Notas de aula de Micro I - parte II

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Microeconomia I Prof. Maurício V. L. Bittencourt 
PPGDE/UFPR 
 58
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
SETOR DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS 
PÓS-GRADUAÇÃO EM DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO 
 
DISCIPLINA DE MICROECONOMIA I 
Prof. Maurício Vaz Lobo Bittencourt 
 
 
Parte 2: A Teoria da Demanda 
 
2.1 – Preferências e escolhas 
 
Existem 2 arbordagens distintas para modelar o comportamento da escolha individual do 
consumidor. 
 
A primeira trata as preferências e gostos dos consumidores, sumarizadas (incluídas) em 
suas “relações de preferência”. 
 
Essa abordagem implica na imposição de axiomas de racionalidade nas preferências dos 
consumidores, analisando as conseqüências destas preferências no comportamento da 
escolha. 
 
A segunda abordagem trata a escolha individual como uma característica primitiva, e seu 
procedimento inclui pressuposições que estão diretamente ligadas a este comportamento. 
 
A principal pressuposição desta abordagem inclui o axioma fraco da preferência revelada 
(WARP), o qual impõe um elemento de consistência no comportamento de escolha, em 
paralelo à racionalidade da abordagem baseada nas preferências. 
 
 
2.2 – Relações de preferência 
 
Na abordagem de gostos e preferências, os objetivos dos indivíduos ou consumidores 
podem ser sintetizados através de uma “relação de preferência” (
~
f ). 
 
Suponha que X é um conjunto de cesta de bens disponível. 
 
Assim, se Xyx ∈, , podemos ter que yx
~
f . Esta relação pode ser interpretada como “x é 
ao menos tão bom quanto y”. 
 
Assim temos: 
 
i) A relação de preferência estrita (f ) é definida por: 
 
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yxyx
~
ff ⇔ ¬ xy
~
f (ou seja, “x é preferido à y” se e somente se “x é ao menos tão 
bom quanto y”, mas não o inverso). 
 
ii)A relação de indiferença (~), é definida por: 
 
yxyx
~
~ f⇔ e xy
~
f (ou seja, “x é indiferente à y” se e somente se “x é ao menos tão 
bom quanto y” e “y é ao menos tão bom quanto x”). 
 
 
A hipótese de racionalidade é definida por duas pressuposições básicas: 
 
As relações de preferências devem ser completas e transitivas. 
 
Definição: A relação de preferência (
~
f ) é racional se a mesma apresenta as seguintes 
propriedades: 
 
(i) Ser completa: para yx,∀ ∈ X, temos que xy
~
f ou yx
~
f ou ambos (indiferença). 
 
(ii) Transitiva: para zyx ,,∀ X∈ , se temos que yx
~
f e zy
~
f , então zx
~
f . 
 
(i) implica que o indivíduo tem uma preferência bem definida entre 2 possíveis 
alternativas. 
 
(ii) É uma forte pressuposição. 
 
Adicionalmente, temos que se 
~
f é racional, então: 
a) f é irreflexiva ( xx f não é possível), e transitiva; 
 
b) ~ é reflexiva (x ~ x ∀ x), transitiva (se x ~ y e y ~ z, x ~ z) e simétrica (se x ~ y, então 
y ~ x); 
 
c) Se zyx
~
ff , zx f . 
 
 
2.3 – Funções Utilidade 
 
As funções utilidade descrevem as relações de preferência. Uma função utilidade u(x) 
atribui um valor numérico para cada elemento de X. Isso cria um ranking dos elementos 
de X, de acordo com as preferências individuais. 
 
Definição: Uma função u: x → ℜ é uma função utilidade representando a relação de 
preferência 
~
f se, Xyx ∈∀ , , temos: ( ) ( )yuxuyx ≥⇔
~
f . 
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u(x) não é única, e qualquer função estritamente crescente f: ℜ→ℜ, v(x) = f(u(x)) é uma 
nova função utilidade representando as mesmas preferências que u(.). Apenas o 
“ranking” das alternativas é que importa. 
 
As propriedades de u(x) que são invariantes a qualquer transformação crescente são 
chamadas ordinais. As transformações que modificam as propriedades de u(x) são 
chamadas de cardinais. 
 
⇒ A relação de preferência (
~
f ) pode ser representada por uma função utilidade u(x) 
somente se esta é racional. 
 
Prova: se u(.) existe, esta deve ser transitiva e completa. 
 
Completa: Como u(.) é uma função definida em X, esta deve ser tal que qualquer 
Xyx ∈, resulta em u(x) ≥ u(y) ou u(y) ≥ u(x). Mas como u(.) é uma função 
utilidade representando preferência, isto implica que yx
~
f ou que xy
~
f . Assim, 
~
f deve ser completa. 
 
Transitividade: suponha que yx
~
f e zy
~
f . Porque u(.) representa 
~
f , devemos 
ter u(x) ≥ u(y) e u(y) ≥ u(z). Assim, u(x) ≥ u(z). Como u(.) representa 
~
f , isto 
implica que x 
~
f z . Assim, mostramos que yx
~
f e zy
~
f implicam em zx
~
f , e a 
transitividade é estabelecida. 
 
 
2.4 – Regras de escolha 
 
Na 2ª abordagem da teoria da tomada de decisão, o comportamento da escolha do 
consumidor é representado por meio de uma estrutura de escolha, (β, C(.)). Esta consiste 
de dois ingredientes: 
 
i) β é uma família (conjunto) de subconjuntos de X; ou seja, cada elemento de β é um 
conjunto XB ⊂ . Por analogia à teoria do consumidor a ser vista mais tarde, chamamos 
os elementos de B ∈ β de “conjuntos de orçamento”. 
 
ii) C(.) é uma “regra de escolha”, onde C(B) ⊂ B para todo β∈B . Quando C(B) 
apresenta apenas um elemento, esta é apenas uma das muitas alternativas de escolha que 
estavam contidas em β . 
 
Assim, ( )BC pode ser entendido como a única alternativa viável para o consumidor. 
 
