Apostila de Cálculo III

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Um dos autores é Niander Aguiar Cerqueira, natural de Itaperuna/RJ, Doutor 
em Engenharia Civil (UENF, 2017), Mestre em Ciências de Engenharia (UENF, 
2001), Especialista em Engenharia e Segurança do Trabalho (REDENTOR, 2009), 
Bacharel em Engenharia Civil (UENF, 1999). Experiente como projetista estrutural e 
consultor para projetos e recuperação de estruturas. É Professor Doutor do Centro 
Universitário REDENTOR (UniRedentor) desde 2007 e da Faculdade REDENTOR 
DE CAMPOS desde 2013, onde também é Coordenador do curso de Engenharia 
Civil. É coordenador dos cursos de Pós-graduação em Engenharia Estrutural e 
Estruturas Metálicas da UniRedentor. É autor dos cadernos de Cálculo 0, Cálculo 
Diferencial e Integral I e II, de Mecânica Geral e de Estruturas Metálicas e de 
Madeira para os cursos de Engenharia na modalidade EAD. Com experiência no 
ensino de análise estrutural, estruturas metálicas, estruturas de madeira, alvenaria 
estrutural e estruturas de concreto. 
 
 
 
 
 
Niander Aguiar Cerqueira 
Sobre o autor (a) 
 
 
 
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O autor do caderno de estudos é o prof. M. S. Gabriel Pereira Gonçalves, 
brasileiro, natural do Rio de Janeiro (RJ), mestre em Engenharia Civil pela UENF 
(2011), especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho (Redentor, 2009), 
bacharel em Engenharia Civil (Redentor, 2008). Professor do Centro Universitário 
Redentor desde 2010 na modalidade presencial, na modalidade à distância, desde 
2015. É coordenador e professor do curso técnico de nível médio em Edificações do 
Centro de Ensino Técnico Redentor (CETER). Já ministrou as disciplinas de 
Cálculo1, Cálculo 2, Mecânica Geral, Mecânica Aplicada, Sistemas Isostáticos, 
Materiais de Construção, Engenharia de Segurança do trabalho, Equipamentos, 
Sistemas Estruturais e Estruturas de aço e madeira. É Inspetor Regional do CREA-
RJ (Representante em Porciúncula-RJ). Trabalha na área da construção civil, 
prestando serviços a empresas privadas e prefeituras como engenheiro civil, 
elaborando orçamentos, vistorias, laudos, parecer técnico, entre outros. 
 
 
 
 
 
Gabriel Pereira Gonçalves 
 
Sobre o autor (a) 
 
 
 
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Apresentação 
 
 
Prezado (a) aluno (a), seja bem-vindo! 
 
Parabéns a quem já chegou até aqui. 
Cada etapa nova é, sem dúvida, momento de agradecer ao que já foi vencido 
e traçar novas metas e estratégias para vivenciar o novo. Estamos adentrando o 
universo do Cálculo, que é uma das mais fascinantes subáreas da Matemática. 
Aquilo que trataremos aqui tem aplicação em diversos campos da ciência e, de 
forma bem singular, nas Engenharias. 
Cálculo Diferencial e Integral, conhecido simplesmente por Cálculo, é um 
ramo da Matemática aplicado a diversas situações práticas como taxas de variação, 
acumulação de quantidades, cálculo de áreas, volumes etc. 
Esse caderno é um guia de estudos do livro “UM CURSO DE CÁLCULO”, 
cujo autor é GUIDORIZZI (Cf. Referências Bibliográficas). Para seu total sucesso, 
indico a aquisição desse livro. 
A disciplina foi dividida em oito módulos (aulas), tendo como elementos 
integrantes de cada aula os exemplos, os exercícios resolvidos e as atividades 
propostas (a serem resolvidas e encaminhadas como parte da avaliação). 
Para um bom aproveitamento deste material, é muito importante que você 
compreenda bem os exemplos e refaça todos os exercícios resolvidos até que os 
conceitos sejam assimilados. 
Esperamos que, ao completar os módulos desta disciplina, você tenha 
logrado êxito nos estudos; equipando-se, assim, de conteúdo e entusiasmo para os 
futuros desafios de seu curso e de sua profissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
 Apresentar os conceitos básicos de limite, derivada e integral; 
 Representar graficamente funções definidas por partes; 
 Apresentar os conceitos de limite, limite lateral, continuidade etc.; 
 Identificar funções diferenciáveis; 
 Identificar a derivada de uma função com a equação da reta 
tangente; 
 Apresentar as principais regras de derivação de funções; 
 Identificar a Integral e a Derivada como funções inversas; 
 Avaliar, decodificar, formular e resolver problemas de cálculo. 
 
 
 
 
Sumário 
 
AULA 1 - FUNÇÕES 
1 INTRODUÇÃO – FUNÇÕES ........................................................................................ 15 
1.1 Função Definida por Partes ............................................................................ 19 
1.2 Função Composta........................................................................................... 20 
 
AULA 2 - INTRODUÇÃO AO LIMITE 
2 INTRODUÇÃO – LIMITE E CONTINUIDADE ................................................................ 28 
2.1 Noção Intuitiva de Continuidade .................................................................. 28 
2.2 Noção Intuitiva de Limite ................................................................................ 29 
2.3 Tabelas de aproximações .............................................................................. 31 
2.3.1 Definição intuitiva de limites para caso geral .................................. 32 
2.3.2 Cálculo de limites de funções simples ............................................... 32 
 
AULA 3 - LIMITE 
3 INTRODUÇÃO – LIMITE .............................................................................................. 40 
3.1 Indeterminação 0/0 ........................................................................................ 42 
3.2 Resolução de indeterminação 0/0 por fatoração, produtos notáveis e 
conjugados de radicais ........................................................................................... 42 
3.3 Propriedades dos Limites ................................................................................ 47 
3.4 Limite Lateral .................................................................................................... 48 
3.5 Definição de Função Composta .................................................................... 51 
3.6 Limite de Função Composta .......................................................................... 52 
 
AULA 4 - EXTENSÃO DO LIMITE 
4 INTRODUÇÃO – EXTENSÃO DO LIMITE ..................................................................... 62 
4.1 Limites no Infinito ............................................................................................. 62 
4.2 Limites Infinitos ................................................................................................. 66 
4.3 A indeterminação do tipo ∞∞ ....................................................................... 71 
 
 
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4.4 Sequência e Limite de Sequência ................................................................. 71 
4.5 Limite de Função e Sequência ...................................................................... 73 
4.6 O Número 𝒆 ...................................................................................................... 74 
4.7 O Limite Exponencial Fundamental ............................................. 76 
 
AULA 5 - LIMITE TRIGONOMÉTRICO 
5 INTRODUÇÃO – LIMITE TRIGONOMÉTRICO .............................................................. 84 
5.1Teorema do confronto .................................................................................... 84 
5.2 Limite trigonométrico ...................................................................................... 85 
5.3 Limite fundamental .......................................................................... 86 
5.4 Demais simplificações trigonométricas ........................................................ 89 
 
AULA 6 - DERIVADA I 
6 INTRODUÇÃO – DERIVADA I ..................................................................................... 94 
6.1 Derivada de uma função ............................................................................... 96 
6.2 Derivada de Funções Conhecidas .............................................................. 100 
6.2.1 Derivadas de funções polinomiais (xn) e funções radicais (𝒏𝒙)... 101 
6.2.2 Derivadas de funções exponenciais (ex) e logarítmica (ln x): ..... 103 
6.2.3 Derivadas das Funções Trigonométricas ......................................... 104 
6.3 Representação das derivadas ..................................................................... 106 
 
AULA 7 - DERIVADA II 
7 INTRODUÇÃO – DERIVADA II .................................................................................. 112 
7.1 Derivabilidade e Continuidade ................................................................... 112 
7.2 Regras de derivação .................................................................................... 114 
7.3 Derivadas de ordem superior ...................................................................... 119 
 
AULA 8 - DERIVADA III 
x
e
Lim
x
x
1
0


x
senx
Lim
x 0
 
 
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8 INTRODUÇÃO – DERIVADAS III ............................................................................... 126 
8.1 Regra da Cadeia – Derivação de Função Composta ............................... 129 
8.2 Derivação de Função dada Implicitamente .............................................. 132 
8.3 Interpretação de 𝒅𝒚𝒅𝒙 como um Quociente Diferencial ......................... 136 
8.4 Derivada de 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) .................................................................................... 141 
 
AULA 9 - APLICAÇÕES DA DERIVADA I 
9 INTRODUÇÃO – APLICAÇÕES DA DERIVADA I ...................................................... 147 
9.1 Regra De L`Hospital ....................................................................................... 147 
9.2 Velocidade e Aceleração. Taxa De Variação .......................................... 148 
9.3 Valores Máximos e Mínimos......................................................................... 151 
9.3.1 Máximos e mínimos relativos ............................................................. 151 
9.3.2 Sinal da derivada ................................................................................ 152 
9.3.3 Pontos críticos ...................................................................................... 153 
9.3.4 Máximos e mínimos absolutos ........................................................... 155 
9.3.5 Extremos absolutos em intervalos fechados: .................................. 156 
9.4 Teorema do valor extremo e o teste da segunda derivada ..................... 157 
9.4.1 Concavidades .................................................................................... 157 
9.4.2 Sinal da derivada segunda ............................................................... 158 
9.4.3 Pontos de inflexão .............................................................................. 158 
9.4.4 Construção de gráficos ..................................................................... 158 
 
AULA 10 - APLICAÇÕES DERIVADA II 
10 INTRODUÇÃO – APLICAÇÕES DERIVADA II ........................................................... 167 
10.1 Problemas Aplicados .................................................................................... 167 
10.2 Problemas envolvendo reta tangente e reta normal ao gráfico de uma 
função ..................................................................................................................... 171 
 
AULA 11 - ANTEDERIVAÇÃO 
 
 
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11 INTRODUÇÃO – ANTIDERIVAÇÃO .......................................................................... 185 
11.1 Tabelas de integração.................................................................................. 186 
11.2 Propriedades ................................................................................................. 189 
 
AULA 12 - INTEGRAÇÃO I 
12 INTRODUÇÃO – INTEGRAÇÃO I.............................................................................. 198 
12.1 Exercícios De Integrais Diretas Da Tabela ................................................... 198 
12.2 Equações Diferenciais: Uma Visão Muito Simples ...................................... 202 
 
AULA 13 - INTEGRAÇÃO II 
13 INTRODUÇÃO – INTEGRAÇÃO II............................................................................. 209 
13.1 Integração Por Substituição ......................................................................... 209 
13.1.1 Mudança De Variável Em Expressões De Primeiro Grau .............. 210 
13.1.2 Mudança De Variável Da Expressão De Maior Expoente ............ 213 
13.1.3 Outros Casos ........................................................................................ 215 
 
