Limites de Sequências Numéricas - Definição

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Cálculo II 
 
 
 
 
LIMITES DE SEQUÊNCIAS – DEFINIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Sequência Numérica: O que é? ................................................................................................ 2 
2. Sequência Limitada e Subsequência ...................................................................................... 5 
3. Limite de uma Sequência Numérica ....................................................................................... 7 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 9 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 10 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
Introdução 
Na apostila sobre ‘o que é o limite no âmbito do cálculo’, vimos a descrição 
intuitiva e formal envolvendo o limite de uma função y = f(x). Não nos esqueçamos 
que lá partimos de algumas situações peculiares envolvendo o limite de uma 
sequência para que pudéssemos entender tal conceito na simbologia matemática. 
Assim sendo, a ideia da formalização do limite de uma fução do tipo y = f(x) no 
cálculo diferencial e integral, permite que desenvolvamos algumas técnicas ou 
ferramentas específicas, como as derivadas e integrais, que são importantíssimas 
para a resolução de problemas diversos, como taxas de variação, cálculo de áreas e 
volumes. 
Ressalta-se ainda de forma adicional que a ideia intuitiva e formal do 
conceito de limite de uma função nos permite o entendimento de diversas 
propriedades e resultados envolvendo as sequências e séries numéricas, quanto a 
convergência das mesmas. 
Nessa apostila, nós apresentaremos o conceito de limite de uma sequência 
numérica, bem como algumas de suas primeiras propriedades relacionadas, como 
por exemplo, sequências convergentes e divergentes. Assim sendo, convido todos 
vocês! Vamos lá? 
 
Objetivos 
• Estar plenamente familiarizado com a noção do limite de uma sequência 
numérica. 
• Identificar sequências convergentes e divergentes. 
• Resolver alguns exemplos introdutórios envolvendo o limite de uma 
sequência numérica com base na conceituação formal. 
 
1. Sequência Numérica: O que é? 
Matematicamente falando, você saberia descrever realmente o significado de 
uma sequência ou sucessão numérica? Já ouviu falar em sequências convergentes? 
E divergentes? Tais conceitos é o que apresentaremos nessa apostila. 
Neste momento inicial, estaremos interessados na conceituação do que vem 
a ser uma sequência ou sucessão numérica. É importante ressaltamos que as 
sequências numéricas são utilizadas atualmente em modelos diversos de 
algoritmos, seja na computação gráfica ou na inteligência artificial, na descrição de 
códigos quânticos ou não, simulação de sistemas gerenciais e na formulação de 
 
 
3 
 
 
modelos de cunho da engenharia para resolução de problemas envolvendo projetos 
e cálculos estruturais (deflexão de vigas e oscilações). 
Mas, afinal de contas, o que seria uma sequência numérica? Vamos ver? 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 Segundo Guidorizzi (2003), a notação para uma sequência numérica pode ser 
feita com base em algumas descrições. Assim sendo, citamos as seguintes descrições 
para uma sequência ou sucessão numérica: 
1 2 3( , , ,..., ,...)nx x x x
 ou 
( )n nx 
 ou 
( )nx
 ou (x) 
 Desta forma, qualquer uma dessas notações nos descreve uma sequência 
cujo n-ésimo termo é exatamente 𝑥𝑛. Observe sem grandes dificuldades, que 
quando falamos em sequência numérica, temos uma função x: ℕ → ℝ, que relaciona 
cada número natural ‘n’ a um único número real 𝑥𝑛, chamado de n-ésimo termo da 
sequência. Descrevendo na forma de função, podemos visualizar como segue. 
:x →
 
11 x
 
22 x
 
33 x
 
.... 
nn x
 
 
 
 
Conceito (Sequência numérica ou Sucessão numérica): Uma 
sequência numérica composta por números reais, nada mais é, 
do que uma função x definida no conjunto dos números 
naturais e tomando valores reais. Em outras palavras, uma 
sequência ou sucessão de números reais é uma função x. 
→
 
 
 
4 
 
 
DICA 
 
 
 
 
 
 
Segundo Boulos (2006), os números constituintes do conjunto imagem da 
função característica (sequência) são denominados elementos ou termos da 
sequência. Além disso, se o e-nésimo termo da sequência xn for levado na imagem 
f(n), então a sucessão pode ser vsita como o conjunto dos pares ordenados (n, f(n)), 
com ‘n’ sendo um inteiro maior do que zero. 
Desta forma, a seguir enumeramos algumas sequências númericas. 
a) 
( )
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 3 4
n n
x
n
=
 A sua representação gráfica com base na 
descrição dos pares ordenados 
( ), nn x
 ou 
( )( ), n f n
 é mostrada na Figura a 
seguir. 
 
