material de calculo numerico

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1.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
	
	V(x) = 55    
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,1415
	
	
	3,142
	
	
	
	
		
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	4/3
	
	
	- 4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	- 3/4
	
	
	3/4
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	
		
	
		5.
		Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
	
	
	
	10      
	
	
	 7      
	
	
	14
	
	
	  6    
	
	
	 9      
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
	
	
	
	
		
	
		6.
		Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
	
	
	
	1,08%
	
	
	0,35%
	
	
	0,08%
	
	
	8%
	
	
	0,23%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
	
	
	
	
		
	
		7.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	1000
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	50x
	
	
	
	
		
	
		8.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
	
	
	
	- 2/16
	
	
	9/8
	
	
	16/17
	
	
	2/16
	
	
	17/16
	
	
	
		1.
		Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
	
	
	
	8%
	
	
	0,23%
	
	
	0,08%
	
	
	0,35%
	
	
	1,08%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
	
	
	
	
		
	
		2.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	- 3/4
	
	
	3/4
	
	
	- 4/3
	
	
	- 0,4
	
	
	4/3
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	
		
	
		3.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
	
	
	
	16/17
	
	
	17/16
	
	
	- 2/16
	
	
	9/8
	
	
	2/16
	
	
	
	
		
	
		4.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,1415
	
	
	3,1416
	
	
	3,141
	
	
	3,142
	
	
	3,14159
	
	
	
	
		
	
		5.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	
	V(x) = 55    
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	1000
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	50x
	
	
	1000 + 50x
	
	
	
	
		
	
		7.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual aax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
	
	
	
	Função quadrática.Função exponencial.
	
	
	Função afim.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	
		1.
		Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
	
	
	
	0,23%
	
	
	1,08%
	
	
	0,08%
	
	
	0,35%
	
	
	8%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
	
	
	
	
		
	
		2.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
	
	
	
	3/4
	
	
	- 0,4
	
	
	- 4/3
	
	
	- 3/4
	
	
	4/3
	
Explicação:
(1/2)² - 1 = 1/4 - 1 = -3/4
	
	
	
	
		
	
		3.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
	
	
	
	16/17
	
	
	- 2/16
	
	
	2/16
	
	
	9/8
	
	
	17/16
	
	
	
	
		
	
		4.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,142
	
	
	3,141
	
	
	3,1415
	
	
	3,1416
	
	
	3,14159
	
	
	
	
		
	
		5.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
	
	V(x) = 55    
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	50x
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	1000
	
	
	
	
		
	
		7.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	
	
		
	
		8.
		
	
	
	
	-3
	
	
	-5
	
	
	-11
	
	
	3
	
	
	2
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
		
	
		1.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	De modelo
	
	
	Absoluto
	
	
	Relativo
	
	
	Percentual
	
	
	De truncamento
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	
	
		
	
		2.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	Newton Raphson
	
	
	Bisseção
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Gauss Jordan
	
Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
	
	
	
		
	
		3.
		Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo?
	
	
	
	(2,5; 3)
	
	
	(1,5; 2)
	
	
	(0; 1)
	
	
	(4, 5)
	
	
	(3; 4)
	
Explicação:
Teorema de Bolzano:
P(0) = 018 - 3.06 + 1 = 1
P(1) = 118 - 3.16 + 1 = -1
P(0) x P(1) < 0, então pelo teorema de Bolzano existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo, ou seja, ao menos uma.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
	
	
	A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
	
	
	A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
	
	
	A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
	
	
	A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
	
Explicação:
Programação estruturada admite estruturas de repetição
	
	
	
	
		
	
		5.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
	
	
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É a raiz real da função f(x)
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
Explicação:
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa  x é denomindado raiz da função .  
	