AULA 14 - INTEGRAIS DEFINIDAS 
14 INTRODUÇÃO – INTEGRAL DEFINIDA ...................................................................... 224 
14.1 Partição de um intervalo .............................................................................. 224 
14.2 Soma De Riemann ......................................................................................... 225 
14.3 Integral De Riemann: Definições E Propriedades ....................................... 227 
14.4 Exercícios De Integrais Definidas ................................................................. 228 
 
AULA 15 - INTEGRAÇÃO: NOÇÕES DAS APLICAÇÕES 
15 INTRODUÇÃO – INTEGRAÇÃO: NOÇÕES DAS APLICAÇÕES ................................ 236 
15.1 Cálculo De Áreas Planas Através Da Integral ............................................ 236 
 
AULA 16 - INTEGRAÇÃO: NOÇÕES DAS APLICAÇÕES 
16 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 247 
16.1 Aplicações da derivada .............................................................................. 247 
 
 
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16.1.1 Taxa de variação instantânea ......................................................... 247 
16.1.2 Taxas Relacionadas ............................................................................ 248 
16.1.3 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas .............................. 249 
16.1.4 Velocidade instantânea e aceleração .......................................... 253 
16.1.5 Teste da primeira derivada e segunda derivada .......................... 254 
16.2 Integração ..................................................................................................... 257 
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Funções 
Aula 1 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Falar em Cálculo, antes de qualquer coisa, é tratar de funções. 
O Cálculo está intimamente ligado à representação de funções, pois falamos 
de limites de funções, derivada de funções, integral de funções etc. 
Função é uma relação entre dois conjuntos, de tal forma que cada elemento 
do conjunto de partida (domínio) esteja associado a um elemento do conjunto de 
chegada (contradomínio). Vocêjá viu os conceitos de função e até aplicações na 
disciplina Cálculo 0. 
O que iremos fazer aqui, nesta aula, é revisar parte do conteúdo e apresentar 
algumas aplicações diferentes. 
Mãos à obra! 
 
OBJETIVOS DA AULA 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Identificar e conceituar funções; 
 Apresentar as funções compostas e definidas por partes; 
 Representar graficamente algumas funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, 
naturalmente, imperfeita na sua base”. Augusto Conte 
1 INTRODUÇÃO – FUNÇÕES 
As funções são definidas por certas relações. Assim, elas descrevem relações 
matemáticas entre dois elementos. 
De forma intuitiva, podemos dizer que função é uma forma de associação de 
valores de x (variável independente) a um único valor da de y (= f(x), variável 
dependente). 
Função, conforme visto no Caderno de Cálculo 0, é um conceito que pode ser 
definido, formalmente, da seguinte maneira: 
Sejam A e B dois conjuntos e a → b, uma regra de associação de cada 
elemento a do conjunto A em um único b de B. 
O conjunto A é denominado domínio de f (Df), e o conjunto B é o 
contradomínio de f. Usualmente, indicamos uma função f de domínio em A e 
contradomínio em B por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 (leia f de A em B). 
 
Nas nossas disciplinas de Cálculo, iremos trabalhar 
apenas com funções reais, ou seja, tanto o conjunto 
domínio A como o contradomínio B são subconjuntos de 
ℝ. Nesse caderno, vamos trabalhar com função de uma 
variável real a valores reais, 
 
Exemplo: Seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥, a sua representação cartesiana está 
apresentada na Fig. 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estudo do Domínio de Uma Função Real 
 
Figura 1: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙. 
 
 
 
 
 
Estudar o domínio é fazer uma análise da função, determinando para que 
valores de x a função retorna um valor real, ou seja, para quais valores de x a 
função existe. 
Vejamos alguns exemplos: 
a) 𝑦 = 3𝑥 + 1,𝐷𝑓 = ℝ 
(Em qualquer valor que se substitua em x, encontra-se um valor real para y). 
 
b) 𝑦 =
1
𝑥2−6𝑥+5
 
𝑥² − 6𝑥 + 5 ≠ 0 → 𝑥’ ≠ 1 𝑒𝑥’’ ≠ 5 
𝐷𝑓 = ℝ− {1, 5} 
 
c) 𝑦 =
1
𝑥
, 𝐷𝑓 = ℝ
∗ 
Denominador ≠ 0 → 𝑥 ≠ 0. 
 
d) 𝑦 = √𝑥 − 1 → 𝑥 – 1 ≥ 0 
𝑥 ≥ 1 
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𝐷𝑓 = {𝑥 𝜖 ℝ / x ≥ 1} 
 
e) 𝑦 = √7 − 𝑥 + 
1
√𝑥−3
 
7 – 𝑥 ≥ 0 → − 𝑥 ≥ − 7 → 𝑥 ≤ 7 
𝑥 – 3 > 0 → 𝑥 > 3 
𝐷𝑓 = {𝑥 𝜖 ℝ / 3 < 𝑥 ≤ 7} 𝑜𝑢 𝐷𝑓 = ] 3, 7 ] 
 
f) y = 
√𝑥
√𝑥−1
3 
𝑥 ≥ 0 
𝑥 – 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 1 
𝐷𝑓 = {𝑥 𝜖 ℝ / x ≥ 0 e x ≠ 1} 
 
Gráfico de Função: 
Representar graficamente uma função, antes de qualquer coisa, é representar 
pontos no plano cartesiano, de forma a demonstrar a relação entre valores 
arbitrados para a variável independente x, e os respectivos valores calculados para 
a variável dependente y (=f(x)). 
Figura 2: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑. 
Exemplo: 
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ 
𝐷𝑓 = ℝeIm𝑓 = ℝ 
 
 
 
 
 
2) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥
 
𝐷𝑓 = ℝ
∗eIm𝑓 = ℝ
∗ 
 
 
 
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Figura 3: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
 
 
 
 
 
 
3) Construa o gráfico e determine o conjunto imagem e o conjunto domínio. 
a) 𝑓(𝑥) = 
−1
𝑥
 → x ≠ 0Df = ℝ* eImf = ℝ* 
𝑓(1) = 
−1
1
 = −1e𝑓(−1) = 
−1
−1
 = 1 (Função Ímpar) 
 
Figura 4: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) = −
𝟏
𝒙
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥−1
 → 𝑥 – 1 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 1 
𝑓(2) = 
1
2−1
 = 1e𝑓(−2) = 
1
−2−1
 = 
−1
 3
 (sem paridade) 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≠ 1} 
 
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Figura 5: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) = 
𝟏
𝒙−𝟏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Função Definida por Partes 
Uma função definida por partes, 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função que é definida, 
simbolicamente, utilizando duas ou mais equações. Ou seja, a fórmula para f varia 
de acordo com o valor de x. 
Veja alguns exemplos: 
Figura 6: Representação gráfica da função 𝒇(𝒙) = |𝒙| 
a) 𝑓(𝑥) = |𝑥|, {
x, se x ≥ 0
− x, se x < 0
 
 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = {
x + 1, x > 2
x, – 2 ≤ x ≤ 2
x – 1, x < − 1
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 7: Representação gráfica da função exemplo b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para saber um pouco mais, consulte: 
<http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/funcao-porpartes.html>. 
<http://abel.mat.ufpb.br/~sergio/curso/funcoes_def.html>. 
 
 
1.2 Função Composta 
Sejam A, B e C, conjuntos que definem funções. A Função composta pode 
ser entendida como a determinação de uma terceira função C, formada pela junção 
das funções A e B. 
Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a 
formação da função composta de g com f, h: A → C. 
Dizemos, então, que a função g composta com a função f, é representada por 
gof ou g(f(x)). 
Exemplos: 
1) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² e 𝑔(𝑥) = √𝑥, então, podemos definir uma função ℎ(𝑥) =
 𝑔(𝑓(𝑥)). 
COMPLEMENTAR 
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Então: 
ℎ(𝑥) = √𝑓(𝑥) 
ℎ(𝑥) = √𝑥2 
ℎ(𝑥) = 𝑥 
 
2) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 2𝑥 – 1, calcule: 
𝒂) 𝑓(𝑔(𝑥)) 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(2𝑥 − 1) 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 – 1 + 1 
𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑥 
 
𝒃) 𝑔(𝑓(𝑥)) 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 – 1 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥 + 1) 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 2. (𝑥 + 1) − 1 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 2𝑥 + 2 − 1 
𝑔(𝑓(𝑥)) = 2𝑥 + 1 
 
3) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥e𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝜋, qual o valor de 𝑓(𝑔(𝑥)) ? 
𝑓𝑜𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑆𝑒𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋) 
𝑆𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝜋 + 𝑆𝑒𝑛 𝜋 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥 
 
Sendo, 
𝑆𝑒𝑛 𝜋 = 0 e 𝐶𝑜𝑠 𝜋 = −1 
𝐹𝑜𝑔 = − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑒 𝐼𝑚𝑓 = [−1, 1] 
 
4) Seja a função h(x) = fog (x). Se f(x) = Sen x e g(x) = 𝑥 −
π
2
, encontre o 
domínio, a imagem, a paridade e esboce o gráfico da função. 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥 − 
𝜋
2
) 
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ℎ(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 
𝜋
2
 − 𝑆𝑒𝑛 
𝜋
2
 . 𝐶𝑜𝑠 𝑥 
Sendo, 
𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
= 1 e 𝐶𝑜𝑠
𝜋
2
= 0 
ℎ(𝑥) = − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑒 𝐼𝑚𝑓 = [−1, 1] 
 
5) Seja a função h(x) = fog(x). Se f(x) = Cos x e g(x) = x + π, determine o 
domínio, a imagem e esboce o gráfico da função. 
Solução: 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝐶𝑜𝑠 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑥 + 𝜋) 
ℎ(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 . 𝐶𝑜𝑠 𝜋 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 . 𝑆𝑒𝑛 𝜋 
 
Sendo, 
𝑆𝑒𝑛 𝜋 = 0 e 𝐶𝑜𝑠 𝜋 = −1 
 
ℎ(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 
𝐷𝑓 = ℝ 𝑒 𝐼𝑚𝑓 = [−1, 1] 
 
 
 
 
 
 
Para saber mais sobre funções, revise o seu caderno de Cálculo 0 e acesse: 
<http://ecalculo.if.usp.br/>. 
Para os próximos tópicos, use sempre como referência o livro do Guidorizzi e acesse: 
<http://www.dma.uem.br/kit/>. 
 
 
 
COMPLEMENTAR 
 
 
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Resumo 
 
 
Nesta aula, você viu que: 
 
 Função é uma relação entre dois conjuntos; 
 Função definida por partes é uma função em que cada parte dodomínio pode estar associada a funções diferentes; 
 Função composta é definida como uma terceira função que relaciona 
outras duas funções reais; 
 Função é a base para o cálculo diferencial e integral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
Funções - Cálculo Diferencial e Integral. IME, USP-SP. Disponível em: 
<http://ecalculo.if.usp.br/>. Acesso em: 10 maio. 2012. 
 