1 
Representação gráfica da sequência 
( )
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 3 4
n n
x
n
=
 
: Elaborado pelo autor (2019). 
b) 
( )
1 1 1
1,3, ,3, ,3, ,3...
2 3 4
nx =
 ( 
É interessante pontuarmos que não podemos confundir a 
sequência numérica (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ com o conjunto formado pelos 
seus termos. Ilustrando para a sucessão (2, 2, 2, 2, ..., 2,...), 
temos que o conjunto de seus termos é o conjunto unitário 
{2}. Além disso, notemos também que as as sucessões (0, 3, 
0, 3, ...) e (0, 0, 3, 0, 0, 3,...) são distintas, todavia o conjunto 
dos seus termos é idêntico, ou seja, o conjunto binário {0, 3}. 
 
 
 
 
5 
 
 
c) 
( ) 2' 31
1 1
1, , ...
2 2
nx =
 
d) 
( )nx
 = (1, 2, 3, 4, 5, 6, …) 
e) 
( )nx
 = (4, 4, 4, 4, …) 
 
2. Sequência Limitada e Subsequência 
Uma sequência convergente necessariamente é limitada, porém a recíproca 
nem sempre é verdadeira. Por outro lado, um ponto a ser abordado, como é feito na 
teoria de conjuntos, onde descrevemos subconjunto de um conjunto, é a abordagem 
sobre a subsequência de uma sequência. Vamos lá? 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim sendo, vejamos as ilustrações de sequências a seguir. 
a) A sequência
( ) 0, 1, 0, 1, 0, ( ) 1, nx = 
 é limitada superiormente e 
inferiormente e, portanto, temos que tal sequência é limitada, já que existe um k = 2 
por exemplo, de tal forma que 
2nx 
 , para todo ‘n’ natural. 
 
Conceito (Sequência Limitada) (Adaptado de Anthon 2000): 
Uma sequência 
( )nx
 é chamada de limitada superiormente 
(mutuamente, inferiormente) quando tivermos a existência de 
um número real c, tal que 
nx
 ≤ c (mutuamente, 
nx
 ≥ c) para 
qualquer ‘n’ natural. Além disso, falamos que a sequência 
( )nx
 
é limitada quando ela é limitada tanto superiormente quanto e 
inferiormente. Em termos gerais, falar em sequência limitada 
significa dizer que temos um número real k > 0 tal que 
nx k
 
para todo n natural. 
 
 
 
 
6 
 
 
b) A sequência 
1 1 1 11, , , ,...,
2 3 3 ,. .
( )
.
nx
n
 
=  
 
 é limitada superiormente e 
inferiormente e, portanto, temos que tal sequência é limitada. Aqui tomando k = 1 
temos que 
1nx 
 , para todo n natural. 
c) A sequência 
( ) ( ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, nx = 
 não é limitada superiormente, 
porém é limitada inferiormente por c = 1, já que 𝑥𝑛 ≥ 1. 
d) A sequência 
( ) ( )1, 4, 9, 16, nx = 
 cujo e-nésimo termo é 
nx n−
 não 
é limitada superiormente. 
Uma sequência de uma sequência é chamada de subsequência. 
 Logo, num primeiro momento podemos pensar na subsequência como 
sendo uma restrição da sequência original para o seu campo de definição. Vejamos 
essa conceituação. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, a seguir enumeramos algumas sequências e subsequências 
númericas relacionadas. 
a) Considerando a sequência 
( ) ( )0, 1, 0, 1, 0, 1, nx = 
 temos que
( ) ( )0, 0, 0, 0, 0, 
kn
x = 
 e 
( ) ( )1, 1, 1, 1, 1, 
kn
x = 
 são subsequências de 
( )nx
 . 
 