	
	
	
		
	
		6.
		Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	
	
	
	[-2,-1]  
	
	
	[2,3] 
	
	
	[1,2]  
	
	
	[-1,0]
	
	
	 [0,1]  
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
	
	
	
	
		
	
		7.Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
Explicação:
O método da biseção é utilizado para determinar raizes de polinomio
	
	
	
	
		
	
		8.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	18
	
	
	10
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	9
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
		1.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	nada pode ser afirmado
	
	
	tem uma raiz
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	não tem raízes reais
	
	
	tem três raízes
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
	
	
	
	 x4             
	
	
	 x2      
	
	
	x5  
	
	
	x3      
	
	
	x1    
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	1
	
	
	0, 375
	
	
	0.765625
	
	
	0,4
	
	
	0.25
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	
		
	
		4.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	0,2%
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2 m2
	
	
	99,8%
	
	
	0,992
	
Explicação:
25 - 24,8 = 0,2m²
	
	
	
	
		
	
		5.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	
		
	
		6.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	
		
	
		7.
		Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	
		
	
		8.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
		
	
		1.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Método de Romberg.
	
Explicação:
O método da biseção é utilizado para determinar raizes de polinomio
	
	
	
	
		
	
		2.
		Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz realem qual dos intervalos abaixo?
	
	
	
	(3; 4)
	
	
	(4, 5)
	
	
	(1,5; 2)
	
	
	(0; 1)
	
	
	(2,5; 3)
	
Explicação:
Teorema de Bolzano:
P(0) = 018 - 3.06 + 1 = 1
P(1) = 118 - 3.16 + 1 = -1
P(0) x P(1) < 0, então pelo teorema de Bolzano existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo, ou seja, ao menos uma.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	0,2%
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,992
	
Explicação:
25 - 24,8 = 0,2m²
	
	
	
	
		
	
		4.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	1
	
	
	0,4
	
	
	0.25
	
	
	0, 375
	
	
	0.765625
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	
		
	
		5.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	
		
	
		6.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	pode ter duas raízes
	
	
	tem uma raiz
	
	
	tem três raízes
	
	
	nada pode ser afirmado
	
	
	não tem raízes reais
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	
		
	
		8.
		Analisando  a função y = 2x3 - 4 , usando o  teorema de Bolzano , a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ 0, 2 ] é :
 
	
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo.
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(0) .f(2) < 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(0) .f(2) < 0 
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(0) .f(2) > 0
 
	
Explicação:
f(0) = 0 -4 = - 4 negativo   e f(2) = 2.8 - 4 = 12 positivo.
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
		
	
		1.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Bisseção      
	
	
	Newton Raphson  
	
	
	Gauss Jordan        
	
	
	Ponto fixo      
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	
		
	
		3.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 3ln(x) dado x0=0,5. 
	
	
	
	1,77
	
	
	1,87
	
	
	1,17
	
	
	1,67
	
	
	1,70
	
Explicação:
xn+1 = xn - [  f(xn) /  f' (xn) ] 
x1 = x0 -   [f(x0) /  f"(x0)]     
( obs para os cálculos :  ln x = 2,3.log x  ;   se y = lnx  então  y ' = 1/x .)
então  f(x0) = f(0,5) = 2 - 3ln0,5 =  2 - 3.(-0,69)  = 2 + 2,07) =  4,07    e    f '(x0) = - 3 .1/x0    = -3 /0,5 = - 6.   
daí : x1 =  0,5 - (4,07) / (-6)   = 0,5 + 0,678 = 1,178   
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)] 
onde f(x1) = 2 - 3 ln 1,178  = 2 - 3. (0,163  )  =  2 - 0,489 = 1,511    e    f '(x1) =   - 3.1/x1=  -3 / 1.178 =  - 2,546
daí x2 = 1,178  - (1,511) / (-2,546)  =   1,178 + 0,593 =  1,771
	
	
	
	
		
	
		5.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	1.75-2
	
	
	2
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	
	
	
		
	
		7.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	Bisseção 
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	
		
	
		8.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
	
	
		1.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jacobi
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	
		
	
		2.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Gauss Jordan        
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Bisseção      
	
	
	Ponto fixo      
	
	
	Newton Raphson  
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	
		
	
		3.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	1.75
	
	
	1
	
	
	-1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
Como exemplificado no gráfico da quarta figura, no método do ponto fixo a raiz da função g(x) mostrada é encontrada através da raiz de uma outra função próxima y =x , que podemos resolver, ao invés da g(x) . 
	
	
	
	
		
	
		7.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	
		
	
		8.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
Explicação:
Como no Método de Newton as aproximações para a  raiz são obtidas por  xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]  em que f' (x) está no denominador  , então f' (x) não pode ser zero . 
	