 
 
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O axioma fraco da preferência revelada (WARP) (Samuelson, 1938) 
 
O WARP é uma das restrições impostas quando utilizamos as estruturas de escolha para 
modelar o comportamento individual. O WARP reflete a expectativa de que as escolhas 
individuais observadas mostrarão uma certa consistência, mas sem pressupor 
racionalidade. 
 
Em outras palavras, o WARP diz que se x é escolhido quando y está disponível, então não 
pode existir orçamento contendo ambas alternativas, onde y é escolhido e x não o é. 
 
Definição: dada a estrutura de escolha (β, C(.)), uma relação de preferência ( *
~
f ) ou (R) é 
definida por: 
 
⇔yx *
~
f existe algum β∈B tal que Byx ∈, e ( )BCx ∈ . 
ou (x R y) 
 
Lê-se que “x é revelado preferível a y”, ou que “x é revelado ser no mínimo tão bom 
quanto y”, se existe algum B∈β tal que x,y ∈ B, x ∈ C(B), e y ∉ C(B), isto é, se x é 
escolhido mesmo quando ambos são viáveis. 
 
Notar que esta *
~
f não necessita ser nem completa nem transitiva. “Se x é revelado tão 
bom quanto y, então y não pode ser revelado perferível a x”. 
 
Referência: Marcel Richter. “Revealed Preference Theory. Econometria (1966). Vol. 
34(3): 634-45. 
 
(WARP) : x R x’ (onde R ⊂ ℜn x ℜn) (revelado preferível a ...) ⇒ ¬ x’P x (onde P = 
revelado estritamente preferível a ...) 
 
Ou seja, x’P x ⇔ (∃B)[x∈C(B) e x’∈ B\C(B)] 
 
WARP diz que se uma cesta de bens é revelada preferível à outra, então esta última não 
pode se revelar estritamente preferível à primeira. 
 
Assim, WARP diz que: x R x’ e x ≠ x’ ⇒ (∀B) [x’∈C(B) → (x∉B ou x∈ C(B))] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5 - Escolha do Consumidor 
 
Considere um vetor de commodities (ou cestas) x: 
 




















⋅
=
Lx
x
x
x
.
.
2
1
 ; esta lista faz parte do “espaço de commodities” (ℜL). 
 
 
Conjunto de consumo 
 
Este é um subconjunto de ℜL, e é denotado como Lx ℜ⊂ , o qual contém cestas de bens 
ou vetores de commodities que os indivíduos podem consumir, dado restrições físicas 
determinadas pelo ambiente. Tais restrições podem ser: leis, no de horas de lazer, contrato 
de trabalho, consumo de um produto em locais diferentes, duração do dia, etc. 
 
O conjunto de consumoé dado por: 
 { 0: ≥ℜ∈=ℜ= + lLL xxx }Ll ,...,2,1=∀ 
 
L
+ℜ é convexo, isto é, se 2 cestas x e x’são elementos de L+ℜ , então a cesta x’’ = αx + (1-
α) x’ também é um elemento de L+ℜ para qualquer α∈[0,1]. 
 
Boa parte da teoria do consumidor é desenvolvida sob o pressuposto geral de conjuntos 
de consumos convexos. Muitos dos resultados são válidos sem esta pressuposição (ver 
MWG (1995), página 20). 
 
 
 
2.6 - Orçamentos Competitivos 
 
Como o consumidor enfrenta muitas restrições físicas, estas não são as únicas. Uma 
importante restrição é a financeira: seu poder de compra ou restrição orçamentária. 
 
Suponha que exista um vetor preços para cada x como: 
 
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



















=
Lp
p
p
p
.
.
.
2
1
 ; onde Lp +ℜ∈ e p >> 0 
 
Assume-se que p seja dado. Ou seja, o poder de compra do consumidor depende de p e da 
renda w. 
 
Assim, o valor total das commodities adquiridas deve atender à restrição orçamentária. A 
cesta de consumo x ∈ L+ℜ é aquela pela qual: 
 
wxpxpxppx LL ≤⋅++⋅+⋅= ...2211 
 
onde w>0 
 
Se essa relação é válida, e combinada com lx +ℜ∈ , temos o conjunto orçamentário (Bp,w) 
dado por: 
 { }wpxxB lwp ≤ℜ∈= + :, , 
 
ou seja, este é o conjunto de orçamentos competitivos ou walrasiano, que é o conjuntos 
de todas as cestas viáveis aos preços P e renda W. 
 
O problema do consumidor consiste, então, na escolha de x do conjunto Bp,w. 
 
No caso de L=2, temos que o consumidor escolhe a quantidade de x1 e x2 de acordo com 
a sua renda disponível. Assim, temos: 
 
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 { }wpxx L ≤ℜ∈ + : → hiperplano orçamentário 
 
Para qualquer x’ que esteja no hiperplano orçamentário, temos que px’ = p x = w. Assim, 
p∆x = 0 para ∆x = (x’- x ’), como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
O conjunto orçamentário é convexo, ou seja, se as cestas x e x’ são elementos de Bp,w, 
então a cesta x’’ = αx + (1-α)x’ também o é. Como px ≤ w e px’≤ w, temos que px’’ = 
α(px) + (1-α)(px’) ≤ w. Assim, x’’∈ Bp,w = {x∈ L+ℜ : px ≤ w}. 
 
Bp,w é convexo, sempre que L+ℜ seja convexo. 
 
Bp,w 
x2 
x1 
( 2211 , xpxp ++ ) 
p
 
x'
 
x
 
P( )21, xx 
∆x = (x'- x )
 
 
Bp,w 
x2 
x1 
{ }wpxx L =ℜ∈ + : 
w/p2 
w/p1 
Inclinação = - p1/p2 
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2.7 - Funções de Demanda e Estática Comparativa 
 
Função de demanda é o valor único da correspondência de demanda x(p,w), dado o par p 
e w. Assume-se que x(p,w) seja HDG “0” e que a renda seja totalmente consumida. (Lei 
de Walras). 
 
Mas se a correspondência (ou função) da demanda atende o WARP e a viabilidade 
orçamentária, x(p,w) é HDG “0”, em p e w. Ou seja, x(αp,αw) = x(p,w) para qualquer 
p,w e α > 0. 
 
