lista5 integrais_areas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental
(Integrais)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Calcule as integrais.
a)
∫
x2017! dx b)
∫
sen500x cosx dx c)
∫
7
√
t− 1
t
(
t2 + 1
t2
)
dt
d)
∫
x5(2− x3)25 dx e)
∫
sen(mx) cos(nx) dx, m, n ∈ Z
f)
∫ 3
0
(x+ 2)
√
x+ 1 dx g)
∫ 1
0
√
x
√
1 + x
√
x dx
h)
∫ 2
0
(x− 1) 3
√
x2 − 2x+ 1 dx
2. A equac¸a˜o da reta normal a` curva y = f(x) no ponto (2, 2) e´ y = −1
2
x+ 3. Se
em qualquer ponto (x, y) da curva, d
2y
dx2
= 2, determine a equac¸a˜o da curva.
3. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas.
a) y = 9− x2, y = 0.
b) y = −x2 + 4x− 3, y = 0.
c) A para´bola y = x2, a reta tangente a esta para´bola em (1, 1), e o eixo x.
Engenharia -1- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
4. Resolva o seguinte:
a) Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b divida a regia˜o limitada pelas
curvas y = x2 e y = 4 em duas regio˜es de a´reas iguais.
b) Encontre o nu´mero a tal que a reta x = a bissecta a a´rea sob a curva
y = 1/x2, 1 ≤ x ≤ 4.
c) Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b bissecta a a´rea da parte b).
d) Encontre os valores de c tais que a a´rea da regia˜o limitada pelas para´bolas
y = x2 − c2 e y = c2 − x2 seja 576.
e) Suponha que 0 < c < pi
2
. Para qual valor de c a a´rea da regia˜o limitada
pelas curvas y = cosx, y = cos(x − c) e x = 0 e´ igual a a´rea da regia˜o
limitada pelas curvas y = cos(x− c), x = pi e y = 0 ?
5. Uma vez que pingos de chuva crescem a` medida que caem, sua a´rea superficial
cresce e, portanto, a resisteˆncia a` sua queda aumenta. Um pingo de chuva tem
uma velocidade inicial para baixo de 10 m/s e sua acelerac¸a˜o para baixo e´
a =
{
9− 0, 9t se 0 ≤ t ≤ 10
0 se t > 10.
Se o pingo de chuva estiver inicialmente a 500 m acima do solo, quanto tempo
ele levara´ para cair?
6. Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a
uma taxa proporcional a a´rea de sua superf´ıcie. Se levar treˆs horas para a bola
de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorara´ para
a bola de neve derreter completamente?
7. Em uma certa cidade a temperatura (em ◦C) t horas depois das 9 horas foi
aproximada pela func¸a˜o
T (t) = 20 + 6 sen
pit
12
.
Calcule a temperatura me´dia durante o per´ıodo entre 9 h e 21 h.
Engenharia -2- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
8. Uma grandeza exibe um decaimento exponencial se ela decresce a uma taxa
diretamente proporcional ao seu valor.
a) Mostre que tal grandeza pode ser descrita por uma func¸a˜o exponencial
Q(t) = Q0e
−kt , t ∈ [0 ,+∞)
onde a constante positiva Q0 mede o valor inicial presente (t = 0) e k e´
uma constante positiva apropriada, chamada constante de decaimento.
b) O carbono-14, um iso´topo radioativo do carbono, tem meia-vida de 5770
anos. Qual e´ a sua constante de decaimento?
c) Um craˆnio encontrado num local de escavac¸o˜es arqueolo´gicas tem um
de´cimo da quantidade de carbono-14 que possu´ıa originalmente. Deter-
mine a idade aproximada do craˆnio.
9. Uma populac¸a˜o de protozoa´rios se desenvolve a uma taxa de crescimento rela-
tiva constante de 0,7944 membros por dia. No dia zero, a populac¸a˜o consistia
de dois membros. Encontre o tamanho da populac¸a˜o depois de seis dias.
(Obs.: A taxa de crescimento relativa, e´ a taxa de crescimento dividida pelo
tamanho da populac¸a˜o.)
10. Um peru assado e´ tirado do forno quando sua temperatura alcanc¸a 85 ◦C e e´
colocado em uma mesa em uma sala onde a temperatura e´ 22 ◦C. Se T (t) for
a temperatura do peru depois de t minutos, enta˜o a Lei de Resfriamento de
Newton implica que
dT
dt
= k(T − 22) k < 0 .
a) Se a temperatura do peru for 65 ◦C depois de meia hora, qual sera´ a
temperatura depois de 45 minutos?
b) Quando o peru esfriara´ a 40 ◦C?
11. Quando uma bebida gelada e´ tirada da geladeira, sua temperatura e´ 5 ◦C.
Depois de 25 minutos em uma sala a 20 ◦C, sua temperatura tera´ aumentado
para 10 ◦C.
a) Qual e´ a temperatura da bebida depois de 50 minutos?
b) Quando a temperatura sera´ 15 ◦C?
Engenharia -3- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
12. Um tanque conte´m 20 kg de sal dissolvido em 5.000 L de a´gua. A a´gua sal-
gada com 0, 03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min.
