Apostila Teoria p1 - Física 3

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FACULDADES DE ENGENHARIA 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III 
LISTAS DE EXERCÍCIOS 
TEORIA 
 
 
 
 
1 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1. AS INTERAÇÕES ENTRE CORPOS 
A simples observação da natureza ao nosso redor nos leva a concluir a existência de distintas naturezas de interações 
entre corpos. 
Neste momento, em particular, iremos analisar um fenômeno/experimento relatado desde 500 A. C. Imagine um 
bastão de vidro pendurado por um fio. Ao atritar esse bastão em um pedaço de lã observaremos que ambos se atraem. 
No entanto, se atritarmos um segundo bastão de vidro no mesmo tecido de lã e o aproximarmos do primeiro, 
observaremos que os bastões se repelem. 
 
 
Figura 1.1: Interação elétrica entre corpos. 
 
A observação desse experimento simples mostra que se trata de uma interação à distância (também denominada de 
campo). No entanto esse fenômeno não pode ser explicado, por exemplo, pela interação gravitacional: inicialmente 
porque os corpos apresentam massa pequena e, além disso, a força gravitacional é exclusivamente de atração. 
Dessa forma somos obrigados a admitir a existência de outro tipo de interação à distância. Essa interação foi chamada 
de força elétrica e a área da Ciência que estuda as interações elétricas é chamada Eletromagnetismo. 
Neste texto abordaremos alguns assuntos dessa área da Ciência. 
 
2. CARGA ELÉTRICA E MATÉRIA 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
Atualmente grande parte dos eventos que ocorrem ao nosso redor, e de interesse tecnológico, podem ser explicados 
a partir dos chamados fenômenos elétricos. Portanto torna-se fundamental discutir e compreender alguns fatos 
experimentais determinantes dessa área do conhecimento. 
 
2.2. O CONCEITO DE CARGA ELÉTRICA 
“A introdução do conceito de carga elétrica se faz necessário para explicar a existência das forças (de atração ou 
repulsão) elétricas”. 
Embora já existissem algumas contribuições cientificas anteriores (realizadas, por exemplo, por Tales de Mileto ou 
Gilbert), foi somente no século XVII, que Otto Von Guericke deu início a estudos sistemáticos sobre a eletrização por 
atrito, a partir da construção da primeira máquina de eletrização que consistia em uma esfera de enxofre atritada 
enquanto girava rapidamente em torno de um eixo horizontal. A esfera acumulava uma quantidade de “eletricidade”, 
tal que se “descarregava” através de emissão de faíscas visíveis, mesmo durante o dia, e apresentava comportamento 
similar ao do âmbar de Tales e das pedras de Gilbert. 
 
Figura 2.1: (a) Otto Von Guericke (1602 — 1686); (b) A esfera de Otto Von Guericke. 
As observações de Von Guericke se resumem como segue: 
“Pequenos pedaços de papel são atraídos quando aproximamos deles um bastão de âmbar atritado com uma pele”; 
2 
 
 
Figura 2.2: Após o atrito o bastão atrai corpos leves. 
 
“Se colocarmos os pedaços de papel próximos ao âmbar sem que tivesse sido atritado, nada ocorreria”. 
 
 
Figura 2.3: Sem o atrito o bastão não apresenta a propriedade de atrair corpos leves. 
 
Do exposto se conclui que pelo fato do bastão ter sido atritado com a pele, o bastão adquiriu alguma propriedade 
específica responsável por aquela interação — a força de atração. 
Nessas condições, dizemos que o bastão “adquiriu” a propriedade carga elétrica ou, simplesmente, sofreu eletrização. 
A experiência que acabamos de descrever está ilustrada nas Figuras 2.2 e 2.3. 
 
2.3. A EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE CARGA ELÉTRICA 
No início do século XVIII, Charles–François Du Fay pesquisou a interação entre corpos eletrizados e propôs a existência 
de dois “tipos de eletricidade”: o primeiro “tipo de eletricidade” é frequente em sólidos transparentes, tais como 
vidro, cristais etc., e o segundo “tipo de eletricidade” esta presente em resinas, como âmbar, cera etc., e que mesmos 
“tipos de eletricidades” se repeliam e que diferentes “tipos de eletricidade” se atraíam. 
Du Fay denominou vítrea ao “tipo de eletricidade” característica do vidro e resinosa ao “tipo de eletricidade” 
característica do âmbar***. 
*** Em 1729, o cientista inglês Stephen Gray (1670-1736) ao pesquisar o fenômeno de eletrização por indução 
observou melhores resultados quando os materiais empregados eram preferencialmente metais. Dessa forma Gray 
admitiu que metais "conduziam" melhor a eletricidade por isso os denominou de condutores. Outros materiais, como 
o vidro, ele chamou de isolantes, porque os efeitos da eletricidade nestes corpos pareciam estar "isolados". 
Em oposição ao conceito da existência de dois “tipos de eletricidade” proposto por Du Fay, Benjamin Franklin propôs 
a ideia da existência de um único tipo de “fluido elétrico” que estaria presente em todos os corpos, de modo que os 
corpos que apresentassem excesso desse fluido seriam os corpos eletrizados positivamente, e corpos com falta desse 
fluido seriam os corpos eletrizados negativamente. 
O conceito de eletricidade como fluido permaneceu válido cientificamente por muito tempo, e somente foi 
abandonado de forma definitiva após a descoberta do elétron, em 1887, pelo físico inglês John Joseph Thomson (1856-
1940). 
 
2.4. O CONCEITO DE ÁTOMO 
O conceito de que a matéria é composta de átomos tem origem na escola filosófica de Abdera (cidade grega na costa 
de Trácia) proposta por Demócrito (460 a.C. — 370 a.C.), e pelo seu professor Leucipo de Mileto (primeira metade do 
século V A.C.), que postulavam que toda matéria era constituída a partir de partículas minúsculas e invisíveis ― os 
átomos (“sem divisão” ou “indivisível” do grego átomo). 
No início do século XX um dos modelos de átomo de maior importância foi o proposto pelo físico inglês Ernest 
Rutherford (1871-1937), posteriormente refinado pelo físico dinamarquês Niels Bohr (1885-1962). 
3 
 
 
Figura 2.6: (a) Ernest Rutherford (1871-1937); (b) Niels Bohr (1885-1962); 
c) Ilustração do modelo atômico Rutherford- Bohr. 
 
Segundo esse modelo, todo átomo apresenta duas regiões distintas: 
Núcleo: região central do átomo, de dimensões reduzidas se comparadas às dimensões do átomo (o raio do núcleo é 
cerca de 10.000 vezes menor que o raio do átomo) que concentra praticamente toda a massa do átomo, onde estão 
localizados partículas denominadas prótons e nêutrons. O núcleo é eletrizado positivamente. 
Eletrosfera: região constituída de camadas, ou níveis, no entorno do núcleo e relativamente bem afastadas, nas quais 
orbitam partículas leves denominadas elétrons. Os elétrons descrevem órbitas circulares estacionárias ao redor do 
núcleo, bem definidas e com energia bem característica. Quando o átomo recebe energia (elétrica, térmica, etc.) um 
ou mais elétrons absorve(m) essa energia e salta(m) para níveis mais afastados do núcleo, podendo mesmo abandonar 
o átomo. Ao voltarem as suas órbitas originais, devolvem a energia recebida em forma de luz (fenômeno observado, 
tomando como exemplo, uma barra de ferro aquecida ao rubro). 
Naturalmente, o conceito de modelo atômico está em contínua evolução, no entanto como o modelo atômico 
Rutherford-Bohr fornece suporte suficiente para explicar cientificamente a maioria dos fenômenos elétricos, nossa 
discussão o assunto é dada como por encerrada neste ponto da história da Ciência. 
 
2.5. CARGA ELÉTRICA ELEMENTAR 
A famosa “Experiência da gota de óleo” foi um experimento realizado por Robert Andrews Millikan (1868 — 1953) 
com o objetivo de medir a carga elétrica do elétron. 
 
 
Figura 2.7: (a) Robert Andrews Millikan (1868 — 1953); (b) Os equipamentos empregados por Millikan na 
determinação da carga elétrica do elétron. 
 
O experimento consiste em equilibrar as forças elétrica e gravitacional que atuam em minúsculas gotas de óleo 
eletrizadas e abandonadas entre dois eletrodos. 
Conhecida a intensidade do campo elétrico aplicado, a carga elétrica da gota pode ser determinada. Repetindo o 
experimento com várias gotas, Millikanobservou que os valores medidos eram sempre múltiplos de um mesmo 
 
valor numérico. Milikan concluiu que esse valor numérico era a carga elétrica de um único elétron e o menor valor de 
carga elétrica encontrado na Natureza. 
 
4 
 
 
Figura 2.8: (a) (b) e (c) detalhes dos equipamentos empregados por Millikan na determinação da carga elétrica do 
elétron. 
 
Esse valor de carga elétrica, chamado carga elétrica elementar (e), atualmente é: 
 
𝐞 (𝐜𝐚𝐫𝐠𝐚 𝐞𝐥é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐚𝐫) = 𝟏,𝟔𝟎𝟐.𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛∗ 
 
* coulomb é a unidade de medida de carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades. Abrev.: (C) 
 
2.6. A CARGA ELÉTRICA DE UM CORPO 
A partir da evidencia experimental mostrada pela “Experiência da gota de óleo” de Millikan, e do modelo atômico 
Rutherford-Bohr conclui-se que a carga elétrica em qualquer corpo é “quantizada”, isto é, quantidade de carga 
elétrica em qualquer corpo é sempre um múltiplo inteiro da carga elementar (e). Assim 
𝐐 = 𝐧. 𝐞 
onde 
𝐧 = 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐩𝐫ó𝐭𝐨𝐧𝐬 𝐧𝐨 𝐜𝐨𝐫𝐩𝐨 − 𝐧ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐞𝐥é𝐭𝐫𝐨𝐧𝐬 𝐧𝐨 𝐜𝐨𝐫𝐩𝐨 
 
Obs.: Se n > 0 o número de prótons no corpo é maior que o de elétrons dizemos que o corpo está eletrizado 
positivamente; 
Se n < 0 o número de elétrons no corpo é maior que o de prótons dizemos que o corpo está eletrizado 
negativamente. 
 
2.6.1. ÍON 
Íon é uma espécie química eletrizada, geralmente um átomo ou molécula que perdeu ou ganhou um ou mais elétrons. 
 
2.6.1.a. ÍON POSITIVO (CÁTION) 
Átomos que por algum processo perdem elétrons e portanto, permanecem eletrizados com carga elétrica positiva são 
denominados íons positivos ou cátions. 
 
2.6.1.b. ÍON NEGATIVO (ÂNION) 
Átomos que por algum processo recebem elétrons e portanto, permanecem eletrizados com carga elétrica negativa 
são denominados íons negativos ou ânions. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
R1) Um corpo inicialmente eletricamente neutro recebe 10 milhões de elétrons. Determine a carga elétrica que 
eletriza esse corpo. 
SOLUÇÃO: 
Como o número de elétrons no corpo excede o número de prótons em 1.106 elétrons, então 
n = número de prótons − número de elétrons = −1. 106 
portanto, a carga elétrica que eletriza o corpo em estudo é 
Q = n e = (−1. 106)(1,6. 10−19) = −1,6. 10−13 coulomb 
5 
 
Resp.: O corpo permanece eletrizado com carga elétrica negativa (nprótons < nelétrons) de 1,6. 10-13 C. 
 
R2) Um corpo inicialmente eletricamente neutro é energizado e nesse processo perde 1,5.1012 elétrons. Determine a 
carga elétrica que eletriza esse corpo. 
SOLUÇÃO: 
Como o corpo perde elétrons o número de prótons no corpo excede o número de elétrons em 1,5.1012 prótons, então 
n = número de prótons − número de elétrons = 1,5. 1012 
portanto, a carga elétrica que eletriza o corpo em estudo é 
Q = n e = (1,5. 1012)(1,6. 10−19) = 2,4. 10−7 coulomb 
Resp.: O corpo permanece eletrizado com carga elétrica positiva (prótons > nelétrons) de 2,4. 10-7 C. 
 
R3) Um corpo se apresenta eletrizado com a carga elétrica de -3,2 10-12 C. Identifique o tipo de partícula que eletriza 
o corpo e sua quantidade. 
SOLUÇÃO: 
Como o corpo se apresenta eletrizado com carga negativa concluímos que apresenta excesso de elétrons. 
E como 
Q = n. e, então o número de elétrons é n =
Q
e
=
(−3,2. 10−12)
(1,6. 10−19)
 ⟹ n = −2,0. 107 elétrons 
Resp.: O corpo apresenta um excesso de 2,0.107 elétrons. 
 
