Integrais-de-caminho ultima 1

Prévia do material em texto

Mecânica Quântica 
 
 & 
 
 Integrais de caminho. 
 
 
 
 
 
 
Professor: PEDRO ZAMBIANCHI JUNIOR 
Anulo: Gilber Gustavo de Almeida. 
 
MESTRADO EM FÍSICA E ASTRONOMIA. UNIVERSIDADE 
TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANÁ 
 
Resumo. 
 
Podemos fazer o uso da mecânica clássica (MC) para descrever o 
comportamento de corpos massivos em movimento. Nesse caso, fazemos a 
integral da Lagrangeana, que é a ação, ou seja, o menor caminho entre dois 
pontos. A proposta deste trabalho é fazer um estudo da mecânica quântica no 
âmbito da integral de caminho. Vamos estudar a ideia de Faynman, que foi 
baseada no comentário misterioso de Dirac, e simplesmente descrever 
matematicamente o que ele desenvolveu. A construção desse modelo 
matemático envolve fortemente aspectos quânticos e algumas analogias com a 
mecânica Clássica. Podemos nos perguntar se existe algum limite em que a 
ação descrita pela mecânica clássica possa ser válida na mecânica quântica 
(MQ). Os físicos gostam dessa ideia, quando duas teorias com bases 
diferentes concordam. Quando digo diferente, é no sentido da definição do 
espaço nessas duas teorias, a mecânica quântica é descrita pelo espaço 
complexo de Hilbert, e nesse espaço toda medida é probabilística, afinal 
estamos falando de escalas atômicas e de elétrons. Então dentro desce 
contexto, e da notação de Dirac, tentarei mostrar a construção da ideia partindo 
da ação clássica. 
 
Introdução. 
 
Tente imaginar a seguinte situação, você está em sua casa e precisa chegar ao 
lugar onde estuda o mais rápido possível. Pense na quantidade de caminhos 
possíveis você poderia realizar. Mas dentre todos, existe um caminho 
especifico que será o que atende melhor a sua necessidade, ou seja, o que 
leve menos tempo. Podemos falar que essa trajetória minimiza a ação clássica. 
Matematicamente a ação clássica é dada pela Lagrangeana, 
𝐿 = 𝐾 + 𝑉 =
1
2
𝑚�̇�2 − 𝑉(𝑥), (1)
̇
 
 
podemos imaginar um conjunto de partículas de massa m, com posições 𝑥𝑖 e 
velocidades 𝑥�̇�. Não iremos fazer um estudo detalhado desse assunto, mas 
precisamos ver alguns das suas propriedades. Para entender com ele funciona 
vamos pensar no caso de uma partícula livre viajando pelo espaço. 
Essa Lagrangeana gera as equações de movimento de Lagrange, 
 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝐿
𝑑𝑥�̇�
) =
𝑑𝐿
𝑑𝑥𝑖
, (2) 
 
Com essas equações podemos verificar que, 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
, (3) 
 
é a equação de Newton para um sistema em que atua uma força conservativa. 
Estamos interessados em saber quais dos possíveis caminhos minimiza a ação 
de chegar a escola. Vamos supor, agora mais tecnicamente, a seguinte 
situação, 
 
 
 
então para todos os caminhos possíveis e conhecidos a ação é dada por, 
 
𝑆𝑐 = ∫ 𝐿(𝑥, �̇�; 𝑡)
𝑡2
𝑡1
𝑑𝑡, (4) 
 
de todos os caminhos possíveis o que a partícula clássica percorre é dado pela 
equação (4). Podemos observar que a ação clássica de um ponto do espaço a 
outro depende da posição, velocidade e ambas dependem do tempo. Aqui, 
esbarramos talvez no primeiro dos problemas de tentar usar essa ideia para 
descrever o caminho escolhido aleatoriamente pelo elétron. Os observáveis na 
mecânica quântica são definidos em um espaço de base que pode ser de 
dimensão infinita, denominado espaço de Hilbert. Até agora só falamos do 
espaço de configuração que fazem referência as posições e velocidades na 
Lagrangeana. 
Imagem 1-Fonte: 
https://www.google.com.br/search?q=int
egrais+de+trajetoria+de+feynman&sourc
e=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwj
X-
rzEsMPUAhVPl5AKHVnNCqYQ_AUIBygC&
biw=1242&bih=557#imgdii=jLCeKaCOUO
Tj8M:&imgrc=rqCjAx0SFZAEIM: 
 
Espaço, Base e observáveis. 
 
O espeço em questão é o espaço de Hilbert usado na mecânica quântica, para 
descrever esse espaço complexo usamos a notação de Dirac, na linguagem 
dos kets l 𝑎 > e bras < 𝑎l. Esses kets formam a base no espaço de Hilbert. 
Agora vamos supor que temos um elétron, e desejamos saber onde esse 
elétron se encontra. A MQ é uma teoria probabilística e não nos fala com 
precisão a posição do elétron, ele nos diz a probabilidade do elétron ser 
encontrado aqui ou ali. 
Com isso dizemos que o elétron pode estar em qualquer posição até que esse 
sistema, onde o mesmo se encontra, seja observado. Então, dizemos que o 
elétron se encontra em um estado de superposição de todas as possibilidades, 
ou seja, a superposição de todas as bases que formam o espeço de Hilbert, 
 
 |𝛼 >= ∑ 𝑎𝑖|𝑎𝑖
∞
𝑖 >, (5) 
 