HDG “0” ⇒ ( ) ( )wpxwpx ,, =αα 
 wpwp BB αα ,, = 
 
Lei de Walras implica em: px = w 0>>∀x 
 ( )wpxx ,∈ 
 
A lei de Walras diz que o consumidor gasta toda a sua renda. Esta lei significa também 
que o consumidor gasta totalmente seus recursos por todo o seu ciclo de vida, ou seja, 
permite um orçamento intertemporal (poupar hoje para gastar amanhã). 
 
A HDG “0” implica que pode-se normalizar pl = 1 ou w =1 para um dos L+1 argumentos 
do conjunto x(p,w). 
 
Considerando que x(p,w) seja sempre de valor único, podemos escrever: 
 




















⋅
=
),(
.
.
),(
),(
),(
2
1
wpx
wpx
wpx
wpx
L
 
 
Estática comparativa 
 
Efeito renda 
Para p fixos, a função da renda x( p ,w) é chamada de função de Engel. Sua imagem em 
L
+ℜ , ( ){ }0:, >= wwpxEp , é chamada de “caminho de expansão da renda”. 
 
Assim temos: 
 
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Onde: w< w’< w” 
 
 ( )
⇒
∂
∂
w
wpxl ,
 Efeito renda para a l-ésima cesta de bens 
 
Alguns casos: (L=2) 
 
1) 
 
 
 
x2 
x 
x’ 
x1 
x2 
x1 
wpB , 
',wpB 
",wpB 
caminho de 
expansão 
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( ) 0.1 >
∂
∂
w
x
 
( ) 0.2 >
∂
∂
w
x
 
 
 
x1 e x2 são bens normais 
 
 
 
2) 
 
 
 
( ) 0.1 >
∂
∂
w
x
 
( ) 0.2 =
∂
∂
w
x
 
 
x1 é normal e x2 é neutro 
 
 
3) 
 
 
 
 
( ) 0.1 =
∂
∂
w
x
 
( ) 0.2 >
∂
∂
w
x
 
 
 
x1 é neutro e x2 é normal 
x2 
x 
x’ 
x1 
x2 
x x’ 
x1 
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4) 
 
 
 
( ) 0.1 >
∂
∂
w
x
 
( ) 0.2 <
∂
∂
w
x
 
 
 
x1 é normal e x2 é inferior 
 
Assim, temos que: 
( )
( )
( )
L
l
w
w
x
w
x
wpxD ℜ∈




















∂
∂
∂
∂
=
.
.
.
.
.
,
1
 
 
 
Efeito preço 
 
Computa-se: 
 
( ) 0, >
∂
∂
k
l
p
wpx
 ou 
( ) 0, <
∂
∂
k
l
p
wpx
 
 
 Bens substitutos só existe na demanda hicksiana. 
 
 
( ) 0. >
∂
∂
l
l
p
x
 → Bem de Giffen (sendo que neste caso o bem deve ser inferior) 
x2 
x 
x’ 
x1 
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Temos: 
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )




























∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
L
LLL
L
p
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
wpxD
.
...
.
 
.
................................
................................
................................
............
.
 
.
.
...
.
 
.
,
21
2
2
1
2
1
2
1
1
1
 
 
 
Referência: Deaton e Muellbauer (1980) 
 
 
 
Implicações da homogeneidade e lei de Walras nos efeitos renda e preços 
 
HDG “0” → 
( ) ( )
( ) ( ) 0,,
,,
=−∴
=
wpxwpx
wpxwpx
αα
αα
 
 
A partir desta relação, temos a seguinte relação de Euler: 
 
 
( ) ( )
∑
=
=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂L
k
l
k
k
l w
w
wpxp
p
wpx
1
0,, Ll ,...,2,1=∀ 
 
ou 
 
 
 
 
Esta expressão pode ser reescrita em termos de elasticidade, como: 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, uma mesma mudança em todos os preços e renda leva a nenhuma mudança na 
demanda. 
 
( ) ( ) 0,, =+ wwpxDpwpxD wp 
( ) ( )∑
=
=+
L
k
lwlk wpwp
1
0,, εε Ll ,...,2,1=∀ 
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Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se x(p,w) atende à exaustão de renda (lei de Walras), temos wp,∀ : 
 
 
 
1) 
 
 
 
Lk ,...,2,1=∀ (propriedade de Cournot) 
 
1) implica que a despesa total não muda quando os preços mudam. 
 
2) 
 
 
 
 (propriedade de agregação de Engel) 
 
2) implica que a despesa total deve mudar na mesma proporção que mudanças na renda. 
 
 
2.8 – WARP e a Lei de Demanda (seção 2.F de MWG (1995), páginas 28 – 36) 
 
 
2.9 - Teoria Clássica da Demanda 
 
Seguindo a abordagem baseada nos “gostos e preferências”, assume-se que as 
preferências sejam racionais, resultando de funções preferências completas e transitivas. 
 
Agora iremos discutir 2 propriedadesdas 
~
f : monotonicidade e convexidade. 
 
Relações de preferências: propriedades básicas 
 
( ) ( ) ( )wpx
p
p
wpx
wp
l
k
k
l
lk
,
,
, ⋅
∂
∂
=ε 
 
( ) ( ) ( )wpx
w
w
wpx
wp
l
l
lw
,
,
, ⋅
∂
∂
=ε 
( ) ( )∑
=
=+
∂
∂
⋅
L
l
k
k
l
l wpxp
wpxp
1
0,, 
( )
∑
=
=
∂
∂
⋅
L
l
l
l
w
wpxp
1
1, 
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Preferências monotônicas se referem ao fato dos consumidores “preferirem mais a 
menos”. (Varian segue a mesma definição, ao contrário do Kreps). 
 
Definição: 
~
f em X é monotônica se Xx ∈ e xy >> implica xy f . 
~
f é fortemente 
monotônica se y ≥ x e y ≠ x implica que xy f . 
 
Definição: 
~
f é localmente não-saciada em X se para Xx ∈∀ e todo 0>ε , existe y ∈ X 
tal que ε≤− xy e xy f . 
 