GUIDORIZZI, L. H. Um Curso de Cálculo. Vol.1. 5. ed. São Paulo: LTC, 
2008. 
 
PRENHALL. Disponível em: 
<http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom2/
b_visch_0p.html>. Acesso em: 10 maio. 2012. 
 
THOMAS, G. B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2002. 
 
 
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
1) Estudar o domínio e a imagem da função 𝑦 =
√𝑥−1
𝑥2−6𝑥+5
. 
 
2) Construa o gráfico e determine o conjunto imagem e o 
conjunto domínio da função 𝑓(𝑥) = 
1
𝑥+1
 
 
3) O domínio da função 𝑦 =
√7−𝑥
√𝑥−3
 + é: 
a) {x ϵ ℝ/ 3 ≤ x ≤ 7} 
b) {x ϵ ℝ / −7 < x ≤ 3} 
c) {x ϵ ℝ / 3 < x ≤ 7} 
d) {x ϵ ℝ / x > 7 ou x < 3} 
e) {x ϵ ℝ / x ≥ 7 e x < 3} 
 
4) Seja 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 – 1, 𝑓(𝑔(𝑥)) é igual a: 
a) x − 2 
b) 2 − x 
c) x 
d) −x 
e) 1 + 2x 
 
5) Seja 𝑓(𝑥) = √−𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 – 5. O domínio da função composta 
𝑓(𝑔(𝑥)) é: 
a) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 6} 
b) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ −6} 
c) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 < 6} 
d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≥ −6} 
e) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 1} 
 
6) Seja 𝑓(𝑥) = √
1
𝑥2−5𝑥+4
. O domínio da função é: 
a) 𝐷𝑓 = ]0 , 6[ 
26 
 
 
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b) 𝐷𝑓 = [1 , 4] 
c) 𝐷𝑓 = ℝ − {1 e 4} 
d) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 1 < 𝑥 < 4} 
e) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 1 ou 𝑥 > 4} 
 
7) Seja a função h(x) = fog(x). Se f(x) = Sen x e g(x) = x +2π, então, h(x) é 
igual a: 
a) Sen x + Cos x 
b) 𝐶𝑜𝑠 x 
c) − Cos x 
d) − 𝑆𝑒𝑛 x 
 
8) 𝑆𝑒𝑛 xSejam f e g funções reais tais que f[g(x)] = – 10x – 13 e g(x) = 2x + 3. 
Determine qual é a lei que define f(x). 
a) 5x − 13 
b) 10 x + 3 
c) −x + 10 
d) − 5x + 2 
e) x − 16 
 
 
 
 
 
 
 
Faça os exercícios das páginas 39 a 43 do Livro do Guidorizzi. 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 
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Introdução ao limite 
Aula 2 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula, vamos tratar, em caráter introdutório, sobre alguns dos conceitos 
mais delicados do cálculo: os conceitos de continuidade e de limite. 
É importante apreender bem esses conceitos, pois o entendimento garantirá 
sucesso nos tópicos seguintes. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Entender o conceito de Limite; 
 Entender o conceito de Continuidade; 
 Resolver problemas, envolvendo limites de funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
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Para saber mais sobre 
Newton e Leibiniz, não deixe 
de acessar: 
<http://www.leibnizbrasil.pro.br>. 
<http://www.ghtc.usp.br/Biografias/
Newton/Newton3.htm>. 
 
O pensamento lógico pode levar você, de A a B, mas a imaginação te leva 
a qualquer parte do Universo”. Albert Einstein 
2 INTRODUÇÃO – LIMITE E CONTINUIDADE 
O Cálculo teve seu 
desenvolvimento grandemente 
impulsionado pela produção de 
Newton e Leibniz no século XVII. 
Eles, imbuídos do desejo de 
resolver problemas físicos (encontrar a reta tangente a 
uma curva num dado ponto da curva) e também por problemas geométricos 
(encontrar a área da região plana limitada por uma curva arbitrária) etc., atuaram 
como catalisadores do desenvolvimento da Matemática, transformando o Cálculo 
numa ferramenta indispensável para a solução de problemas práticos do nosso 
cotidiano. De forma inicial, vamos apresentar os conceitos intuitivos de Continuidade 
e de Limite, basilares a construção de outros conhecimentos em Cálculo. 
2.1 Noção Intuitiva de Continuidade 
Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma 
função cujo gráfico não apresenta “salto” em p. 
Analise os gráficos das funções f e g na Fig. 8. 
Figura 8: Noção Intuitiva de Limite. 
 
(a) (b) 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
O gráfico de f (Fig. 8a) não apresenta “salto” em p, ou seja, f é contínua em p. 
 
29 
 
 
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Observe que - à medida que x se aproxima de p, quer pela direita, ou pela 
esquerda - os valores f(x) se aproximam de f(p); ou seja, quanto mais próximo x 
estiver de p, mais próximo estará f(x) de f(p). 
Já com a função g(x), o mesmo não acontece (ver Fig. 8b). Exatamente em p, 
o gráfico de g apresenta um “salto”. Assim sendo, g não é contínua em p. 
Exemplo: 
1) Consideremos as funções f e g dadas por:






12
11
)()(
xse
xse
xgexxf
 
Representação gráfica (Fig. 9): 
Figura 9: Representação Gráfica das funções f e g do exemplo 1. 
 
(a) (b) 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
Conforme podemos observar da Fig. 9, vemos, intuitivamente, que f é 
contínua em todo p de seu domínio. Por sua vez, g sofre uma descontinuidade em p 
= 1, mas é contínua em todo p 

1, ou seja, f é contínua para qualquer valor de x, e 
g é contínua para todo x 

1. 
2.2 Noção Intuitiva de Limite 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1. 
Esta função está definida para todo x ∈ ℜ, isto é, qualquer que seja o número 
real c, o valor f (c) está bem definido. 
Exemplo 1: Se x = 2 então f (2) = 2 2 − 1 = 3. 
Dizemos que a imagem de x = 2 é o valor f (2) = 3. 
Podemos representar esta função graficamente conforme a Fig. 10. 
Podemos representar esta função graficamente conforme a Fig. 10. 
30 
 
 
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Figura 10: Representação das funções f. 
 
 
 
 
 
Fonte: SERAFIM (2006) 
Considere agora outra função 𝑔(𝑥) = 
𝑥2−1
𝑥−1
 (Exemplo 2). Esta função está 
definida ∀𝑥 ∈ 𝑅 − {1}. Isto significa que não podemos aparentemente estabelecer 
um resultado para x quando este for 1. 
𝑔(1) =
12 − 1
1 − 1
=
0
0
 → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 
 
 
 
 
 
 
Este resultado simboliza uma indeterminação matemática. Outros tipos de 
indeterminações matemáticas serão tratados mais adiante. 
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o 
comportamento desta função quando x estiver muito próximo de 1, ou seja, 
queremos responder a seguinte questão. 
Qual o comportamento gráfico da função g quando x assume valores muito 
próximos de 1, porém diferentes de 1? 
“A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função 
numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No 
caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina uma única imagem, sem 
problema algum. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a 
indeterminação” (Serafim, 2006). Para estudar os valores da função g (Exemplo 2) 
quando x assume valores próximos a 1, mas diferente de 1, utilizaremos as tabelas 
de aproximações. 
 
FALA DO PROFESSOR 
31 
 
 
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2.3 Tabelas de aproximações 
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem 
de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado 
ponto. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores do que 1: (Tabela1) 
Tabela 1: Tabela de aproximações. 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 
 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores do que 1: 
 
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 
 
Observemos que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, 
bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, 
dizemos: 
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”. 
Simbolicamente escrevemos: 
lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = 2 𝑜𝑢 lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= 2. 
 
 
 
 
 
Os dois tipos de aproximações que vemos nas tabelas A e B são chamados de limites 
laterais. Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende 
a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que: 
lim
𝑥→1−
𝑔(𝑥) = 2 
Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela A), dizemos que x tende a 1 pela 
direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+. Temos então que: 
lim
𝑥→1+
𝑔(𝑥) = 2 
ATENÇÃO! 
32 
 
 
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2.3.1 Definição intuitiva de limites para caso geral 
Só existirá o limite em casos gerais se o limite lateral pela 
direita for igual ao limite lateral pela esquerda, caso contrário, não 
existirá limite. 
Resumindo: 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝐿 ; 𝑠𝑒: lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
Caso contrário: 
 lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→𝑝+
𝑓(𝑥) → lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = ∄ 
 
 
 
 
Pergunta: Será necessário sempre construir tabelas de aproximações para 
determinar o limite de uma função, caso ele exista? Resposta: Não! Há uma forma 
bem mais simples, como veremos a seguir. 
2.3.2 Cálculo de limites de funções simples 
Para resolvermos um limite de uma função simples, ou seja, sem apresentar 
indeterminação matemática, podemos resolver o limite da mesma forma que 
encontramos a imagem de uma função, basta substituirmos o valor que está 
tendendo na função indicada, conforme exemplo. 
Exemplo: Usando a intuição de limite, determinar os limites das funções 
apresentadas abaixo: 
(a) lim
x → 0
(𝑥 + 1) 
 
Substituindo x por p (=0), temos: 
lim
x → 0
(𝑥 + 1) = 0 + 1 = 1 
 
Assim, tempos que - quando x tende a zero (0) - a função tende a um (1). 
33 
 
 
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Figura 11: Representação da função do exemplo a. 
 
 
(b) lim
x → 1
𝑥²−1
𝑥−1
 
- Substituindo x por p (=1), temos: 
lim
x → 1
𝑥² − 1
𝑥 − 1
=
12 − 1
1 − 1
=
0
0
 
 
0
0
 É um Símbolo de Indeterminação; portanto, a função no ponto p não existe 
(∄ 𝑓(1)). 
Para podermos calcular o limite da função f(x), quando x tende a 1, temos que 
“trabalhar” a função. Ou seja, devemos fatorar numerador e/ou denominador ou 
aplicar propriedades, de forma a simplificar a função e, aí sim, substituir o valor de x 
por p. 
Seja o exemplo anterior: 
Sendo 𝑥² − 1 = (𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 1): 
lim
x → 1
𝑥² − 1
𝑥 − 1
= lim
x → 1
(𝑥 + 1). (𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)
= lim
x → 1
(𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 
 
Portanto: 
lim
x → 1
𝑥² − 1
𝑥 − 1
= 𝐿 = 2 
 
 
 
 
34 
 
 
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Figura 12: Representação da função do exemplo b. 
 
 
Ou seja, embora ∄𝑓(1), a função tende ao valor 2. 
 
(c) lim
x → −1
𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 
- Substituindo x por p (= -1), temos: 
 lim
x → −1
𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 = (−1)2 − 3 . (−1)2 + 2 . (−1) = −6 
lim
x → 1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
√1 − 1
1 − 1
=
0
0
 
 
 
 
 
 
Para saber um pouco mais sempre, use como referência o livro do Guidorizzi e acesse: 
<http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/calculo_lim/calculo_lim.htm>. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO! 
 