Sendo (𝑎𝑖) a amplitude de probabilidade de encontrar o elétron na posição 
|𝑎𝑖 >, e |(𝑎𝑖)|² é a probabilidade do elétron ser encontrado na base 
denominada pelo índice. E para tudo isso ser verdade o estado |𝛼 > deve ser 
normalisavél, ou seja, | < 𝛼|𝛼 > |² deve ser igual a 1. 
Os observáveis em MC, são operadores escritos na base que definem o 
espaço de Hilbert, e são representados por Â. Se  é um operador Hermitiano, 
temos que  é igual a matriz autoadjunta, ou seja, a complexa conjugada da 
matriz Â. Se os kets |𝑎𝑖 > geram a base do observável  então, 
 
|𝛼 >= Â|𝑎𝑖 > = 𝑎𝑖|𝑎𝑖 > (6) 
 
 A equação (6) é uma equação de autovalor 𝑎𝑖 e autovetor |𝑎𝑖 >. 
Agora vamos supor que exista um outro observável Ê, sendo Ê Hermitiano, 
temos a mesma equação de autovalor e autovetor, 
 
Ê|𝑒𝑖 >= 𝑒𝑖||𝑒𝑖 >. (7) 
 
Se os observáveis  e Ê comutarem, ou seja, 
 
[Â, Ê] = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 = 0, (8) 
 
Então dizemos que os observáveis são compatíveis e formam um conjunto de 
base kets simultânea. Com isso podemos escrever, 
 
Â|𝑒𝑖 >= 𝑎𝑖|𝑒𝑖 > (9) 
 
e 
 
Ê|𝑎𝑖 > = 𝑒𝑖|𝑎𝑖 > (10) 
 
Esse resultado da MQ será analisado e futuramente usado neste trabalho. 
Então, quando estamos interessados em saber a posição do elétron usamos o 
operador posição X, na base de posição |𝑥𝑖 >, com isso temos, 
 
𝑋|𝑥𝑖 > = 𝑥𝑖|𝑥𝑖 >. (11) 
 
Podemos querer observar o momento do elétron, sendo assim usaremos o 
operador momento P, na base de momentos |𝑝𝑖 >, então podemos escrever, 
 
𝑃|𝑝𝑖 > = 𝑝𝑖|𝑝𝑖 >. (12) 
 
Operador translação. 
 
Até então, o que temos visto é simplesmente a base na qual a MQ se apoia 
quando um sistema quântico é medido. Lembrando que as informações obtidas 
são probabilísticas. A MQ se baseia em duas representações a de Heisenberg 
e de Schrodinger. Na representação de Heisenberg os estados permanecem 
inalterados e as bases são usadas para realizar os cálculos. Na representaçãode Schrodinger, as bases permanecem inalteradas enquanto que os estados 
são usados. Estamos introduzindo esse assunto pois iremos ver o que o 
operador translação pode fazer na base. Já foi visto que podemos medir a 
posição do elétron, eq. (11). Agora imagine que iremos transladar essa posição 
por uma quantidade infinitesimal 𝑑𝑥. O operador translação infitesimal é 
representado por 𝑇(𝑑𝑥). Então o que faz é agir no ket |𝑥 >, transladando-o 
por uma quantidade 𝑑𝑥. Disso podemos escreve, 
 
𝑇 (𝑑𝑥)|𝑥 > = |𝑥 + 𝑑𝑥 >. (13) 
 
O operador translação não é Hermitiano, por isso não gera uma equação de 
autovalor e autovetor. O operador translação espacial é denotado por, 
 
𝑇(𝑑𝑥) = 1 − �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑥, (14) 
 
sendo 𝑑𝑥, um vetor infinitesimal e denomina a quantidade transladada. 
Algumas propriedades do operador translação, 
 
 𝑇(𝑑𝑥) ∗ 𝑇(𝑑𝑥) = 1 
 𝑇(𝑑𝑥) 𝑇(𝑑𝑥 ´) = 𝑇 (𝑑𝑥 +𝑑𝑥 ´), 
 
sendo 𝑇(𝑑𝑥) ∗, o complexo conjugado de 𝑇(𝑑𝑥), ou auto adjunto. 
 
Podemos agora explorar o fato de que o operador translação comuta com o 
operado momento, ou seja, 
 
[𝑝, 𝑇(𝑑𝑥)] = 0, (15) 
 
E realizando alguns cálculos podemos mostrar que o operador translação 
espacial, tendo como gerador de translação espacial o momento, é dado por, 
 
𝑇 (𝑑𝑥) = 𝑒− 
𝑖𝑃.𝑑𝑥
ℏ , (16) 
 
Então podemos expandir a eq. (16) em série de potência e usar o fato que, 
 
𝑒𝑀 = 1 + 𝑀 +
𝑀2
2!
+ ⋯, (∗) 
Onde truncamos até primeira ordem e com isso podemos escrever, 
 
𝑇 (𝑑𝑥)|𝑝 > = (1 −
𝑖𝑃. 𝑑𝑥
ℏ
) |𝑝 > , (17) 
 
Sabemos da eq.(12) que a eq.(17) pode então ser escrita como, 
 
𝑇 (𝑑𝑥)|𝑝 > = (1 −
𝑖𝑝.𝑑𝑥
ℏ
) |𝑝 >, (18) 
 
O fato do autovalor ser imaginário é devido o operador translação não ser um 
Hermitiano. Os autovalores de uma matriz Hermitiana são reais e o traço da 
matriz depende da quantidade de autovalores, ou seja, da dimensão do 
espaço. 
 
Operador evolução temporal. 
 
