Cálculo de Limites usando Definição e Propriedades

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Cálculo II 
 
 
 
 
CÁLCULO DE LIMITES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Caracterização do Limite por meio da Definição Formal ....................................................... 2 
2. Caracterização do Limite via Propriedades ............................................................................ 5 
 
Exercícios .................................................................................................................................... 10 
 
Gabarito ...................................................................................................................................... 10 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre a segunda parte sobre os limites de sequências numéricas, 
trabalhamos com as propriedades operatórias acerca dos limites de sequências 
numéricas, onde citamos a regra da soma, diferença, produto e quociente. 
As propriedades operatórias envolvendo o limite de uma sequência numérica 
constituem importantes procedimentos que visam a simplificação de diversos 
cálculos, ou seja, são importantes no sentido de simplificar em alguns casos o 
cálculo do limite da sequência associada. 
Nessa apostila, apresentaremos novos exemplos envolvendo a caracterização 
do limite de uma sequência por intermédio da prórpia definição formal, bem como 
com base nas regras operatórias. Vamos nessa? 
Objetivos 
• Caracterizar o limite de uma sequência numérica através da conceituação 
formal do limite de uma sequência. 
• Caracterizar o limite de uma sequência numérica com base nas propriedades 
operatórias sobre limites. 
1. Caracterização do Limite por meio da Definição Formal 
É conhecido que uma sequência é dita convergente quando ela possui limite. 
Matematicamente falando, dizemos que a sequência (xn) possui limite através da 
descrição: 
0 0lim 0 ,n nL x m n n n x L =       − 
Obviamente, poderíamos pensar inicialmente que talvez esse não seja o 
melhor caminho para caracterizarmos o limite de uma sequência, porém constitui 
um aparato importante para averiguarmos na essência o entendimento de 
caracterização do limite de uma sequência. 
Desta forma, vejamos alguns exemplos que ilustram a determinação do limite 
de uma sequência por intermédio da conceituação formal do mesmo. 
 
 
3 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: (Adaptado de Leithold 2006) Por intermédio da conceituação 
formal de limite, vamos comprovar que a sequência (xn) cujo e-nésimo 
termo é 
2 1
n
n
 
 
+ 
 converge para o limite L = ½. Ou seja, vamos mostrar 
que 
lim 2
2 1n
n
n→
 
= 
+ 
 
Solução: O primeiro passo a ser realizado é olharmos cuidadosamente 
para a definição formal e verificar o que deve ser feito. Neste sentido, 
necessitamos comprovar que para qualquer 𝜀 > 0, ∃ 𝑛0 𝜖 ℕ, tal que para n 
> 𝑛0 tenhamos 1
2 1 2
n
n
−
+
. É importante comentarmos que nos 
problemas que envolvem a justificativa por intermédio da definição 
formal, usamos de algum tipo de mecanismo algébrico. Além disso, 
podemos pensar na descrição pensando de “trás para frente”, no sentido 
de encontrarmos o índice 𝑛0 por intermédio de 𝜀. Assim, para n > 
𝑛0 escrevemos: 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 11 2 2 1
2 1 2 2 2 1 2 2 1
1 1 1 1 2
2 1
2 2 1 2 2 1 2 4
n nn n n
n n n
n n
n n
  
 
 
− + − −
−   
+  +  +
−
  + 
 +  +
 
 Então, se tomarmos
0
1 2
4
n


−
=
 e se tivermos n >
0n
 , teremos que: 
0
1 2 1
4 2 1 2
n
n n
n


−
=  −
+
 
Que nos mostra que 
1
lim
2 1 2n
n
n→
 
= 
+ 
 . 
Ilustrando, se tivermos 
1
8
 =
 , então 
0
3
2
n =
 e, desta maneira, 
poderíamos escrever: 
3 1 1
2 2 1 2 8
n
n
n
 