Conseqüências imediatas da não-saciedade local: 
 
i) O consumidor vai sempre esgotar a sua renda disponível, ou seja, ele/ela vai sempre 
escolher seu consumo na fronteira Bp,w. 
 
ii) Não-saciedade local elimina a possibilidade de existir curvas de indiferença 
“espessas”. 
 
 
Convexidade: Como as 
~
f são convexas, as mesmas determinam as trocas dos diferentes 
bens que o consumidor deseja fazer. 
 
Definição: 
~
f é convexa em X se Xx ∈∀ o conjunto de contorno superior { }xyXy
~
: f∈ 
também é convexo. Ou seja, se xy
~
f e xz
~
f , então ( ) xzy
~
1 fαα −+ , para [ ]1,0∈α . 
 
x2 
x 
y 
ε 
x1 
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A convexidade de X implica na existência de taxas marginais de substituição (TMS) 
decrescentes entre as cestas. 
 
Convexidade ≅ diversificação de consumo, pois uma combinação entre x e y não pode 
ser pior que x ou y. 
 
Obs.: No caso da não-convexidade, a maioria dos resultados obtidos aqui também são 
válidos; a não-convexidade pode ser incorporada sem problemas na demanda agregada. 
 
Definição: uma relação preferência monotônica em Lx +ℜ∈ é homotética se todos os 
conjuntos de indiferença estão relacionados pela mesma expansão proporcional, isto é, 
yx ~ , ou yx αα ~ para qualquer 0>α . 
 
 
 
 
x2 
x1 
x 
y 
yα 
xα 
x2 
x1 
x 
y 
z 
( )zy αα −+ 1 
X 
{y∈ℜL+: y 
~
f x} 
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 73
 
Preferência e utilidade 
 
A existência de uma 
~
f contínua, isto é, o conjunto de contorno superior { }xyXy
~
: f∈ e 
o conjunto de contorno inferior { }yxXy
~
: f∈ são ambos fechados, implica na existência 
de uma função utilidade u(.) que representa 
~
f . 
 
Obs.: A partir de agora, assumimos que a relação de preferência do consumidor é 
contínua e pode ser representada por uma função utilidade contínua. Como já foi visto, a 
u(.) que representa a relação preferência 
~
f não é única. Qualquer transformação 
estritamente crescente de u(.), digamos v(x) = f(u(x)) também representa 
~
f . Se 
~
f é 
contínua, existem algumas funções utilidade contínuas representando 
~
f , apesar de nem 
todas as u(.) que representam 
~
f serem contínuas. 
 
 
2.10 - O problema da maximização da utilidade (PMU) 
 
Vamos, agora, estudar o problema da maximização do consumidor. 
 
Assume-se, apartir de agora que o consumidor tem uma relação de preferência (
~
f ) 
racional, monotônica, localmente não-saciada, e contínua, onde u(.) representa estas 
preferências. Assume-se que o conjunto de bens é dado por LX +ℜ∈ . 
 
O PMU consiste em: 
 
 MAX u(x) w >0; p >>0 
x ≥ 0 
s.a. 
p.x ≤ w 
 
 
O consumidor escolhe uma cesta de bens no conjunto orçamentário { }wxpxB Lwp ≤⋅ℜ∈= + :, de modo a maximizar o nível de utilidade. 
 
Definição: Se u(.) é contínua (e p >>0), então o PMU tem solução única. 
 
 
A correspondência ou função demanda marshaliana (walrasiana ou ordinária) 
 
O conjunto de vetores ótimos de consumo no PMU, para cada para (p, w) >>0, é dado 
por ( ) Lwpx +ℜ∈, , e é chamado de correspondência de demanda Walrasiana. 
 
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 74
Exemplo: L=2 
 
 
 
 
 
 
Quando x(p,w) apresenta um valor único para todo (p,w), nos referimos a esta como 
função demanda walrasiana. 
 
x2 
x1 
( )wpx , 
( ).u 
x 
x’ 
x’’’ 
x’’’’ 
x’’ 
⇒ Correspondência de demanda 
x2 
x1 
( )wpx , 
wpB , 
( ){ }uyuy L ~: =ℜ∈ + 
( ) ( )( ){ }wpxuyuy L ,: =ℜ∈ + 
⇒ Função de demanda 
)),((~ wpxuu < 
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 75
As propriedades da correspondência de demanda ( )wpx , são: 
 
i) HDG “0” em (p,w), ou seja ( ) ( )wpxwpx ,, =αα para qualquer p,w e 0>α ; 
 
ii) Lei de Walras: wxp =⋅ ),( wpxx ∈∀ ; 
 
iii) Convexidade 
 
 Se 
~
f é convexa, e u(.) é quase-côncava, então ( )wpx , é um conjunto convexo. Além 
eeedisso, se 
~
f é estritamente convexa, e u(.) é estritamente quase-côncava, então 
yy ( )wpx , apresenta apenas um elemento. 
 
Se u(.) é contínua e diferenciável, existe uma cesta de consumo ótima ( )wpxx ,* ∈ a qual 
pode ser obtida das CPO do PMU. 
 
As consições de Kuhn-Tucker (necessárias) dizem que se x* é a solução para o PMU, 
então existe um multiplicador de lagrange 0≥λ tal que, para todo l =1,2,...,L,temos: 
 
( )
l
l
p
x
xu
⋅≤
∂
∂ λ
*
 
 
Com igualdade se 0* >lx . 
 