Como foi dito anteriormente, a representação de Schrodinger para a MQ, é dada 
usando o estado e não a base como na representação de Heisenberg. O 
operador evolução temporal evolui o estado no tempo, ou seja, a base 
permanece parada e o vetor de estado é transladado no tempo. O operador 
evolução temporal é dado em função da Hamiltonia, 
 
𝐻 =
𝑝2
2𝑚
+ 𝑉(𝑥) (19) 
 
Como podemos observar a Hamiltoniana é dada em termos dos operadores 
momento e posição, que é função da energia potencial. Então o termo que inclui 
o momento ao quadrado é a energia cinética. 
O operador evolução temporal é, 
 
𝑈(𝑡) = 𝑒− 
𝑖𝐻𝑡
ℏ , (20) 
 
aplicando sobre o estado esse operador podemos escrever, 
 
𝑈(𝑡) |𝛼, 𝑡𝑖 > = 𝑒
− 
𝑖𝐻𝑡
ℏ | 𝛼, 𝑡𝑖 > = |𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 >, (21) 
 
sendo 𝑡𝑖 o tempo inicial e 𝑡𝑓o tempo final. Então entendemos dessa equação 
que, ao aplicarmos o operador evolução temporal em um estado, temos como 
resultado o estado em um tempo posterior |𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > que é o estado evoluído. 
O observável A, é representado pela base |𝑎𝑖 > que define o estado |𝛼, 𝑡𝑖 >, 
eq.(5) e (6), deve comutar com o Hamiltoniano, ou seja, 
 
[𝐻, 𝐴] = 0 (22) 
 
A eq.(22) é válida para operadores que são constante no movimento, esse 
resultado não é geral. Assim sendo, podemos escrever uma equação de 
autovalor e autovetor com a seguinte expressão, 
 
𝐻|𝑎𝑖 > = 𝐸𝑎|𝑎𝑖 >, (23) 
 
Então, a parti desse resultado, temos que a eq.(21), pode ser escrita como, 
 
𝑈(𝑡) |𝛼, 𝑡𝑖 >= 𝑒
− 
𝑖𝐻𝑡
ℏ | 𝛼, 𝑡𝑖 > = 𝑒
− 
𝑖𝐸𝑡
ℏ |𝛼, 𝑡𝑖 > = |𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 >. (24) 
 
Coeficiente de expansão. 
 
O que iremos analisar agora, é a projeção de um estado sobre a base e ver 
quais são as consequências, esse é um passo que iremos usar no futuro, então 
o que estamos fazendo aqui é mapear as ferramentas que a MQ disponibiliza e 
a partir delas tentar descrever o fenômeno em questão. 
Então usando o que já obtemos, a projeção de um estado sobre a base, pode 
nos retornar informações sobre o elétron, já que o estado contém todas as 
informações do sistema. Então se a base na qual usamos para projetar o 
estado é a posição, temos a probabilidade da posição do elétron, se for a de 
momento (base) teremos como resposta um autovalor associado a medida. 
 
Então no tempo 𝑡 = 0 sabemos que, 
 
|𝛼 >= |𝛼, 𝑡𝑖 >= ∑𝑎𝑛|𝑎𝑛 >
∞
𝑛
 
Vamos agora, projetar esse estado sobre a base |𝑎´ >, escrevendo assim, 
 
< 𝑎´|𝛼 >= ∑𝑎𝑛 < 𝑎´|
∞
𝑛
𝑎𝑛 >, (25) 
 
sendo que < 𝑎´|𝑎𝑛 > = 1, se 𝑎´ = 𝑎𝑛 , com n podendo ser n=1,2,3 .., então 
como o estado é normalizado, temos uma amplitude de probabilidade 
associada a essa medida, 
 
< 𝑎´|𝛼 > = 𝐶(𝑡𝑖), (26) 
 
Ou seja, essa equação nos diz o quanto do estado é encontrado na base |𝑎´ >, 
onde 𝐶(𝑡𝑖) é o coeficiente e expansão. Essa quantidade do estado na base é 
dada pelo modulo ao quadrado do coeficiente de expansão. 
Vamos reescrever a eq.25 a parti do que já sabemos, então ela fica 
 
< 𝑎´|𝛼 >= ∑𝑎𝑛 = 1,
∞
𝑛
 (27) 
 
Que é exatamente o que esperamos para um estado normalizável, sendo a 
soma sobre toda as amplitudes de probabilidade igual a 1. Com isso, podemos 
observar que o coeficiente de expansão é a própria amplitude de probabilidade, 
onde a probabilidade é dada pelo modulo ao quadrado. 
Podemos usar a mesma ideia e ver o que acontece para um estado que foi 
evoluído temporalmente, da eq.(24), 
 
𝑈(𝑡) |𝛼, 𝑡𝑖 >= 𝑒
− 
𝑖𝐻𝑡
ℏ | 𝛼, 𝑡𝑖 > = 𝑒
− 
𝑖𝐸𝑡
ℏ |𝛼, 𝑡𝑖 > = |𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 >. 
 
Então a parti dessa equação, usaremos novamente a base |𝑎´ >, para projetar 
o estado sobre ela, dessa forma, 
 
< 𝑎´|𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > = < 𝑎´|𝑒
− 
𝑖𝐻𝑡
ℏ |𝛼, 𝑡𝑖 >, (28) 
 
Então de acordo com a eq.(24) e (26), temos que a eq.(28) fica, 
 
< 𝑎´|𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > = 𝐶(𝑡), (29) 
 
O resultado que obtivemos agora, é devido ao operador evolução temporal agir 
sobre o estado e depois projetamos esse estado evoluído no tempo sobre a 
base. O resultado é o coeficiente de expansão evoluído no tempo, ou a 
amplitude de probabilidade. 
 
Operador momento na base de posição. 
 