A soluc¸a˜o e´ misturada completamente e sai do tanque a` mesma taxa. Qual a
quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
13. Numa certa reac¸a˜o qu´ımica, a taxa de conversa˜o de uma substaˆncia e´ propor-
cional a` quantidade de substaˆncia que ainda na˜o reagiu ate´ aquele instante.
Apo´s 10 min, um terc¸o da quantidade da substaˆncia original ja´ reagiu e 20 g
ja´ reagiram apo´s 15 min. Qual era a quantidade original da substaˆncia?
14. Seja C(t) a concentrac¸a˜o de uma droga na corrente sangu´ınea. A` medida que o
corpo elimina a droga, C(t) diminui a uma taxa que e´ proporcional a` quantidade
da droga presente naquele instante. Assim, C ′(t) = −kC(t), em que k e´ um
nu´mero positivo chamado constante de eliminac¸a˜o da droga.
a) Se C0 for a concentrac¸a˜o no instante t = 0, encontre a concentrac¸a˜o no
instante t.
b) Se o corpo eliminar a metade da droga em 30 horas, quanto tempo levara´
para eliminar 90% da droga?
15. Uma soluc¸a˜o de glicose e´ administrada por via intravenosa na corrente sangu´ınea
a uma taxa constante r. A` medida que a glicose e´ adicionada ela e´ convertida
em outras substaˆncias e removida da corrente sangu´ınea a uma taxa que e´
proporcional a` concentrac¸a˜o naquele instante. Enta˜o um modelo para a con-
centrac¸a˜o C = C(t) da soluc¸a˜o de glicose na corrente sangu´ınea e´
dC
dt
= r − kC
onde k e´ uma constante positiva.
a) Suponha que a concentrac¸a˜o no tempo t = 0 e´ C0. Determine a concen-
trac¸a˜o em um tempo qualquer t resolvendo a equac¸a˜o diferencial.
b) Assumindo que C0 <
r
k
, calcule lim
t→∞
C(t) e interprete sua resposta.
Engenharia -4- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
16. Em qual intervalo a curva
y =
∫ x
0
t2
t2 + t+ 2
dt
e´ coˆncava para baixo?
17. Calcule o limite, reconhecendo primeiro a soma como uma soma de Riemann
para uma func¸a˜o definida em [0, 1].
a) lim
n→∞
n∑
i=1
i3
n4
.
b) lim
n→∞
1
n
(√ 1
n
+
√
2
n
+ +
√
3
n
+ + · · ·+
√
n
n
)
.
c) lim
n→∞
( 1√
n
√
n+ 1
+
1√
n
√
n+ 2
+ · · ·+ 1√
n
√
n+ n
)
.
18. Encontre uma func¸a˜o f e um nu´mero a tais que
6 +
∫ x
a
f(t)
t2
dt = 2
√
x
para todo x > 0.
19. Se xsen(pix) =
∫ x2
0
f(t)dt, onde f e´ uma func¸a˜o cont´ınua, encontre f(4).
20. Calcule lim
x→0
1
x
∫ x
0
(1− tg2t)1/tdt.
21. Encontre o intervalo [a, b] para o qual o valor da integral
∫ b
a
(2 + x − x2)dx e´
um ma´ximo.
22. Demonstre que se f for cont´ınua, enta˜o
∫ x
0
f(u)(x−u)du =
∫ x
0
(∫ u
0
f(t)dt
)
du.
Engenharia -5- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
23. Suponha que os coeficientes do polinoˆmio cu´bico P (x) = a + bx + cx2 + dx3
satisfac¸am a equac¸a˜o
a+
b
2
+
c
3
+
d
4
= 0.
Mostre que a equac¸a˜o P (x) = 0 tem uma raiz entre 0 e 1. Voceˆ consegue
generalizar esse resultado para um polinoˆnio de grau n?
24. Seja f : [a, b]→ R cont´ınua.
a) Mostre que existe c ∈ [a, b] tal que∫ c
a
f(x)dx =
∫ b
c
f(x)dx
b) Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica deste fato, caso f > 0.
25. Para quais valores de m a reta y = mx e a curva y = x
x2+1
delimitam uma
regia˜o? Encontre a a´rea da regia˜o.
26.Encontre uma func¸a˜o cont´ınua positiva f tal que a a´rea sob seu gra´fico de 0 a
t seja A(t) = t3 para todo t > 0.
27. Existe uma reta que passa pela origem e que divide a regia˜o limitada pela
para´bola y = x − x2 e o eixo x em duas regio˜es de a´reas iguais. Qual e´ a
inclinac¸a˜o dessa reta?
28. Suponha que o gra´fico de um polinoˆmio cu´bico intercepte a para´bola y = x2
quando x = 0, x = a e x = b, onde 0 < a < b. Se as duas regio˜es entre as
curvas tiverem a mesma a´rea, como b esta´ relacionado com a?
29. Se a tangente no ponto P e na curva y = x3 intercepta essa mesma curva em
Q, seja A a a´rea da regia˜o delimitada pela curva e pelo segmento de reta PQ.