 
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Resumo 
 
 
Nesta aula, você viu que: 
 
 Limite é um valor que uma função f tende a ter num ponto p, mesmo 
se ∄ 𝒇(𝒑). Ou seja, o limite visa o estudo da função pegando valores 
de x próximos do ponto a ser analisada, essa aproximação pode ser 
feita tanto pelo lado esquerdo (valores menores que o ponto xo), 
quanto pelo lado direito (valores maiores do que o ponto xo); 
 Só existirão limites no caso geral se o limite lateral pela direita for 
igual ao limite lateral pela esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
GUIDORIZZI, L. H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 
2008. 
 
SERAFIM, A. F. Apostila de limites e derivadas. Notas de aula. Faculdade 
de Ciências e Tecnologia, 2006. 
 
THOMAS, G. B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. 12. ed. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
Exercícios 
 
 
1) Calcule os limites. 
𝒂) lim
𝑥→1
(4𝑥2 − 7𝑥 + 5) 
b) lim
𝑥→3
𝑥2+2𝑥−3
5−3𝑥
 
c) lim
𝑥→2
(
3𝑥2−2𝑥−5
−𝑥2+3𝑥+4
)
3
 
𝒅) lim
𝑥→−1
√
2𝑥2+3𝑥−3
5𝑥−4
 
e) lim
𝑥→−2
√
3𝑥3−5𝑥2−𝑥+3
4𝑥+3
3
 
f) lim
𝑥→2
√2𝑥2+3𝑥+2
6−4𝑥
 
 
Resp.: a) 2 b) 0 c) 1/8 d) 2/3 e) √
39
5
3
 f) -2 
 
2) O lim 
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥+2
 é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) ∄. 
d) 1. 
e) 4. 
Resp.: letra a 
 
3) Calculando-se o lim 
𝑥→1
5𝑥2+5𝑥+10
𝑥2−3𝑥+3
··, obtém-se; 
a) -15. 
b) 14. 
c) 0. 
d) -10. 
e) 20. 
38 
 
 
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Resp.: letra e 
 
4) Calcule a expressão “2a + 1” considerando “a” o seguinte limite: 
lim 
𝑥→2
𝑒(𝑥
3−3) 
 
 
 
 
 
 
 
Refaça os exercícios das vídeo-aulas e das atividades complementares 
enviadas pelo professor da disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 
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Limite 
Aula 3 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
A aula 3 trata do uso do limite no cálculo diferencial e integral. Iremos abordar 
a definição de Limite e os conceitos de Limite Lateral, Limite de Funções Compostas 
etc. Sendo o conceito de limite uma definição intuitiva, ao tratarmos do Limite de 
uma Função, falamos de um determinado valor que f(x) tende a ter num ponto p 
qualquer, mesmo se a função não existir naquele ponto. Na verdade, o que se tem 
é que a incógnita "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, essa 
incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que 
não se consiga diferenciar o número da incógnita. 
Mãos à obra! 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Estender o conceito de Limite; 
 Apresentar e desenvolver exemplos de Limites Laterais; 
 Falar sobre Limite de Funções Compostas, Trigonométricas; 
 Limite Fundamental Trigonométrico; 
 Apresentar o teorema do confronto; 
 Resolver problemas envolvendo limites de funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
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“O indivíduo mais limitado pode ser completo, se se move dentro das 
fronteiras das suas capacidades e das suas disposições pessoais”. Goethe 
3 INTRODUÇÃO – LIMITE 
Como visto na aula anterior, limite é um conceito que é definido de forma 
intuitiva. De forma bem simplificada, sem nenhuma pretensão de definição 
matemática, Limite de uma função f(x) numponto p qualquer é o valor que a função 
tende a ter naquele ponto, mesmo se a função não existir nesse ponto, ou seja, se o 
domínio de f(x) não contém o ponto p. 
 Se ∃ f(p), então lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝). 
 
Por exemplo: Calcule lim
𝑥→2
2𝑥 − 3 e represente a função graficamente. 
 
Resolução: 
lim
𝑥→2
2𝑥 − 3 = 2 ∙ 2 − 3 = 𝟏, ou seja, é igual a 𝑓(2) 
 
Representação gráfica na Figura 13: 
Figura 13: Representação Gráfica da função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑. 
 
 
 Se ∄ f(p), mas ∃ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥), então lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝐿. 
41 
 
 
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Por exemplo: Calcule lim
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
 e represente a função graficamente. 
lim
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
=
22−5∙2+6
2−2
=
4−10+6
2−2
=
𝟎
𝟎
, como ∄ 𝑓(𝑥), então: 
lim
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−2
=
(𝑥−2)∙(𝑥−3)
(𝑥−2)
= (𝑥 − 3) = 2 − 3 = −𝟏, ou seja, é igual a 𝑓(2) 
 
Representação gráfica na Figura 14: 
Figura 14: Representação Gráfica da Função 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟔
𝒙−𝟐
. 
 
 
Esta última resolução só é possível aplicando técnicas de simplificação que 
serão apresentadas abaixo. 
 
 
 
 
42 
 
 
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3.1 Indeterminação 0/0 
Resolvendo um limite e encontrando a expressão 0/0, devemos simplificar a 
expressão da função envolvida. Logo após, calculamos o limite da função 
substituindo, na expressão já simplificada, o valor de x. 
Para simplificar a expressão você pode usar: fatoração, produtos notáveis, 
conjugado de radical (racionalização), divisão de polinômios, dispositivo prático de 
Briot-Ruffini, além de outras técnicas como a Regra de L`Hopital que será 
apresentada no conteúdo de aplicações da derivada (matéria para V2). 
3.2 Resolução de indeterminação 0/0 por fatoração, produtos notáveis e 
conjugados de radicais 
São apresentadas abaixo algumas fórmulas para auxiliar as simplificações 
nos cálculos de limites. 
 Produtos Notáveis 
1º) Quadrado da soma: (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
2º) Quadrado da diferença: (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² 
3º) Produto da soma: (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏² 
4º) Cubo da Soma: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎³ + 3𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏² + 𝑏³ 
5º) Cubo da diferença: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎³ − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏³ 
 
 Fatorações 
6°) Fator comum: 𝑎𝑥 ± 𝑏𝑥 = 𝑥. (𝑎 ± 𝑏) 
7°) Diferença de quadrados: 𝑎² − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 
8°) Trinômio de quadrados: 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2), onde x1 e x2 
são raízes de uma equação do 2º grau por Bháskara. 
9°) Soma de cubos: 𝑎³ + 𝑏³ = (𝑎 + 𝑏). (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
10°) Diferença de cubos: 𝑎³ − 𝑏³ = (𝑎 − 𝑏). (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 Conjugado de Radicais 
11°) Conjugado de √𝑎 − √𝑏 será √𝑎 + √𝑏, pois (√𝑎 − √𝑏). (√𝑎 + √𝑏) = 𝑎 − 𝑏 
43 
 
 
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12°) Conjugado de √𝑎
3
− √𝑏
3
 será √𝑎²
3
+ √𝑎𝑏
3
+ √𝑏²
3
, pois (√𝑎
3
− √𝑏
3
). (√𝑎2
3
+
 √𝑎𝑏
3
+ √𝑏2
3
) = 𝑎 − 𝑏 
 
 
 
 
 
 
1) Calcule os limites abaixo: 
a) lim
x → 2
𝑥²−4
3𝑥−6
 
- Substituindo x por p (=2), temos: 
lim
x → 2
𝑥² − 4
3𝑥 − 6
=
22 − 4
6 − 6
=
0
0
 
 
0
0
 é um Símbolo de Indeterminação; portanto, a função no ponto p não existe 
(∄ 𝑓(2)). 
Para podermos calcular o limite da função f(x), quando x tende a 2, temos 
que “trabalhar” a função. Ou seja, devemos fatorar numerador e/ou denominador ou 
aplicar propriedades, de forma a simplificar a função e, aí sim, substituir o valor de x 
por p. 
Seja o exemplo anterior: 
Sendo 𝑥² − 4 = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2) e 
 3𝑥 − 6 = 3. (𝑥 − 2) 
lim
x → 2
𝑥² − 4
3𝑥 − 6
= lim
x → 2
(𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
3. (𝑥 − 2)
= lim
x → 2
(𝑥 + 2)
3
=
2 + 2
3
= 4/3 
 
Portanto: 
lim
x → 2
𝑥² − 4
3𝑥 − 6
= 4/3 
 
b) lim
x → −2
4−𝑥²
2+ 𝑥
 
- Substituindo x por p (= -2), temos: 
EXERCÍCIOS 
44 
 
 
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lim
x → −2
4 − 𝑥²
2 + 𝑥
=
4 − 4
2 − 2
=
0
0
 
 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 
lim
x → −2
4 − 𝑥²
2 + 𝑥
= lim
x → −2
(2 + 𝑥). (2 − 𝑥)
2 + 𝑥
= lim
x →− 2
(2 − 𝑥)
1
= 2 − (−2) = 4 
 
Portanto: 
lim
x → −2
4 − 𝑥²
2 + 𝑥
= 4 
c) lim
x → 2
𝑥³−8
𝑥²−4
 
- Substituindo x por p (= 2), temos: 
lim
x → 2
𝑥³ − 8
𝑥² − 4
=
8 − 8
4 − 4
=
0
0
 
 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 
lim
x → 2
𝑥³ − 8
𝑥² − 4
= lim
x → 2
(𝑥 − 2). (𝑥2 + 2𝑥 + 2²)
(𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
= lim
x →2
(𝑥² + 2𝑥 + 4)
𝑥 + 2
=
4 + 4 + 4
2 + 2
= 3 
 
Portanto: 
lim
x → 2
𝑥³ − 8
𝑥² − 4
= 3 
d) lim
x → 1
𝑥³−1
5𝑥−5
 
- Substituindo x por p (= 1), temos: 
lim
x → 1
𝑥³ − 1
5𝑥 − 5
=
1 − 1
5 − 5
=
0
0
 
 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 
lim
x → 1
𝑥³ − 1
5𝑥 − 5
= lim
x → 1
(𝑥 − 1). (𝑥2 + 𝑥 + 1²)
5. (𝑥 − 1)
= lim
x →1
(𝑥² + 𝑥 + 1)
5
=
1 + 1 + 1
5
=
3
5
 
 
Portanto: 
lim
x → 1
𝑥³ − 1
5𝑥 − 5
=
3
5
 
45 
 
 
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e) lim
x → 2
𝑥4−16
8−𝑥³
 
- Substituindo x por p (= 2), temos: 
lim
x → 2
𝑥4 − 16
8 − 𝑥³
=
0
0
 
 
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 
lim
x → 2
𝑥4 − 16
8 − 𝑥³
= lim
x → 2
(𝑥2 + 4). (𝑥2 − 4)
(2 − 𝑥). (4 + 2𝑥 + 𝑥2)
= lim
x → 2
(𝑥2 + 4). (𝑥 + 2). (𝑥 − 2)
−(𝑥 − 2). (4 + 2𝑥 + 𝑥2)
 