Desde de já peço desculpas pela perda de formalismo matemático. Daqui em 
diante me esforçarei ao máximo para construir um caminho que está de acordo 
como formalismo da MQ. 
Agora começaremos com uma ideia mais abstrata porem fortemente 
importante. Vimos acima eq.(18), que o operador translação espacial. O que 
iremos fazer aqui é usar o operador translação. Entretanto o gerador de 
translação espacial será o operado momento 𝑃, 
 
𝑇(𝑑𝑥) = 1 −
𝑖𝑃.𝑑𝑥
ℏ
. (30) 
 
 Agora vou apresentar pela primeira vez uma ferramenta muito utilizada na MQ, 
que é a relação de completeza, ela pode ser escrita nas bases de posição e 
momento. Irei apresenta-las na forma em que usaremos a seguir, que será a 
dos espectros contínuos. Então ela é dada por, 
 
1 = ∫𝑑𝑥 |𝑥 >< 𝑥|, (31) 
 e 
 
1 = ∫𝑑𝑝 |𝑝 >< 𝑝|. (32) 
 
Quando introduzirmos as eqs. (31) e (32) nas equações adiante, será 
simplesmente para projetar o estado ou a base que estamos nos dando, nas 
bases da posição e momento. 
 
Partindo da eq. (18) e usando a eq.(31), podemos escrever, 
 
(1 −
𝑖𝑝. 𝑑𝑥
ℏ
) |𝑝 > = ∫𝑑𝑥 𝑇(𝑑𝑥)| 𝑥 >< 𝑥 |𝑝 > = ∫𝑑𝑥| 𝑥 + 𝑑𝑥 >< 𝑥|𝑝 >, 
 
Vamos chamar 𝑥 = 𝑥 − 𝑑𝑥, e então substituindo temos, 
 
(1 −
𝑖𝑝. 𝑑𝑥
ℏ
) |𝑝 > = ∫𝑑𝑥 |𝑥 >< 𝑥 − 𝑑𝑥|𝑝 >, 
 
Sabemos que 𝑑𝑥 é muito pequeno, ou seja, é uma quantidade infinitesimal, 
então expandindo em série de Taylor, o braket < 𝑥 − 𝑑𝑥|𝑝 >, com isso temos 
 
(1 − 
𝑖𝑝. 𝑑𝑥
ℏ
) |𝑝 > = ∫𝑑𝑥 |𝑥 > (< 𝑥 |𝑝 > −𝑑𝑥 
𝜕
𝜕𝑥
< 𝑥| 𝑝 >). (33) 
 
Vamos agora comparar a eq.(33) termo a termo. Aplicando a distributiva do 
lado esquerdo e comparando com o lado direito, obtemos 
 
𝑃 |𝑝 > = ∫𝑑𝑥 |𝑥 > (−𝑖ℏ 
𝜕
𝜕𝑥 < 𝑥|𝑝 >). 
 
Aplicar um bra < 𝑥| nesta equação e usando a eq.(12), temos 
 
< 𝑥|𝑝|𝑝 > = ∫𝑑𝑥 < 𝑥|𝑥 > (−𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑥 < 𝑥|𝑝 >), 
 
Usando o fato que < 𝑥|𝑥 >=
1, 𝑞𝑢𝑒 é 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜. 
Então dada a relação de comutação canônica, podemos escrever esta equação 
na forma, 
 
< 𝑥|𝑝|𝑝 >= −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑥
𝛿(𝑥 − 𝑝) (34) 
 
Onde foi usado a propriedade da ortonormalidade, na representação de 𝑥. A 
solução da eq.(34), já normalizada, é dada por 
 
𝜑𝑝(𝑥) =< 𝑥|𝑝 >=
1
√2𝜋ℏ
 𝑒
𝑖𝑝𝑥
ℏ , (35) 
 
Sendo o seu complexo conjugado, ou seja < 𝑝|𝑥 > = 𝜑𝑝(𝑥) ∗, é dado pelo 
sinal negativo no expoente. 
Agora, vamos seguir a ideia e aplicar essas manipulações ao estado |𝛼 >, da 
seguinte forma, 
 
|𝛼 > = ∫𝑑𝑝 |𝑝 >< 𝑝|𝛼 >, 
 
Vamos projetar o estado no ket |𝑥 >, 
 
< 𝑥|𝛼 > = ∫𝑑𝑝 < 𝑥|𝑝 >< 𝑝|𝛼 > , (36) 
 
Aqui temos um novo resultado, que são as funções de onda. A função de onda 
então é obtida projetando-se o estado em uma base. Então a partir disso 
podemos escrever, 
 
< 𝑥|𝛼 > = 𝜓𝛼(𝑥) (37) 
< 𝑝|𝛼 > = 𝜙𝛼(𝑝) (38) 
 
Então da eq.(36) podemos escrever, 
 
𝜓𝛼(𝑥) =
1
√2𝜋ℏ
 ∫𝑑𝑝 𝑒
𝑖𝑝𝑥
ℏ 𝜙𝛼(𝑝). (39) 
 
E usando os mesmos passos podemos encontrar, a eq.(38), dada por 
 
𝜙𝛼(𝑥) = 
1
√2𝜋ℏ
 ∫𝑑𝑥 𝑒− 
𝑖𝑝𝑥
ℏ 𝜓𝛼(𝑥). (40) 
 
As eqs.(39) e (40), são justamente a transformada inversa de Fourier. Estas 
equações são de muito interesse no trabalho, o que definimos acima não foi 
simplesmente por acaso, sabendo dessa propriedade da MQ, escrevemos o 
necessário para chegarmos até aqui. Então isso sugere uma análise das eqs. 
(38) e (40). 
Em ambas as equações o termo exponencial é o operado translação espacial 
tendo como gerador de translação o momento. 
 
Propagadores na mecânica ondulatória. 
 