 −  + 
 E, assim por diante. 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
Uma sequência constante (todos os seus termos iguais) é 
convergente e o valor do seu limite é exatamente o valor 
dessa constante. Desta forma, se tivermos (xn) = (3, 3, 3, 3, ...) 
então a mesma é convergente e o seu limite é equivalente 
igual a 3. Vejamos então como podemos justificar tal 
proposição com base na definição formal de limite de uma 
sequência numérica como segue. 
Exemplo 2 (Adaptado de Thomas 2003): Considerando a 
sequência 
( )nx
 = (k, k, k, k, ...), com k um número real, então 
temos que lim
𝑛→∞
𝑘 = k. 
Solução: Neste caso, para qualquer 𝜀 maior do que zero, 
temos que encontrar um natural 𝑛0 tal que para todo 𝑛 > 𝑛0 
tenhamos |k – k|

 . Observemos claramente de como |k – k| 
= 0, podemos tomar qualquer valor natural positive para 𝑛0 
que a desigualdade |k – k|

 se tornará válida. Portanto, 
concluímos que se 
( )nx
 = (k, k, k, k, ...) então
lim
n
k k
→
=
 . 
 
 
Exemplo 3 (Adaptado de Anton 2000): Consideremos a 
sequência numérica dada por 
( )
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 3 4
nx
n
 
=  
 
. 
Neste caso, a sequência é convergente ou divergente? 
Solução: Neste caso, a resposta é que 
( )nx
 é uma 
sequência convergente, que na verdade converge para L = 
0. Vejamos a justificativa para tal fato. De acordo com a 
definição, dado 
0
 devemos exibir um índice 𝑛0, tal que 
para todo n > 𝑛0 devemos ter 1
0
n
−
 . Assim sendo, se 
tomarmos 𝑛0 > 
1
𝜀
 , então para qualquer n > 𝑛0, teremos n > 
1
𝜀
 
o que nos leva a |
1
𝑛
− 0| < 𝜀. Portanto, concluímos que 𝑥𝑛 →
0. 
 
 
5 
 
EXEMPLO 
 
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Caracterização do Limite via Propriedades 
Já foi mostrado anteriormente as operações que envolvem a caracterização 
do limite de sequências numéricas, ou seja, as chamadas propriedades operatórias 
ou operações. 
Desta forma, vamos apresentar a resolução de mais alguns exemplos 
envolvendo tais propriedades e alguns procedimentos padronizados baseados em 
outros resultados como segue. 
Exemplo 4 (Adaptado de Guidorizzi 2003): Já é conhecido 
que uma sequência que é convergente, na verdade, 
converge para um único valor. Mas como poderia tal fato ser 
justificado? Vamos averiguar? Para tal, vamos provar que o 
limite de uma sequência convergente 
( )nx
 é único. 
Solução: Sem perda de generalidade, vamos supor que 
1lim n
n
x L
→
=
. Assim sendo, por absurdo vamos supor também 
que
2lim n
n
x L
→
=
 , com 
1 2L L
 . É interessante notarmos que 
podemos tomar
0
 , de tal forma que os intervalos 
abertos com centro em 
1L
 e 
2L
, digamos 
( )1 1I L L = − +
 e 
( )2 2J L L = − +
 tenham interseção vazia, ou seja, sejam 
disjuntos. Com base na conceituação formal de limite de 
uma sequência numérica,temos a existência de um índice 
0n 
 , tal que 
0n n
 vem que os termos
nx I
 . 
Observemos que para qualquer 
0n n
 n > n0, temos xn não 
pertence a J (absurdo), já que é uma contradição, pois
2lim n
n
x L
→
=
. Portanto, uma sequência não pode convergir 
para dois valores distintos do limite. 
 
