Und 5 - Reta no Espaço

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Prof. João Sérgio Fossa
Álgebra Linear
Unidade 5
Retas no EspaRetas no Espaççoo
A RetaA Reta
Equação Vetorial da Reta
Considere um ponto A (x1, y1, z1) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Só existe uma reta 
que passa por A e tem a direção de v. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se somente 
se, o vetor AP é paralelo a v:
AP = tV
(x, y, z) – (x1, y1, z1) = t (a, b, c)
Equação vetorial da reta: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c)
P - A = tV
A RetaA Reta
Equações Paramétricas da Reta
Considere a equação vetorial da reta:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c)
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (at, bt, ct)
(x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1+ ct)
Equações paramétricas 
da reta:





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
1
1
1
A RetaA Reta
Equações Simétricas da Reta
Das equações paramétricas:
x = x0 + at; y = y0 + bt; z = z0 + ct
a
xx
t 0
−
=
b
yy
t 0
−
=
c
zz
t 0
−
=
c
zz
b
yy
a
xx 000 −
=
−
=
−
Supondo abc ≠ 0 tem-se:
A RetaA Reta
Equações Reduzidas da Reta
Das equações paramétricas:
x = x0 + at; y = y0 + at; z = z0 + at





−=
+=
+=
3t3-z
2t4-y
t2x
2xt −=



+−=
−=
33xz
82xy
:r
Exemplo:
Para determinar um vetor diretor atribua dois valores arbitrários para x e com 
eles encontre dois pontos A e B da reta; em seguida determine AB = B - A
Podemos isolar t em uma das equações e substituir nas demais equações restantes.
A RetaA Reta
Posição Relativa de duas retas
Paralelas: vetores diretores possuem mesma direção (são múltiplos escalares entre si)
e não há ponto de interseção.
Concorrentes: vetores diretores com direções distintas e há ponto de interseção.
Reversas: vetores diretores com direções distintas e não há ponto de interseção.
Caso os vetores diretores possuam a mesma direção (paralelismo de retas) e haja 
interseção, temos retas coincidentes.
A RetaA Reta
Distância de um ponto à Reta
� Inicialmente vamos relembrar uma importante propriedade do Produto Vetorial: a 
área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v (não nulos e com direções 
distintas) é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores. 
� Logo, como |u| é a medida da base deste paralelogramo, sua altura h é dada por
u
v
A=| u x v |h
A RetaA Reta
Distância de um ponto à Reta
A RetaA Reta
Ângulo entre duas Retas
Sejam as retas r1 e r2 com direções de v1 e v2, respectivamente. Chamamos de 
ângulo θ o menor ângulo formado entre as duas retas o qual é o mesmo ângulo 
formado entre seus vetores diretores, logo: 
21
21
vv
vv
cos rr
rr
⋅
=θ
A RetaA Reta
Ângulo de duas Retas – Retas ortogonais
Sejam as retas r e r1 com direções de v e v1, respectivamente. Então,
Se duas retas, r e r2, tiverem um ponto em comum dizemos que estas retas são 
concorrentes e no caso da figura acima diz-se que são perpendiculares
0rr 11 =⋅⇔⊥ vv
rr
A RetaA Reta
Ângulo de duas Retas – Retas ortogonais a duas retas
Sejam as retas r1 e r2 não-paralelas, com direções de v1 e v2, respectivamente. Toda 
reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor diretor v tal que:
21 vvv
rr
×=



=⋅
=⋅
0
0
2
1
vv
vv
rr
rr
Assim, definido um vetor diretor a reta r é facilmente determinada quando conhecido 
um de seus pontos.
ExercExercíícioscios
Dado o ponto A (2, 3, -4) e o vetor diretor v = (1, -2, 3) pede-se:
a) Escrever a equação vetorial da reta r que passa por A e tem direção de v.
b) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v.
c) Determinar o ponto C da reta r cuja abscissa é 4.
d) Verificar se o ponto D (4, -1, 2) pertence a r.
e) Escrever um outro sistema de equações paramétricas para a reta r.
f) Escrever as equações paramétricas da reta s que passa por F (5, 2, -4) e é paralela a r.
1.
ExercExercíícioscios
Escrever as equações vetorial e paramétricas da reta r que passa pelos pontos A (3, -1, -2) e 
B (1, 2, 4).
2.
ExercExercíícioscios
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de intersecção:3.
4
2
3
1
2
3
:1
−
=
−
+
=
− zyx
r





+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
r
38
4
1
:2
ExercExercíícioscios
Obter o ponto A de abscissa 1 da reta e encontrar um vetor diretor de 
r que tenha ordenada 2.
4. 4
2
23
3
12
: +=
−
=
+
z
yx
r
ExercExercíícioscios
Dado os pontos A (-1, 6, 3) e B (2, 2, 1) determinar:
a) As equações reduzidas na variável z da reta que passa por A e B.
b) O ponto C de ordenada 5.
c) O ponto D de abscissa igual a dobro da cota.
5.
ExercExercíícioscios
Calcule o ângulo formado entre as retas:
e
6.





=
=
+=
2t-1-z
ty
t3x
:r1 11
3
2
2
:2
zyx
r =
−
=
−
+
ExercExercíícioscios
Verifique se as retas abaixo são ortogonais7.





=
+=
−=
tz
t4y
2t3x
:r2



=
+−=
xz
xy
r
4
12
:1
ExercExercíícioscios
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A (3, 4, -1) e é ortogonal às 
retas:
8.





=
=
=
t-1z
ty
5x
:r2( ) ( ) ( )4,3,21,0,0,,:1 −+= tzyxr
ExercExercíícioscios
Determine a distância do ponto Q (1, 2, 1) à reta9.





=
=
+=
t-3z
2ty
t1x
:r