Vimos na eq.(21) que um estado na base que diagonaliza o Hamiltoniano gera 
um estado evoluído no tempo. Agora irei escrever o operador evolução 
temporal da seguinte maneira, 
𝑈(𝑡𝑓; 𝑡𝑖) = 𝑒
− 
𝑖𝐻(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ , 
 
Então a eq.(21) pode ser escrita como, 
 
|𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > = 𝑒
− 
𝑖𝐻(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ |𝛼, 𝑡𝑖 > = 𝑒
− 
𝑖𝐸𝑎(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ |𝛼, 𝑡𝑖 > (41) 
 
Agora a pergunta é, como podemos interpretar a eq.(41) ? Bom, isso já foi 
mencionado nesse trabalho e a interpretação, de forma resumida é, temos o 
estado inicial |𝛼, 𝑡𝑖 >, então evoluímos esse estado no tempo e temos um 
estado no tempo 𝑡𝑓 > 𝑡𝑖, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑖 = 0. 
Para saber de qual ponto do espaço estamos partindo, devemos projetar o 
estado inicial na mesma base em que o estado existe, ou é definido. Então o 
próximo passo é usar a relação de completeza na base do estado |𝛼, 𝑡𝑖 >, dado 
por, 
 
1 = ∑|𝑎 >< 𝑎|, (42)
𝑎
 
 
Então, aplicado a eq.(42) em (41) temos, 
 
|𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > = ∑ |𝑎 >< 𝑎|𝛼, 𝑡𝑖 >
𝑎
 𝑒− 
𝑖𝐸𝑎(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ , (43) 
 
Então obtemos o estado projetado na base < 𝑎|𝛼, 𝑡𝑖 > = 𝐶𝑎(𝑡𝑖), mas isso não é 
suficiente para sabermos onde a equação de estado estava no tempo 𝑡𝑖 , com 
isso devemos projetar a base do estado |𝑎 >, na base de posição |𝑥 >. Com 
isso podemos saber o quanto da base da base |𝑎 > pode ser encontrado na 
base |𝑥 >. Vamos multiplicar a eq.(43) a esquerda pelo bra da posição < 𝑥|, da 
seguinte maneira, 
 
< 𝑥|𝛼, 𝑡𝑖; 𝑡𝑓 > = ∑ < 𝑥|𝑎 >< 𝑎|𝛼, 𝑡𝑖 >
𝑎
 𝑒− 
𝑖𝐸𝑎(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ . (44) 
 
Dado tudo que já mencionei no trabalho até aqui, vou reescrever a eq.(44), 
assim 
 
𝜓(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐶𝑎(𝑡𝑖) 𝜑𝑎(𝑥) 𝑒
− 
𝑖𝐸𝑎(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ 𝑎 . (45) 
 
O que afinal a eq.(45) representa para nós? Ela é a função de onda que evolui 
no tempo a parti de uma posição no espaço do tempo inicial até o tempo final. 
Como podemos ver que ela é uma função da posição e do tempo. 
Notamos também que podemos escrever o coeficiente de expansão como, 
 
𝐶𝑎(𝑡𝑖) = ∫𝑑
3𝑥 < 𝑎|𝑥 >< 𝑥|𝛼, 𝑡𝑖 >, (46) 
 
Com isso, da eq.(46), podemos escrever usando os resultado anteriores, 
 
𝐶𝑎(𝑡𝑖) = ∫𝑑
3𝑥 [𝜑𝑎(𝑥) ∗]𝜓(𝑥, 𝑡𝑖). (47) 
 
Esse é um resultado muito importante e talvez o mais importante até aqui, ele é 
obtido combinando as eqs. (44) e (46). Com isso, encontramos o operador 
integral, ou mais comumente conhecido como propagador. Apresentarei 
somente o resultado da função de onda final, dado por 
 
𝜓(𝑥´, 𝑡𝑓) = ∫𝑑
3𝑥 𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖)𝜓(𝑥, 𝑡𝑖), (48) 
 
Analisando a eq. (48) cuidadosamente observamosque o operador integral 
atua sobre uma função de onda inicial que depende, como sabemos, da 
posição inicial no tempo inicial, gerando uma função de onda final que também 
depende da posição final e do tempo, com 𝑡𝑓 > 𝑡𝑖. 
Apresentarei o Kernel, que pode ser chamado de propagador, pois é ele quem 
atua sobre o estado inicial gerando a função de onda final, e ele é escrito 
como, 
 
𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = ∑ < 𝑥´|𝑎 >< 𝑎|𝑥 > 𝑒
− 
𝑖𝐸𝑎(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ , (49) 
𝑎
 
 
Onde o operador Hamiltoniano atua sobre a relação de completeza, dada na 
base autoestado que diagonaliza a matriz da Hamiltoniana. Isso mostra que o 
propagador depende do potencial o que pode ser um grande problema. Um 
caso bastante comum é a partícula livre, onde não consideramos a energia 
potencial e com isso tem que a eq.(19) vai depender apenas da energia 
cinética. Isso é muito bom, porque o Hamiltoniano comuta com o operador 
momento. Então dado que 
 
[𝐻, 𝑝] = 0, (50) 
 
Temos, 
 
𝐻 |𝑝 > =
𝑝2
2𝑚
| 𝑝 > . (51) 
 
Até presente momento, segui os passos do livro que estou adotando dando 
passos longos e tentei mostrar um pouco do que está por traz da ideia que 
vamos trabalhar agora. Então dadas a autofunções e seus respectivos 
autovalores podemos construir o propagador. Se a função de onda no tempo 
inicial e o propagador é conhecido podemos determinar a função de onda no 
tempo final. Esse é o que esperamos de um sistema não perturbado, 
consideramos que a função de onda no tempo final é determinística, ou 
determinada. O grande problema é que a função de onda muda abruptamente 
para uma das autofunções do operador que está fazendo a medida do sistema, 
ou seja, quando observamos o sistema a função de onda muda 
incontrolavelmente. 
Vamos definir algumas propriedades para o propagador, 
 
