Exercícios Matemática Ensino Médio

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THIERRY RODRIGUES 
 
 
 
 
 
 
 
APROFUNDAMENTO EM MATEMÁTICA 
ENEM – 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMBUÍ-MG 
SETEMBRO/2019
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1. FUNÇÃO 
 
Entre os estudos das funções, temos: função do 1º grau, função do 2º grau, 
função exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica e 
função polinomial. 
Uma relação estabelecida entre dois conjuntos A e B, onde exista uma 
associação entre cada elemento de A com um único de B através de uma lei de 
formação é considerada uma função. Observe o exemplo: 
 
O estudo das funções se apresenta em vários segmentos, de acordo com a 
relação entre os conjuntos podemos obter inúmeras leis de formação. Dentre os 
estudos das funções temos: função do 1º grau, função do 2º grau, função 
exponencial, função modular, função trigonométrica, função logarítmica, função 
polinomial. 
Cada função possui uma propriedade e é definida por leis generalizadas. As 
funções possuem representações geométricas no plano cartesiano, as relações 
entre pares ordenados (x,y) são de extrema importância no estudo dos gráficos de 
funções, pois a análise dos gráficos demonstram de forma geral as soluções dos 
problemas propostos com o uso de relações de dependência, especificadamente, as 
funções. 
As funções possuem um conjunto denominado domínio e outro chamado de 
imagem da função, no plano cartesiano o eixo x representa o domínio da função, 
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enquanto o eixo y representa os valores obtidos em função de x, constituindo a 
imagem da função. 
 
Um exemplo de relação de função pode ser expresso por uma lei de formação 
que relaciona: o preço a ser pago em função da quantidade de litros de combustível 
abastecidos. Considerando o preço da gasolina igual a R$ 2,50, temos a seguinte lei 
de formação: f(x) = 2,50*x, onde f(x): preço a pagar e x: quantidade de litros. 
Observe a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1 EXERCÍCIOS (FUNÇÃO) 
 
1) Uma empresa de táxi cobra a bandeirada de R$ 5,00 e ainda o valor de R$ 1,50 
para cada quilômetro rodado. Determine a lei da função correspondente ao valor 
cobrado pelos táxis dessa empresa e qual é o valor cobrado em uma corrida de 12 
km. 
 
2) Seja a função f definida por f(x) = 3x – 2, determine o valor de f(5) + f(0). 
 
3) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo 
variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias 
produzidas, determine a lei da função que fornece o custo da produção de x peças. 
 
4) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 30,00 mais um custo 
variável de R$ 2,00 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias 
produzidas, determine o custo de produção de 100 peças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA 
 
Algumas regiões planas se assemelham a polígonos conhecidos como 
triângulo, quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio, pentágono, 
hexágono, entre outros, onde cada um possui uma fórmula específica para 
determinar a área de sua superfície. Mas algumas regiões possuem formatos não 
definidos pela Matemática, são as formas irregulares. Nesse caso, precisamos tentar 
decompor a figura em partes conhecidas, calculando individualmente a área de cada 
uma, as quais serão somadas constituindo a área total da região. Observe a área de 
uma região irregular: 
 
Decomposição da área em figuras conhecidas: 
 
 
 
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A área da região é constituída de um retângulo, um triângulo e um trapézio. 
Agora basta determinarmos as áreas de cada figura. 
 
Área 1 – Retângulo 
 
O retângulo referente a área 1 possui as seguintes dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
Sua área é calculada multiplicando o comprimento pela largura: 
A = 24 * 12 
A = 288 m² 
 
Área 2 – Triângulo 
 
A área de uma região triangular é calculada através da metade da 
multiplicação da base pela altura. 
A = (10*12) / 2 
A = 120 / 2 
A = 60 m² 
 
 
Área 3 – Trapézio 
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A área de um trapézio é dada pela seguinte expressão: , 
onde: 
B: base maior 
b: base menor 
h: altura 
 
Então: 
 
 
 
A área total da região é dada pelo somatório das áreas das regiões 1, 2 e 3: 
 
Área total = 288m² + 60m² + 88m² 
Área total = 436 m² 
 
 
 
Qualquer região irregular pode ser decomposta em figuras mais simples, porém, em 
algumas situações, o cálculo pode ficar um pouco mais complexo. Para tais 
situações, a área da região é determinada através de integrais (conteúdo 
relacionado ao ensino superior). 
 
 
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2.1 EXERCÍCIOS (ÁREA) 
 
1) Qual a área de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m? 
 
2) Calcule a área da figura a baixo: 
 
 
3) Calcule a área do losango de diagonal maior 8 cm e diagonal menor 4 cm. 
 