= lim
x → 2
(𝑥2 + 4). (𝑥 + 2)
−(4 + 2𝑥 + 𝑥2)
=
(4 + 4). (2 + 2)
−(4 + 4 + 4)
=
32
−12
=
8
3
 
Portanto: 
lim
x → 2
𝑥4 − 16
8 − 𝑥³
=
8
3
 
 
f) lim
x → 1
√𝑥−1
𝑥−1
 
- Substituindo x por p (=1), temos: 
lim
x → 1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
√1 − 1
1 − 1
=
0
0
 
 
Sendo 𝑥 − 1 = (√𝑥 − 1). (√𝑥 + 1): 
lim
x → 1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
=
√𝑥 − 1
(√𝑥 − 1) ∙ (√𝑥 + 1)
=
1
√𝑥 + 1
= 
1
2
 
 
Portanto: 
lim
x → 1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1
= 𝐿 =
1
2
 
 
g) lim
x → 1
𝒙𝟒− 𝟏
𝒙𝟓− 𝟏
 
Substituindo x por p(=-1) 
lim
x → 1
𝑥4 − 1
𝑥5 − 1
=
(x – 1). (x³ + x² + x + 1)
(𝑥 − 1). (𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1)
=
4
5
 
 
Portanto: 
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lim
x → 1
𝑥4 − 1
𝑥5 − 1
= L =
4
5
 
 
Obs.: Sejam n e m números naturais, podemos dizer que 𝐥𝐢𝐦
𝐱 → 𝟏
𝒙𝒏− 𝟏
𝒙𝒎− 𝟏
=
𝐧
𝒎
 
 
h) lim
x → 1
𝟐𝒙³+𝟑𝒙−𝟓
𝟒𝒙²−𝟑𝒙−𝟏
 
Substituindo x por p(=1) 
lim
x → 1
𝟐𝒙³ + 𝟑𝒙 − 𝟓
𝟒𝒙² − 𝟑𝒙 − 𝟏
=
0
0
 
 
Neste exemplo, iremos resolver o limite utilizando o dispositivo prático para 
dividir polinômios de Briot-Ruffini. Precisaremos antes entender: 
Teorema de D`Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por (x-𝑎), onde 𝑎 ∈ 𝑅, 
se, e somente se, a for uma raiz de f(x), isto é, f(a)=0. 
 
 ≫ 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥). 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑓(𝑎) = 0 ↔ 𝑟(𝑎) =
0. 
 
Como o ponto x=1 anula os polinômios do numeraor e denominador, então 
ambos são divisíveis por x-1. Assim, 
lim
𝑥→1
2𝑥3 + 3𝑥 − 5
4𝑥2 − 3𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1). (2𝑥2 + 2𝑥 − 5)
(𝑥 − 1). (4𝑥2 − 3𝑥 − 1)
= (∗) = lim
𝑥→1
(2𝑥2 + 2𝑥 − 5)
(4𝑥2 − 3𝑥 − 1)
=
(2. 12 + 2.1 − 5)
(4. 12 − 3.1 − 1)
=
9
5
 
 
(*) Usando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir estes polinômios: 
 
 
 
 
 
 
 
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Faça uma revisão deste dispositivo e da divisão de polinômios em um livro de matemática do ensino 
médio, ou, assista às vídeo-aulascom aplicações deste e de outros métodos para a resolução de 
limites com indeterminação 0/0. 
<http://www.youtube.com/watch?v=8c0fA9N2ZRA>. 
<http://www.youtube.com/watch?v=41fHe1ORMZM>. 
<http://www.youtube.com/watch?v=OMH8AZgZIr4>. 
<https://www.youtube.com/watch?v=iYJunIa0d4s>. 
3.3 Propriedades dos Limites 
1) Função Constante: 
Então: 
 
Exemplo: lim
𝑥→2
6 = 6 
 
2) Função da função polinomial: 𝑓(𝑥) = 𝑝(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓, Então: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒂) 
Exemplo: lim
𝑥→2
[2𝑥4] = 2 ∙ 24 = 25 = 32 
 
3) Soma e Diferença de Funções: 
Sejam as funções 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔, 
Se lim
𝑥→𝑎
 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) e lim
𝑥→𝑎
 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎) 
Então: 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) ± 𝑔(𝑎) 
O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos 
limites. 
Exemplo: lim
𝑥→2
[𝑥3 − 2𝑥] = lim
𝑥→2
[𝑥3] − lim
𝑥→2
[2𝑥] = 23 − 2 ∙ 2 = 8 − 4 = 4 
 
VÍDEOS COMPLEMENTARES 
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4) Produto de Funções: 
Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔, 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎) 
Então: 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) ∙ 𝑔(𝑎) 
O limite do produto é o produto dos limites. 
Exemplo: lim
𝑥→0
[𝑥2 ∙ 𝐶𝑜𝑠𝑥] = lim
𝑥→0
[𝑥2] ∙ lim
𝑥→0
[𝐶𝑜𝑠𝑥] = 02 ∙ 𝐶𝑜𝑠 0 = 0 ∙ 1 = 0 
 
5) Quociente de Funções: 
Sejam as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 e ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔, 
Se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎) 
Então: 
lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝑓(𝑎)
𝑔(𝑎)
, se 𝑔(𝑎) ≠ 0 
O limite do quociente é o quociente dos limites. 
Exemplo: lim
𝑥→1
[
𝑥3−2𝑥
𝑥−2
] =
lim
𝑥→1
[𝑥3−2𝑥]
lim
𝑥→1
[𝑥−2]
=
13−2∙1
1−2
=
−1
−1
= 1 
3.4 Limite Lateral 
Se “a” se aproxima de “x” através de valores maiores que “a” (Fig. 15), ou 
seja, pela direita, escrevemos: 
𝐿𝑖𝑚𝑥 → 𝑎+ 𝒇(𝒙) = 𝐿1 
 
L1 é o chamado limite lateral à direita de “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 15: Limite Lateral à direita. 
 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
Se “a” se aproxima de “x” pela esquerda (Fig. 16), ou seja, através de valores 
menores que “a”, escrevemos: 
𝐿𝑖𝑚𝑥 → 𝑎− 𝒇(𝒙) = 𝐿2 
 
L2 é o chamado limite lateral à esquerda de “a”. 
Figura 16: Limite Lateral à direita. 
 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
Para que exista o limite de uma função num determinado ponto, os limites 
laterais precisam ser iguais. 
∃ 𝐿𝑖𝑚𝑥 →𝑎 𝒇(𝒙) → 𝐿𝑖𝑚𝑥 → 𝑎+ 𝒇(𝒙) = 𝐿𝑖𝑚𝑥 → 𝑎− 𝒇(𝒙) 
 
Exemplo: 
1) Seja f(x) = 𝑥²+4𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≥1
6𝑥−1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 <1
 , verifique se existe o limite: 𝐿𝑖𝑚𝑥 → 1 𝒇(𝒙) 
50 
 
 
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Resolução: 
𝐿𝑖𝑚𝑥 →1+ 𝒇(𝒙) = 𝐿𝑖𝑚𝑥 →1 𝑿
𝟐 + 4𝑋 = 𝟏𝟐 + 4 ∙ 1 = 5
𝐿𝑖𝑚𝑥 →1− 𝒇(𝒙) = 𝐿𝑖𝑚𝑥 →1 𝟔𝑿 − 1 = 6 ∙ 1 − 1 = 5 
} ∃ 𝐿𝑖𝑚𝑥 → 1 𝒇(𝒙) 
 
2) Se f(x) = {
𝑥² + 3, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 > 1
5𝑥 − 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≤ 1
, verifique a existência do 𝑙𝑖𝑚x → 1 𝑓(𝑥). 
Resolução: 
𝐿𝑖𝑚𝑥 →1+ 𝒇(𝒙) = 𝐿𝑖𝑚𝑥 →1 𝑿
𝟐 + 3 = 𝟏𝟐 + 3 = 4
𝐿𝑖𝑚𝑥 →1− 𝒇(𝒙) = 𝐿𝑖𝑚𝑥 →1 𝟓𝑿 − 1 = 5 ∙ 1 − 1 = 4 
} ∃ 𝐿𝑖𝑚𝑥 → 1 𝒇(𝒙) 
 
Exercício de Fixação 
1) Se f(x) = {
𝑥 + 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≥ 2
2𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑥 < 2
𝑥², 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 < 0
 , calcule: 
𝒂)𝐿𝑖𝑚x → 2 + 𝑓(𝑥) c) 𝐿𝑖𝑚x → 2 𝑓(𝑥) e) 𝐿𝑖𝑚x → 0− 𝑓(𝑥) 
 
b) 𝐿𝑖𝑚x → 2 − 𝑓(𝑥) d) 𝐿𝑖𝑚x → 0 + 𝑓(𝑥) f) 𝐿𝑖𝑚x →0 𝑓(𝑥) 
 
2) Seja o gráfico da função g(x) definida na Fig. 17. Calcule: 
𝒂)𝐿𝑖𝑚x → 2 + 𝑔(𝑥) c) 𝐿𝑖𝑚x → 2 𝑔(𝑥) e) 𝐿𝑖𝑚x → 5− 𝑔(𝑥) 
c) 𝐿𝑖𝑚x → 2 − 𝑔(𝑥) d) 𝐿𝑖𝑚x → 5 + 𝑔(𝑥) f) 𝐿𝑖𝑚x →5 𝑔(𝑥) 
Figura 17: Função da função g(x) - Exercício de Fixação 2. 
 