Assim temos que: 
 ( )
( )[ ] 0**
*
=⋅−⋅
⋅≤∇
pxux
pxu
λ
λ
 
 
Para um ótimo interior, onde x* >> 0, temos: 
 ( ) pxu ⋅=∇ λ*
 
 
 
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 76
Exemplo: L=2 
 
 
 
 
 
Assim temos: 
 
 
 
 
x2 
x1 
( )wpx , 
wpB , 
2
1
p
pinclinação −= 
p ( )*xu∇ 
SOLUÇÃO 
DE CANTO 
12MRSinclinação −= 
x2 
x1 
( )wpxx ,* ∈ 
wpB , ( )
( )
2
1
12
2
1
.
.
x
u
x
u
MRS
p
pinclinação
∂
∂
∂
∂
−=−=−= 
p 
( )*xup ∇=⋅λ SOLUÇÃO INTERIOR 
( )
( ) ( )*,*
*
xMRS
p
p
x
xu
x
xu
kl
k
l
k
k
l
l
⇒=
∂
∂
∂
∂
 
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 77
No caso do gráfico representando a solução de canto, temos que para x*2 = 0, MRS12(x*) 
> p1/p2, ou seja, esta desigualdade se dá porque o consumidor não pode reduzir x2* além 
de zero (ou aumentar x1*). 
 
λ nos dá o valor marginal, ou sombra, de se relaxar a restrição no PMU. Assim, λ = 
valor da utilidade marginal da renda (riqueza) no ponto de ótimo. 
 
Considere o caso onde ( )wpx , é uma função diferenciável e ( ) 0, >>wpx . Pela regra da 
cadeia, a mudança na utilidade de um incremento marginal em w é dada por: 
 
( )( ) ( )wpxDwpxu w ,, ⋅∇ , onde: 
 
 p⋅λ 
 
 
.: ( ) λλ =⋅ wpxDp w , 
 
 
Condição de agregação de Engel (Mas-Collel pp. 55) (função demanda derivada de uma 
função utilidade Cobb-Douglas) 
 
Pois: p.x(p,w) = w é válido para todo w (lei de Walras) e, assim, p.Dwx(p,w) = 1. Assim, 
a mudança marginal na utilidade como conseqüência da mudança na renda é igual a λ 
(utilidade marginal da renda). 
 
 
Função indireta de utilidade 
 
Para cada (p, w) >>0, o valor da utilidade do PMU é definido por 
( ) ( )( )wpxuwpv ,, *=ℜ∈ , para qualquer ( )wpxx ,* ∈ . 
 
( )wpv , é a chamada “função indireta de utilidade”.Propriedades: 
 
i) HDG “0” em (p,w); 
 
ii) Estritamente crescente em w e não-crescente em p; 
 
iii) Quase-convexa, ou seja, o conjunto ( ) ( ){ }vwpvwp ≤,:, é convexo para qualquer v ; 
 
iv) Contínua em p,w. 
 
 
 
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 78
2.11 - O problema da minimização de despesa ou do dispêndio (PMD) 
 
O PMD, dado que p >>0 e u>u(0), é dado por: 
 
MIN p.x 
 0≥x 
 s.a: u(x)≥ u 
CPO: 
 
Para algum 0≥λ → ( )( )[ ]



=∇−
∇≥
0**
*
xupx
xup
λ
λ
 
 
 
 
 
PMU é um dual do PMD. 
No PMU computa-se o máximo nível de utilidade que pode ser obtido dado o nível de 
renda w; no PMD obtém-se o mínimo nível de renda necessária para atingir o nível de 
utilidade u. 
 
Sendo u(.) contínua, e que esta representa uma 
~
f não-saciada (monotônica), 
*x representa a cesta de bens mais barata possível, de modo que se possa atingir o nível 
de utilidade u. 
 
Assim, tem-se: 
 
i) Se *x é ótimo no PMU, dado que w >0, então *x também é ótimo no PMD quando 
u(x*). O nível de dispêndio é mínimo no PMD, e vale w. 
 
x2 
x1 
*x 
{ }*2 : xxpx =⋅ℜ∈ + u 
'u 
( ){ }uxux ≥ℜ∈ + :2 
Primeira condição de Kuhn-Tucker 
Segunda condição de Kuhn-Tucker 
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 79
ii) Se *x é ótimo no PMD quando o nível de utilidade requerido é u >u(0), então *x é 
ótimo no PMU, quando *xpw ⋅= . Assim, o nível máximo de utilidade no PMU é 
exatamente u. 
 
 
Função dispêndio ( ( )upe , ) 
 
Para p >>0 e u >u(0), o valor do PMD é dado por ( )upe , , e é chamado de “função 
dispêndio”. Seu valor é dado por: 
 
 
, onde *x é a solução do PMD. 
 
 
As propriedades de ( )upe , são: 
 
i) HDG “1” em p; 
 
ii) Estritamente crescente em relação à utilidade, e estritamente não-decrescente em p; 
 
iii) Côncava em p; 
 
iv) Contínua em p e u. 
 
 
 
 
 
 
$ 
p2 
*px 
( )upe , 
2p 
( ) *, xpwpe ⋅= 
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 80
 
Para qualquer p >>0, w >0, e u>u(0), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas condições implicam que, para um vetor p , ( ),.pe e ( ),.pv são inversas uma da 
outra. 
 
 
Função de Demanda Hicksiana (compensada) 
 
O conjunto ótimo de vetores de bens no PMD é denotado por ( ) Luph +ℜ⊂, , e é chamado 
de “função ou correspondência de demanda Hicksiana ou compensada”. 
 
 
Obs: ( )wpx , demanda marshalliana 
 ( )uph , demanda hicksiana 
 
 
As propriedades de ( )uph , são: 
 
i) HDG “0” em p; 
 
x2 
x1 
( )uph , 
p’ 
p 
( )uph ,' 
( ){ }uxux =ℜ∈ + :2 
( ) wxpupe =⋅= *,
 
( )( ) wwpvpe =,, 
( ) uwpv =, 
( )( ) uupepv =,, 
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 81
ii) para qualquer x ∈ h(p,u), u(x) = u, ou seja, não existe excesso de utilidade; 
 
iii) Convexa e única: se 
~
f é convexa, então ( )uph , é um conjunto convexo. 
 Se 
~
f é estritamente convexa, então u(.) também é estritamente convexa (= 
yyestritamente quase-concava), resultando em um único elemento em h(p,u). 
 