R4) Um corpo se apresenta eletrizado com a carga elétrica de +6,4.10-10 C. Identifique o tipo de partícula que eletriza 
o corpo e sua quantidade. 
SOLUÇÃO: 
Como o corpo se apresenta eletrizado com carga positiva concluímos que apresenta falta de elétrons (o número de 
prótons no corpo excede o número de elétrons). 
E como 
Q = n. e, então o número de prótons é n =
Q
e
=
(6,4. 10−10)
(1,6. 10−19)
 ⟹ n = 4,0. 109 prótons 
Resp.: O corpo apresenta uma falta de 4,0.109 elétrons (ou seja, 4,0.109 prótons a mais que elétrons). 
 
R5) Um corpo contem 1,500.1025 elétrons e 1,501.1025 prótons. Determine a carga de eletrização desse corpo. 
SOLUÇÃO: 
O número de cargas de eletrização de um corpo é dado por 
n = número de prótons − número de elétrons 
portanto 
n = (1,501. 1025 ) − (1,500. 1025 ) = 0,001. 1025 = 1,000. 1022 
Concluímos que o corpo apresenta falta de elétrons (o número de prótons no corpo excede o número de elétrons em 
1,000.1022 prótons), e como 
Q = n. e, então Q = (1,000. 1022). (1,6. 10−19) ⟹ Q = 1,6. 103 C 
Resp.: o corpo apresenta uma falta de 1,000.1022 elétrons (ou seja, 1,000.1022 prótons a mais que elétrons) e apresenta 
uma carga de eletrização de 1,600.103 C. 
 
R6) Um corpo contem 2,64.1015 elétrons e 2,24.1015 prótons. Determine a carga de eletrização desse corpo. 
SOLUÇÃO: 
O número de cargas de eletrização de um corpo é dado por 
n = número de prótons − número de elétrons 
portanto 
n = (2,24. 1015 ) − (2,64. 1015 ) = −0,20. 1015 = −2,00. 1014 
Concluímos que o corpo apresenta excesso de 2,00.1014 elétrons, e como 
Q = n. e, então, Q = (−2,00. 1014). (1,6. 10−19) ⟹ Q = −3,2. 10−5 C 
Resp.: O corpo apresenta excesso de 2,00.1014 elétrons e apresenta uma carga de eletrização de -3,2.10-5 C. 
 
 
 
6 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
P1) Calcule a quantidade de carga elétrica de um corpo que possui excesso de 24.1012 elétrons. 
Resposta: Q = - 3,84 C 
P2) Um corpo condutor inicialmente neutro perde 5,0.1013 elétrons. Qual será a carga elétrica no corpo após esta 
perda de elétrons? 
Resposta: Q = + 8,0.10-6 C ou + 8,0 C 
P3) Uma esfera metálica tem quantidade de carga elétrica negativa de valor igual a 3,2.10-4 C. Sendo a carga do elétron, 
em módulo, igual a 1,6 10-19 C, calcule o número de elétrons em excesso que a esfera contém. 
Resposta: n = 2,0.1015 elétrons 
P4) Um corpo possui 5,0.1019 prótons e 4,0.1019 elétrons. Qual a carga deste corpo? 
Resposta: Q = + 1,6 C 
P5) Um íon de bário possui 56 prótons, 76 nêutrons e 54 elétrons. Determine a quantidade de carga elétrica desse íon. 
Resposta: Q = + 3,2.10-19 C 
P6) Uma partícula está eletrizada positivamente com uma carga elétrica de 4,0.10-15 C. Essa partícula ganhou ou 
perdeu elétrons? Quantos? 
Resposta: A partícula perdeu 2,5.104 elétrons. 
P7) Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), físico francês, iniciou suas pesquisas no campo da eletricidade e do 
magnetismo para participar de um concurso aberto pela Academia de Ciências sobre a fabricação de agulhas 
imantadas. Estudou o atrito e descobriu a eletrização superficial dos condutores. Em sua homenagem a unidade de 
carga elétrica no sistema internacional recebeu seu nome. Qual o número de elétrons existentes em uma carga de 1,0 
C? 
Resposta: n = 6,25.1018 elétrons 
P8) O átomo de certo elemento é composto por 2 prótons, 2 nêutrons e 2 elétrons. Determine a carga elétrica do 
núcleo deste átomo. 
Resposta: Q = + 3,2.10-19 C 
P9) Um corpo contem 1,352.1012 elétrons e 1,350.1012 prótons. Determine a carga de eletrização desse corpo. 
 
Resposta: o corpo apresenta excesso de 2.109 elétrons e apresenta uma carga de eletrização de -3,2.10-10 C. 
 
P10) Um corpo que se encontra eletrizado inicialmente com carga - 3 C. São retirados 3.1013 elétrons. Qual será a 
nova carga de eletrização desse corpo? 
 
Resposta: +1,8 . 10-6 C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
3. INTENSIDADE DA FORÇA ELÉTRICA 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
Nas seções anteriores deve ter ficado claro que para explicar alguns fenômenos observados na natureza é necessário 
introduzir um “novo” tipo de interação entre corpos, e a esse tipo de interação deu-se o nome de interação elétrica, 
ou força elétrica. 
Além disso, mostramos que para que um corpo possa interagir eletricamente associamos a esse corpo uma 
propriedade específica que denominamos carga elétrica, e que cargas elétricas de mesmaespécie se repelem e de 
espécie contraria se atraem. 
Neste capítulo vamos identificar de quais variáveis depende essa interação elétrica, e como essas variáveis 
determinam as características dessa interação elétrica. 
 
3.2. A LEI DE COULOMB 
Por volta de 1780 o físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) pesquisou as interações elétricas usando 
uma balança de torção ilustrada na Figura 3.2. 
 
 
Figura 3.1: Charles Augustin Coulomb (1736-1806). 
 
Apesar da inexistência, na época, de instrumentos de medição precisos para a realização e obtenção de medidas 
elétricas, Coulomb conseguiu determinar a relação matemática entre as variáveis relevantes para as interações 
eletrostáticas entre corpos de pequenas dimensões. 
 
 
Figura 3.2: (a) Imagem da balança de torção utilizada por Charles Augustin Coulomb; (b) e (c) Ilustração indicando o 
processo utilizado por Coulomb para a determinação da Lei de Interação Elétrica. 
 
De forma simplificada a balança de torção consiste de um filamento que sustenta um espelho e uma haste horizontal. 
Esta haste tem numa das extremidades um contrapeso, na outra, uma pequena esfera de material isolante. Diante 
deste dispositivo está montada uma escala em graus. Um feixe de luz incide sobre o espelho, se reflete e define uma 
marca na escala graduada. Com a rotação da haste o espelho gira e através do deslocamento angular da luz refletida 
é possível medir a torção no filamento. 
8 
 
Além deste instrumento de medição, Coulomb desenvolveu outros métodos experimentais, baseados na medida dos 
períodos de oscilação da haste suspensa no fio de torção. Na verdade, este era o método aplicado por Coulomb para 
calibrar dos fios utilizados nas balanças de torção. 
Coulomb constatou que a intensidade da força de interação elétrica é proporcional ao produto das quantidades de 
carga dos corpos que interagem (|𝒒𝟏| 𝒆 |𝒒𝟐|) e inversamente proporcional ao quadrado da distância | �⃗� | entre eles, 
o que matematicamente pode ser expresso por 
 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
 
Figura 3.3: Diagrama apresentando a variação da intensidade da força elétrica com a distância entre as cargas. 
 
Essa expressão ficou conhecida como lei de Coulomb, onde k é uma constante de proporcionalidade que depende do 
meio em que os corpos eletrizados estão imersos e foi denominada constante de Coulomb, cujo valor para o vácuo 
(𝑘0) (no Sistema Internacional de Unidades) é: 
k0 = 8,988 . 10
9 
N.m2
C2
≅ 9,00 . 109 
N.m2
C2
 
A constante k é também denominada constante eletrostática do meio e algumas vezes é interessante escrevê-la em 
termos de outra constante (𝜀) denominada permissividade do meio ou constante dielétrica do meio. A relação entre 
essas constantes é dada por 
k =
1
4πε
 
Como exemplo a constante dielétrica do vácuo (𝜀0) (no Sistema Internacional de Unidades) é: 
ε0 = 8,854 . 10
−12 
C2
N.m2
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
R7) A distância entre duas partículas eletrizadas, no vácuo, é de 1,0 m. Suas cargas elétricas são 1,0 C cada uma. Dado 
que a constante eletrostática no vácuo é 9.109 N.m2/C2, determine a intensidade da força elétrica entre elas. 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
logo podemos escrever que 
|F⃗ | = (9. 109)
(1,0. 10−6). (1,0. 10−6)
(1,0)2
= 9,0. 10−3 N 
Resp.: Como as cargas são de mesmo sinal a força entre elas é de repulsão e de intensidade 9,0. 10−3 𝑁. 
 
R8) Duas pequenas esferas, no vácuo, estão eletrizadas com cargas elétricas respectivamente -2,0 C e 3,0 C. A 
distância que as separa é 1,0 m. Calcular a intensidade da força eletrostática entre elas. 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
logo podemos escrever que 
9 
 
|F⃗ | = (9. 109)
(2,0. 10−6). (3,0. 10−6)
(1,0)2
= 5,4. 10−2 N 
Resp.: Como as cargas são de sinais contrários a força entre elas é de atração e de intensidade 5,4. 10−2 N. 
 
R9) Duas partículas A e B eletrizadas, no vácuo, estão separadas de uma distância de 10 cm. A partícula A tem carga 
elétrica 2,0 C. Sabendo que a intensidade força eletrostática com que se repelem é 5,4 N, determine a carga da 
partícula B. 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
logo podemos escrever que 
(5,4) = (9. 109)
(2,0. 10−6). |qB|
(10. 10−2)2
 ⟹ |qB| =
(5,4)(10. 10−2)2
(9. 109)(2,0. 10−6)
= 3,0. 10−6 C 
Pelo determinado a partir dos cálculos a partícula B poderia estar eletrizada com carga +3,0. 10−6 C ou −3,0. 10−6 𝐶. 
No entanto como o enunciado afirma que a força entre as partículas é de repulsão elas estão eletrizadas com carga 
de mesmo sinal, portanto a carga de B é +3,0. 10−6 C. 
Resp.: Como as partículas se repelem a carga de B é +3,0. 10−6 C. 
 
R10) Duas cargas elétricas puntiformes e idênticas no vácuo se repelem com força de intensidade 0,1 N, quando 
separadas de uma distância de 30 cm. Determine o valor das cargas. 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
E como as cargas são idênticas faremos 
|q1| = |q2| = |q| 
logo podemos escrever que 
(0,1) = (9. 109)
|q|. |q|
(30. 10−2)2
= (9. 109)
|q|2
(30. 10−2)2
 ⟹ |q|2 =
(0,1)(30. 10−2)2
(9. 109)
= 3,0. 10−6 C 
logo, 
|q|2 = 1,0. 10−12 ⟹ q = ±√1,0. 10−12 = ±1,0. 10−6C 
Pelo determinado a partir dos cálculos, as partículas podem estar eletrizadas com carga +1,0. 10−6 C ou −1,0. 10−6 C, 
desde que ambas estejam eletrizadas com o mesmo sinal de carga. 
Resp.: |q1| = |q2| = |q| = ±1,0. 10
−6 C. 
 
R11) O diagrama ao lado apresenta a intensidade da força eletrostática entre duas cargas elétricas puntiformes 
idênticas. Determine: 
a) o módulo de cada uma das cargas; 
b) o módulo da força elétrica entre as cargas quando à distância de 2,00 m. 
 
 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
10 
 
Neste problema como as cargas são idênticas |q1| = |q2| = |q|, e de leitura direta do diagrama fornecido sabemos 
que para |𝑟 | = 3. 10−3 𝑚 a intensidade da força entre as cargas é |F⃗ | = 1,0. 103N, logo podemos escrever que 
(1,0. 103) = (9. 109)
|q|. |q|
(3,0. 10−3)2
= (9. 109)
|q|2
(3,0. 10−3)2
 
e portanto 
|q|2 =
(1,0. 103)(3,0. 10−3)2
(9. 109)
= 1,0. 10−12 C2 ⟹ |q| = √1,0. 10−12 = 1,0. 10−6 C 
e portanto 
q = ±1,0. 10−6 C (a) 
E quando a distância entre as cargas passar a ser 2,00 m 
|F⃗ | = (9. 109)
(1,0. 10−6). (1,0. 10−6)
(2,00)2
= 2,25. 10−3 N 
Resp.: (a) q1 = q2 = ±1,0. 10
−6 C; (b) |F⃗ | = 2,25. 10−3 N. 
 