 
51 
 
 
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3.5 Definição de Função Composta 
Sejam f e g funções de gráficos: 
Figura 18: Representação das funções f e g. 
 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
Observe a Fig. 18: As funções f e g se comportam de modo 
diferente em p; o gráfico de f não apresenta “salto” em p, ao passo que o 
de g, sim. Queremos destacar uma propriedade que nos permita 
distinguir tais comportamentos. 
Dizemos que uma função f é contínua num ponto p de seu domínio, se (e 
somente se) são satisfeitas as seguintes condições: 
(𝑖) ∃𝑓(𝑝) 
(𝑖𝑖) ∃ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) 
(𝑖𝑖𝑖)lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑝) 
 
4) Exemplo: Verifique se a função f é contínua ou não no ponto p dado. 
f(x) = {
𝑥²−𝑥
𝑥
,𝑠𝑒𝑥 ≠0
2, 𝑠𝑒𝑥=0
 , p = 0 
Resolução: 
(𝑖) ∃ 𝑓(0) = 2 → 𝑥 = 0 
(𝑖𝑖) ∃ lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 
𝑥² − 𝑥
𝑥
=
𝑥 ∙ (𝑥 − 1)
𝑥
 = 𝑥 − 1 = −1 
 
(𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(0) → A função não é contínua em 0! 
 
b) f(x) = {𝐶𝑜𝑠𝑥, 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑥>0
𝑥²+1, 𝑜𝑛𝑑𝑒𝑥 ≤0
, p = 0 
Resolução: 
52 
 
 
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(𝑖) ∃ 𝑓(0) = 02 + 1 = 1 
(𝑖𝑖) ∃ lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠 0 = 1 
(𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) → A função é contínua em 0! 
 
c) f(x) = {
𝑥²−4
𝑥−2
, 𝑠𝑒𝑥>2
2𝑥, 𝑠𝑒𝑥 ≤2
, p = 2 
Resolução: 
(𝑖) ∃ 𝑓(2) = 2 ∙ 2 = 4 
(𝑖𝑖) ∃ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) =
𝑥² − 4
𝑥 − 2
=
(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)
𝑥 − 2
 = 𝑥 + 2 = 4 
 
(𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) → A função é contínua em 0! 
3.6 Limite de Função Composta 
Sejam f e g duas funções tais que lmf  Dg (a imagem de f está contida no 
domínio de g), onde lmf é a imagem de f, ou seja, 
𝑙𝑚𝑓 = {𝑓(𝑥) | 𝑥  D𝑓} 
Nosso objetivo é estudar o limite. 
  xfgLim
px
 
Supondo que: 
axfLim
px


)(
 
Então, podemos esperar que: 
Lim 
𝑥→𝑝
𝑔(𝑓(𝑥)) = Lim 
𝑥→𝑝
𝑔(𝑢) (1) 
Esse valor será encontrado, desde que exista o 
 ugLim
au
 (observe: u = f(x); u 

a para x

p). 
Veremos que (1) se verifica se g for contínua em a, ou se g não estiver 
definida em a. 
Também vamos identificar que, se 𝑔 estiver definida em 𝑎, mas não for 
contínua em 𝑎 (
   
au
agug

lim
), a equação definida em (1) se verificará, desde 
que ocorra 𝑓(𝑥)

𝑎 para 𝑥 próximo de 𝑝. 
53 
 
 
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Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que 𝑔, ou é contínua em 
𝑎, ou não está definida em 𝑎. 
Quanto vale o lim
𝑥→𝑝
𝐹(𝑥) =? 
Faça a seguinte suposição: existem as funções 𝑔(𝑢) e 𝑢 = 𝑓(𝑥), onde 𝑔, ou é 
contínua em 𝑎, ou não está definida em 𝑎, tais que: 
𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑢) 
 
Onde: 
𝑢 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 
lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑢 → 𝑎 para 𝑥 → 𝑝) 
 
Se ∃ lim
𝑢→𝑎
𝑔(𝑢), então 
lim
𝑥→𝑝
𝐹(𝑥) = lim
𝑢→𝑎
𝑔(𝑢) 
Exemplos: 
5) Calcule 
1
3
1
12



x
x
x
Lim
 
Solução: 
Para resolução de tal limite, faz necessário o uso de um artifício para 
podermos solucionar essa questão. 
  
,
3
1
1²1
1
1³
1
1
12
.1,2,
1³
1
1
12
2³;2:
1
3
1
3
3
3
Assim
uuu
u
u
u
Lim
x
x
Lim
xxu
u
u
x
x
uxassimxuFaçamos
ux
















3
1
1
123
1



 x
x
Lim
x
 
 
6) Calcule Lim
𝑥→1
√
𝑥2−1
𝑥−1
. 
54 
 
 
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Solução: 
Fazemos 𝑢 =
𝑥2−1
𝑥−1
, 𝑥 > −1, 𝑥 ≠ 1 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2 
Como a √𝑢 é contínua em 2: 
Lim
𝑥→1
√
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= Lim
𝑢→2
√𝑢 = √2 
 
7) Calcule Lim
𝑥→1
(3−𝑥3)
4
𝑥3−1
. 
Solução: 
Fazemos 𝑢 = 3 − 𝑥3, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑥3 − 1 = 2 − 𝑢 
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 𝑥 + 1 = 1 + 1 = 2 
Como a √𝑢 é contínua em 2: 
Lim
𝑥→1
√
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= Lim
𝑢→2
√𝑢 = √2 
 
 
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Resumo 
 
 
Nesta aula, você viu que: 
 
 Para resolver um limite com indeterminação0/0 deve-se aplicar 
diversas técnicas de simplificação, tais com: fatoração, Briot-Ruffini, 
Conjugado de radicais; entre outras; 
 O Limite tem propriedades de cálculo como: limite da soma é a soma 
dos limites; 
 De igual forma, o limite da diferença, do quociente e do produto são, 
respectivamente, a diferença, o quociente e o produto dos limites; 
 Limite Lateral é a análise de uma função num ponto por valores à 
esquerda (menores) ou à direita (maiores desse ponto); 
 Os limites laterais são capitais para identificar se há limite de uma 
função no ponto p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
CARNEIRO, C. E. I.; PRADO, C. P. C.; SALINAS, S. R. A. Introdução 
Elementar às Técnicas do Cálculo Diferencial e Integral. 1. ed. São Paulo: 
Livraria da Física, 2007. 56 p. 
 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, limite, 
derivação e integração. 6. Ed.: revista e ampliada. São Paulo: Editora Pearson 
Prentice Hall, 2006. 448p. 
 
GUIDORIZZI, L. H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 
2008. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 
1990. 
 
MUNEM, M. A., FOULIS, D. J. Cálculo Vol. 1. Trad. André Lima Cordeiro. 
Rio de Janeiro: Ed Guanabara Dois, 1982. 
 
RUGGIERO, M. A. G. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e 
Computacionais. São Paulo, 2. Makron books,1996. 
 
STEWART, J. Cálculo. Antônio Carlos Moretti (trad.). 5 ed. Sao Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006. v.1. 579 p. 
 
SWOKOWSKI, E. W. 1926. Cálculo com geometria analítica. Alfredo Alves 
de Farias (Trad.). 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1995. v.1. 
 
THOMAS, G. B. Cálculo - Volume 1. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2002. 
 
 
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AULA 3 
Exercícios 
 
Calcule os limites abaixo: 
a) Resp.: 0 b) Resp.: -2 
c) Resp.: 1/3 d) Resp.: 1/2 
e) Resp.: 
2
1
3
A
a

 f) Resp.: 3X2 
g) Resp.: 1 h) Resp.: 1/2 
i) Resp.: 3 j) Resp.: 1 
k) Resp.: -1/56 l) Resp.: 12 
m) Resp.: 3/2 n) Resp.: -1/3 
o) Resp.: 1 p) Resp.: 
2
X
: x
58 
 
 
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q) Resp.: 
3 2
1
3 x
 r) Resp. -
1/3 
 
Seja f(x) = {
𝑥² + 3, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 > 1
5𝑥 − 1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≤ 1
, verifique a existência do 𝑙𝑖𝑚x → 1 𝑓(𝑥). 
Resp.: O limite existe 
 
Observando o gráfico correspondente à função f(x), assinale a única 
alternativa incorreta: 
Gráfico 1: Exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 
b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2 
c) ∄ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
d) 𝑓(1) = 2 
e) 𝑓(0) = −1 
 
O limite lim
𝑥→1
√3𝑥+5
3
−2
𝑥2−1
 é igual a: 
a) 2 
b) 0 
c) 
2
3
 
d) 
1
4
 
59 
 
 
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e) 
1
8
 
 
O limite lim
𝑥→1
√𝑥2+3−2
𝑥2−1
 é igual a: 
a) 2 
b) 0 
c) 
2
3
1
4
 
d) 
1
8
 
 
Dada à função









0
202
21
2 xx
xx
xx
xf
,
,
,
)(
. É correto afirmar que: 
a) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 2 
b) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 1 
c) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 
d) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 
e) ∄ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
 
7) A função f(x) = {
𝑥2−1
𝑥+1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −1
𝑥2−3,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≥ −1
 é 
a) descontínua no ponto x = -1, pois lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−1). 
b) descontínua no ponto x = -1, pois ∄ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥). 
c) contínua no ponto x = -1. 
d) descontínua no ponto x = -1, pois ∄𝑓(−1). 
e) descontínua no ponto x = -1, pois lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1). 
 
8) Calculando-se o lim 
𝑥→2
𝑥3−𝑥2−2𝑥
𝑥2−3𝑥+2
 , obtém-se: 
a) 6. 
b) 4. 
c) 3. 
60 
 
 
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d) 2. 
e) 0. 
 
9) Seja f(x) = {
√𝑥 − 3, 𝑥 ≥ 3
𝑘 − 2𝑥, 𝑥 < 3
. O valor de k para o qual f(x) é contínua em 𝑥 =
3 é: 
a) 2. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 10. 
 
 
 
 
 
 
Refaça os exercícios das vídeo-aulas e das atividades complementares enviadas pelo 
professor da disciplina. 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
 
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Extensão do limite 
Aula 4 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Na aula 4, nós vamos falar um pouco mais sobre o Limite das funções, dando 
ênfase agora ao Comportamento das Funções no Infinito. Ou seja, como é a 
tendência de valor de uma função, caso o valor de x tenda ao infinito (valor 
extremamente grande), ou que - para um determinado x - a função tenda ao infinito. 
 
Há muito por fazer. Então, coloque em dia os seus estudos e mãos à obra! 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Apresentar os conceitos de comportamento de uma função no infinito; 
 Reconhecer e representar graficamente uma função com valores 
infinitos; 
 Apresentar o Limite Fundamental Exponencial; 
 Estudar os Limites de algumas funções logarítmicas e exponenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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“Eu acredito demais na sorte. E tenho constatado que, quanto mais duro eu 
trabalho, mais sorte eu tenho. ” Thomas Jefferson 
4 INTRODUÇÃO – EXTENSÃO DO LIMITE 
Nesta aula, iremos tratar de mais alguns limites. Portanto, além dos limites 
trigonométricos e dos limites de funções polinomiais, existem outras situações que 
iremos abordar aqui. 
4.1 Limites no Infinito 
O objetivo desta seção é dar um significado aos símbolos para que possamos 
enxergar de forma clara o conceito de limite envolvendo infinito. 
Vamos definir, então, o limite de 𝑓(𝑥); quando 𝑥 tende ao infinito: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
(Leia: limite de 𝑓(𝑥) para 𝑥, tendendo o mais infinito, é igual a 𝐿) e, 
lim
𝑥→−∞
 𝑓(𝑥) = 𝐿. 
 
(Leia: limite de 𝑓(𝑥) para 𝑥, tendendo a menos infinito, é igual a 𝐿). 
Conhecer a forma de abordagem de interpretação de limite tornará bem mais 
fácil o entendimento do conceito no infinito. 
Compreendido bem isso, o passo seguinte é começarmos a conhecer as 
definições e os teoremas que envolvem limites no infinito. 
 