4) Qual é o comprimento de um retângulo cuja largura mede 118 metros e a área 
total é de 489 m2? 
 
5) Calcule a área de um retângulo cujo comprimento é 45 metros e a largura é 38 
metros. 
 
 
 
 
 
 
 
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3. SENO, COSSENO E TANGENTE 
 
Seno, cosseno e tangente são os resultados de divisões feitas entre os lados 
de um triângulo retângulo a partir de um de seus ângulos agudos. 
A trigonometria é considerada uma das áreas mais importantes da 
Matemática, pois possui diversas aplicações nos estudos relacionados com a Física, 
Engenharia, Navegação Marítima e Aérea, Astronomia, Topografia, Cartografia, 
Agrimensura, entre outras. 
Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que 
relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente 
construiu a primeira tabela de valores trigonométricos. Por essa razão, muitos 
consideram-no o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são 
embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. 
 
Seno = Cateto oposto 
 hipotenusa 
 
Cosseno = Cateto adjacente 
 hipotenusa 
 
Tangente = cateto oposto 
 cateto adjacente 
 
Tabelas trigonométricas 
No triângulo, os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis, pois 
estão presentes em diversos cálculos. Por esse motivo, seus valores trigonométricos 
correspondentes são organizados em uma tabela. Veja: 
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Nas situações envolvendo outros ângulos, os valores trigonométricos podem 
ser obtidos por intermédio de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sen 
(seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opção seria dispor de uma tabela 
trigonométrica. Observe: 
 
Para o cálculo dos valores trigonométricos envolvendo ângulos obtusos, 
utilizamos as seguintes definições: 
sen x = sen (180º – x) 
cos x = – cos (180º – x) 
Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120º e cosseno de 120º. 
sen 120º = sen (180º – 120º) → sen 120º = sen 60º = 0,8660 
cos 120º = – cos (180º – 120º) → cos 120º = – cos 60º = – 0,5000 
 
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3. EXERCÍCIOS (SENO, COSSENO E TANGENTE) 
 
1) (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o 
solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). 
Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em metros, é: 
 
2) (Cefet-MG) O triângulo ABC é retângulo em e os segmentos são 
perpendiculares. 
 
Assim, a medida do segmento vale: 
 
3) Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma 
maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com umaplaca de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as 
duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 
55º, calcule a medida x da largura casa. 
 
Considere: 
sen 55º = 0,82 
cos 55º = 0,57 
tg 55º = 1,43 
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4. PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
A sequência numérica onde, a partir do 2º termo, a diferença entre um 
número e seu antecessor resulta em um valor constante é denominada de 
Progressão Aritmética. O valor constante dessa sequência é chamado de razão da 
PA. Observe: 
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, ... 
5 – 2 = 3 
8 – 5 = 3 
11 – 8 = 3 
14 – 11 = 3 
17 – 14 = 3 
20 – 17 = 3 
23 – 20 = 3 
26 – 23 = 3 
29 – 26 = 3 
 
Observe que nessa sequência a razão possui valor igual a 3. 
Em uma progressão aritmética podemos determinar qualquer termo ou o 
número de termos com base no valor da razão e do 1º termo. Para tais cálculos, 
basta utilizar a seguinte expressão matemática: 
an = a1 + (n – 1) * r 
Exemplo 1 
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, 
determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica. 
a18 = 2 + (18 – 1) * 5 
a18 = 2 + 17 * 5 
a18 = 2 + 85 
a18 = 87 
 
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O 18º termo da PA em questão é igual a 87. 
Em algumas situações ocorre a necessidade de determinar o somatório dos 
termos de uma progressão aritmética. Nesses casos a expressão 
matemática determina a soma dos termos de uma PA. 
Exemplo 2 
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15, ...), determine a soma dos 20 
primeiros termos. 
 
Cálculo da razão da PA 
3 – (–1) = 3 + 1 = 4 
7 – 3 = 4 
11 – 7 = 4 
15 – 11 = 4 
 
Determinando o 20º termo da PA 
a20 = –1 + (20 – 1) * 4 
a20 = – 1 + 19 * 4 
a20 = – 1 + 76 
a20 = 75 
 
Soma dos termos 
 
A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740. 
 
 
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4. EXERCÍCIOS (PROGRESSÃO ARITMÉTICA) 
 
1) Determine: 
a) a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …); 
b) a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …); 
c) a soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75, …). 
 
 
2) Determine o 20º elemento e a soma dos termos da seguinte progressão 
aritmética: (2, 7, 12, 17,...). 
 
 
3) Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por 
diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros irá percorrer em 6 
horas?