	
	
		1.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0909
	
	
	1.0746
	
	
	1.0245
	
	
	1.9876
	
	
	1.0800
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	
		
	
		3.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	1,243
	
	
	3,243
	
	
	1,143
	
	
	2,443
	
	
	2,143
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	
	
		
	
		4.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
	
	
	
	Newton Raphson  
	
	
	Bisseção      
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Ponto fixo      
	
	
	Gauss Jordan        
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	
	
		
	
		7.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
	
	
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Newton Raphson 
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Ponto fixo
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	
	
		1.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	
		
	
		2.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODEser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método da bisseção.
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinação de raízes.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		3.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	Sempre são convergentes.
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	apresenta uma única solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=x2+x+1
	
	
	y=2x
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	
		
	
		6.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	
		
	
		7.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	
		
	
		8.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
		
	
		1.
		Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
	
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
	
Explicação:
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema apresentará discussão:
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução)
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções)
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução)
	
	
	
	
		
	
		2.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	
	
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
Explicação:
Multiplicando a segunda  por ( -2 ) e somando com a  primeira elimina-se o x2  e resulta :
-3x1 = -60   ..donde  x1 = 20 .
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 :
5.20 + 4 x2  = 180  ...  4  x2  = 180 -100  = 80   ... x2  = 20. 
 
 
	
	
	
	
		
	
		3.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	
		
	
		5.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	não apresenta solução
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	
		
	
		6.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Sempre são convergentes.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar"uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODEser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinação de raízes.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
		
	
		1.
		Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
	
	
	
	y=x3+1
	
	
	y=2x+1
	
	
	y=2x-1
	
	
	y=2x
	
	
	y=x2+x+1
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1 atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	
	
		
	
		2.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,-2,3
	
	
	1,2,-3
	
	
	-1,2, 3
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	
		
	
		3.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	
		
	
		4.
		Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
	
	
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	
	x=3, y=1, z=2.
	
	
	x=2, y=4, z=6.
	
Explicação:
Matriz Aumentada
1   1  2  ]  9          já tem pivô (1) na 1ª linha  ;                              
2   4 -3  ]  1          zerar  1ª coluna  : 1ª linha x(-2)  + 2ª linha  
3   6  -5  ] 0                                       1ª linha x(-3)  + 3ª linha  
1   1   2  ]  9             
0   2  -7  ]  -17
0   3  -11 ] -27                colocar  pivô (1) na 2ª linha  :  3ª linha + 2ª linha x (-1)
1   1   2  ]  9              
0   1  -4  ]  -10              zerar  2ª coluna  : 2ª linha x(-3)  + 3ª linha   ..já surge o pivô (1) na 3ª linha
0   3  -11 ] -27                                            2ª linha x(-1)  + 1ª linha  
1   0   6  ]  19              
0   1  -4  ]  -10              zerar  3ª coluna  :  3ª linha x(-6)  + 1ª linha  
0   0    1 ]    3                                              3ª linha x(+4)  + 2ª linha   
1   0   0  ]   1      ...    x =1
0   1   0  ]   2      ...     y=2
0   0   1  ]   3      ...     z=3                                
	
	
	
	
		
	
		5.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
	
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
Explicação:
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema apresentará discussão:
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução)
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções)
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução)
	
	
	
	
		
	
		8.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODEser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	
	Método do ponto fixo.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinaçãode raízes.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		1.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	
		
	
		2.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função exponencial.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	grau 20
	
	
	grau 31
	
	
	grau 30
	
	
	grau 15
	
	
	grau 32
	
	
	
	
		
	
		4.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		5.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	
	
		
	
		6.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	Y = ax + 2
	
	
	Y = a.2-bx
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere o seguinte sistema linear:
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		1.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	grau 30
	
	
	grau 32
	
	
	grau 31
	
	
	grau 15
	
	
	grau 20
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		3.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	
	
		
	
		5.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = ax + 2
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Derivação.
	
	
	Integração.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	
	
		
	
		7.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro relativo
	
	
	
	
		
	
		8.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
		
	
		1.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	
		
	
		2.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	
	Sempre será do grau 9
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	
	
	
		
	
		3.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	
	
		
	
		4.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	Integração.
	