R12) Duas cargas elétricas puntiformes se repelem com uma força de intensidade F0 quando a distância entre elas é 
d. Qual será a intensidade da força entre elas quando a distância for 2d? E quando for 3d? 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
de acordo com o enunciado, quando a distância entre as cargas é d 
F0 = k
|q1|. |q2|
d2
 equação (1) 
quando a distância entre as cargas passar a ser 2d 
|F⃗ 2d| = k
|q1|. |q2|
(2d)2
 ou ainda |F⃗ 2d| = k
|q1|. |q2|
4d2
 equação (2) 
Agora fazendo (2)/(1) 
|F⃗ 2d| = k
|q1|. |q2|
4d2
 F0 = k
|q1|. |q2|
d2
 
 ⟹ 
|F⃗ 2d|
F0
=
k
|q1|. |q2|
4d2
k
|q1|. |q2|
d2
=
k
k
|q1|. |q2|
4d2
.
d2
|q1|. |q2|
 
logo 
|F⃗ 2d|
F0
=
1
4
 ⟹ |F⃗ 2d| =
F0
4
 
quando a distância entre as cargas passar a ser 3d 
|F⃗ 3d| = k
|q1|. |q2|
(3d)2
 ou ainda |F⃗ 2d| = k
|q1|.|q2|
9d2
 equação (3) 
Agora fazendo (3)/(1) 
|F⃗ 3d| = k
|q1|. |q2|
9d2
 F0 = k
|q1|. |q2|
d2
 
 ⟹ 
|F⃗ 3d|
F0
=
k
|q1|. |q2|
9d2
k
|q1|. |q2|
d2
=
k
k
|q1|. |q2|
9d2
.
d2
|q1|. |q2|
 
logo 
|F⃗ 3d|
F0
=
1
9
 ⟹ |F⃗ 3d| =
F0
9
 
Resp.: Quando a distância entre as cargas passar a ser 2d a nova intensidade da força passará a ser |F⃗ 2d| =
F0
4
 e 
quando a distância entre as cargas passar a ser 3d a nova intensidade da força passará a ser |F⃗ 3d| =
F0
9
. 
 
R13) Três objetos pontuais (A, B e C) eletrizados com cargas iguais estão alinhados no vácuo conforme mostra a figura. 
A intensidade da força elétrica entre os corpos A e B tem intensidade 8,0 N. Determine: 
a) A intensidade da força entre B e C; 
b) A intensidade da força entre A e C; 
c) A intensidade da força resultante sobre o corpo C. 
11 
 
 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
De acordo com o enunciado como as cargas são idênticas faremos 
|qA| = |qB| = |qC| = |q| 
e a intensidade da força entre as cargas A e B é 8,0 N, portanto 
|F⃗ AB| = k
|qA|. |qB|
|r AB|2
⟹ 8,0 = k
|q|. |q|
d2
 (repulsão) equação (1) 
Então para calcular a intensidade da força entre as cargas B e C faremos 
|F⃗ BC| = k
|qB|. |qC|
|r BC|2
⟹ |F⃗ BC| = k
|q|. |q|
d2
 equação (2) 
e comparando a equação (1) com a equação (2), concluímos que 
|F⃗ BC| = 8,0 N (repulsão) (a) 
Para calcular a intensidade da força entre as cargas A e C faremos 
|F⃗ AC| = k
|qA|. |qC|
|r AC|2
⟹ |F⃗ AC| = k
|q|. |q|
(2d)2
= k
|q|. |q|
4d2
=
1
4
k
|q|. |q|
d2
 equação (3) 
e comparando a equação (1) com a equação (3), concluímos que 
|F⃗ AC| =
1
4
|F⃗ AB| =
1
4
(8,0), portanto |F⃗ AC| = 2,0 N (repulsão) (b) 
no corpo C temos |F⃗ BC| = 8,0 N (B repele C) e |F⃗ AC| = 2,0 N (A repele C), 
 
 
 
portanto, a intensidade da força elétrica resultante em C é 
|R⃗⃗ C| = |F⃗ AC| + |F⃗ BC| = 10,0 N (repulsão) (c) 
 
 
 
Resp.: (a)|F⃗ BC| = 8,0 N (repulsão);(b)|F⃗ AC| = 2,0 N (repulsão);(c) |R⃗⃗ C| = 10,0 N (repulsão). 
 
R14) As partículas A, B e C, fixas, estão eletrizadas conforme a ilustração anexa. O meio é o vácuo e q= 2,0 C. 
Determine a intensidade da força elétrica resultante sobre o corpo B. 
 
 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
A intensidade da força entre as cargas A e B é 
|F⃗ AB| = k
|qA|. |qB|
|r AB|2
⟹ |F⃗ AB| = (9. 10
9)
(2,0. 10−6). (2,0. 10−6)
(10. 10−2)2
= 3,6 N (repulsão) 
A intensidade da força entre as cargas C e B é 
|F⃗ CB| = k
|qC|. |qB|
|r CB|2
⟹ |F⃗ CB| = (9. 10
9)
(12,0. 10−6). (2,0. 10−6)
(40. 10−2)2
= 1,4 N (repulsão) 
Então no corpo B temos |F⃗ CB| = 1,4 N (C repele B) e |F⃗ AB| = 3,6 N (A repele B), 
 
12 
 
 
 
portanto, a intensidade da força elétrica resultante em B é 
|R⃗⃗ B| = |F⃗ CB| − |F⃗ AB| = 2,2 N (sentido de A para C) 
 
 
 
Resp.: |R⃗⃗ B| = 2,2 N (sentido de A para C). 
 
R15) Determine a força elétrica exercida pelo dipolo elétrico (duas cargas elétricas de mesmo módulo e de sinais 
opostos (+q e –q) separadas pela distância 2d) sobre uma carga elétrica +Q, quando colocada sobre a reta suporte do 
dipolo a uma distância d da carga mais próxima, conforme ilustra a figura ao lado. 
 
 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
A força elétrica resultante em Q é dada pela aplicação do princípio da superposição, ou seja, é a soma da força elétrica 
aplicada em Q devido a +q (F⃗ Qq+) com força elétrica aplicada em Q devido a -q (F⃗
 
Qq−) 
Como as cargas estão sobre uma mesma reta podemos aplicar notação escalar simplesmente. Assim 
|F⃗ Qq+| = k
|Q|. |q|
(3d)2
=
1
9
k
|Q|. |q|
d2
 (de repulsão) 
e 
|F⃗ Qq−| = k
|Q|. |q|
(d)2
= k
|Q|. |q|
d2
 (de atração) 
portanto a intensidade da força resultante em +Q (|R⃗⃗ Q|) será 
|R⃗⃗ Q| = |F⃗ Qq−| − |F⃗
 
Qq+
| = (k
|Q|. |q|
d2
) − (
1
9
k
|Q|. |q|
d2
) =
8
9
k
|Q|. |q|
d2
 
 
 
 
Resp.: Como pode ser observado na ilustração acima, a força resultante em Q terá a direção da reta suporte do dipolo, 
sentido de atração em relação à carga –q e intensidade |R⃗⃗ Q| =
8
9
k
|Q|.|q|
d2
. 
 
R16) No modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio o elétron gira ao redor do núcleo, constituído de apenas 
um único próton, em trajetória circular de raio 5,0 x 10-11 m. Admitindo que a interação entre essas partículas seja 
exclusivamente elétrica calcule a intensidade da força de ligação entre o elétron e o núcleo de acordo com esse 
modelo. 
SOLUÇÃO: 
A intensidade da força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
13 
 
Admitindo a existência apenas de interações elétricas a intensidade da força de ligação entre o próton (núcleo do 
átomo de Hidrogênio) e o elétron (na eletrosfera) é dada pela Lei de Coulomb 
|F⃗ | = k
|q1|. |q2|
|r |2
 
onde 
|q1| é o módulo da carga elétrica do proton (e = 1,6. 10
−19C) 
|q2| é o módulo da carga elétrica do elétron (e = 1,6. 10
−19C) 
e 
|r | é o raio do átomo de Hidrogênio (5,0. 10−11 m) 
assim 
|F⃗ | = (9. 109)
(1,6. 10−19). (1,6. 10−19)
(5,0. 10−11)2
= 9,2. 10−7 N (atração) 
Resp.: |F⃗ | = 9,2. 10−7 N (atração). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
P11) Duas cargas puntiformes, Q1= 5,0 C e Q2 = -4,0 C, no vácuo, estão separadas por uma distância de 30 cm. 
Determine a intensidade da força elétrica entre elas. 
 
Resposta: F = 2,0 N 
 
P12) A intensidade da força elétrica entre duas cargas elétricas puntiformes iguais, situadas no vácuo a uma distância 
de 2,0 m uma da outra, é de 202,5 N. Qual o valor das cargas? 
 
Resposta: Q = 3,0.10-4 C 
 
P13) Duas cargas elétricas puntiformes, iguais e positivas iguais a √3,0 . 10−8 C, cada uma, são colocadas no vácuo, a 
uma distância de 3,0 m uma da outra. Calcule a intensidade da força de origem eletrostática entre elas. 
 
Resposta: F = 3,0.10-7 N 
 
P14) Duas cargas elétricas puntiformes se atraem. Duplicando-se a distância entre elas, no mesmo meio, a força de 
atração será: 
a) o dobro b) a metade c) o quádruplo d) a quarta parte e) a mesma 
 
Resposta: d 
 
P15) Duas cargas elétricas iguais de 2,0.10-6 C se repelem no vácuo com uma força de 0,1 N. Calcule a distância entre 
essas cargas. 
 
Resposta: r = 6,0.10-1 m = 0,6 m 
P16) Uma carga elétrica repele um pêndulo elétrico a 5,0 cm de distância, enquanto uma outra carga de mesmo sinal, 
para provocar a mesma repulsão, deve estar a 10 cm de distância. A segunda carga é: 
a) o dobro da 1ª b) o triplo da 1ª c) o quádruplo da 1ª d) o quíntuplo da 1ª e) a metade da 1ª 
 
Resposta: c 
P17) Uma pequena esfera recebe uma carga de 40 C, e outra esfera de diâmetro igual, localizada a 20 cm de distância, 
recebe uma carga de -10 C. 
 
14 
 
a) Calcule a intensidade da força entre elas, identificando se é de atração ou de repulsão. 
b) Colocando as esferas em contato e afastando-as 5,0 cm, determine a nova força de interação elétrica entre elas. 
 
Respostas: a) F = 90 N de atração; b) F’ = 810 N ou 8,1.102 N de repulsão. 
 
P18) Duas pequenas esferas idênticas estão eletrizadas com cargas Q e - 5Q e se atraem com uma força elétrica de 
intensidade F, quando estão separadas de uma distância d. Colocando-as em contato e posicionando-as, em seguida, 
a uma distância 2d uma da outra, a intensidade da nova força de interação elétrica (F’) entre as esferasserá: 
a) F/2 b) F/3 c) F/4 d) F/5 e) F/10 
 
Resposta: d 
 
P19) Duas cargas q1 e q2, de mesmo sinal, estão fixas sobre uma reta e distantes de 4,0 m. Entre q1 e q2 é colocada 
outra carga q3 distante 1,0 m de q1. Sabendo que q1 = 5,0 C e que q3 permanece em equilíbrio, determine o valor de 
q2. 
 
Resposta: q2 = 45 C 
P20) Três objetos, com cargas elétricas idênticas, estão alinhados, como mostra a figura. O objeto C exerce sobre B 
uma força de módulo igual a 3,0.10-6 N. Calcule a intensidade da força elétrica, resultante dos efeitos de A e C sobre 
B. 
 
 
 
 
Resposta: FR sobre B = 2,4.10-5 N 
 
P21) As cargas da figura estão localizadas no vácuo. Determine a distância X para que a carga Q2 fique em equilíbrio 
sob a ação exclusiva das forças eletrostáticas. As cargas Q1 e Q2 são fixas. Indique graficamente os vetores força elétrica 
na disposição das cargas. 
 
 
Resposta: x = 1,0 cm 
P22) Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2, sendo Q2 = 4Q1, estão fixas em dois pontos A e B, respectivamente, 
distantes 30 cm um do outro. 
a) A que distância do ponto A deve ser colocada uma carga Q3 qualquer para ficar em equilíbrio sob a ação exclusiva 
das forças elétricas? 
b) Resolva o item anterior considerando agora que Q2 = - 4 Q1 
 
Respostas: a) r1;3 = 10 cm; b) x’ = 30 cm. 
 