 Se 𝑡𝑓 > 𝑡𝑖, a eq.(49) satisfaz a equação de onda de Schrodinger 
dependente do tempo, nas variáveis 𝑥´, 𝑡𝑓 , 𝑐𝑜𝑚 𝑥, 𝑡𝑖 𝑓𝑖𝑥𝑜𝑠. 
 lim𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖)=𝞭(𝒙´ − 𝒙) , 𝒄𝒐𝒎 𝑡𝑓 𝒊𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑡𝑖,
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜. Devido a completeza eq.(42) temos que a soma 
da eq.(49) se reduz a < 𝑥´|𝑥 >. Devido a isso o propagador é visto como 
função de x´, que é autofunção de onda no tempo final, de uma partícula 
que estava localizada precisamente em 𝑥, 𝑡𝑖. 
 
Com isso podemos escrever o propagador como, 
 
𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = ∑ < 𝑥´| 𝑒
− 
𝑖𝐻(𝑡𝑓−𝑡𝑖)
ℏ |𝑥 > . (52) 
𝑎
 
 
 
Aqui começamos a fazer algumas considerações. O operador evolução 
temporal atuando sobre o ket |x>, quer dizer o ket de estado em t, de um 
sistema que estava localizado precisamente em x no instante de tempo inicial. 
Para problemas práticos a função de onda se estende por todo o espaço em 
uma região finita do mesmo, então o que fazemos é multiplicar o propagado 
pela função de onda inicial e integramos sobre todo o espaço. Com isso 
podemos adicionar várias contribuições de diferentes posições em x. 
A autofunção de momento é a função de transformação que tem a forma da 
onda plana, dada por 
 
 𝑘(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = 
1
2𝜋ℏ
 ∫ 𝑑𝑝
+∞
−∞
𝑒[
𝑖𝑝(𝑥´−𝑥)
ℏ
 − 
𝑖𝑝´2(𝑡−𝑡𝑖)
2𝑚ℏ
] (53) 
 
Completando quadrado no expoente, podemos resolver integral, 
 
𝑘(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = √
𝑚
2𝜋𝑖ℏ(𝑡 − 𝑡𝑖)
 𝑒
[
𝑖𝑚(𝑥´−𝑥)²
2ℎ(𝑡−𝑡𝑖)
]
 (54) 
 
Essa função representa a maneira que um pacote de onda gaussiana se 
esparrama como função do tempo. 
 
Propagador como amplitude de transição. 
 
Na representação de Heisenberg temos que < 𝑥, 𝑡| se move no sentido oposto 
com o tempo e um ket de estado |𝛼, 𝑡𝑖 > fixos no tempo. Lembrando que na 
representação de Heisenberg os operadores que evoluem no tempo e não as 
bases de posição. Então da eq. (49) temos, 
 
𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = ∑ < 𝑥´|𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ |𝑎 >< 𝑎|𝑒
𝑖𝐻𝑡𝑖
ℏ |𝑥 >
𝑎
 (55) 
 
Que pode ser escrita na forma mais compacta, 
 
 𝐾(𝑥´, 𝑡𝑓; 𝑥, 𝑡𝑖) = ∑ < 𝑥´|𝑒
−𝑖𝐻𝑡
ℏ |𝑎 >< 𝑎|𝑒
𝑖𝐻𝑡𝑖
ℏ |𝑥 >𝑎 = < 𝑥´, 𝑡𝑓|𝑥, 𝑡𝑖 >. (56) 
 
Esse resultado é o autovetores do operador posição na representação de 
Heisenberg. Podemos identificar a eq.(56) como uma amplitude de 
probabilidade para que a partícula preparada em um tempo inicial com um 
autovalor da posição x, possa ser encontrada mais tarde em um tempo e 
posição final. Isso como podemos observar é a amplitude de probabilidade 
para a partícula ir de um ponto no espaço para um outro ponto. 
 
figura 2-fonte: 
https://www.google.com.br/search?q=integrais+de+trajetoria&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ve
d=0ahUKEwiOi-
TdtdnUAhVCDpAKHb3ZAeIQ_AUIDCgD&biw=1242&bih=602#tbm=isch&q=propagador+como
+amplitude+de+transi%C3%A7%C3%A3o&imgrc=rqCjAx0SFZAEIM: 
 
Para qualquer tempo dado os kets de posição formam um conjunto completo 
na representação de Heisenberg, com isso 
 
1 = ∫𝑑3|𝑥´, 𝑡 >< 𝑥´, 𝑡| , (57) 
 
Vamos considerar a evolução temporal da base na representação de 
Heisenberg, dividindo o tempo em intervalos iguais. Faremos isso usando a 
eq.(57) e assim temos, 
 
 < 𝑥´´´, 𝑡´´´|𝑥´, 𝑡 > = ∫𝑑3 𝑥´´ < 𝑥´´´, 𝑡´´´|𝑥´´, 𝑡´´ >< 𝑥´´, 𝑡´´|𝑥´, 𝑡´ >, 𝑡´´´ > 𝑡´´ >
𝑡´. (58) 
 
Chamaremos isso de amplitude de translação. Então podemos dividir o 
intervalo de tempo em quantos subintervalos menores o quanto quisermos. 
Essa ideia leva a uma formulação independente da MQ, que foi publicado em 
1948 por R.F. Feynman. 
 
Integrais de Caminho como a soma sobre todos os caminhos. 
 