Seja B a a´rea da regia˜o definida da mesma forma, mas comec¸ando com Q em
vez de P . Qual a relac¸a˜o entre A e B?
Engenharia -6- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
30. Seja I ⊂ R um intervalo com centro 0. Uma func¸a˜o f : I → R chama-se par
quando f(−x) = f(x) e ı´mpar quando f(−x) = −f(x), para todo x ∈ I.
a) Mostre que se f e´ par enta˜o f ′ (se existir) e´ ı´mpar e que se f e´ ı´mpar
enta˜o f ′ (se existir) e´ par.
b) Mostre que se f : I → R e´ cont´ınua e par enta˜o f possui uma u´nica
primitiva ı´mpar.
c) Mostre que se f : I → R e´ cont´ınua e ı´mpar enta˜o toda primitiva de f e´
par.
d) Mostre que se f : R→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e ı´mpar enta˜o∫ a
−a
f(x)dx = 0, ∀ a ∈ R.
e) Mostre que se f : R→ R e´ uma func¸a˜o cont´ınua e par enta˜o∫ a
−a
f(x)dx = 2F (a), ∀ a ∈ R,
onde F e´ a primitiva ı´mpar de f .
31. Calcule a integral definida∫ pi
−pi
ex − e−x
7 + cos x+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x+ cos 5x+ cos 6x
dx .
32. Seja f : R→ R uma func¸a˜o cont´ınua e perio´dica de per´ıodo T . Mostre que:
a)
∫ a+T
a
f(x)dx =
∫ T
0
f(x)dx, ∀ a ∈ R.
b) a func¸a˜o F (x) =
∫ x
0
f(t)dt e´ perio´dica (de per´ıodo T ) se, e somente se,∫ T
0
f(t)dt = 0.
c) a func¸a˜o F (x) =
∫ x
0
f(t)dt − Ax e´ perio´dica (de per´ıodo T ) se, e so´ se,
A = 1
T
∫ T
0
f(t)dt.
Engenharia -7- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
33. (Produto de Convoluc¸a˜o) Se f e g sa˜o duas func¸o˜es cont´ınuas e perio´dicas de
per´ıodo T o produto de convoluc¸a˜o de f(x) e g(x) e´ a func¸a˜o
(f ∗ g)(x) =
∫ T
0
f(x− y)g(y)dy
Prove que:
a) f ∗ g e´ perio´dica de per´ıodo T .
b) f ∗ g = g ∗ f .
34. Se 0 < a < b, calcule
lim
t→0
{∫ 1
0
[bx+ a(1− x)]t dx
}1/t
.
35. Seja {ϕn} a sequeˆncia de func¸o˜es definidas por
ϕ0(x) = 0, ϕn(x) = 1 +
∫ x
0
[ϕn−1(t)]2dt.
Mostre que para todo n ∈ N, ϕn e´ um polinoˆmio de grau 2n−1 − 1, cujos coefi-
cientes esta˜o em [0, 1].
Engenharia -8- UFC
5.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Fundamental Prof. Marcelo Melo
Sugesto˜es e Respostas
1. e) Note que sena cos b = sen(a+b)+sen(a−b)
2
.
2. y = x2 − 2x+ 2. 3. a) 36 b) 4
3
c) 1
12
.
4. a) b = 3
√
16 b) a = 8
5
c) b =
(
1−
√
3
8
)2
d) c = ±6 e) c = pi
3
.
5. 130
11
≈ 11, 8 s. 6. 3 3
√
2
3√2−1 ≈ 14, 54 h. 7. (20 + 12/pi) ◦C ≈ 24 ◦C.
8. b) k ≈ 0, 00012 c) ≈ 19.200 anos. 9. Cerca de 235 membros.
10. a) ≈ 58 ◦C b) ≈ 98 min. 11. a) ≈ 13,3 ◦C b) ≈ 67,74 min.
12. y(t) = 150− 130e−t/200 apo´s t min, logo y(30) ≈ 38, 1 kg. 13. 43, 9 g.
14. a) C0e
−kt b) ≈ 100 h.
15. a) C(t) = (C0 − rk )e−kt + rk b) rk ; a concentrac¸a˜o tende a rk independente-
mente do valor de C0.
16. (−4, 0). 17. a) 1
4
b) 2
3
c) 2(
√
2− 1). 18. f(x) = x3/2 e a = 9.
19. pi
2
. 20. e−2. 21. [−1, 2]. 22. Use o Teorema Fundamental do Ca´lculo.
23. Calcule a integral
∫ 1
0
P (x)dx. 24. Utilize o teorema do valor intermedia´rio.
25. 0 < m < 1; m− lnm− 1. 26. f(t) = 3t2. 27. 1− 13√2 .
28. b = 2a. 29. B = 16A. 31. 0
32. a) Derive a func¸a˜o G(x) =
∫ x+T
x
f(t)dt e conclua que G e´ constante. Em
particular G(0) = G(a), ∀ a ∈ R.
33. b) Use mudanc¸a de varia´vel e o exerc´ıcio anterior.
34. (bba−a)1/(b−a)e−1 35. Utilize induc¸a˜o.
Engenharia -9- UFC