P23) Duas cargas elétricas puntiformes Q1 = 8,0.10-8 C e Q2 = -2,0.10-8 C estão fixas no vácuo, separadas por uma 
distância d = 6,0 cm. Determine. 
 
a) a intensidade da força elétrica de atração. 
15 
 
b) a intensidade da força elétrica resultante, que age sobre uma carga Q3 = 1,0.10-8 C, colocada no ponto médio do 
segmento que une Q1 e Q2 . 
c) a posição em que Q3 deve ser colocada de modo a ficar em equilíbrio somente sob a ação de forças elétricas. 
 
Respostas: 
a) F12 = F21 = 4,0.10-3 N; 
b) FR sobre Q3 = 1,0.10-2 N; 
c) Q3 deve ser alinhada com Q1 e Q2 e colocada a 6,0 cm de Q2, fora da região entre elas. 
 
P24) Considere três cargas puntiformes fixas nos vértices do triângulo retângulo conforme mostra a figura. Determine 
a intensidade da força eletrostática resultante sobre a carga no ponto B. Dados: QA = QC = 1,0 C e QB = 1,0 mC. 
 
 
 
Resposta: FR sobre QB = √2. 102 N 
 
P25) Na situação da figura abaixo representada, calcule a intensidade da força elétrica resultante sobre a carga Q1. 
Dados: Q1 = 40 C, Q2 = 50 C e Q3 = -25 C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: FR = 0,709 N = 7,09.10-1 N 
 
P26) Um objeto A, com carga elétrica +Q e dimensões desprezíveis, fica sujeito a uma força de intensidade 20.10-6 N 
quando colocado em presença de um objeto idêntico, à distância de 1,0 m. Se A for colocado na presença de dois 
objetos idênticos, como indica a figura, fica sujeito a uma força de intensidade aproximadamente igual a: 
 
 
Resposta: c 
 
 
 
 
 
30 cm 
C 
 B A 
30 cm 
a) 40.10-6N 
b) 10.10-6N 
c) 7,1.10-6N 
d) 5,0.10-6N 
e) 14,1.10-6N 
 
 A 
 
2 m 
2 m 
16 
 
P27) Um pêndulo elétrico de comprimento L e massa m = 0,12 kg eletrizado com uma carga Q é repelido por outra 
carga igual, fixa no ponto A. A figura mostra a posição de equilíbrio do pêndulo. Calcule Q. Adote g = 10 m/s². 
 
 
Resposta: Q = 3,0.10-6 C ou 3,0 C 
 
P28) Duas cargas elétricas puntiformes idênticas Q1 e Q2, cada uma com 1,0.10-7C, encontram-se fixas sobre um plano 
horizontal, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Uma terceira carga q, de massa 10 g, encontra-se em equilíbrio no ponto P, formando assim um triângulo isósceles 
vertical. Adotando g = 10 m/s² e sabendo que as únicas forças que agem em q são de interação eletrostática com Q1 e 
Q2 e seu próprio peso, o valor desta terceira carga é: 
 
a) 1,0.10-7 C b) 2,0.10-7 C c) 1,0.10-6 C d) 2,0.10-6 C e) 1,0.10-5 C 
 
Resposta: a 
 
P29) O diagrama ao lado apresenta a intensidade da força eletrostática entre duas cargas elétricas puntiformes 
idênticas. Determine: 
a) o módulo de cada uma das cargas; 
b) o módulo da força elétrica entre as cargas quando à distância de 3,0 m. 
 
Resposta: (a) q1 = q2 = ±1,0. 10
−6 C; (b) |F⃗ | = 1,00. 10−3 N 
 
 
 
 
O 
 
Q 
 
Q 
 
A 
 
30cm 
 
40cm 
 
17 
 
P30) Três pequenas esferas têm cargas elétricas q, Q e q, respectivamente, e estão alinhadas conforme a figura abaixo. 
As esferas estão em equilíbrio devido à ação exclusiva de forças elétricas. 
a) Sendo q > 0, qual é o sinal de Q? 
b) Qual a relação entre q e Q? 
 
Resposta: a) Para que todas as esferas permaneçam em equilíbrio a força resultante em cada uma delas deve ser nula. 
Só observarmos a esfera A veremos que C repele A (cargas de mesmo sinal), consequentemente para garantir o 
equilíbrio de A, B tem que atrair A, portanto o sinal de Q (carga em B) deve ser oposto a q (carga em A e C): Q < 0; 
b) |𝑄| =
|𝑞|
4
 
 
P31) Três esferas alinhadas eletrizadas com carga Q, 2Q e 4Q, respectivamente. A distância entre a esfera de carga Q 
e a esfera de carga 2Q é d1. A distância entre a esfera de carga 2Q e a esfera de carga 4Q é d2. Qual deve ser a relação 
entre dl e d2 para que a resultante das forças elétricas que atuam sobre a esfera de carga 2Q seja nula? 
 
 
 
Resposta: 
𝑑1
𝑑2
=
1
2
 
 
P32) No modelo atômico de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o elétron, de massa m e carga -e, gira com movimento 
uniforme em trajetória circular ao redor do próton, de carga +e. Sendo r o raio da trajetória, calcular a velocidade do 
elétron. 
Resposta: |𝑣 | = √
𝑘𝑒2
𝑚𝑟
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
4. VETOR FORÇA ELÉTRICA 
4.1. O VETOR FORÇA ELÉTRICA (LEI DE COULOMB NA FORMA VETORIAL) 
Forças, de qualquer natureza, são grandezas vetoriais. 
Muito embora a Lei de Coulomb, na sua forma inicial, permita determinar a intensidade da força elétrica entre cargas 
pontuais (ou puntiformes) e ainda que quando acrescida das observações de Du Fay ― que caracterizam a direção e 
sentido da força elétrica ― não temos ainda uma expressão única e operacional para determinar vetor força elétrica 
entre cargas pontuais. 
Nesta seção vamos introduzir uma expressão que permita determinar o vetor força elétrica entre cargas pontuais. 
Vamos considerar duas cargas puntiformes 𝑞1 e 𝑞2 localizadas conforme os vetores posição, respectivamente, 𝑟 1 e 𝑟 2, 
conforme ilustrado na Figura 3.4.. 
 
Figura 3.1.: Posicionamento de duas cargas elétrica pontuais no espaço. 
 
Nossa proposta é apresentar uma expressão que permita determinar o vetor força elétrica que atua na carga 𝑞1 devido 
à presença da carga 𝑞2, que será indicada por �⃗⃗� 𝟏𝟐 (vetor força elétrica que atua na carga 𝒒𝟏 devido à presença da 
carga 𝒒𝟐). 
Para tanto podemos escrever que 
r 1 = x1 i + y1j + z1k⃗ e r 2 = x2 i + y2j + z2 k⃗ 
A posição da carga 𝑞1 (carga em que atua a força elétrica) em relação à carga 𝑞2 (carga que aplica a força elétrica) é 
 r 12 = r 1 − r 2 = (x1 − x2) i + (y1 − y2) j + (z1−z2) k⃗ 
e a distância da carga 𝒒𝟏 (carga em que atua a força elétrica) à carga 𝒒𝟐 (carga que aplica a força elétrica) é o módulo 
de �⃗� 𝟏𝟐, ou seja, 
| r 12| = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 
A forma mais apropriada para indicar esse estabelecimento de direção e sentido consiste em introduzir o versor de 
 𝑟 12, que é dado por 
u⃗ r⃗ 12 = 
r 12
| r 12|
 
e como 
|u⃗ r⃗ 12| = 1 
a função desse versor (�⃗� 𝑟 12) é simplesmente a de indicar a direção e sentido vetor que posiciona 𝑞1 em relação a 𝑞2, 
ou seja, 𝑟 12. 
Assim, conhecida a direção e sentido da força e sua intensidade (dada pela Lei de Coulomb) podemos escrever 
𝐅 𝟏𝟐 = 𝐤
𝐪𝟏. 𝐪𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|𝟐
 �⃗⃗� 𝐫 𝟏𝟐 𝐨𝐮 𝐅
 
𝟏𝟐= 𝐤
𝐪𝟏. 𝐪𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|𝟐
 
𝐫 𝟏𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|
 𝐨𝐮 𝐚𝐢𝐧𝐝𝐚 𝐅 𝟏𝟐 = 𝐤
𝐪𝟏. 𝐪𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|𝟑
 𝐫 𝟏𝟐 
Note que quando 
q1 e q2 têm mesmo sinal, q1. q2 > 0 ⟹ k
q1 . q2
| r 12|3
> 0 e portanto F⃗ 12 e r 12 têm mesmo sentido 
e quando 
q1 e q2 têm sinais opostos, q1. q2 < 0 ⟹ k
q1 . q2
| r 12|3
< 0 𝑒 portanto F⃗⃗ 12 e r 12 𝑡ê𝑚 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠. 
Dessa forma a Lei de Coulomb em sua “forma vetorial” assume as formas 
𝐅 𝟏𝟐 = 𝐤
𝐪𝟏. 𝐪𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|𝟐
 �⃗⃗� 𝐫 𝟏𝟐 𝐨𝐧𝐝𝐞 �⃗⃗� 𝐫 𝟏𝟐 = 
𝐫 𝟏𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|
 é 𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐫 𝟏𝟐 
ou 
19 
 
𝐅 𝟏𝟐 = 𝐤
𝐪𝟏. 𝐪𝟐
| 𝐫 𝟏𝟐|𝟑
 𝐫 𝟏𝟐 
É interessante notar que a forca elétrica ( F⃗ 21) que atua na carga q2 devido à presença da carga q1 é dada por 
 F⃗ 12 = k
q2. q1
| r 21|3
 r 21 
mas, 
q2 . q1 = q1 . q2, | r 21 | = | r 12| e r 21 = − r 12 
então 
F⃗ 12 = k
q2 . q1
| r 21|3
 r 21 = k
q1 . q2
| r 12|3
 (− r 12) = −k
q1. q2
| r 12|3
 r 12 
ou seja 
F⃗ 12 = −F⃗ 12 
essa igualdade nada mais é do que a aplicação da Terceira Lei de Newton (Lei da Ação e Reação), ou seja, a força 
elétrica que q1 aplica em q2 tem a mesma intensidade, mesma direção e sentido contrário à força elétrica que q2 
aplica em q1. 
 
4.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
Imagine uma distribuição de n cargas puntiformes representadas por q1, q2 , q3 , … , qi, . . . qn (uma distribuição discreta 
de cargas) em que a posição de cada carga é dada por seu vetor posição, respectivamente r 1, r 2, r 3, … , r i, . . . r n. O 
princípio da superposição estabelece que a força elétrica que atua sobre a carga qi, devido à ação das outras n-1 cargas 
da distribuição é a soma vetorial das forças que cada uma das demais n-1 cargas individualmente aplicam em qi. Desta 
forma, podemos escrever 
F⃗ i = F⃗ i1 + F⃗ i2 + F⃗ i3 + ⋯+ F⃗ in 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
R17) Na situação ilustrada abaixo, no vácuo, onde as partículas q1 e q2 estão eletrizadas com cargas respectivamente 
25,0 µC e -100,0 µC determine: 
a) a força elétrica que a carga q1 aplica sobre a carga q2; 
b) a intensidade da força elétrica que a carga q1 aplica sobre a carga q2. 
 
SOLUÇÃO: 
Nessas condições os vetores que localizam q1 e q2 são respectivamente r 1 e r 2 dados por: 
r 1 = 0i + 0j 
r 2 = 3,0. 10
−3i + 4,0. 10−3j (m) 
A força elétrica em q2 devido a q1 (F⃗ 21) é dada por 
F⃗ 21 = k
q2 . q1
| r 21|3
 r 21 
onde 
r 21 = r 2 − r 1 = (3,0. 10
−3i + 4,0. 10−3j ) − (0i + 0j ) = (3,0i + 4,0j ). 10−3 (m) 
e 
| r 21| = √(3,0. 10−3)2 + (4,0. 10−3)2 = 5,0. 10
−3 m ⟹ | r 21|
3 = 125,0. 10−9 m3 
 
20 
 
Então 
F⃗ 21 = (9,0. 10
9)
(−100,0. 10−6). (25,0. 10−6)
(125,0. 10−9)
 [(3,0i + 4,0j ). 10−3] = −(1,8. 108)[(3,0i + 4,0j ). 10−3] 
e portanto 
F⃗ 21 = −(5,4i + 7,2j ) 10
5 N (a) 
E a intensidade da força F⃗ 21 
|F⃗ 21| = √(−5,4. 105)2 + (−7,2. 105)2 = 9,0. 10
5 N (b) 
Resp.: (a) F⃗ 21 = −(5,4i + 7,2j ) 10
5 N ;(b) |F⃗ 21| = 9,0. 10
5 N. 
 