Devido à equivalência do PMU e PMD, temos que: 
 
( ) ( )wpxuph ,, = 
 
 
(1) 
 
 
( ) ( )uphwpx ,, = 
 
 
(2) 
 
 
A expressão (1) explica a razão do termo “demanda compensada” para descrever h(p,u), 
através do que chamamos “compensação da renda de Hicks”, ou seja, à medida que os 
preços variam, h(p,u) dá precisamente o nível de demanda se a renda do consumidor 
fosse ajustada (compensada) o suficiente para manter o mesmo nível de u (anterior à 
variação nos preços). 
 
Assim, ( )uph , mantém o nível de u fixo à medida que os preços variam, em contraste 
com ( )wpx , , a qual mantém a renda fixa enquanto varia o nível de utilidade. 
x2 
x1 
( ) ( )wpxuph ,, = 
Bp’,w Bp,w 
( ) ( ) )),'(,'(,',' upepxwwpxuph HICKS =∆+= 
u 
1p
wHICKS∆
 
p’ >p 
( ) ( )),(,, upepxuph = 
( ) ( )),(,, wpvphwpx = 
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 82
 
 
Demanda Hicksiana e a Lei Compensada da Demanda 
 
Como h(p,u) satisfaz a lei compensada da demanda, temos que para p’e p”: 
 
 
''' pp >∴ 
 
Prova: 
 Para p>>0, h(p,u) é ótimo no PMD, o que resulta em: 
 
( ) ( )uphpuphp ,''',"" ⋅≤⋅ 
( ) ( )uphpuphp ,'',"' ⋅≥⋅ 
 
Subtraindo os dois resultados, temos o resultado inicial: 
 
( ) ( ) ( )( ) 0,',''''' ≤−⋅− uphuphpp 
 
(Isto pode não ser verdade no caso da demanda marshalliana) 
 
 
 
2.12 - Relações entre demanda, utilidade indireta e função dispêndio 
 
Demanda Hicksiana e a função dispêndio 
 
Vimos que: 
 
( ) =⋅= *, xpupe = w 
 
 
Para todo p,u, h(p,u) é o vetor derivadas da função dispêndio com respeito aos preços: 
 
 
 
 
ou 
 
 
 para ∀ l =1,2,...,L 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )( ) 0,',''''' ≤−⋅− uphuphpp 
( )uphp ,⋅ 
( ) ( )upeuph p ,, ∇= 
( ) ( )
l
l p
upe
uph
∂
∂
=
,
, 
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 83
 
Prova: usando a regra da cadeia, temos: 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]uphDpuphupe pp ,,, ⋅⋅+=∇∴ ’ (*) 
 
( )( )uphpp ,⋅∇ 
 
Das CPO do PMD: 
 
( )( )uphup ,∇⋅= λ , e sabemos que: 
( )( ) 0, =∇ uphu , pois a restrição u(h(p,u)) = u é válida para todo p no PMD. 
 
Então: 
 
 
Em (*), temos que o primeiro elemento da soma representa o efeito direto da variação de 
preços no dispêndio mantendo a demanda fixa. 
O segundo elemento é o efeito indireto da mudança na demanda, mantendo os preços 
fixos no dispêndio. Este segundo termo é zero no PMD, pois p.x neste problema é 
minimizado. 
 
As propriedades de ( )uphDp , : 
 
i) ( ) ( )upeDuphD pp ,, 2= ; 
 
ii) ( )uphDp , é negativa semidefinida; 
 
iii) ( )uphDp , é simétrica; 
 
iv) ( ) 0, =⋅ puphDp (Euler), pois h(p,u) é HDG “0”. 
 
 
A propriedade (iii) implica que a derivada cruzada de preço compensado entre os bens l e 
k é simétrica, ou seja, ( ) ( )
l
k
k
l
p
uph
p
uph
∂
∂
=
∂
∂ ,,
. Assim, l e k são substitutos se ( ) 0, ≥
∂
∂
k
l
p
uph
; 
l e k são complementares se ( ) 0, <
∂
∂
k
l
p
uph
. Como ( ) 0, <
∂
∂
l
l
p
uph
, um produto deve ter pelo 
menos um substituto. 
 
 
 
( ) ( )uphupep ,, =∇ 
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 84
 
 
Funções demanda Marshalliana e Hicksiana 
 
Apesar da demanda hicksiana ser não observável (u não é observável), ( )uphDp , não 
pode ser obtida diretamente da demanda marshalliana ( ( )wpx , ). 
 
Para isso, derivamos a chamada “equação de Slutsky”. 
 
→ Equação de Slutsky: ( )wp,∀ e ( )wpvu ,= , temos: 
 
 
∀ l,k 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
Prova: considere ),( wp e que o consumidor atinge u . Então temos ),( upew = . Sabemos 
que para todo (p,u), hl(p,u) = xl(p,e(p,u)). Diferenciando esta expressão com respeito a pk 
e avaliando a mesma em ),( up , temos: 
 
( ) ( ) ( )
k
l
k
l
k
l
p
upe
w
upepx
p
upepx
p
uph
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ),(),(,),(,,
 
 
Como ( ) ( )uphupep ,, =∇ e ( ) ( )uphpupe ,, ⋅= , temos: 
 
( ) ( ) ( ) ),(),(,),(,, uph
w
upepx
pupepx
p
uph
k
l
k
l
k
l
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Como ),( upew = e ),()),(,(),( wpxupepxuph kkk == , temos: 
 
( ) ( ) ( ) ),(,,, wpx
w
wpx
p
wpx
p
uph
k
l
k
l
k
l
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 
 
 
 
Temos: 
( ) ( ) ( ) ( )wpx
w
wpx
p
wpx
p
uph
k
l
k
l
k
l
,
,,,
⋅
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
 
( ) ( ) ( ) ( )',,,, wpxwpxDwpxDuphD wpp ⋅+= 
user
Riscado
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 85
 
 
 
Da equação de Slutsky, temos a matriz de substituição de Slutsky: 
 
 
( )




















=
LLLL
L
L
SSS
SSS
SSS
wpS
...
..................
..................
..................
...
...
,
21
22221
11211
 
 
pl 
xl 
( )wpxl , 
lp ( )uphl , 
BEM INFERIOR 
pl 
xl 
( )wpxl , 
lp 
( )uphl , 
BEM NORMAL 
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 86
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
Note que ( )wpS , é computável diretamente da demanda marshalliana observável, 
 
