Lista 8 GA

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Geometria Analítica
Lista 8
Prof: Rafael Santos
1o) Determine os vértices A1 e A2 (do eixo maior), os focos e a excentricidade da elipse
de equação reduzida
x2
4
+
y2
25
= 1.
2o) Qual a área do triângulo F1F2B2, onde F1 e F2 são focos e B2 é vértice do eixo
menor da elipse
x2
25
+
y2
16
= 1?
3o) Encontre a equação reduzida da hipérbole com vértices A1 = (15, 0) e A2 = (−15, 0)
e assíntotas dadas por y = ±4
5
.
4o) Verifique se os pontos A =
(√
2, 1
)
e B = (0, 2) pertencem à hipérbole
x2
1
− y
2
1
= 1.
5o) Obtenha as tangentes à elipse 4x2 + 9y2 = 36 que passam pelo ponto P = (7, 2).
6o) Uma parábola com vértice na origem, cuja reta focal é o eixo Oy e passa pelo ponto
(4,−2). Determine sua equação, o foco F e a equação da diretriz D.
7o) Determine uma equação reduzida da elipse, em posição canônica, que contém os
pontos E1 = (3, 2) e E2 = (1, 4).
8o) Considere a elipse de equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Foram construídas duas circunferências
de raios a e b e dado um ponto P = (x, y) da elipse, com base na figura abaixo, mostre
que P = (a cos(θ), b sen(θ)).
2
9o) Obtenha uma equação reduzida da elipse de centro O que tem focos no eixo OX,
excentricidade
√
3
2
e contém o ponto
(√
3,
1
2
)
.
10o) Na Mitologia Analítica existe uma criatura chamada de “CONILEIDA”. Ela se
alimenta dos pontos perdidos pelos alunos que não estudam para a prova, mas nosso
herói, “Kleyton”, quer destruir tal criatura. A cabeça dela é uma elipse de equação
x2
25
+
y2
9
= 1, seus membros são dados pela hipérbole cujos focos são os vértices do
eixo maior da elipse e seu bigode é uma parábola cujo foco é um vértice do eixo menor
da elipse. Determine as equações da hipérbole e da parábola para vencer tal monstro.
3
Gabarito/Dicas
1o) A1 = (0,−5), A2 = (0, 5), F1 = (0,−
√
21), F2 = (0,
√
21) e e =
√
21
5
.
2o) 12. AT =
b · h
2
...
3o)
x2
225
− y
2
144
= 1.
4o) O ponto A pertence, mas o ponto B não.
5o) As retas são y = 2 e y =
7
10
− 29
10
. Use a reta na forma y − y0 = m(x − x0) que neste
caso fica y − 2 = m(x − 7), agora resolva o sistema (interseção reta e elipse) e lembre
que a condição de tangência implica ∆ = 0.
6o) Foco F = (0,−2), diretriz D : y = 2 e a equação da parábola é x2 = −8y.
7o)
x2
35
3
+
y2
35
2
= 1.
8o) Use Trigonometria para encontrar as relações.
9o)
x2
4
+
y2
1
= 1.
10o) Que tipo de herói não confia na própria resposta?