R18) Na situação ilustrada abaixo, no vácuo, onde as partículas q1 e q2 estão eletrizadas com cargas respectivamente 
-50,0 µC e 150,0 µC determine: 
a) a força elétrica que a carga q1 aplica sobre a carga q2; 
b) a intensidade da força elétrica que a carga q1 aplica sobre a carga q2. 
 
SOLUÇÃO: 
Nessas condições os vetores que localizam q1 e q2 são respectivamente r 1 e r 2 dados por: 
r 1 = 5,0. 10
−3i + 2,0. 10−3j (m) 
r 2 = 3,0. 10
−3i + 5,0. 10−3j (m) 
A força elétrica em q2 devido a q1 (F⃗ 21) é dada por 
F⃗ 21 = k
q2 . q1
| r 21|3
 r 21 
onde 
r 21 = r 2 − r 1 = (3,0. 10
−3i + 5,0. 10−3j ) − (5,0. 10−3i + 2,0. 10−3j ) = (−2,0. 10−3i + 3,0. 10−3j ) m 
ou 
r 21 = r 2 − r 1 = (−2,0i + 3,0j ). 10
−3 (m) 
e 
| r 21| = √(−2,0. 10−3)2 + (3,0. 10−3)2 = 3,6. 10
−3 m ⟹ | r 21|
3 = 46,9. 10−9 m3 
 
 
então 
F⃗ 21 = (9,0. 10
9)
(150,0. 10−6). (−50,0. 10−6)
(46,9. 10−9)
 [(−2,0i + 3,0j ). 10−3] = −(1,4. 109)[((−2,0i + 3,0j )). 10−3] 
e portanto 
F⃗ 21 = (2,8i − 4,2j ) 10
6 N (a) 
E a intensidade da força F⃗ 21 
|F⃗ 21| = √(2,8. 106)2 + (−4,2. 106)2 = 5,0. 10
6 N (b) 
Resp.: (a) F⃗ 21 = (2,8i − 4,2j ) 10
6 N ;(b) |F⃗ 21| = 5,0. 10
6 N. 
 
 
21 
 
R19) Na situação ilustrada abaixo, no vácuo, determine: 
a) a força elétrica resultante que atua sobre a carga q3; 
b) a intensidade da força elétrica resultante que atua sobre a carga q3. 
 
SOLUÇÃO: 
Para resolver esse problema empregaremos notação vetorial. Para isso vamos estabelecer um sistema de eixos 
cartesianos x, y (já que se trata de um problema no plano) de versores i e j com origem (O), por exemplo, na carga q2, 
conforme ilustração abaixo. 
 
Nessas condições os vetores que localizam q1, q2 e q3 são respectivamente r 1, r 2 e r 3 dados por: 
r 1 = 0i + 3,0j (m) 
r 2 = 0i + 0j 
r 3 = 4,0i + 0j (m) 
A força elétrica resultante em q3 é dada pela aplicação do princípio da superposição, ou seja, é a soma da força elétrica 
aplicada em q3 devido a q1 (F⃗ 31) com força elétrica aplicada em q3 devido a q2 (F⃗ 32). 
E como 
F⃗ 31 = k
q3 . q1
| r 31|3
 r 31 
onde 
r 31 = r 3 − r 1 = (4,0i + 0j ) − (0i + 3,0j ) = 4,0i − 3,0j (m) 
e 
| r 31| = √(4,0)2 + (−3,0)2 = 5,0 m ⟹ | r 31|
3 = 125,0 m3 
então 
F⃗ 31 = (9,0. 10
9)
(1,0. 10−6). (25,0. 10−6)
(125,0)
 (4,0i − 3,0j ) = (1,8. 10−3)(4,0i − 3,0j ) 
e portanto 
F⃗ 31 = (7,2i − 5,4j ) 10
−3 N 
e 
F⃗ 32 = k
q3. q2
| r 32|3
 r 32 
onde 
r 32 = r 3 − r 2 = (4,0i + 0j ) − (0i + 0j ) = 4,0i + 0j = 4,0i + 0j (m) 
e 
| r 32| = √(4,0)2 + (0)2 = 4,0 m ⟹ | r 32|
3 = 64,0 m3 
então 
F⃗ 32 = (9,0. 10
9)
(1,0. 10−6). (16,0. 10−6)
(64,0)
 (4,0i + 0j ) = (2,25. 10−3)(4,0i + 0j ) 
e portanto 
F⃗ 32 = (9,0i + 0j ) 10
−3 N 
 
Finalmente 
F⃗ 3 = F⃗ 31 + F⃗ 32 = (7,2i − 5,4j ) 10
−3 + (9,0i + 0j ) 10−3 
22 
 
F⃗ 3 = (16,2i − 5,4j ) 10
−3 N (a) 
E a intensidade da força resultante sobre q3 é 
|F⃗ 3| = √(16,2. 10−3)2 + (−5,4. 10−3)2 = 17,1. 10
−3 N (b) 
Resp.: (a) F⃗ 3 = (16,2i − 5,4j ) 10
−3 N ;(b) |F⃗ 3| = 17,1. 10
−3 N . 
 
R20) Na situação ilustrada abaixo, no vácuo, com q1= 10,0 µC, q2= -20,0 µC e q3= 50,0 µC determine: 
a) a força elétrica resultante que atua sobre a carga q3; 
b) a intensidade da força elétrica resultante que atua sobre a carga q3. 
 
SOLUÇÃO: 
Nas condições dadas os vetores que localizam q1, q2 e q3 são respectivamente r 1, r 2 e r 3 dados por: 
r 1 = 3,0i + 5,0j (m) 
r 2 = −1,0i − 1,0j 
r 3 = 3,0i + 2,0j (m) 
A força elétrica resultante em q3 é dada pela aplicação do princípio da superposição, ou seja, é a soma da força elétrica 
aplicada em q3 devido a q1 (F⃗ 31) com força elétrica aplicada em q3 devido a q2 (F⃗ 32). 
E como 
F⃗ 31 = k
q3 . q1
| r 31|3
 r 31 
onde 
r 31 = r 3 − r 1 = (3,0i + 2,0j ) − (3,0i + 5,0j ) = 0i − 3,0j (m) 
e 
| r 31| = √(0,0)2 + (−3,0)2 = 3,0 m ⟹ | r 31|
3 = 27,0 m3 
então 
F⃗ 31 = (9,0. 10
9)
(50,0. 10−6). (10,0. 10−6)
(27,0)
 (0,0i − 3,0j ) = (1,67. 10−1)(0,0i − 3,0j ) 
e portanto 
F⃗ 31 = (0,0i − 5,01j ) 10
−1 N 
e 
F⃗ 32 = k
q3. q2
| r 32|3
 r 32 
onde 
r 32 = r 3 − r 2 = (3,0i + 2,0j ) − (−1,0i − 1,0j ) = 4,0i + 3,0j (m) 
e 
| r 32| = √(4,0)2 + (3,0)2 = 5,0 m ⟹ | r 32|
3 = 125,0 m3 
então 
F⃗ 32 = (9,0. 10
9)
(50,0. 10−6). (−20,0. 10−6)
(125,0)
 (4,0i + 3,0j ) = (72,0. 10−3)(4,0i + 3,0j ) 
e portanto 
F⃗ 32 = (2,88i + 2,16j ) 10
−1 N 
Finalmente 
F⃗ 3 = F⃗ 31 + F⃗ 32 = (0,0i − 5,01j ) 10
−1 + (2,88i + 2,16j ) 10−1 
F⃗ 3 = (2,88i − 2,85j ) 10
−1 N (a) 
E a intensidade da força resultante sobre q3 é 
|F⃗ 3| = √(2,88. 10−1)2 + (−2,85. 10−1)2 = 4,05.10
−1 N (b) 
Resp.: a) F⃗ 3 = (2,88i − 2,85j ) 10
−1 ; b)|F⃗ 3| = 4,05. 10
−1 N . 
23 
 
 
R21) Na figura abaixo temos as cargas puntiformes Q1= 5,0 µC, Q2 e Q3. A força resultante em Q2 é F⃗ = −6,0. 10−3j N. 
Determine o valor das cargas Q2 e Q3. 
 
SOLUÇÃO: 
Nas condições dadas os vetores que localizam Q1, Q2 e Q3 são respectivamente r 1, r 2 e r 3 dados por: 
r 1 = 2,0i + 2,0j (m) 
r 2 = 5,0i + 5,0j (m) 
r 3 = 8,0i + 3,0j (m) 
A força elétrica resultante em Q2 é dada pela aplicação do princípio da superposição, ou seja, é a soma da força elétrica 
aplicada em Q2 devido a Q1 (F⃗ 21) com força elétrica aplicada em Q2 devido a Q3 (F⃗ 23). 
E como 
F⃗ 21 = k
Q2.Q1
| r 21|3
 r 21 
onde 
r 21 = r 2 − r 1 = (5,0i + 5,0j ) − (2,0i + 2,0j ) = 3,0i + 3,0j (m) 
e 
| r 21| = √(3,0)2 + (3,0)2 = 4,24 m ⟹ | r 21|
3 = 76,22 m3 
então 
F⃗ 21 = (9,0. 10
9)
Q2 . (5,0. 10
−6)
(76,22)
 (3,0i + 3,0j ) = (0,59. Q2 . 10
3)(3,0i + 3,0j ) 
e portanto 
F⃗ 21 = (1,77. 10
3 . Q2i + 1,77. 10
3 . Q2j ) N 
e 
F⃗ 23 = k
Q2.Q3
| r 23|3
 r 23 
onde 
r 23 = r 2 − r 3 = (5,0i + 5,0j ) − (8,0i + 3,0j ) = −3,0i + 2,0j (m) 
e 
| r 23| = √(−3,0)2 + (2,0)2 = 3,61 m ⟹ | r 23|
3 = 46,87 m3 
então 
F⃗ 23 = (9,0. 10
9)
Q2 . Q3
(46,87)
 (−3,0i + 2,0j ) = (0,19. 109. Q2 . Q3)(−3,0i + 2,0j ) 
e portanto 
F⃗ 23 = (−0,57. 10
9. Q2 . Q3i + 0,38. 10
9. Q2 . Q3j ) N 
Finalmente 
F⃗ 2 = F⃗ 21 + F⃗ 23 = (1,77. 10
3 . Q2i + 1,77. 10
3 . Q2j ) + (−0,57. 10
9 . Q2. Q3i + 0,38. 10
9. Q2. Q3j ) 
F⃗ 2 = {[(1,77. 10
3 . Q2) + (−0,57. 10
9. Q2 . Q3)]i + [(1,77. 10
3 . Q2) + (0,38. 10
9. Q2 . Q3)]j } N 
e como é dado que a força resultante sobre Q2 é 
F⃗ = −6,0. 10−3j N = F⃗ = 0i − 6,0. 10−3j N 
então 
[(1,77. 103 . Q2) + (−0,57. 10
9. Q2. Q3)] = 0 equação 1 
e 
[(1,77. 103 . Q2) + (0,38. 10
9. Q2 . Q3)] = −6,0. 10
−3 equação 2 
Resolvendo então inicialmente a equação 1 
(1,77. 103 . Q2) + (−0,57. 10
9. Q2 . Q3) = 0 ⟹ (1,77. 10
3 . Q2) = (0,57. 10
9 . Q2. Q3) 
ou 
24 
 
(1,77. 103) = (0,57. 109 . Q3) ⟹ Q3 =
1,77. 103
0,57. 109
 ⟹ Q3 =
1,77. 103
0,57. 109
= 3,1. 10−6 C 
e substituindo na equação 2 
(1,77. 103 . Q2) + (0,38. 10
9. Q2. (3,1. 10
−6)) = −6,0. 10−3 
⟹ (1,77. Q2 . 10
3) + (1,18. 103 . Q2) = −6,0. 10
−3 ⟹ 2,95. 103 . Q2 = −6,0. 10
−3 
então 
Q2 =
−6,0. 10−3
2,95. 103
 ⟹ Q2 = −2,0. 10
−6 C 
Resp.: Q3 = 3,1. 10
−6 C e Q2 = −2,0. 10
−6 C. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
P33) Na figura abaixo temos as cargas puntiformes Q1 = 5,0 C, Q2 = 8,0 C e Q3 = -4,0 C. Determine a força resultante 
exercida sobre a carga Q1, sabendo que elas se encontram no vácuo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
F⃗ (2,1) = (−2,3 i + 1,5 j ). 10
−2 N; F⃗ (3,1) = (0,8 i + 0,4 j ). 10
−2 N; F⃗ R(1) = (−1,5 i + 1,9 j ). 10
−2 N 
 
P34) Na figura abaixo temos as cargas puntiformes Q1 = 4,0 C, Q2 = 6,0 C e Q3 = -3,0 C. Determine a força resultante 
exercida sobre a carga Q1, sabendo que elas se encontram no vácuo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
F⃗ (2,1) = (−5,5 i + 3,3 j ). 10
−3 N;F⃗ (3,1) = (3,4 i + 1,4 j ). 10
−3 N; F⃗ R(1) = (−2,1 i + 4,7 j ). 10
−3 N 
 
P35) Na figura abaixo temos as cargas puntiformes Q1= 2,0 µC, Q2= -4,0 µC, Q3= -3,0 µC e Q4= 6,0 µC. Determine a força 
resultante exercida sobre a carga Q4, sabendo que elas se encontram no vácuo. 
 