Consideraremos a amplitude de translação de uma partícula indo de um ponto 
inicial do espaço tempo (𝑥1, 𝑡1) para um ponto final (𝑥𝑛, 𝑡𝑛). Vamos dividir o 
intervalo de tempo em (n-1) partes iguais, 
 
𝑡𝑓 − 𝑡𝑓−1 = 𝛥𝑡 =
𝑡𝑛 − 𝑡1
𝑛 − 1
. (59) 
 
Explorando a propriedade de composição, temos 
 
 < 𝑥𝑛, 𝑡𝑛|𝑥1, 𝑡1 > = ∫𝑑𝑥𝑛−1 ∫𝑑𝑥𝑛−2 …∫𝑑𝑥2 < 𝑥𝑛, 𝑡𝑛|𝑥𝑛−1,𝑡𝑛−1 > × <
𝑥𝑛−1, 𝑡𝑛−1|𝑥𝑛−2, 𝑡𝑛−2 > … < 𝑥2, 𝑡2|𝑥1, 𝑡1 > (60) 
 
Vamos analisar essa equação que é a ideia por trás do que estamos 
escrevendo. Estamos considerando o espaço tempo plano, partindo de uma 
posição fixa em um tempo conhecido e indo para uma posição final em um 
tempo dado. Para cada seguimento entre 𝑡𝑛−1 e 𝑡𝑛, nós então estamos 
considerando a amplitude de translação da posição 𝑥𝑛−1 a 𝑥𝑛. E nós 
integramos sobre todas a posições possíveis no meio do caminho, sendo que o 
elétron vai do ponto inicial ao final. 
 
Formulação de Faynman. 
 
Acho que agora somos capazes de enxergar a diferença entre a mecânica 
clássica e MQ. Na mecânica clássica a trajetória da partícula depende da 
posição e do tempo, enquanto que na MQ demos levar em conta todos os 
possíveis caminho por onda a partícula pode passar. 
Agora o que desejamos é encontrar o limite onde um fenômeno descrito pela 
mecânica clássica possa ser valido na MQ. Quando ainda estudante de pós-
graduação Faynman trabalhou nesse problema e o que vamos considerar 
daqui em diante é a ideia que ele desenvolveu. Conta-se que ele ficou intrigado 
comum comentário misterioso no livro do Dirac,que dizia que 
 
𝑒
[𝑖 ∫ 𝑑𝑡 
𝐿𝑐𝑙á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑜(𝑥, �̇�)
ℏ ]
𝑡2 
𝑡1 (61) 
 
Correspondia a, 
 
 < 𝑥2, 𝑡2|𝑥1, 𝑡1 >. (62) 
 
Ao tentar trabalhar neste problema Faynman foi levado a desenvolver 
abordagem espaço tempo na MQ, no âmbito das integrais de caminho. Na 
formulação de Faynman, a ação clássica desempenha um papel importante, 
eq.(4). Onde só podemos integrar sobre um caminho que seja conhecido, dado 
as posições e a velocidade da partícula durante a trajetória percorrida. 
Suponha que estamos levando em conta um caminho infinitesimal, entre dois 
pontos, especificado por nós. Segundo Dirac, devemos associar a eq.(61) a 
esse caminho. Então escolhendo um caminho para a partícula e usando essa 
ideia, podemos multiplicar todas as pequenas contribuições e obtemos, 
 
∏𝑒
𝑖𝑆(𝑛, 𝑛−1)
ℏ
𝑁
𝑛=2
= 𝑒
𝑖
ℏ 
∑ 𝑆(𝑛, 𝑛−1)𝑁𝑛=2 = 𝑒
𝑖𝑆(𝑁,1)
ℏ . (63) 
 
Ainda temos que integrar sobre todos os caminhos possíveis que a partícula 
pode passar. Cada caminho contribui com uma amplitude de probabilidade, por 
isso estamos também considerando as demais posições por onde o eletro pode 
passar. Lembrando que o elétron se comporta como uma onda, e desse fato, 
exploramos a ideia que cada caminho possível contribui com uma 
probabilidade. Essa probabilidade associada ao caminho do elétron depende 
da sua posição de origem em relação ao ponto final em que ele esta indo. 
 Vamos considerar um tempo infinitesimal entre dois ponto, a expressão que 
usaremos como candidata para descrever a eq.(62) é, 
 
 
< 𝑥2, 𝑡2; 𝑥1, 𝑡1 > ~ ∑𝑒
𝑖𝑆(𝑁,1)
ℏ , (64) 
 
Vamos dizer que essa é a melhor forma de expressar o que estamos querendo 
modelar. A soma da eq.(64) é sobre um número de caminhos infinito. A um fato 
interessante na tentativa de encontrar esse tal limite onde podemos descrever 
um fenômeno quântico com a mecânica clássica. No livro que estou adotando 
o autor diz que quando a constante de Planck vai para zero, várias 
contribuições de caminhos mais distantes se anulam devido a diferença de fase 
entre eles. Em sala de aula meu Professor não concordou com a ideia da 
constante de Planck ir para zeros. Eu também achei essa abordagem um 
pouco estranha. O que farei agora é tentar dar uma outra explicação a esse 
fato. Se consideramos o propagador como uma função do tempo, temos que 
ele pode ser idêntico a função partição fazendo uma substituição, 
 
 𝛽 =
𝑖𝑡
ℏ
 (∗∗) 
 
Então olhando para essa relação podemos ver que a constante de Planck vai a 
zero se o tempo for muito pequeno. Então a minha interpretação sobre esse 
fato de aproximar a MQ da MC é simplesmente pelo fato de estamos tomando 
tempos muito pequenos. 
Vamos considerar um caminho que satisfaça, 
 
 𝛿𝑆(𝑛, 1) = 0, (65) 
 