Definição 1: 
Para a primeira definição, seja 𝑓 uma função (Fig. 19) e suponhamos que 
exista 𝑎, tal que ]𝑎, +∞[ ⊂ 𝐷𝑓 . Logo, podemos definir que: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺{
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝛿 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝐿 − 𝜖 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜖.
 
 
 
 
 
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Figura 19: Gráfico da função da Definição1. 
 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
Definição 2: 
Já na segunda definição, temos um bem parecido; com o limite tendendo a 
menos infinito. Então, sendo 𝑓 uma função, suponhamos que exista 𝑎 tal que 
]−∞, 𝑎[ ⊂ 𝐷𝑓 . Definimos: 
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺{
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑐𝑜𝑚 − 𝛿 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 < −𝛿 ⟹ 𝐿 − 𝜖 < 𝑓(𝑥) < 𝐿 + 𝜖.
 
 
Exemplo: 
1) Calcule lim
𝑥→+∞
1
𝑥
 e justifique. 
Solução: 
Em primeiro lugar, devemos considerar a função 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
. Você pode 
observar que, ao começarmos a arbitrar valores para x, essa função começará a 
tomar um determinado comportamento. 
Tabela 2 do exemplo 1: 
Tabela 2: Exemplo 1. 
𝒙 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 
𝑓(𝑥) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 0,0000001 0,00000001 
 
Logo, notamos que o x começa a tender para o infinito; e a função, a zero. 
Quanto maior o valor de 𝑥, mais próximo de zero estará 
1
𝑥
· : lim
𝑥→+∞ 
1
𝑥
= 0. 
Justificativa 
Dado 𝜖 > 0 e tomando-se 𝛿 =
1
𝜖
 
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𝑥 > 𝛿 ⟹ 0 <
1
𝑥
< 𝜖 
 
e, portanto, 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 0− 𝜖 <
1
𝑥
< 0 + 𝜖. 
 
Logo, lim
𝑥→+∞ 
1
𝑥
= 0. 
Também podemos constatar esse comportamento analisando o gráfico da 
Fig. 20. 
Figura 20: Gráfico de 𝐥𝐢𝐦
𝒙→+∞
𝟏
𝒙
. 
 
 
Em seguida, apresentamos alguns teoremas, demonstrando os mesmos: 
Teorema 1: 
Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que 𝑙𝑖𝑚 𝑓 ⊂𝐷𝑔 e lim
𝑥→+∞
 𝑓(𝑥) = 𝑎. 
a) Se 𝑔 for contínua em 𝑎, então, 
lim
𝑥→+∞
 𝑔(𝑓(𝑥)) = lim
𝑢→𝑎
 𝑔(𝑢). 
 
b) Se 𝑔 não estiver definida em 𝑎 e se lim
𝑢→𝑎
 𝑔(𝑢) existir, então, 
lim
𝑥→+∞
 𝑔(𝑓(𝑥)) = lim
𝑢→𝑎
 𝑔(𝑢). 
 
 
 
 
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Teorema 2: 
 Seja 𝑘 uma constante e, suponhamos que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 𝐿1. 
Então, 
a) lim
𝑥→+∞
[ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐿 + 𝐿1 
b) lim
𝑥→+∞
[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘 ∙ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿 
c) lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝐿 𝐿1 
d) lim
𝑥→+∞
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] = 
𝐿
𝐿1
, Desde que 𝐿1 ≠ 0. 
 
Podemos observar que os dois teoremas acima continuam válidos, se 
substituirmos "𝑥 → +∞" por "𝑥 → −∞". 
Exemplos: 
2) Calcule lim
𝑥→+∞
1
𝑥𝑛
, onde 𝑛 > 0 é um número natural dado. 
Nesse exemplo, podemos notar que temos que usar um artifício para 
resolvermos tal limite, chamando 
1
𝑥
= 𝑢. 
Solução: 
lim
𝑥→+∞
1
𝑥𝑛
= lim
𝑥→+∞
(
1
𝑥
)
𝑛
= lim
𝑢→0
𝑢𝑛 = 0. 
 
3) Calcule lim
𝑥→+∞
𝑥5+𝑥4+1
2𝑥5+𝑥+1
. 
Solução: 
O primeiro passo para resolver esse limite é colocar em evidência a mais alta 
potência de 𝑥 que ocorre no numerador e proceder da mesma forma no 
denominador. Desse modo, irão aparecer no denominador e numerador expressões 
do tipo 
1
𝑥𝑛
 que tendem a zero para 𝑥 → +∞, o que poderá facilitar o cálculo do limite. 
lim
𝑥→+∞
𝑥5 + 𝑥4 + 1
2𝑥5 + 𝑥 + 1
= lim
𝑥→+∞
𝑥5 [1 +
1
𝑥 +
1
𝑥5
]
𝑥5 [2 +
1
𝑥4
+
1
𝑥5
]
= lim
𝑥→+∞
1 +
1
𝑥 +
1
𝑥5
2 +
1
𝑥4
+
1
𝑥5
=
1
2
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
Livro: Um curso de cálculo, Volume 1- Guidorizzi 
Exercícios 4.1. Páginas 101 e 102. 
4.2 Limites Infinitos 
Agora, iremos tratar de limite no infinito e, para isso, temos que ter 
consciência destas duas definições: 
Definição 1: 
Suponhamos que exista 𝑎, tal que ]𝑎, +∞[ ⊂ 𝐷𝑓. Definimos 
(a) lim
𝑥→+∞
 𝑓(𝑥) = +∞⟺ {
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝛿 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝜖.
 
 
(b) lim
𝑥→+∞
 𝑓(𝑥) = −∞⟺ {
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑐𝑜𝑚 𝛿 > 𝑎, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) < −𝜖.
 
 
Definição 2: 
Sejam 𝑓 uma função (Fig. 21), 𝑝 um número real e suponhamos que exista 𝑏, 
tal que ]𝑝, 𝑏[⊂ 𝐷𝑓 . 
Definimos lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) = +∞⟺ {
∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0, com 𝑝 + 𝛿 < 𝑏, tal que
𝑝 < 𝑥 < 𝑝 + 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝜖.
 
Figura 21: Gráfico do 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒑
 𝒇(𝒙) = +∞. 
 
Fonte: GUIDORIZZI (2008) 
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Deixamos a seu cargo definir: lim
𝑥→𝑝+
 𝑓(𝑥) = −∞, lim
𝑥→−∞
 𝑓(𝑥) =
+∞, lim
𝑥→−∞
 𝑓(𝑥) = −∞, lim
𝑥→𝑝−
 𝑓(𝑥) = +∞, lim
𝑥→𝑝−
 𝑓(𝑥) = −∞, lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) = +∞ e 
lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) = −∞. 
Exemplos: 
4) Calcule lim
𝑥→0+
 
1
𝑥
 e justifique. 
Solução: 
Para resolvermos esse primeiro exemplo, vamos considerar como base o 
exemplo 1 do limite envolvendo infinito. Basta, assim, seguimos o mesmo raciocínio 
do referido exemplo, mas considerando as definições de limites infinitos. 
Figura 22: Gráfico e Tabela do exemplo 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒑
 𝒇(𝒙) = +∞ 
x 1 
1
2
 
1
10
 
1
100
 
1
1000
 → 0+ 
 
𝟏
𝒙
 
1 2 10 100 1000 → +∞ 
 
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= +∞ 
 
Justificação: 
Dado 𝜖 > 0 e tomando-se 𝛿 =
1
𝜖
 
0 < 𝑥 < 𝛿 ⟹
1
𝑥
> 𝜖. 
 
Logo, 
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= +∞ 
 
5) Calcule lim
𝑥→+∞
𝑥 e justifique. 
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Solução: 
Neste exemplo, que é bem simples, podemos aplicar as definições 
apresentadas sobre limite direto, pois não há restrições. Com isso, teremos a 
seguinte solução: 
Dado 𝜖 > 0 e tomando-se 𝛿 = 𝜖 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑥 > 𝜖. 
 
Logo, 
lim
𝑥→+∞
𝑥 = +∞. 
 
Teoremas: 
A seguir, são apresentados valores de limites no infinito e infinito. O 
conhecimento desses teoremas é de extrema importância, pois - com eles - fica fácil 
ser resolvido qualquer problema de limite infinito. 
Logo vamos aos teoremas: 
a) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
 ⟹ {
lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ 
 
 
b) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞ 
 ⟹ {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑠𝑒 𝐿 > 0
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = −∞ 𝑠𝑒 𝐿 < 0
 
 
c) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
 ⟹ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = −∞ 
 
d) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞
 ⟹ lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞ 
 
e) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = −∞
 ⟹ lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞ 
 
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f) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = −∞
 ⟹ {
lim
𝑥→+∞
[ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = −∞
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞
 
 
g) {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙,
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = −∞
 ⟹ {
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = −∞ 𝑠𝑒 𝐿 > 0
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑠𝑒 𝐿 < 0.
 
 
Demonstração: 
Para a demonstração de (a) e (b), veja os exemplos 6 a 8. 
Observamos que o teorema anterior contínua válido se substituirmos 
"𝑥 →+∞" por "𝑥 →−∞" ou por "𝑥 → 𝑝+ " , ou por "𝑥 → 𝑝− ", ou por "𝑥 →𝑝". 
Observação: O teorema anterior sugere-nos como operar com os símbolos 
+∞ e −∞: + ∞ + (+∞) = +∞,−∞+ (−∞) = − ∞, 𝐿. (+∞) = + ∞ se 𝐿 > 0,
𝐿. (+∞) = −∞ se 𝐿 < 0, 𝐿 . (−∞) = −∞ se 𝐿 . (−∞) = +∞ se 𝐿 < 0, 𝐿 + (+∞) =
 +∞ se 𝐿 ∈ ℝ, 𝐿 + (−∞) = −∞ se 𝐿 ∈ ℝ,+ ∞ . (+∞) = +∞, (−∞). (−∞) = +∞ e 
+∞ . (−∞) = −∞. 
 
Indeterminações: +∞− (+∞),−∞ − (−∞), 0.∞,
∞
∞
,
0
0
, 1∞, 00, ∞0. 
Exemplos: 
6) Calcule lim
𝑥→+∞
𝑥2. 
Solução: 
lim
𝑥→+∞
𝑥2 = lim
𝑥+∞
𝑥 . 𝑥 = +∞. 
 
Observemos que com os teoremas fica fácil, encontrara solução. 
 
7) Suponha que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = +∞ e lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞. Prove 
a) lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = +∞. 
b) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞. 
 
Solução: 
a) Segue a hipótese que dado 𝜖 > 0 existem 𝛿1 > 0 e 𝛿2 > 0, tais que 
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𝑥 > 𝛿1⟹ 𝑓(𝑥) >
𝜖
2
 
E, 
𝑥 > 𝛿2 ⟹ 𝑔(𝑥) >
𝜖
2
. 
 