Resposta: F⃗ = (−3,9i − 35,3j ). 10−3N. 
 
25 
 
P36) Na figura abaixo representada temos as cargas puntiformes, localizadas no vácuo, Q1 = 8,0 C, Q2 = -4,0 C, 
Q3 = 6,0 C e Q4 = -5,0 C. Calcule a força resultante sobre a carga Q2 e a sua intensidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 F⃗ (1,2) = (−6,4 i + 6,4 j ). 10
−3 N; F⃗ (3,2) = (−1,35 i ). 10
−2 N; F⃗ (4,2) = (−2,0 j ). 10
−2 N; 
 F⃗ R(2) = (−1,99 i − 1,36 j ). 10
−2 N; |F⃗ R(2)| = 2,41. 10
−2 N 
 
P37) No esquema de cargas, representado abaixo, o módulo da força resultante na carga Q3 é de 7,54.10-2 N e as 
cargas Q1 e Q2 valem, respectivamente, 6,0 C e 4,0 C. Calcule o valor da carga Q3, em C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Q3 = 6,5 C 
 
P38) No esquema de cargas, representado abaixo, o módulo da força resultante na carga Q2 é de 4,33.10-2 N e as 
cargas Q1 e Q3 valem, respectivamente, 6,0 C e -2,0 C. Calcule o valor da carga Q2, em C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Q2 = 8,0 C 
 
P39) A força eletrostática resultante que as cargas puntiformes Q1 e Q2 fixas, como ilustrado na figura anexa, aplicam 
na carga Q3 é 𝐹 = (9,2𝑖 − 7,2𝑗 ). 10−1𝑁, no vácuo. Dado que Q1= 10,0 µC determine Q2 e Q3. 
 
Resp.: Q2 = −8,0 µC e Q3 = 2,0 µC. 
26 
 
5. CAMPO ELÉTRICO 
5.1. O CONCEITO DE CAMPO ELÉTRICO 
Se considerarmos um corpo eletrizado suficientemente afastado de outros corpos, a ponto de admitir que aquela 
região do espaço esteja isolada de outras ações além daquela do corpo eletrizado, experimentalmente verifica-se a 
existência de manifestações de origem elétrica em suas proximidades, isto é, quando aproximamos daquele primeiro 
corpo eletrizado pequenos corpos eletrizados, utilizados como corpos de prova, verificamos que estes ficam sujeitos 
a forças de natureza elétrica. 
 
Figura 5.1.: O conceito da produção de campo elétrico. 
 
Observando o conjunto de ilustrações apresentados na Figura 4.1. verificamos que na presença da carga fonte Q a 
experiência da carga de prova q0, no ponto P, sofreu alguma alteração. Como a carga de prova q0 permaneceu sempre 
a mesma, devido à presença da carga fonte Q, certamente o “ambiente” sofreu alguma modificação. A essa 
“modificação” do ambiente, produzida pela carga fonte, denominamos campo elétrico. 
A partir dessas considerações estabelecemos que, num dado ponto P do espaço considerado, existe um campo elétrico 
quando uma carga de prova q0 colocada nesse ponto age como se estivesse sob a ação de uma força de origem elétrica, 
ou seja, se uma carga de prova está sujeita à ação de uma força elétrica num dado ponto de espaço dizemos que nessa 
região do espaço existe um campo elétrico. 
 
5.2 O VETOR CAMPO ELÉTRICO 
Do ponto de vista matemático definimos que dado que F⃗ é a força elétrica resultante que atua na carga de prova q0, 
quando no ponto P considerado, o vetor campo elétrico (�⃗� ) naquele ponto P tem intensidade, direção e sentido 
dados por 
�⃗� =
𝐅 
𝐪𝟎
 
ou seja, como 
F⃗ = k
q0. Q
| r PQ|
3 r PQ 
então voltando à definição de vetor campo elétrico 
E⃗⃗ =
F⃗ 
q0
=
k
q0 . Q
| r PQ|
3 r PQ
q0
 
portanto 
E⃗⃗ = k
Q
| r PQ|
3 r PQ 
ou seja, o vetor campo elétrico é uma grandeza vetorial que depende apenas da distribuição de cargas* (Q) e do 
ponto considerado 𝐫 𝐏. 
*À distribuição de cargas (Q) damos o nome de fontes do campo. 
Unidade de vetor campo elétrico no Sistema internacional de unidades 
𝐮𝐧𝐢𝐝(�⃗� ) =
𝐮𝐧𝐢𝐝(𝐅 )
𝐮𝐧𝐢𝐝(𝐪𝟎)
 ⟹ 𝐮𝐧𝐢𝐝(�⃗� ) =
𝐧𝐞𝐰𝐭𝐨𝐧 
𝐜𝐨𝐮𝐥𝐨𝐦𝐛
=
𝐍
𝐂
 
27 
 
É importante lembrar que conhecido o vetor campo elétrico em dado ponto, a força elétrica que atua numa carga 
elétrica puntiforme q naquele ponto é dada por 
𝐅 = 𝐪. �⃗� ∗ 
Da equação acima concluímos que quando a carga de prova q é positiva a força elétrica que atua na carga tem o 
mesmo sentido do campo elétrico e quando a carga de prova q é negativa a força elétrica que atua na carga tem 
sentido contrário ao campo elétrico. 
* Obs.: essa é uma forma bastante prática de determinar força elétrica que atua em cargas de prova. 
 
5.3. O VETOR CAMPO ELÉTRICO DE UMA CARGA ELÉTRICA PUNTIFORME 
Em dado ponto P, de vetor posição é r P, sabemos que a força elétrica que atua numa carga de prova q0, nesse ponto 
P, aplicadapela carga fonte Q na posição r fonte é dada por 
F⃗ = k
q0. Q
| r |3
 r 
onde 
r = r P − r fonte 
então, determinada a força elétrica que atua em q0 no ponto P, aplicando a definição, o vetor campo elétrico no ponto 
P (E⃗⃗ ) é 
E⃗⃗ =
F⃗ 
q0
 ⟹ E⃗⃗ =
(k
q0 . Q
| r |3
 r )
q0
 
ou seja 
E⃗⃗ = k
Q
| r |3
 r 
Observando a expressão acima concluímos que o vetor campo elétrico no ponto P considerado tem: 
Intensidade 
|E⃗⃗ | = k
|Q|
| r |2
 onde | r | é a distância entre a carga fonte (Q) e o ponto P considerado. 
Direção 
A mesma do vetor r , que posiciona o ponto P em relação à carga fonte (Q). 
Sentido 
Quando Q (carga fonte) é positiva temos o produto Q r com o mesmo sentido de r , logo o sentido do vetor campo 
elétrico aponta da carga fonte para o ponto considerado (veja a figura abaixo (a)), 
e 
quando Q (carga fonte) é negativa temos o produto Q r com sentido contrário ao de r , logo o sentido do vetor campo 
elétrico aponta do ponto considerado para a carga fonte(veja a figura abaixo (b)). 
 
Figura 5.2.: Características do vetor campo elétrico de cargas puntiformes. 
 
5.4. O VETOR CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS PUNTIFORMES 
Vamos considerar um ponto P do espaço, e uma distribuição de cargas elétricas puntiformes no entorno do ponto P 
considerado. 
28 
 
 
Figura 5.3.: Exemplo de distribuição de cargas elétricas fonte. 
 
A ação dessa distribuição de cargas elétricas no ponto P pode ser interpretada como o vetor campo elétrico resultante 
no ponto P. 
 
Figura 5.4.: Exemplo de vetor campo elétrico produzido por distribuição de cargas elétricas fonte. 
 
Como campo elétrico é grandeza vetorial, para determinar o vetor campo elétrico resultante no ponto P, podemos 
aplicar o Princípio da Superposição. Assim, o vetor campo elétrico resultante em cada ponto do espaço é a soma 
vetorial dos vetores campo elétrico que cada uma das cargas da distribuição de cargas proposta produz naquele ponto 
considerado. 
 
Figura 5.5.: Definição dos vetores posição do ponto P considerado em relação às cargas elétricas fontes. 
 
 
Figura 5.6.: Definição dos vetores campos elétricos produzidos por cada carga elétrica fonte da distribuição. 
 
E⃗⃗ P = k
Q1
| r P1|3
 r P1 + k
Q2
| r P2|3
 r P2 + ⋯+ k
Q1
| r Pn|3
 r Pn 
ou 
E⃗⃗ P = ∑k
Qi
| r Pi|3
 r Pi
n
i=1
 
29 
 
 
Figura 5.7.: Vetor campo elétrico resultante de determinada distribuição de cargas elétricas fonte. 
 
5.5. CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
O campo elétrico numa dada região do espaço é uniforme se em qualquer ponto daquela região o vetor campo elétrico 
apresentar a mesma intensidade, direção e sentido. 
 
Figura 5.8.: ilustração de campos elétricos uniformes. 
 
Veja que para o campo elétrico uniforme as linhas de campo são necessariamente retas paralelas, orientadas no 
mesmo sentido e igualmente espaçadas. 
 
5.6. LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO 
A ideia de “linhas de campo” foi introduzida por Michael Faraday com o objetivo de facilitar a visualização do campo 
elétrico numa dada região do espaço e a consequente compreensão de seu comportamento. 
Em cada ponto, as “linhas de campo elétrico” são tangentes ao vetor campo elétrico e são orientadas no mesmo 
sentido: dessa forma dada uma linha de campo é possível saber qual a direção e o sentido do vetor campo elétrico em 
qualquer ponto dessa linha. 
 
Figura 5.8.: Ilustração de linhas de campo. 
 
No entanto, para avaliar a intensidade do vetor campo elétrico uma única linha de campo não é suficiente: é necessário 
um conjunto de linhas de campo ― o que Faraday denominou espectro de campo elétrico. 
Então, dado um espectro de campo elétrico é possível avaliar a intensidade do campo elétrico a partir da observação 
da proximidade entre as linhas de campo: quanto mais próximas as linhas de campo, numa dada região do espaço, 
mais intenso é o campo elétrico naquela região do espaço. 
30 
 
 
Figura 5.9.: Ilustração de linhas de campo. 
 
As linhas de campo apresentam as seguintes propriedades: 
Propriedade 1) Em cada ponto do espaço as linhas de campo são tangentes ao vetor campo elétrico naquele ponto; 
Propriedade 2) Linhas de campo nunca se cruzam (caso contrário num mesmo ponto do espaço teríamos mais de um 
vetor campo elétrico resultante); 
Propriedade 3) As linhas de campo são orientadas no mesmo sentido do vetor campo elétrico; 
Propriedade 4) As linhas de campo elétrico se orientam da distribuição de cargas positivas para a distribuição de cargas 
negativas; 
Propriedade 5) Quanto mais próximas as linhas de campo, numa dada região do espaço, maior a intensidade do vetor 
campo elétrico naquela região do espaço. 
A seguir ilustramos o espectro de campo elétrico de algumas distribuições de cargas bastante comuns. 
 
Figura 5.10.: Ilustração de linhas de campo. 
 
 
Figura 5.11.: Ilustração de linhas de campo. 
 
 
 
Figura 5.12.: Ilustração de linhas de campo. 
31 
 
 
Figura 5.13.: Ilustração de linhas de campo. 
 
 
Figura 5.14.: Ilustração de linhas de campo. 
 
