Teste - Decomposição em Valores Singulares - Álgebra Linear II UFRJ

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Teste 4
Decomposição em Valores Singulares
1. Seja T : IR2 → IR2 linear. Suponha que u1 e u2 são vetores em IR2 e que
Tu1 =
[
1
3
]
, Tu2 =
[
2
1
]
.
Então T(2u1 − 4u2)
(a) não pode ser calculado
(b) é
[ −10
0
]
(c) é 2Tu1 − 4Tu2
(d) é
[ −6
2
]
(e) em branco
2. Seja T : IR2 → IR2 linear. Suponha que u1 e u2 formam, nessa ordem, uma base,
α, para IR2 e que Tu1 e Tu2 são linearmente independentes (e, portanto, formam,
nessa ordem, outra base, β, para IR2). A matriz que, ao multiplicar o vetor coluna
formado pelas coordenadas de qualquer vetor v na base α, nos dá como resultado
o vetor coluna formado pelas coordenadas de Tv na base β é
(a)
[
u1 Tu1
u2 Tu2
]
(b)
[
u1 u2
Tu1 Tu2
]
(c)
[
1 0
0 1
]
(d)
[
Tu1 u1
Tu2 u2
]
(e) em branco
3. Seja T : IR2 → IR2 linear. Suponha que u1 e u2 formam, nessa ordem, uma base, α,
para IR2 e que v1 e v2 formam, nessa ordem, outra base, β, para IR2. Se Tu1 = 3v1
e Tu2 = −2v2, então a matriz que, ao multiplicar o vetor coluna formado pelas
coordenadas de qualquer vetorw na base α, nos dá como resultado o vetor coluna
formado pelas coordenadas de Tw na base β é
(a)
[
u1 3v1
u2 −2v2
]
(b)
[
3 0
0 −2
]
(c) não pode ser calculada
2
(d)
[
u1 u2
3v1 −2v2
]
(e) em branco
4. Seja α a base formada, nesta ordem, por v1 e v2. Seja w = 3v1− v2. O vetor coluna
formado pelas coordenadas de w na base α
(a) é
[
3v1
−v2
]
(b) é
[
3
−1
]
(c) só pode ser calculado a partir das coordenadas de v1 e v2 na base canônica
(d) é
[
a11 a12
a21 a22
] [
3
−1
]
, sendo a matriz à esquerda formada pelas
coordenadas de v1 e v2 na base canônica
(e) em branco
5. Seja w = 3v1 − v2. Se, na base canônica, v1 e v2 são dados por
v1 =
[
3
2
]
, v2 =
[ −1
4
]
,
então o vetor coluna formado pelas coordenadas de w na base canônica é
(a)
[
8
2
]
(b)
[
3 −1
2 4
] [
3
−1
]
(c)
[
3 2
−1 4
] [
3
−1
]
(d)
[
8
−7
]
(e) em branco
6. Se, na base canônica, w, v1 e v2 são dados por
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
3
2
]
, v2 =
[ −1
4
]
,
então o vetor coluna formado pelas coordenadas de w na base α = {v1, v2} (nessa
ordem) é
(a)
[
3 −1
2 4
] [
3
−1
]
(b)
[
10
2
]
3
(c)
[
3 −1
2 4
]−1 [ 3
−1
]
(d) 114
[
4 1
−2 3
] [
3
−1
]
(e) em branco
7. Se, na base canônica, w, v1 e v2 são dados por
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
então o vetor coluna formado pelas coordenadas de w na base α = {v1, v2} (nessa
ordem) é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]−1 [ 3
−1
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]T [ 3
−1
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [
3
−1
]
(d)
[
1
−3
]
(e) em branco
8. Se, na base canônica, u1, u2, v1 e v2 são dados por
u1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, u2 =
[ −√2/2√
2/2
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
e T : IR2 → IR2 é linear, com Tu1 = −3v1, Tu2 = 5v2, então a matriz de T na base
canônica é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
(e) em branco
9. Se, na base canônica, u1, u2, v1 e v2 são dados por
u1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, u2 =
[ −√2/2√
2/2
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
4
T : IR2 → IR2 é linear, com Tu1 = −5v1, Tu2 = 3v2, e [A] é a matriz de T na base
canônica, então a decomposição em valores singulares de [A] é
(a)
[ −0, 6 −0, 8
−0, 8 0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(c)
[ −0, 6 0, 8
−0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2√
2/2 −√2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ −√2/2 −√2/2√
2/2 −√2/2
]
(e) em branco
10. Suponha que A é matriz 2× 2 e que sua decomposição em valores singulares é
A = V
[
4 0
0 2
] [
0, 6 0, 8
0, 8 −0, 6
]
.
Então
(a) |A
[
0, 6
0, 8
]
| = 4
(b) |A
[
0, 8
−0, 6
]
| = 2
(c) Existem v1 e v2 em IR2, unitários e ortogonais, tais que A
[
0, 6
0, 8
]
= −4v1 e
A
[
0, 8
−0, 6
]
= −2v2
(d) V = A
[
0, 15 0, 4
0, 2 −0, 3
]
(e) em branco