Seja 
( )nx
 uma sequência de números reais, assim falamos 
que uma subsequência de 
( )nx
 nada mais é do que a 
restrição da função caracteristica de 
( )nx
 a um subconjunto 
de seu domínio. Em símbolos, denotamos uma subsequência 
de 
( )nx
 
por 
( )nk kx 
 ou 
( )'x
 onde 
' ' 'x x e= 
 . 
 
 
 
7 
 
 
b) A sequência 
( )
1 2 1
, ,..., ,...
3 4
nx
n
 
==  
 
 tem como um exemplo de 
subsequência 
( )
1 2 1
, ,..., ,...
3 4k
nx
n
 
==  
 
 . 
 
3. Limite de uma Sequência Numérica 
Agora, caracterizemos de maneira formal o significado do limite de uma 
sequência, que poderíamos pensar no contexto da generalização do conceito de 
limite no âmbito do cálculo diferencial e integral. Assim sendo, definimos o limite de 
uma sequência numérica como segue. 
Conceito (Limite de Uma Sequência Numérica)(Adaptado de Leithold 2006) 
Falamos que o número real L é limite da sequência 
( )nx
 , quando para todo 
número real 
0
 arbitrário, existir um índice 
0n 
 , tal que todos os termos 
nx
 
com 
0n n
 satisfazem a condição
nx L −
 . 
 Deve ficar evidenciado, que tal conceituação nos diz que, para valores muito 
grandes de ‘n’, os termos 
nx
 da sequência ficam cada vez mais próximos de L 
conforme seja nosso desejo. 
 De outra forma, matematicamente falando, isso nos diz que a partir do 
momento estipulamos uma dada margem de erro 
0
 , temos a existência de um 
índice 
0n 
, de modo que a partir desse índice todos os termos da sequência são 
valores próximos do limite L, com margem de erro inferior a 

 . 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
Salientamos que a desigualdade modular 
n Lx −
 é equivalente a falarmos 
que 
nL x L − +
 , ou ainda, que 
nx
 está como membro do intervalo aberto 
( ),L L − +
 . Em outras palavras, Boulos (2003) nos diz que quando afirmamos que 
limxnL =
 , em verdade nos diz que o intervalo aberto com centro em L contém 
quase todos os termos da sequência (exceto para um número de finito de termos – 
Na simbologia matemática, podemos descrever a 
conceituação de limite de uma sequência como: 
0 0limx 0, ,n n LL n n n x −=     
 
 
 
8 
 
 
para os termos em que n < n0). Alternativamente, na literature, encontramos as 
descrições: 
lim n
n
x

 ou 
lim n
x
L x
→
=
 ou 
nx →
 . 
Nesse contexto, independentemente da notação utilizada podemos realizer a 
leitura das mesmas como “
nx
tende para L”. Assim sendo, quando tivermos uma 
sequência que possui limite falamos que a mesma é uma sequência convergente e, 
contrariamente, quando a sequência não tem limite dizemos que a mesma é 
divergente, exemplificado na figura a seguir. É importante comentarmos que uma 
sequência convergente converge para um único valor limite, ou seja, uma sequência 
só pode convergir para um único valor de L. 
Vejamos uma ilustração envolvendo o cálculo do limite de uma sequência por 
intermédio do formalismo da conceituação em questão. 
 
Sequências convergentes e divergentes. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
Sequências 
Convergentes
Quando a 
sequência xn 
possui 
limite.
Sequências 
Divergentes
Quando a 
sequência xn 
não possui 
limite.
Consideremos a sequência numérica dada por 
( )
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 3 4
nx
n
 
=  
 
 . Neste caso, a sequência é 
convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, a resposta é que 
( )nx
 é uma 
sequência convergente, que na verdade converge para L = 
0. Tal justificativa será realizada formalmente mais a frente 
na Aula 14. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Exercícios 
1 – (Autor, 2019) Caracterizar os cinco primeiros termos das sequências 
apresentadas a seguir. 
 a) 
( ) 2
ln( )
n
n
x
n
 