 
 
EXERCÍCOS RESOLVIDOS 
 
R22) Uma carga elétrica puntiforme de 2,0.10-7 C em dado ponto P de um campo elétrico está sujeita a uma força 
elétrica horizontal orientada para a esquerda, de intensidade 5,0.10-2 N. Determine: 
a) O vetor campo elétrico no ponto P; 
b) O vetor força elétrica aplicada numa carga de puntiforme de -3.10-7 C posicionada no ponto P. 
SOLUÇÃO: 
Dada a força elétrica que atua em q no ponto P, aplicando a definição, o vetor campo elétrico no ponto P ( E⃗⃗ ) é 
E⃗⃗ =
F⃗ 
q
 
ou seja, o vetor campo elétrico no ponto P e a força elétrica que atua em q quando no ponto P têm a mesma direção. 
Quando a carga q é positiva a força elétrica que atua na carga tem o mesmo sentido do campo elétrico e quando a 
carga de prova q é negativa a força elétrica que atua na carga tem sentido contrário ao campo elétrico. 
Portanto, inicialmente temos 
|F⃗ | = 5,0. 10−2 N e q = +2,0. 10−7 C então |E⃗⃗ | =
|F⃗ |
|q|
=
(5,0. 10−2)
(2,0. 10−7)
= 2,5. 105 N/C 
e como F⃗ é horizontal e aponta para a esquerda e a carga q é positiva, então o vetor campo elétrico em P é horizontal, 
aponta para a esquerda e tem intensidade |E⃗⃗ | = 2,5. 105 N/C (a). 
a carga q= 2,0 . 10-7 C (positiva) 
Substituindo a carga inicial por -3.10-7 C, podemos escrever que 
F⃗ = q. E⃗⃗ então |F⃗ | = |q|. |E⃗⃗ | = (3. 10−7). (2,5. 105) = 7,5. 10−2 N 
32 
 
e como a carga q agora é negativa a força F⃗ tem a mesma direção do vetor campo elétrico porém sentido contrário. 
Então o vetor força elétrico aplicada na nova carga q, em P, é horizontal, aponta para a direita e tem intensidade 
|F⃗ | = 7,5. 10−2 N (b). 
Resp.: a) O vetor campo elétrico em P é horizontal, aponta para a esquerda e tem intensidade |E⃗⃗ | = 2,5. 105 N/C; 
b) O vetor força elétrico aplicada na nova carga q, em P, é horizontal, aponta para a direita e tem intensidade 
|F⃗ | = 7,5. 10−2 N. 
 
R23) Em dado ponto do espaço o campo elétrico apresenta intensidade 5,0.104 N/C, direção vertical e sentido 
descendente. Quando uma carga puntiforme q é abandonada naquele ponto observa-se que ela tende a se mover 
para baixo sob ação de uma força elétrica de intensidade 0,20 N. Determine: 
a) O sinal de carga de prova q; 
b) O módulo da carga elétrica na carga de prova q. 
SOLUÇÃO: 
Dada a força elétrica que atua em q no ponto P, aplicando a definição, o vetor campo elétrico no ponto P ( E⃗⃗ ) é 
E⃗⃗ =
F⃗ 
q
 e portanto F⃗ = qE⃗⃗ 
ou seja, a força elétrica que atua em q quando no ponto P e o vetor campo elétrico no ponto P e têm a mesma direção, 
e quando a carga q é positiva a força elétrica que atua na carga tem o mesmo sentido do campo elétrico e quando a 
carga de prova qé negativa a força elétrica que atua na carga tem sentido contrário ao campo elétrico. 
Portanto, se o sentido do vetor campo elétrico em P é descendente e o sentido da força elétrica sobre a carga também 
é para baixo (mesmo sentido do campo elétrico) concluímos que a carga q é positiva. (a) 
Além disso, como 
F⃗ = qE⃗⃗ ⟹ |F⃗ | = |q||E⃗⃗ | e portanto |q| =
|F⃗ |
|E⃗⃗ |
 
assim 
|q| =
(0,20)
(5,0. 104)
= 4,0. 10−6 C = 4,0 μC (b) 
Resp.: a) A carga elétrica q em P é positiva; b) |q| = 4,0. 10−6 C = 4,0 μC 
 
R24) Determine a intensidade do vetor campo elétrico criado por uma carga puntiforme de 4,0 C, no vácuo, num 
ponto situado a 40 cm desta carga. 
SOLUÇÃO: 
Como a intensidade do vetor campo elétrico (|E⃗⃗ |) é dada por 
|E⃗⃗ | = k
|Q|
| r |2
 onde | r | é a distância entre a carga fonte (Q) e o ponto P considerado. 
então 
|E⃗⃗ | = (9. 109)
(4,0. 10−6)
(4,0. 10−1)2
= 2,25. 105 N/C 
Resp.: |E⃗⃗ | = 2,25. 105 N/C. 
 
R25) O campo elétrico de uma carga puntiforme de 10,0 C em dado ponto P, no vácuo, tem intensidade 9,0.105 N/C. 
Determine a distância entre o referido ponto e a carga fonte. 
SOLUÇÃO: 
Como a intensidade do vetor campo elétrico (|E⃗⃗ |) é dada por 
|E⃗⃗ | = k
|Q|
| r |2
 onde | r | é a distância entre a carga fonte (Q) e o ponto P considerado. 
então 
(9,0. 105) = (9. 109)
(10,0. 10−6)
| r |2
 ⟹ | r |2 = (9. 109)
(10,0. 10−6)
(9,0. 105)
= 1,0. 10−1m ⟹ | r | = 0,32 m 
Resp.: | r | = 0,32 m 
 
33 
 
R26) Considere uma carga elétrica puntiforme positiva de 9,0 C, no vácuo, e um ponto P à distância de 30 cm daquela 
carga. Determine: 
a) A intensidade do campo elétrico criado pela carga no ponto P; 
b) A intensidade da força elétrica sobre uma segunda carga, de 2.10-6 C, colocada em P. 
SOLUÇÃO: 
Como a intensidade do vetor campo elétrico (|E⃗⃗ |) é dada por 
|E⃗⃗ | = k
|Q|
| r |2
 onde | r | é a distância entre a carga fonte (Q) e o ponto P considerado. 
então 
|E⃗⃗ | = (9. 109)
(9,0. 10−6)
(3,0. 10−1)2
= 9,0. 105 N/C (a) 
E como a força elétrica que atua numa carga elétrica puntiforme q naquele ponto é dada por 
F⃗ = q. E⃗⃗ ⟹ |F⃗ | = |q|. |E⃗⃗ | = (2,0. 10−6)(9,0. 105) = 1,8 N (b) 
Resp.: a)|E⃗⃗ | = 9,0. 105 N/C; b) |F⃗ | = 1,8 N 
 
R27) Num local onde a aceleração da gravidade local é 10,0 m/s2, uma partícula de massa 1,0 g esta em equilíbrio 
submetida a um campo elétrico de intensidade 2,0.104 N/C vertical e ascendente. Determine a carga que eletriza a 
partícula. 
SOLUÇÃO: 
As forças aplicadas na partícula são força Peso (P⃗⃗ ) e força elétrica (F⃗ ). E como a partícula está em equilíbrio a força 
resultante é nula, logo 
P⃗⃗ + F⃗ = 0⃗ ou F⃗ = −P⃗⃗ 
Portanto, para equilibrar a força Peso (P⃗⃗ ) a força elétrica (F⃗ ) deve ser vertical, ascendente e de mesma intensidade da 
força Peso (P⃗⃗ ). 
Então como a força elétrica tem o mesmo sentido do campo elétrico (ascendente) concluímos que a carga da partícula 
é positiva (q> 0). 
Além disso, para o equilíbrio 
F⃗ = −P⃗⃗ ⟹ |F⃗ | = |P⃗⃗ | ⟹ |q|. |E⃗⃗ | = m. |g⃗ | 
logo 
|q| =
m. |g⃗ |
|E⃗⃗ |
=
(1,0. 10−3). (10,0)
(2,0. 104)
= 5,0. 10−7 C 
Resp.: q= +5,0.10-7 C 
 
R28) O diagrama abaixo representa a intensidade do campo elétrico originado por uma carga puntiforme fixa, no 
vácuo, em função da distancia à carga. Determine a carga que origina o campo. 
 
SOLUÇÃO: 
Como a intensidade do vetor campo elétrico (|E⃗⃗ |) é dada por 
|E⃗⃗ | = k
|Q|
| r |2
 onde | r | é a distância entre a carga fonte (Q) e o ponto P considerado. 
e da leitura do diagrama quando | r | = 10,0 cm = 10,0. 10−2 m temos |E⃗⃗ | = 3,6. 106
N
C
 então 
(3,6. 106) = (9. 109)
|Q|
(10,0. 10−2)2
⟹ |Q| =
(3,6. 106). (10,0. 10−2)2
(9. 109)
 
E como a força elétrica que atua numa carga elétrica puntiforme q naquele ponto é dada por 
34 
 
F⃗ = q. E⃗⃗ ⟹ |F⃗ | = |q|. |E⃗⃗ | = (2,0. 10−6)(9,0. 105) = 1,8 N (b) 
Resp.: |Q| = 4,0. 10−6 C 
 
 
R29) Três partículas eletrizadas ocupam os vértices de um quadrado, conforme figura anexa. 
 
Determine: 
a) O vetor campo elétrico resultante no ponto P, quarto vértice do quadrado; 
b) A intensidade do vetor campo elétrico resultante no ponto P. 
SOLUÇÃO: 
O vetor campo elétrico de carga puntiforme (E⃗⃗ ) é dado por 
E⃗⃗ = k
Q
| r |3
 r onde r é o vetor que localiza o ponto P considerado em relação a carga fonte (Q) 
Inicialmente vamos estabelecer um sistema cartesiano de coordenadas 
 
assim para a carga em A 
r PA = r P − r A = (10,0. 10
−3i + 10,0. 10−3j ) − (0i + 10,0. 10−3j ) = 10,0. 10−3i + 0j (m) 
e 
| r PA| = √(10,0. 10−3)2 + (0)2 = 10,0. 10
−3 m ⟹ | r PA|
3 = 1,00. 10−6 m3 
para a carga em B 
r PB = r P − r B = (10,0. 10
−3i + 10,0. 10−3j ) − (0i + 0j ) = (10,0. 10−3i + 10,0. 10−3j ) (m) 
e 
| r PB| = √(10,0. 10−3)2 + (10,0. 10−3)2 = 14,1. 10
−3 m ⟹ | r PB|
3 = 2,80. 10−6 m3 
e para a carga em C 
r PC = r P − r C = (10,0. 10
−3i + 10,0. 10−3j ) − (10,0. 10−3i + 0j ) = 0i + 10,0. 10−3j (m) 
e 
| r PC| = √(0)2 + (10,0. 10−3)2 = 10,0. 10
−3 m ⟹ | r PC|
3 = 1,00. 10−6 m3 
então 
E⃗⃗ PA = k
QA
| r PA|3
 r PA ⟹ E⃗⃗ PA = (9. 10
9)
(3,0. 10−6)
(1,00. 10−6)
(10,0. 10−3i + 0j ) 
e 
E⃗⃗ PA = (2,7. 10
8i + 0j ) N/C 
E⃗⃗ PB = k
QB
| r PB|3
 r PB ⟹ E⃗⃗ PB = (9. 10
9)
(−1,0. 10−6)
(2,80. 10−6)
(10,0. 10−3i + 10,0. 10−3j ) 
e 
E⃗⃗ PB = −(3,2. 10
7i + 3,2. 107j ) N/C 
e 
E⃗⃗ PC = k
QC
| r PC|3
 r PC ⟹ E⃗⃗ PC = (9. 10
9)
(3,0. 10−6)
(1,00. 10−6)
(0i + 10,0. 10−3j ) 
35 
 
e 
E⃗⃗ PC = (0i + 2,7. 10
8j ) N/C 
de modo que 
E⃗⃗ P = E⃗⃗ PA + E⃗⃗ PB + E⃗⃗ PC 
e portanto 
E⃗⃗ P = (2,7. 10
8i + 0j ) − (3,2. 107i + 3,2. 107j ) + (0i + 2,7. 108j ) = (23,8. 107i + 23,8. 107j ) N/C (a) 
e a intensidade do vetor campo elétrico em P é 
|E⃗⃗ P| = √(23,8. 107)2 + (23,8. 107)2 = 3,4. 10
8 N/C (b) 
Resp.: a) E⃗⃗ P = (23,8. 10
7i + 23,8. 107j )
N
C
 ; b) |E⃗⃗ P| = 3,4. 10
8 N/C 
 
R30) Uma partícula de massa 8,0.10-4 kg e carga 4,0.10-6 C é abandonada num ponto entre duas placas metálicas 
paralelas, horizontais e eletrizadas como ilustra a figura anexa, de modo que entre as placas há um campo elétrico 
uniforme orientado para cima. Sendo a intensidade da aceleração da gravidade local 10,0 m/s2 calcule a intensidade 
do campo de modo que a partícula fique em equilíbrio. 
 