Tomando-se 𝛿 = 𝑚á𝑥 {𝛿1, 𝛿2} 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) >
𝜖
2
+
𝜖
2
= 𝜖. 
 
Logo, lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = +∞. 
b) Segue da hipótese que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) > √𝜖 𝑒 𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑔(𝑥) > √𝜖 
 
Daí, 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥) > 𝜖, 
 
Ou seja, 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = +∞. 
 
8) Suponha que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙 e lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞. Prove. 
a) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞ 𝑠𝑒 𝐿 > 0. 
b) lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = −∞ 𝑠𝑒 𝐿 < 0. 
 
Solução: 
a) Segue da hipótese que, dado 𝜖 > 0, existem 𝛿1 > 0 𝑒 𝛿2 > 0 tais que 
𝑥 > 𝛿1 ⟹ 𝑓(𝑥) >
𝐿
2
 𝑒 𝑥 > 𝛿2⟹ 𝑔(𝑥) >
2𝜖
𝐿
. 
 
Tomando-se 𝛿 = 𝑚á𝑥 {𝛿1, 𝛿2} 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 𝜖. 
 
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b) lim
𝑥→+∞
 −𝑓(𝑥) = −𝐿 > 0. (Pelo item a), lim
𝑥→+∞
−𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = +∞. Então, dado 
𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que: 
𝑥 > 𝛿 ⟹ − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 𝜖. 
Logo, 
𝑥 > 𝛿 ⟹ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) < −𝜖. 
 
Exercícios: 
Livro: Um curso de cálculo, Volume 1-Guidorizzi 
Exercícios 4.2. Páginas 109, 110 e 111. 
4.3 A indeterminação do tipo 
∞
∞
 
Para resolver a indeterminação matemática (
∞
∞
) , deve-se colocar o termo de 
maior grau em evidência no numerador e no denominador. Vejamos os exemplos 
abaixo! 
Exemplos resolvidos: 
Calcule os limites abaixo: 
lim
𝑥→−∞
𝑥3 − 3𝑥
5𝑥² − 2
= lim
𝑥→−∞
𝑥3(1 +
3
𝑥3
)
𝑥²(5 −
2
𝑥)
= lim
𝑥→−∞
𝑥. (1 +
3
𝑥3
)
1. (5 −
2
𝑥)
=
(−∞). (1 +
3
∞)
5 −
2
∞
= 
(−∞). (1 + 0 )
5 − 0
= −
∞
5
= −∞ 
lim
𝑥→−∞
𝑥2+𝑥
5𝑥4−2
 = lim
𝑥→−∞
𝑥²(1+
1
𝑥
)
𝑥4(5−
2
𝑥4
)
 = lim
𝑥→−∞
1.(1+
1
𝑥
)
𝑥2(5−
2
𝑥4
)
=
1+
1
−∞
(−∞)2.(5−
2
−∞
)
=
1
+∞
= 0 
lim
𝑥→∞
𝑥2 + 𝑥
5𝑥2 − 2
= lim
𝑥→+∞
𝑥²(1 +
1
𝑥)
𝑥2(5 −
2
𝑥2 
)
= lim
𝑥→+∞
1. (1 +
1
𝑥)
1. (5 −
2
𝑥2 
)
=
1 +
1
∞
5 − 2/∞
=
1
5
 
4.4 Sequência e Limite de Sequência 
O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise 
matemática. A mesma configura-se como uma definição rigorosa à ideia de uma 
sequência que converge até um ponto chamado limite. Uma sequência é um 
conjunto de números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, disposta numa certa ordem (isto é, em 
correspondência com os inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. 
Também podemos dizer que uma sequência é uma função cujo domínio é o 
72 
 
 
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conjunto dos inteiros positivos. A notação 𝑎𝑛 (leia: 𝑎 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑛) é usada para indicar o 
valor que a sequência assume no natural 𝑛. Diremos que 𝑎𝑛 é o termo geral da 
sequência. Observamos os exemplos para termos a real noção de sequência, para 
que - em seguida - possamos entender os conceitos e definições de sequência no 
limite. 
Exemplos: 
9) Seja a sequência de termo geral 𝑎𝑛 = 2
𝑛. Temos 
𝑎0 = 2
0, 𝑎1 = 2
1, 𝑎2 = 2
2, … 
 
10) Seja a sequência de termo geral 𝑠𝑛 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛. Temos 
𝑠1 = 1, 𝑠2 = 1 + 2, 𝑠3 = 1 + 2 + 3 𝑒𝑡𝑐. 
Sejam 𝑚 ≤ 𝑛 dois naturais. O símbolo 
∑ 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=𝑚
 
(Leia: somatória de 𝑎𝑘 , para 𝑘 variando de 𝑚 até 𝑛) é usado para indicar a 
soma dos termos 𝑎𝑚 , 𝑎𝑚+1, 𝑎𝑚+2, … , 𝑎𝑛: 
∑ 𝑎𝑘 = 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + …+ 𝑎𝑛.
𝑛
𝑘=𝑚
 
 
11) Calcule lim
𝑛→+∞
 
2𝑛+3
𝑛+1
. 
Solução: 
lim
𝑛→+∞
 
2𝑛 + 3
𝑛 + 1
= lim
𝑛→+∞
 
2 +
3
𝑛
1 +
1
𝑛
= 2. 
 
Exercícios: 
Livro: Um curso de cálculo, Volume 1- Guidorizzi 
Exercícios 4.3. Páginas 115, 116, 117. 
 
73 
 
 
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4.5 Limite de Função e Sequência 
A partir de agora você vai conhecer, sem demonstração, os teoremas sobre 
limites de funções e suas aplicações na resolução de problemas. 
Estes teoremas desempenharão um papel importante em todo o nosso curso. 
Seja 𝑓 uma função tal que lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) = 𝐿, e 𝑎𝑛 uma sequência que converge a 
𝑝, com 𝑎𝑛 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑎𝑛 ≠ 𝑝 para todo natural 𝑛. É natural esperar que: 
lim
𝑥→+∞
 𝑓(𝑎𝑛) = 𝐿. 
 
De fato, sendo lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) = 𝐿, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que: 
0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖. 
 
Como 𝑎𝑛 → 𝑝, para o 𝛿 > 0 acima, existe um natural 𝑛0 ·, tal que: 
𝑛 > 𝑛0 ⟹ |𝑎𝑛 − 𝑝| < 𝛿 
 
e como 𝑎𝑛 ≠ 𝑝, para todo 𝑛, 
𝑛 > 𝑛0 ⟹ 0 < |𝑎𝑛 − 𝑝| < 𝛿. 
 
De 1 e 1, 
𝑛 > 𝑛0 ⟹ |𝑓(𝑎𝑛) − 𝐿| < 𝜖 
 
Logo, 
lim
𝑥→+∞
𝑓( 𝑎𝑛) = 𝐿. 
 
Em particular, se 𝑓 for contínua em 𝑝 e se 𝑎𝑛 convergir a 𝑝, com 𝑎𝑛 ∈ 𝐷𝑓 para 
todo 𝑛; então, lim
𝑥→+∞
 𝑓(𝑎𝑛) = 𝑓(𝑝). 
Do que vimos acima, resulta que, se existirem duas sequências 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛, com 
𝑎𝑛 ≠ 𝑝 e 𝑏𝑛 ≠ 𝑝 para todo 𝑛, que convergem a 𝑝 e se lim
𝑛→+∞
𝑓(𝑎𝑛) ≠ lim
𝑛→+∞
𝑓(𝑏𝑛); 
então, lim 𝑓(𝑥) 
𝑥→𝑝
 não existirá. Frequentemente, usa-se esse processo para mostrar a 
não existência de limite de uma função num ponto. 
 
74 
 
 
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Exemplo: 
12) Seja 𝑓(𝑥) = {
1 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℚ
0 𝑠𝑒 𝑥 ∉ ℚ
. Prove que para todo real 𝑝, lim
𝑥→𝑝
 𝑓(𝑥) não 
existe. 
Solução: 
Para todo natural 𝑛 ≠ 0, existem 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛, 𝑎𝑛 racional e 𝑏𝑛 irracional, tais que: 
𝑝 < 𝑎𝑛 < 𝑝 +
1
𝑛
 e 𝑝 < 𝑏𝑛 < 𝑝 +
1
𝑛
. 
Segue, pelo teorema do confronto, que: 
lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛 = 𝑝 𝑒 lim
𝑛→+∞
𝑏𝑛 = 𝑝. 
Como lim
𝑛→+∞
𝑓(𝑎𝑛) = 1, pois 𝑓(𝑎𝑛) = 1 para todo 𝑛 ≠ 0, e lim
𝑛→+∞
𝑓(𝑏𝑛) = 0, pois 
𝑓(𝑏𝑛) = 0 para todo 𝑛 ≠ 0, resulta que lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥) não existe. 
 
 
 
 
Livro: Um curso de cálculo, Volume 1- Guidorizzi 
Exercícios 4.4. Páginas 118 e 119. 
 
4.6 O Número 𝒆 
Nosso objetivo, neste item, é provar que a sequência de termo geral 
𝑎𝑛 = (1 +
1
𝑛
)
𝑛
 
 
é convergente, ou seja, com n tendendo a +∞, a sequência tende para um 
valor denominado Constante de Euler, que é a base dos logaritmos naturais ou 
neperianos. Para tanto, vamos definir, então, o número e como sendo o limite de tal 
sequência. 
lim
𝑛→+∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒 
 
Para provar a convergência de tal sequência, é suficiente provar que ela é 
crescente e que existe 𝑀 > 0 tal que 𝑎𝑛 < 𝑀 para todo 𝑛 ≥ 1. 
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Primeiro, vamos provar que (1 +
1
𝑛
)
𝑛
< 3 para todo 𝑛 ≥ 1. Temos 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 1 + (
𝑛
1
)
1
𝑛
+ (
𝑛
2
)
1
𝑛2
+ (
𝑛
3
)
1
𝑛3
+⋯+ (
𝑛
𝑛
)
1
𝑛𝑛
 
= 1 + 1 +
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛2
.
1
2!
+ 
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
𝑛3
.
1
3!
+ …+ 
𝑛!
𝑛𝑛
 .
1
𝑛!
 
 
Daí, 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
≤ 1 + 1 + 
1
2!
+
1
3!
+ …+ 
1
𝑛!
. 
 
Como 2𝑛 ≤ (𝑛 + 1)! Para todo 𝑛 ≥ 1 (verifique), resulta que 
1
(𝑛+1)!
≤
1
2𝑛
 para 
todo 𝑛 ≥ 1, daí, 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
≤ 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+⋯+
1
2𝑛−1
 
 
E como, 
1 +
1
2
+
1
22
+⋯+
1
2𝑛
+⋯ = 2 
 
Resulta, 
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
< 3 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥ 1. 
 
Vamos provar, agora, que tal sequência é crescente. Sejam 𝑛