 
 
 
 
6 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 (Adaptado de Boulos 2006): A sequência (xn) com 
e-nésimo termo dado por 
1
n
 
− 
 
 é convergente ou 
divergente? 
Solução: Neste caso, com base na propriedade envolvendo a 
multiplicação por escalar e já sabendo que
1
lim 0
n n→
 
= 
 
 , 
podemos escrever que: 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
lim lim 1 1 lim 1 0
n n nn n n→ → →
     
− = −  = −  = −      
     
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor 0. 
Exemplo 6 (Adaptado de Anton 2000): A sequência 
( )nx
 com 
e-nésimo termo dado por 
1n
n
− 
 
 
 é convergente ou 
divergente? 
Solução: Neste caso, com base na propriedade envolvendo a 
diferença e já sabendo que lim
𝑛→∞
(
1
𝑛
) = 0, podemos escrever 
que: 
 
( )
1 1 1 1
lim lim lim lim 1 lim 1 1 0
n n n n n
n n
n n n n n→ → → → →
−           
= − = = − = − =          
          
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7 (Adaptado de Guidorizzi 2003): A sequência 
(xn) com e-nésimo termo dado por 
3
7
n
 
 
 
 é convergente 
ou divergente? 
Solução: Neste caso, com base na propriedade 
envolvendo a multiplicação por escalar e já sabendo 
que 
3
1
lim 0
n n→
 
= 
 
 , podemos escrever que: 
3 3 3
7 1 1
lim lim7 7 lim 7 0 0
n n nn n n→ → →
     
= = =  =     
     
 . 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
convergente e converge para o valor 0. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
convergente e converge para o valor 1. 
 
Exemplo 8 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência (xn) 
com e-nésimo termo dado por 6
6
4 7
6
n
n
 − 
 
+ 
 é convergente 
ou divergente? 
Solução: Para esse tipo de situação podemos caracterizar o 
seu limite com base em um procedimento muito usado no 
contexto do limite de funções, que é dividirmos todas as 
parcelas do numerador e denominador pela potência 
dominante (ou seja, pela maior potência da variável n). Em 
termos práticos, teremos que: 
4 46
6 6
6 6 6
66
66 6
7 7
4 7 0 7
lim lim lim 7
666 1 0
1
n n n
n
n n
n n n
nn
nn n
→ → →
   
− −    −  − 
=   =   = = −   
+ +      ++   
   
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente 
e converge para o valor – 7. 
 
 
 
 
 
8 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência 
( )nx
 
com e-nésimo termo dado por 2
2
4
2 1
n
n
 
 
+ 
 é convergente 
ou divergente? 
Solução: Mais uma vez vamos dividir todas as parcelas do 
numerador e denominador pela potência dominante (ou 
seja, pela maior potência da variável n), no caso por n². 
Assim sendo, temos que: 
2
2 2
22
2 2
4
4 4
lim lim 2
2 12 1 2n n
n
n n
nn
n n
→ →
 
    
= = =    
+     + 
 
 portanto, 
concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor 2. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
convergente e converge para o valor 1. 
 
Exemplo 10 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência (xn) com 
e-nésimo termo dado por 2
2
3
1
n
n
 −
 
− 
 é convergente ou 
divergente? 
Solução: Dividindo cada uma das parcelas do numerador e 
denominador pela potência dominante n², vem que: 
2
2 2 2
22
2 2
3
3 1
lim lim 1
11 1n n
n
n n n
nn
n n
→ →
 
−  − − 
= = = −    
−     − 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor – 1. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência (xn) 
com e-nésimo termo dado por 3 2
2
n n
n
 −
 
 
 é convergente 
ou divergente? Solução: Neste caso, podemos escrever 
que: 
2
3 2 2 2
2
2
2
lim lim lim 1
n n n
n n
n n n n n n
nn n
n
→ → →
 
−  − − 
= = =  =     
    
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é divergente. 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
convergente e converge para o valor 1. 
 
