2b2 = 1212 = 2
O ângulo x será dado a partir de 
tg x  = b
a
= 1
1
= 1
Mas, o menor ângulo x para o qual a tangente dá valor 1 é 45 graus ou π/4
radianos. Isto é, x = π/4 radianos. Logo, a forma polar de z é
z = r cos x   i sen x  = 2 cos4  i sen4  ,
sendo o ângulo dado em radianos.
Note que obter a forma cartesiana de um número complexo a partir da forma
polar é trivial, devemos apenas obter os valores tabelados de cosseno e seno do
ângulo dado e desenvolver.
8.3. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Nas operações envolvendo números complexos devemos colocar o resultado na for-
ma padrão, visto que em aplicações práticas é sempre útil identificar as partes real e
imaginária de um número complexo.
Nas operações devemos aplicar álgebra regular e agrupar os termos com partes reais e
aqueles com partes imaginárias.
Exercícios resolvidos:
Sejam os números complexos x = 2 – 3i e y = – 3 + 2i. Determine o resultado
das operações abaixo e identifique suas partes real e imaginária:
a) x + y
b) x – y
c) xy
d) x/y
Resolução:
a) x + y = (2 – 3i) + (– 3 + 2i) = 
 = 2 – 3i – 3 + 2i = 
 = – 1 – i
Portanto, a parte real de x + y é – 1 e a parte imaginária é – 1.
b) x – y = (2 – 3i) – (– 3 + 2i) = 
 = 2 – 3i + 3 – 2i = 
 = 5 – 5i
Portanto, a parte real de x – y é 5 e a parte imaginária é – 5.
c) xy = (2 – 3i)(– 3 + 2i) = 
 = – 6 + 4i + 9i – 6i2 = 
 = – 6 + 4i + 9i – 6(–1) = 
 = – 6 + 4i + 9i + 6 = 
 = 13i
Portanto, a parte real de xy é nula e a parte imaginária é 13. Trata-se de um nú-
mero imaginário puro! Note que nesta operação tão somente desenvolvemos o
produto aplicando a propriedade distributiva e na 3a. linha substituímos i2 por
seu valor real, – 1.
d) xy =
2−3i
−32i
=
 =
2−3i .−3−2i
−32i .−3−2i 
=
 = −6−4i9i6i
2
9−4i2
=
 = −6−4i9i6 −19−4−1 =
 = −6−4i9i−694 =
 = −125i13 =
 =− 1213 
5
13
i
Portanto, a parte real de x/y é – 12/13 e a parte imaginária é 5/13. Note que na
1a. linha a expressão contém um número imaginário no denominador. Logo,
devemos reescrever a fração de forma que o denominador contenha apenas
números reais. Para isso, na 2a. linha multiplicamos numerador e denominador
pelo conjugado do denominador (– 3 – 2i) e desenvolvemos os produtos. Na
4a. linha substituímos i2 por – 1.
8.4. FÓRMULA DE De MOIVRE
A fórmula de De Moivre permite obter a n–ésima potência de um número complexo
z, envolvendo medidas da trigonometria:
zn =∣z∣n cos n x  i sen n x ,
em que z está na forma polar, isto é, z =∣z∣cos x  i sen  x .
Exercício resolvido:
Se z = 1 + i, determine z4.
Resolução:
Vimos num exemplo acima que a forma polar de z = 1 + i é
z = 2 cos4  i sen4 
Então, pela fórmula de De Moivre, z4 é dado por 
z 4 = 24 cos4 .4  i sen4. 4 = 4 cos   i sen = 4−1 =−4
Isto é, z4 = – 4, tratando-se, portanto, de um complexo real puro. 
Note que na fórmula empregamos n = 4 (e lembrando que |z| = 2 ). 
Além disso, 24=4 , cos(π) = – 1 e sen(π) = 0.