=  
 
 
 b) 
( )
2
2
3
1
n
n
x
n
 −
=  
− 
 
 c) 
( )
3 2
2n
n n
x
n
 +
=  
 
 
 d) 
( )
2 2
4. 2
n
n
x
n
+ 
=  
+ 
 
 
 2 – (Autor, 2019) Caracterizar o valor lógico de cada uma das proposições 
descritas a seguir. 
 a) ( ) Toda sequência necessariamente é convergente. 
 b) ( ) Toda subsequência de uma sequência não necessariamente é divergente. 
 c) ( ) Toda sequência possui limite. 
 d) ( ) Toda sequência limitada possui limite. 
 e) ( ) Toda sequência que possui limite é limitada. 
 f) ( ) Toda sequência limitada de números reais necessariamente possui uma 
subsequência convergente. 
 g) ( ) Elementos ou termos da sequências são os números na imagem da 
sequência. 
 h) ( ) O limite de uma sequência quando existe é único. 
 i) ( ) Uma sequência de números reais não pode convergir para dois valores 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Gabarito 
 1 – Neste caso, temos que: 
a) 
( ) 2
ln( )
n
n
x
n
 
=  
 
- os cinco primeiros termos da sequência são: 0, 
ln 2 ln 3 ln 4 ln
, , ,
4 9 16 25
 . 
 
 b) 
( )
2
2
3
1
n
n
x
n
 −
=  
− 
- os cinco primeiros termos da sequência são: 
1 3 13 11 33
, , ,
3 4 5 2 35
e
− − − − −
 . 
 
c) 
( )
3 2
2n
n n
x
n
 +
=  
 
- os cinco primeiros termos da sequência são: 2, 3 , 4, 5 e 6. 
 
d) 
( )
2 2
4. 2
n
n
x
n
+ 
=  
+ 
- os cinco primeiros termos da sequência são: 
2 3 5 6
, ,
3 5 9 11
e
 . 
 
2 – Neste caso, temos que: 
a) (F) Toda sequência necessariamente é convergente. Aqui, podemos citar 
a sequência (2,0,2,0,2,0,...) que não é uma sequência convergente. 
b) (F) Toda subsequência de uma sequência não necessariamente é 
divergente. Aqui, podemos citar a sequência (1,2,3,4,...) que possui uma 
subsequência que não é convergente. 
c) (F) Toda sequência possui limite. Aqui, podemos citar a sequência 
(3,0,3,0,3,0,...) que não é uma sequência convergente, ou seja, não possui limite. 
d) (F) Toda sequência limitada possui limite. Aqui, podemos citar a 
sequência (2,0,2,0,2,0,...) que é limitada e não é uma sequência convergente. 
 e) (V ) Toda sequência que possui limite é limitada. 
 f) (V) Toda sequência limitada de números reais necessariamente possui 
uma subsequência convergente. 
 
 
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g) (V) Elementos outermos das sequências são os números na imagem da 
sequência. 
h) (V) O limite de uma sequência quando existe é único. 
 i) (V) Uma sequência de números reais não pode convergir para dois valores 
diferentes. 
 
Resumo 
Nesta apostila, nos familiarizamos com a conceituação envolvendo uma 
sequência numérica, bem como as sequências limitadas e sequências convergentes. 
Além disso, uma sequência é chamada de sequência convergente quando ela possui 
limite, sendo que esse limite é único, conforme visualizado na parte sobre funções. 
Além disso, é relevante ressaltarmos que para uma sequência ser limitada, a 
mesma deve ser simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. 
É interessante colocarmos primeiramente que toda sequência convergente é 
uma sequência limitada, todavia nem toda sequência limitada necessariamente será 
uma sequência convergente. Observemos, por exemplo, a sequência 
(0,1,0,1,0,10,1,...) que é uma sequência limitada, entretanto não é uma sequência 
convergente. 
De outra forma, salientamos que o aparato envolvendo as sequências 
numéricas convergentes, pode ser utilizado diretamente no estudo de sistemas de 
controle, sistemas dinâmicos e na descrição das oscilações no âmbito da 
engenharia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Volume 2. São Paulo: Harbra, 2006. 
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 2. São Paulo: Bookman, 2000. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 2. SP: Makron Books, 2006.