Teste Produto Escalar E Projeções - Álgebra Linear

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFRJ
Álgebra Linear II - 2017.2 - Professor Felipe Acker
Teste 6 - Produto Escalar - Projeções
1. Se u = (1,−1, 1) e v = (3, 3, 3), então
a projeção ortogonal de v sobre a reta
r = {tu, t ∈ IR} é
(a) (1,−1, 1)
(b) 〈v,u〉〈u,u〉u
(c) o ponto de r mais próximo
de v, sendo a distância entre
(y1, y2, y3) e (x1, x2, x3) dada por
((y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 −
x3)2)1/2
(d) (3,−3, 3)
2. Se u = (1,−1, 1,−1, 1,−1, 1) e v =
(3, 3, 3, 3, 3, 3, 3), então a projeção or-
togonal de v sobre a reta r =
{tu, t ∈ IR} é
(a) 17(3,−3, 3,−3, 3,−3, 3)
(b) 〈v,u〉〈u,u〉u
(c) o ponto de r mais próximo
de v, sendo a distância en-
tre (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7) e
(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) dada por
((y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 −
x3)2 + (y4 − x4)2 + (y5 − x5)2 +
(y6 − x6)2 + (y7 − x7)2)1/2
(d) (3,−3, 3,−3, 3,−3, 3)
3. A matriz n× n U é dita ortogonal se
seus vetores comluna são, todos, uni-
tários e, dois a dois, ortogonais, isto é:
se Uj representa a j-ésima coluna de
U, então
〈
Ui,Uj
〉
= δij =
{
0, i 6= j
1, i = j .
Se U é ortogonal, então:
(a) UTU = I, sendo I a matriz iden-
tidade
(b) 〈Ux,Uy〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ IRn
(c) Os vetores linha deU são, todos,
unitários e, dois a dois, ortogo-
nais
(d) U−1 = UT
4. Seja E o subespaço de IR4 gerado pe-
los vetores u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 =
(2, 3, 4, 5). A projeção ortogonal de
v = (1, 3, 2, 5) sobre E é o vetor vo
dado por
(a) vo = 1.1(1, 2, 3, 4)
(b) vo = (−0.1, 0.8,−1.3, 0.6)
(c) vo = 〈v, u1〉 u1 + 〈v, u2〉 u2
(d) vo =
〈v,u1〉
〈u1,u1〉u1 +
〈v,u2〉
〈u2,u2〉u2
2
5. Sejam
A =

1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
pi 4 1 −1 0
2 3 pi 0 1
 e AT =

1 1 pi 2
2 0 4 3
3 1 1 pi
4 0 −1 0
5 1 0 1
 .
Sejam Im(A) o espaço gerado pelas colunas de A e Im(AT) o espaço gerado pelas
colunas de AT. Então:
(a) Ax = 0⇔ x é ortogonal a Im(AT)
(b) ATy = 0⇔ y é ortogonal a Im(A)
(c) Im(A) = Im(AT)
(d) a dimensão de Im(A) é igual à de Im(AT)
1. 2. 3. 4. 5.
(a) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(b) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(c) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
(d) ♥ ♥ ♥ ♥ ♥