( )wpx , , pois 
 
Assim, ( )wpS , deve atender à 3 propriedades: 
 
- Simétrica; 
- Negativa semidefinida; 
- ( ) 0, =⋅ pwpS 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2 
x1 
Bp’,w Bp,w 
( ) ( )HICKSwwpxuph ∆+= ,,' 
u=u(x) 
1p
wHICKS∆
 
SLUTSKYw∆ 
( ) ( ) ( )( )wpepxwpxuph ,,,, == 
( ) ( ) ( ) ( )..., kl
k
l
lk x
w
x
p
x
wpS ⋅
∂
∂
+
∂
∂
= 
( ) ( )uphDwpS p ,, = 
( ) wupewHICKS −=∆ ,' 
( ) wwpxpwSLUTSKY −⋅=∆ ,' 
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 87
 
 
 
 
Demanda marshalliana e a função indireta de utilidade 
 
Vimos que: 
 
 
 
 
 
 
 
mas ( ) ( )
p
wpv
wpx
∂
∂
≠
,
, (*) 
 
A partir da identidade de Roy, (*) pode ser obtida . 
 
 
Suponha que v(p,w) seja diferenciável em ( )wp, >>0, então a identidade de Roy é dada 
por: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )wpvwpv
w
wpv
p
wpv
wpx p
w
,
,
1
,
,
, ∇⋅
∇
−=
∂
∂
∂
∂
−= 
 
Onde ( )wpvw ,∇ é a utilidade marginal da renda (riqueza) 
 
ou 
 
 
 
 
∀ l = 1, 2, ..., L 
 
 
 
 
Prova: uupepv =)),(,( é válido para todos os preços. Diferenciando em relação à p, e 
avaliando em p = p , temos: 
 
( ) ( ) 0),(),(,),(, =∇
∂
∂
+∇ upe
w
upepv
upepv pp 
SLUTSKYHICKS ww ∆≤∆ 
( ) ( ) ( )upe
p
upe
uph p ,
,
, ∇=
∂
∂
= 
( )
( )
( )
w
wpv
p
wpv
wpx ll
∂
∂
∂
∂
−=
,
,
, 
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 88
 
 
Mas como ),(),( uphupep =∇ , tem-se: 
 
( ) ( ) 0),(),(,),(, =
∂
∂
+∇ uph
w
upepv
upepvp 
 
Como wupe =),( , tem-se: 
 
( ) ( ) 0),(,, =
∂
∂
+∇ wpx
w
wpv
wpvp (Identidade de Roy) 
 
Ou, das CPO: 
 
( )
l
k
L
k kl p
wpx
x
wpxu
p
wpv
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
),(
.
)),((,
1
 
 
Das CPO do PMU, temos: 
 
( ) ),(),(.,
1
wpx
p
wpxp
p
wpv
l
l
k
L
k
k
l
λλ −=
∂
∂
=
∂
∂
∑
=
 
 
Onde: ),(),(.
1
wpx
p
wpxp l
l
k
L
k
k −=∂
∂
∑
=
 e 
( )
w
wpv
∂
∂
=
,λ 
 
Assim, temos: 
 
( ) ),(.),(, wpx
w
wpv
p
wpv
l
l ∂
∂
−=
∂
∂
, o que resulta em: 
 
( )
( )
( )
w
wpv
p
wpv
wpx ll
∂
∂
∂
∂
−=
,
,
,
 
 
 
Para obter a demanda marshalliana, utiliza-se apenas a derivada da função indireta de 
utilidade com respeito a preços. 
 
 
 
 
 
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 89
Resumindo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.13 – Integrabilidade 
 
Se x(p,w) é gerada por preferências racionais, então x(.) deve ser HDG “0”, satisfazer a 
lei de Walras, e S(p,w) deve ser simétrica e negativa semidefinida em (p,w). 
 
Se observamos uma x(p,w) que apresente estas propriedades, podemos achar preferências 
que racionalizem x(.) ? 
 
SIM!! Estas propriedades são suficientes para a existência de preferências racionais. 
 
Este problema é conhecido por “problema da integrabilidade”, o qual começou com 
Antonelli (1886). Seguimos, agora, a abordagem de Hurwicz e Uzawa (1971). 
 
Interesse teórico: As propriedades descritas acima são conseqüências necessárias da 
teoria da demanda baseada nas preferências. Mas estas também são suas conseqüências. 
À medida que a demanda satisfaz estas propriedades, existe alguma relação de 
preferência racional que poderia ter gerado esta demanda. 
 
Das conexões entre a teoria baseada nas preferências e a teoria baseada nas escolhas, 
apesar das relações de preferências racionais sempre gerarem demandas com matriz de 
substituição simétrica, o WARP não precisa. Assim, quando S(p,w) não é simétrica, 
( )wpx , ( )uph , 
( )wpv , ( )upe , 
Equação de Slutsky (por derivadas) 
Problemas “dual” PMU PMD 
Identidade 
de Roy 
( ) ( )( )upepxuph ,,, = 
( ) ( )( )wpvphwpx ,,, = ( )upeuph ,),( ∇=
 
( ) ( )( )upepvupe ,,, = 
( ) ( )( )wpvpewpv ,,, = 
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 90
demanda não satisfazendo o WARP não pode ser racionalizada por preferências. Os 
resultados obtidos aqui dizem que demanda satisfazendo o WARP (mais HDG “0” e lei 
de Walras) pode ser racionalizada por preferências se e somente se S(p,w) é simétrica. 
 
Assim, a única propriedade adicionada às propriedades da demanda pela hipótese de 
preferência racional, além do WARP, HDG “0”, lei de Walras, é a simetria de S(p,w). 
 
Interesse prático: Para tirar conclusões sobre efeitos de bem-estar, precisamos conhecer 
as preferências do consumidor (ou no mínimo a sua função dispêndio). 
 