Exemplo 12 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência 
( )nx
 com e-nésimo termo dado por 
2 1
4 1
n
n
+ 
 
+ 
 é 
convergente ou divergente? 
Solução: Dividindo cada uma das parcelas do numerador 
e denominador pela potência dominante n, vem que: 
2 1 1
2
2 1 2 1
lim lim lim
4 1 14 1 4 2
4
n n n
n
n n n n
nn
n n n
→ → →
   
+ +   +   
= = = =      
+      + +
   
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
convergente e converge para o valor
1
2
 . 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é 
 
10 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1 – (Autor, 2019) Calcular o valor do limite da sequência 
( )
3
9 1
n
n
x
n
 
=  
+ 
 e 
caracterizar a mesma em convergente ou divergente. 
2 – (Autor, 2019) Calcular o valor do limite da sequência 
( )
4 3
3n
n n
x
n
 +
=  
 
 e 
caracterizar a mesma em convergente ou divergente. 
3 – (Autor, 2019) Calcular o valor do limite da sequência 
( )
2
2
5 2
3
n
n
x
n
 +
=  
+ 
 e 
caracterizar a mesma em convergente ou divergente. 
 
Gabarito 
 
1- Neste caso, vamos nos basear com base na regra operatória do quociente, 
assim sendo dividindo cada parcela do numerador e denominador por n e aplicando 
tal regra, podemos escrever que: 
Exemplo 13 (Adaptado de Thomas 2003): A sequência (xn) 
com e-nésimo termo dado por 
6
6 1n
 
 
+ 
 é convergente ou 
divergente? 
Solução: Dividindo cada uma das parcelas do numerador e 
denominador pela potência dominante n, vem que: 
6 1 1
lim lim lim
6 1 16 1 6
6
n n n
n
n
nn
n n n
→ → →
   
    
= = =    
+     + +
   
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor 
1
6
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, concluímos que a sequência dada é convergente e 
converge para o valor 1. 
 
 
11 
 
3
3 3 3 1
lim lim lim
9 1 19 1 9 3
9
n n n
n
n n
nn
n n n
→ → →
   
    
= = = =    
+     + +
   
 
Portanto,concluímos que a sequência dada é convergente e converge para o 
valor.
1
3
 
2 – Neste caso, a partir da regra do produto e do quociente, podemos 
escrever que: 
3 2
4 3 3 2 3 3
33 2
2
lim lim lim 1
n n n
n n
n n n n n nn n
nn n
n
→ → →
 
+    + +
=  =  =  =     
     
 
 
 
Donde concluímos que a série em questão é divergente. 
3 – Neste caso, com base na regra do produto, multiplicação por escalar e do 
quociente e num primeiro momento, dividindo cada parcela do numerador e 
denominador pela potência dominante, que no caso é a potência n², vem que: 
 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 22
22 2 2 2
5 2 5 2 5
2
5 2 2
lim lim lim lim 2
33 33 1
1
n n n n
n n
n n n n n n
n nn
nn n n n
→ → → →
     
+ + +      +
= = = = =      
+       ++ +   
    
 
Logo, a sequência dada é convergente e converge para L = 2. 
Resumo 
Nesta apostila, discutimos a determinação de alguns limites de sequências 
numéricas, a partir da conceituação formal ou definição formal, que constitui 
inicialmente a ferramenta a ser utilizada para esse propósito. 
Todavia, fica evidenciado de forma clara que a caracterização do limite de 
uma sequência por intermédio da definição formal não é uma tarefa simples. Por 
conta disso, se torna fundamental o conhecimento das regras operatórias 
envolvendo o cálculo de limites de sequências numéricas. Tal aparato visa 
essencialmente a simplificação da complexidade da caracterização de tal limites. 
Além disso, vimos uma série de outros exemplos envolvendo a descrição do 
limite de uma sequência por intermédio das propriedades operatórias envolvendo o 
limite de uma sequência numérica. É importante ressaltarmos que a partir da 
 
12 
 
visualização de alguns exemplos específicos envolvendo tais regras operatórias, 
podemos generalizar para outros exemplos similares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Volume 2. São Paulo: Harbra, 
2006. 
 
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 
 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 2. São Paulo: Bookman, 2000. 
 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 2. SP: Makron Books, 2006.