Ou seja, estamos considerando um caminho em que a derivada da ação 
clássica é zero, e denotamos esse caminho como sendo a ação mínima entre 
dois pontos fixos do espaço. Deformando um pouco a trajetória do verdadeiro 
caminho que estamos seguindo, observamos que a eq.(65) é satisfeita, isso 
significa que para caminhos próximos ao do caminho clássico existe uma 
interferência construtiva se tomarmos o tempo como sendo infinitesimal. Então 
para entender a ideia de Faynman vamos escrever a eq.(64) com um fator de 
peso, 
 
< 𝑥𝑛, 𝑡𝑛; 𝑥𝑛−1, 𝑡𝑛−1 > = 
1
𝜔(𝛥𝑡)
𝑒
𝑖𝑆(𝑛,𝑛−1)
ℏ , (66) 
 
Desejamos agora resolver essa equação. Como a diferença no tempo é 
infinitesimal podemos considerar um deslocamento como uma linha reta. Disso 
podemos escrever, 
 
 𝑆(𝑛, 𝑛 − 1) = ∫ 𝑑𝑡
𝑡𝑛
𝑡𝑛−1
[
𝑚𝑥²̇
2
− 𝑉(𝑥)] = 𝛥𝑡{(
𝑚
2
)[
(𝑥𝑛−𝑥𝑛−1)
𝛥𝑡
]² − 𝑉[
(𝑥𝑛+𝑥𝑛−1)
2
]}(67) 
 
Para o caso da partícula livre, temos 
 
< 𝑥𝑛, 𝑡𝑛; 𝑥𝑛−1, 𝑡𝑛−1 > = 
1
𝜔(𝛥𝑡)
 𝑒
𝑖𝑚(𝑥𝑛−𝑥𝑛−1)²
2ℏ(∆𝑡) . (68) 
 
 
Vamos agora observar a ortogonalidade do braket posição na representação 
de Heisenberg em tempos iguais, sendo 
 
 < 𝑥𝑛, 𝑡𝑛; 𝑥𝑛−1, 𝑡𝑛−1 > |𝑡𝑛=𝑡𝑛−1 = 𝛿(𝑥𝑛−𝑥𝑛−1) (69) 
 
Com isso obtemos que, 
 
1
𝜔(𝛥𝑡)
= √
𝑚
2𝜋𝑖ℏ(𝛥𝑡)
 (70) 
 
Para resumir, quando o tempo é muito pequeno temos que, 
 
< 𝑥𝑛, 𝑡𝑛; 𝑥𝑛−1, 𝑡𝑛−1 > = √
𝑚
2𝜋𝑖ℏ(𝛥𝑡)
 𝑒
𝑖𝑆(𝑛,𝑛−1)
ℏ . (71) 
 
A expressão final para a amplitude de translação é então obtida, 
 
< 𝑥𝑁 , 𝑡𝑵; 𝑥1, 𝑡1 >
= 𝑙𝑖𝑚𝑁 →∞(
𝑚
2𝜋𝑖ℏ(𝛥𝑡)
)
𝑁−1
2 × ∫𝑑𝑥𝑁−1 ∫𝑑𝑥𝑁−2 … ∫𝑥2 ∏ 𝑒
𝑖𝑆(𝑛,𝑛−1)
ℏ , (72) 
𝑁
𝑛=2
 
 
Vamos definir agora um novo operado integral, de dimensões infinita, dado por 
 
∫ 𝐷[𝑥(𝑡)] =
𝑥𝑁
𝑥1
𝑙𝑖𝑚𝑁 →∞(
𝑚
2𝜋𝑖ℏ(𝛥𝑡)
)
𝑁−1
2 × ∫𝑑𝑥𝑁−1 ∫𝑑𝑥𝑁−2 … ∫𝑥2 , (73) 
 
Com isso podemos então reescrever a eq.(72) como, 
 
< 𝑥𝑁 , 𝑡𝑵; 𝑥1, 𝑡1 >= ∫ 𝐷[𝑥(𝑡)]
𝑥𝑁
𝑥1
 𝑒
𝑖 ∫ 𝑑𝑡
𝑡𝑁
𝑡1
𝐿𝑐𝑙á𝑠𝑠𝑖𝑐𝑜(𝑥, �̇�)
ℏ , (74) 
 
Essa expressão é conhecida como integral de caminho de Faynman, e ela 
deve ser integrada sobre todos os caminhos possíveis. 
 
Conclusão. 
 
A eq.(74) é o propagador da MQ dado pela ação da MC. Esse é um curioso 
caso da física onde duas teorias com bases diferente permitem se fundir para 
descrever um fenômeno. E o que prova a elegância do trabalho desenvolvido 
pelo Faynman é que a sua equação para a integral de caminho satisfaz a 
equação da onda de Schrodinger dependente do tempo, 
 
𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡
< 𝑥𝑁 , 𝑡𝑵; 𝑥1, 𝑡1 > = −
ℏ
2𝑚
 
𝜕2
𝜕𝑥2
< 𝑥𝑁 , 𝑡𝑵; 𝑥1, 𝑡1 > + 𝑉 < 𝑥𝑁 , 𝑡𝑵; 𝑥1, 𝑡1 >. 
(75) 
 
A eq.(74) e seus passos anteriores não devem ser visto como uma dedução, 
pois o que consideramos aqui foi um conjunto de regras e o misterioso 
comentário do Dirac. Depois de alguns anos descobriu se que as integrais de 
caminho podem ser usadas em teoria de campos e mecânica estatística dado 
que a função do propagador usando (**) é a função partição da mecânica 
estatística. Então podemos encerrar esse trabalho onde mostramos, de forma 
não muito elegante, que a MQ e a MC concordam uma com a outra sob certas 
aproximações e satisfazem a equação de onda de Schrodinger.