	
	Derivação.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		6.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro conceitual
	
	
	
	
		
	
		7.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	2,-1,3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	1,2,-3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere o seguinte sistema linear:
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida?
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		1.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	Y = abx+c
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	Y = ax + b
	
	
	
	
		
	
		2.
		A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função?
	
	
	
	Semelhança de retângulos.
	
	
	Semelhança de triângulos.
	
	
	Nenhuma das anteriores.
	
	
	Semelhança de quadrados.
	
	
	Semelhança de círculos.
	
	
	
	
		
	
		3.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(11,14,17)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
	
	
	
	Indefinido
	
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	
	20
	
	
	5
	
	
	0
	
	
	
	
		
	
		5.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
	
	
	
	2,395
	
	
	7,970
	
	
	5,125
	
	
	3,985
	
	
	4,785
	
	
	
	
		
	
		6.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função linear.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,857
	
	
	 13,500
	
	
	 13,017
	
	
	 13,000
	
	
	 13,900
		
	
		1.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
	
	
	
	n
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	
	
		
	
		2.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(8,9,10)
	
	
	(13,13,13)
	
	
	(11,14,17)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.4.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
	
	
	
	2,395
	
	
	5,125
	
	
	4,785
	
	
	7,970
	
	
	3,985
	
	
	
	
		
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função cúbica.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função exponencial.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nunca se altera
	
	
	
	
		
	
		7.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,000
	
	
	 13,900
	
	
	 13,500
	
	
	 13,017
	
	
	 13,857
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
	
	
	
	0
	
	
	Indefinido
	
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	
	20
	
	
	5
	
		
	
		1.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 135 cm, mas o valor correto era 125 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	8 %      
	
	
	0,08 %     
	
	
	0,074 %
	
	
	7,4 %
	
	
	7%           
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (135 - 125) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 125 = 0,08 = 8%
	
	
	
	
		
	
		2.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,3% . Qual o valor do erro absoluto?  
 
	
	
	
	3 cm      
	
	
	99,7 cm    
	
	
	97 cm
	
	
	0,3 cm
	
	
	0,03 cm
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,3%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,3% . 100 =  0.3/100 . 100 = 0,3 cm
	
	
	
	
		
	
		3.
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
	
	
	
	8,8 %
	
	
	0,81 %        
	
	
	8,1 %        
	
	
	0,88 %
	
	
	10%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	
	
		
	
		4.
		Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
	
	
	
	0,1667
	
	
	0,2667
	
	
	0,1266
	
	
	0,6667
	
	
	0,30
	
	
	
	
		
	
		5.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
	
	
	
	5 cm     
	
	
	 95 cm
	
	
	0,05 cm.
	
	
	99,5 cm   
	
	
	 0,5 cm
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
	
	
	
		
	
		6.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,1415
	
	
	3,142
	
	
	
	
		
	
		7.
		Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações:
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas;
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo.
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo.
É correto afirmar que:
	
	
	
	todas são falsas
	
	
	todas são verdadeiras
	
	
	apenas II é verdadeira
	
	
	apenas III é verdadeira
	
	
	apenas I é verdadeira
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	0.0015926536
	
	
	0,14
	
	
	3,14
	
	
	3,1416
	
	
	0,1415926536
	
	
		
	
		1.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
	
	
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	0,83%
	
	
	0,077%
	
	
	8,3%      
	
	
	7,7%    
	
	
	0,77%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%
	
	
	
	
		
	
		3.
		O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação.
	
	
	
	0,25 e 0,03
	
	
	0,03 e 0,25
	
	
	0,025 e 0,03
	
	
	0,25 e 0,30
	
	
	0,50 e o,30
	
	
	
	
		
	
		4.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	0,3
	
	
	3
	
	
	Indefinido
	
	
	0,5
	
	
	30
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		5.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro absoluto
	
	
	
	
		
	
		6.
		Considereuma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	2,5
	
	
	indeterminado
	
	
	2
	
	
	
	
		
	
		7.
		Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente,
 
 
	
	
	
	500 , 0.003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.0003 , 0.3%
	
	
	50 , 0.003 , 0.003%
	
	
	Nenhum dos itens anteriores
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	0.0015926536
	
	
	0,14
	
	
	0,1415926536
	
	
	3,1416
	
	
	3,14
	
	
	
		1.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
	
	
	
	[3,4]
	
	
	[4,5]
	
	
	[4,6]
	
	
	[5,6]
	
	
	[2,3]
	
	
	
	
		
	
		3.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
	
	
	
	1,2
	
	
	1,0
	
	
	0,4
	
	
	0,6
	
	
	0,8
	
	
	
	
		
	
		5.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	
	
		
	
		8.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	Gabarito Coment.
	