SOLUÇÃO: 
As forças que agem na partícula são Peso (P⃗⃗ ) e força elétrica (F⃗ el), de modo que 
P⃗⃗ = mg⃗ e F⃗ el = qE⃗⃗ 
para o equilíbrio 
P⃗⃗ + F⃗ el = 0⃗ ⟹ F⃗ el = −P⃗⃗ 
portanto, para equilibrar a ação do Peso a força elétrica deve ser vertical e apontar para cima. E como a partícula está 
eletrizada com carga positiva então o vetor campo elétrico e o vetor força elétrica têm mesmo sentido, por isso o 
vetor campo elétrico deve apontar para cima (como ilustrado na figura do enunciado). 
Temos ainda que 
|F⃗ el| = |P⃗⃗ | ⟹ q|E⃗⃗ | = m|g⃗ | ⟹ |E⃗⃗ | =
m|g⃗ | 
 q
 
e portanto 
|E⃗⃗ | =
(4,0. 10−6)(10,0) 
 (8,0. 10−4)
= 5,0. 10−2 N/C 
Resp.: |E⃗⃗ | =
(4,0.10−6)(10,0) 
 (8,0.10−4)
= 5,0. 10−2 N/C 
 
R31) No esquema de cargas representado abaixo as cargas elétricas Q1 e Q2 são respectivamente 4,0 µC e 10,0 µC. 
 
Determine: 
a) O vetor campo elétrico no ponto P dado; 
b) O módulo do campo elétrico no ponto P. 
SOLUÇÃO: 
Nas condições dadas os vetores que localizam Q1, Q2 e P são respectivamente r 1, r 2 e r P dados por: 
r 1 = 5,0i + 2,0j (m) 
r 2 = 1,0i + 3,0j (m) 
r P = 3,0i + 4,0j (m) 
O vetor campo elétrico resultante em P é dado pela aplicação do princípio da superposição, ou seja, é a soma do vetor 
campo elétrico aplicado em P devido a Q1 (E⃗⃗ P1) com o vetor campo elétrico aplicado em P devido a Q2 (E⃗⃗ P2).E como o vetor campo elétrico de carga puntiforme (E⃗⃗ ) é dado por 
36 
 
E⃗⃗ = k
Q
| r |3
 r onde r é o vetor que localiza o ponto P considerado em relação a carga fonte (Q) 
então para o vetor campo elétrico gerado pela carga Q1 
r P1 = r P − r 1 = (3,0i + 4,0j ) − (5,0i + 2,0j ) = −2,0i + 2,0j (m) 
e 
| r P1| = √(−2,0)2 + (2,0)2 = 2,83 m ⟹ | r P1|
3 = 22,63 m3 
então 
E⃗⃗ P1 = (9,0. 10
9)
(4,0. 10−6)
(22,63)
 (−2,0i + 2,0j ) = (−3,18i + 3,18j ). 103 N/C 
e o vetor campo elétrico gerado pela carga Q2 
r P2 = r P − r 2 = (3,0i + 4,0j ) − (1,0i + 3,0j ) = 2,0i + 1,0j (m) 
e 
| r P2| = √(2,0)2 + (1,0)2 = 2,24 m ⟹ | r P2|
3 = 11,24 m3 
então 
E⃗⃗ P2 = (9,0. 10
9)
(10,0. 10−6)
(11,24)
 (2,0i + 1,0j ) = (16,00i + 8,00j ). 103 N/C 
então o vetor campo elétrico resultante em P é 
E⃗⃗ = E⃗⃗ P1 + E⃗⃗ P2 = [(−3,18i + 3,18j ). 10
3] + [(16,00i + 8,00j ). 103] 
logo 
E⃗⃗ = (1,282i + 1,118j ). 104 N/C (a) 
e o módulo de E⃗⃗ 
|E⃗⃗ | = √Ex2 + Ey2 + Ez2 = √(1,282. 104)2 + (1,118. 104)2 
logo 
|E⃗⃗ | = 1,70. 104 N/C (b) 
Resp.: a) E⃗⃗ = (1,282i + 1,118j ). 104
N
C
; b) |E⃗⃗ | = 1,70. 104 N/C 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
P40) Experimentalmente observa-se que quando uma partícula eletrizada com carga positiva 1,5 C é colocada em 
dado ponto P, fica sujeita a uma força elétrica de intensidade 0,6 N, vertical e com sentido descendente. Determine o 
vetor campo elétrico no ponto P. 
Resposta: O vetor campo elétrico em P é vertical, descendente e de intensidade 4,0.105 N/C. 
 
P41) Uma carga elétrica de 8,0 μC encontra-se no vácuo, no campo elétrico de outra carga elétrica que a influencia 
com uma força elétrica de módulo 1,2.10-2 N. Calcule o módulo desse campo elétrico? 
Resposta: E = 1,5.10³ N/C 
 
P42) Qual a intensidade do campo elétrico de uma carga elétrica de 3,0.10-5 C, no vácuo, a uma distância de 3,0 mm? 
Resposta: E = 3,0.1010 N/C 
 
P43) Se o campo elétrico produzido por uma carga elétrica puntiforme é de 1,2.104 N/C, qual o valor da carga elétrica 
que neste campo fica sujeita a uma força elétrica de intensidade 3,0.10-3 N? 
Resposta: q = 2,5.10-7 C 
 
P44) Se o campo elétrico produzido num ponto do espaço tem intensidade 1,5.104 N/C, qual a intensidade da força 
que surgirá sobre uma carga elétrica de 2,0 μC, nesse ponto? 
Resposta: F = 3,0.10-2 N 
 
P45) Em qual distância o campo elétrico de uma carga elétrica de -9,0 μC, no vácuo, tem uma intensidade de 8,1.104 
N/C? 
Resposta: d = 1,0 m 
 
37 
 
P46) Qual o módulo do campo elétrico resultante no ponto A, das figuras a seguir? 
a) 
 
Resposta: EA = 2,7.104 N/C 
b) 
 
Resposta: EA = 1,3.104 N/C 
 
c) 
 
Resposta: EA = 9,8.103 N/C 
d) 
 
Resposta: EA = 0 
 
e) 
 
Resposta: EA = 5,6.103 N/C 
 
P47) Em qual ponto do espaço, na figura a seguir, o módulo do campo elétrico resultante é nulo? 
 
a) 
 
Resposta: 4,8 m à direita de Q1 
38 
 
b) 
 
Resposta: 24 m à esquerda de Q1 
P48) Sabendo-se que o vetor campo elétrico no ponto A é nulo, determine a razão entre d1 e d2. 
 
Resposta: d1/d2 = 2 
P49) Devido à presença das cargas elétricas Q1 e Q2, o vetor campo elétrico resultante no ponto P da figura a seguir é 
melhor representado pela alternativa: 
 
 
 
Resposta: e 
 
Determine a intensidade do VCE no ponto P, sendo L = 30 cm. 
 
Resposta: EP = 2,8.106 N/C 
 
P50) Duas cargas pontuais Q1 e Q2 são fixadas sobre a reta x representada na figura. Uma terceira carga pontual Q3 
será fixada sobre a mesma reta, de modo que o campo elétrico resultante no ponto M da reta será nulo. 
 
Conhecendo-se os valores das cargas Q1, Q2 e Q3 , respectivamente +4,0 C, -4,0 C e +4,0 C, é correto afirmar que a 
carga Q3 deverá ser fixada 
 
a) à direita de M e distante 3d desse ponto. 
b) à esquerda de M e distante 3d desse ponto. 
c) à esquerda de M e distante 2√3 d desse ponto. 
d) à esquerda de M e distante 
2 √3
3
 d desse ponto. 
e) à direita de M e distante 
2 √3
3
 d desse ponto. 
 
39 
 
Resposta: d 
 
P51) Nos vértices A e C do quadrado abaixo colocam-se cargas elétricas de valor +q. 
 
 
Para que no vértice D do quadrado o campo elétrico tenha intensidade nula, qual é o valor da carga elétrica que deve 
ser colocada no vértice B? 
 
Resposta: qB = −2√2q 
 
P52) Duas cargas elétricas puntiformes positivas, distantes 3,0.10-3 m uma da outra, interagem mutuamente com uma 
força de repulsão eletrostática de intensidade 8,0.103 N. A intensidade do vetor campo elétrico gerado por uma delas 
(Q1) no ponto onde se encontra a outra (Q2) é 2,0.109 N/C. Calcule o valor da carga elétrica Q2. 
 
Resposta: Q2 = 4,0 μC 
 
P53) A intensidade do vetor campo elétrico gerado por uma carga Q puntiforme, positiva e fixa em um ponto do vácuo, 
em função da distância (d) em relação a ela, varia conforme o gráfico dado. Calcule a intensidade do vetor campo 
elétrico no ponto situado a 6 m da carga. 
 
 
Resposta: E = 2,0.105 N/C 
 
P54) Duas cargas puntiformes respectivamente +Q e +4Q são fixadas sobre um eixo orientado (eixo x) conforme 
ilustrado na figura anexa. Determine a abscissa do ponto desse eixo em que o vetor campo elétrico resultante seja 
nulo. 
 
Resposta: x = 6,0 m. 
 
P55) Na figura estão representadas duas partículas A e B de cargas respectivamente 3,0.10-6 C e -4,0 .10-6 C nas 
extremidades do segmento AB de 12,0 cm de comprimento. Determine o vetor campo elétrico resultante gerado por 
essas partículas nos pontos P1, P2 e P3 da reta suporte das cargas A e B, sabendo que: 
a) P1 está a 6,0 cm à esquerda de A; 
b) P2 é o ponto médio de AB; 
c) P3 está a 6,0 cm à direita de B. 
 
 
Resposta: a) |E⃗⃗ 1| = 6,4. 10
6 N/C, direção da reta que passa pelos pontos A e B e sentido de A para P1; 
40 
 
b) |�⃗� 2| = 1,75. 10
7 𝑁/𝐶, direção da reta que passa pelos pontos A e B e sentido de A para P2; 
c) |E⃗⃗ 3| = 9,17. 10
6 N/C, direção da reta que passa pelos pontos A e B e sentido de P3 para B. 
 
P56) Considere a figura abaixo na qual Q1 = 5,0 nC e Q2 = -4,0 nC. Calcule o vetor campo elétrico e sua intensidade no 
ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
E⃗⃗ (1,P) = (8,0 i + 4,0 j ) N C⁄ ; E⃗⃗ (2,P) = (−2,3 i + 1,5j ) N C⁄ 
E⃗⃗ (P) = (5,7 i + 5,5 j ) N C⁄ ; |E⃗⃗ (P)| = 7,9 N/C 
 
P57) Considere a figura abaixo na qual Q1 = 8,0 nC e Q2 = -6,0 nC. Calcule o vetor campo elétrico e sua intensidade no 
ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
E⃗⃗ (1,A) = (6,8 i − 2,3 j ) N C⁄ ; E⃗⃗ (2,A) = (−2,4 i − 1,2 j ) N C⁄ 
E⃗⃗ (A) = (4,4 i − 3,5 j ) N C⁄ ; |E⃗⃗ (A)| = 5,6 N/C 
 
P58) Considere a figura abaixo na qual Q1 = -3,0 nC, Q2 = 5,0 nC e Q3 = 8,0 nC. Calcule o vetor campo elétrico e sua 
intensidade no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
E⃗⃗ (1,A) = (−1,15 i + 1,73 j ) N C⁄ ; E⃗⃗ (2,A) = (−1,44 i + 1,08j ) N C⁄ ; E⃗⃗ (3,A) = (−8 i ) N C⁄ 
E⃗⃗ (A) = (−10,59 i + 2,81 j ) N C⁄ ; |E⃗⃗ (P)| = 10,95 N/C 
 
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P59) Considere a figura abaixo na qual Q1= -4,0 nC, Q2 = 12 nC, Q3 = 6,0 nC e Q4 = -8,0 nC. Calcule o vetor campo elétrico 
e sua intensidade no ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
E⃗⃗ (1,P) = (−4,0 i ) N C⁄ ; E⃗⃗ (2,P) = (−12 i ) N C⁄ ; E⃗⃗ (3,P) = (−3,375 j )N C⁄ ; E⃗⃗ (4,P) = (−8,0 j ) N C⁄ 
E⃗⃗ (P) = (−16,0 i − 11,375 j )N C⁄ ; |E⃗⃗ (P)| = 19,63 N/C 
 
P60) No esquema de cargas, representado abaixo, o módulo do campo elétrico no ponto P é de E = 8,5 N/C e o valor 
da carga Q2 é de Q2 = 5,0 nC. Calcule o valor da carga positiva Q1. 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Q1 = 2,0 nC 
 
P61) Considere duas cargas puntiformes: Q1 = 3,0 nC, fixa no ponto P1 (2,0 ; 5,0) m e Q2 = x nC, fixa no ponto P2 
(5,0 ; 0,0) m. A intensidade