		
	
		1.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	0,2500
	
	
	0,3225
	
	
	0,3125
	
	
	0,2750
	
	
	0,3000
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
	
	
	
	
		
	
		2.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	0,382
	
	
	0,725
	
	
	1,567
	
	
	1,053
	
	
	0,351
	
	
	
	
		
	
		3.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômiosde que grau?
	
	
	
	terceiro
	
	
	nunca é exata
	
	
	segundo
	
	
	primeiro
	
	
	quarto
	
Explicação:
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio.
	
	
	
	
		
	
		4.
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	1/2
	
	
	0
	
	
	1/3
	
	
	1/5
	
	
	1/4
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	1
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	
	
		
	
		8.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		1.
		
	
	
	
	Método de Lagrange
	
	
	Método dos Trapézios Repetidos
	
	
	Newton-Raphson
	
	
	Método de Euler
	
	
	Polinômio de Newton
	
	
	
	
		
	
		2.
		Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
	
	
	
	X30 + 8X + 9
	
	
	X20 + 2X + 9
	
	
	X21 + 3X + 4
	
	
	X19 + 5X + 9
	
	
	X20 + 7X - 9
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		3.
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro de truncamento
	
	
	erro relativo
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro booleano
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
	
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	
	
	
	
		
	
		5.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		6.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-3
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	-2
	
	
	3
	
	
	
	
		
	
		7.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	
	
		
	
		8.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
		
	
		1.
		As equaçõesdiferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
	
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	todas estão corretas
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	
	
	
		
	
		2.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
 
	
	
	
	b - a = c - d
 
	
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	
	
	a = b = c = d= e - 1
 
	
	
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	
	b = a + 1, c = d= e = 4
	
	
	
	
		
	
		3.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	2.10-2 e 1,9%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	0,030 e 1,9%
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		4.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Uso de dados de tabelas
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		5.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	1,008 m2
	
	
	99,8%
	
	
	0,2 m2
	
	
	0,8%
	
	
	0,992
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	Avaliação Parcial: CCE1178_SM_201702361802 V.1 
	Aluno(a): DAYVID ZANONI DA SILVA
	Matrícula: 201702361802
	Acertos: 10,0 de 10,0
	Data: 01/11/2018 14:53:36 (Finalizada)
	
	
	1a Questão (Ref.:201705356323)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
		
	 
	0,23%
	
	0,35%
	
	1,08%
	
	0,08%
	
	8%
	
	
	
	2a Questão (Ref.:201702508575)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
		
	
	1000 + 50x
	
	50x
	
	1000
	 
	1000 + 0,05x
	
	1000 - 0,05x
	
	
	
	3a Questão (Ref.:201705356315)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo?
		
	
	(2,5; 3)
	
	(1,5; 2)
	
	(4, 5)
	 
	(0; 1)
	
	(3; 4)
	
	
	
	4a Questão (Ref.:201705356974)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
		
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	 
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
	
	
	5a Questão (Ref.:201702550671)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	Bisseção 
	
	Ponto fixo
	
	Gauss Jordan
	 
	Newton Raphson 
	
	Gauss Jacobi
	
	
	
	6a Questão (Ref.:201703015102)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
		
	
	(0, 1)
	
	(-1, 0)
	 
	(2, 3)
	
	(-2, -1)
	
	(1, 2)
	
	
	
	7a Questão (Ref.:201703422634)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Resolva o sistema de equaçõesabaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	
	8a Questão (Ref.:201702668496)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	 
	Sempre são convergentes.
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
	9a Questão (Ref.:201705366423)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
		
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	W(x) = - x2 + 4x
	 
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	10a Questão (Ref.:201703024993)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	Há convergência para o valor -3.
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	Há convergência para o valor 2.