Em análises empíricas, podem-se especificar várias formas funcionais e estimar funções 
estatisticamente tratáveis. Mas os resultados obtidos nos mostrarão uma maneira mais 
fácil. Pode-se começar com a especificação de uma função demanda e depois checar se 
esta satisfaz as condições necessárias e suficientes que identificamos nesta seção. Não 
existe, então, necessidade de derivar uma função utilidade. 
 
Para maiores detalhes, ler MWG (1995), seção 3.H, págs. 75 – 80. 
 
 
2.14 - Demanda Agregada 
 
Muitas vezes estamos interessados no comportamento agregado de consumidores, e não 
no comportamento individual dos mesmos. De acordo com Mas-Collel, Whinston e 
Green (1995), 3 questões podem ser feitas com respeito à demanda agregada: 
 
(i) Pode a demanda agregada ser representada como função dos preços e da renda 
agregada? 
(ii) Quando a demanda agregada satisfaz o WARP? Ou seja, quando podemos aplicar 
a teoria estudada até agora na demanda agregada? 
(iii) Quando a demanda agregada tem implicações de bem-estar? Quando as medidas 
de bem-estar podem ter algum significado quando computadas de uma função 
de demanda agregada? 
 
As questões acima poderiam ser chamadas de teorias de agregação do econometrista, do 
teórico positivista e do teórico do bem-estar, respectivamente. 
 
No primeiro caso, o econometrista está interessado em como pode impor uma estrutura 
simples nas funções de demanda agregadas no procedimento de estimação. A dúvida fica 
no fato de poder modelar a demanda agregada a partir de uma função somente com 
variáveis agregadas, tais como a renda agregada. Esta preocupação se justifica pela 
disponibilidade comum de dados na forma agregada.O teórico positivista (ou comportamental) estaria interessado no grau de restrições 
positivas da teoria da demanda individual que pode ser empregado na demanda agregada. 
Isto é importante para previsões de equilíbrio de mercado, devido à importãncia da 
demanda agregada. 
user
Riscado
Microeconomia I Prof. Maurício V. L. Bittencourt 
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 91
 
O teórico de bem-estar, por sua vez, se interessa pelos aspectos normativos da demanda 
agregada. A idéia seria a de tratar a demanda agregada como se esta fosse gerada por um 
“consumidor representativo”, usando as mudanças no bem-estar individual como medida 
de bem-estar para o agregado. 
 
Nos 3 casos, fortes pressupostos são necessários para que as desejáveis propriedades de 
agregação sejam obtidas. Iremos abordar a primeira e a terceira questões postas. 
 
Ou seja, a questão é se a distribuição de renda entre os consumidores importa ou não. 
Assim, se a distribuição da renda afeta a demanda total por vários bens, não podemos 
definir a demanda agregada como função de preços e renda agregada. 
 
 
Demanda e Renda Agregada 
 
Suponha que existam I consumidores com relações de preferência racionais 
~
f i e funções 
demanda walrasianas xi(p,wi). Em geral, dados os preços Lp ℜ∈ e níveis de renda 
(w1,...,wI) para os I consumidores, a demanda agregada pode ser escrita como: 
 
∑
=
=
I
i
iiI wpxwwpx
1
1 ),(),...,,( 
Assim, a demanda agregada depende não somente dos preços, mas também dos níveis de 
renda dos vários consumidores. A questão é se podemos representar a demanda agregada 
de modo simples tal como x(p,Σiwi), onde a demanda agregada depende só da renda 
agregada Σiwi. 
 
Para que esta propriedade seja válida, é necessário que a demanda agregada seja idêntica 
pra qualquer duas distribuições do mesmo total de renda para os consumidores. Ou seja, 
para qualquer (w1,...,wI) e (w1´,...,wI´) tal que Σiwi = Σiwi´, devemos ter 
∑∑
==
=
I
i
ii
I
i
ii wpxwpx
11
´),(),( . 
 
Para examinar quando esta condição é válida, considere uma distribuição inicial 
(w1,...,wI), uma mudança diferencial na renda (dw1, ...,dwI) Iℜ∈ que satisfaz Σidwi = 0. 
Se a demanda agregada pode ser escrita como função da renda agregada, então 
assumindo que as funções demanda sejam diferenciáveis, temos: 
 
0),(
1
=
∂
∂
∑
=
i
I
i i
ili dw
w
wpx
 para todo l. 
 
Isto pode ser válido para todas as redistribuições (dw1, ...,dwI) que satisfazem Σidwi = 0 e 
qualquer distribuição de renda inicial (w1,...,wI) se e somente se os coeficientes de 
diferentes dwi são iguais; isto é: 
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j
jlj
i
ili
w
wpx
w
wpx
∂
∂
=
∂
∂ ),(),(
 para todo l, qualquer 2 indivíduos i e j, e todo (w1,...,wI), 
lembrando que isso só é válido localmente. 
 
Assim, para qualquer vetor de preços fixos p, e qualquer bem l, o efeito renda deve ser o 
mesmo seja quem for o consumidor e quanto for a sua renda. Deste modo, mudanças na 
demanda individual como redistribuição da renda entre os indivíduos se cancelam. 
Geometricamente, a invariância da demanda agregada à redistribuição de renda implica 
caminhos de expansão da renda paralelos entre os consumidores. 
 
Um caso especial desta propriedade é ilustrado quando todos os consumidores têm 
idênticas preferências que são homotéticas, ou quando todos os consumidores têm 
preferências que são quase-lineares com respeito ao mesmo bem. Em termos gerais, essas 
duas situações são ilustradas pela proposição: 
 
Uma condição necessária e suficiente para o conjunto de consumidores para exibir 
caminhos de expansão da renda paralelos e retos a cada vetor de preços é que as 
preferências admitam funções indiretas de utilidade no formato de Gorman com os 
mesmos coeficientes em wi para todo consumidor i. Isto é: 
 
iii wpbpawpv )()(),( += 
 
Maiores detalhes nesta discussão, ver Deaton e Muellbauer (1980). 
 
 
 
 
Preferências Quase-Lineares 
 
Como esta proposição implica em fortes restrições às demandas individuais, a questão se 
resume a se existem condições menos restritivas. Por exemplo, a demanda agregada pode 
depender de ambas média e variância da distribuição estatística da renda ou mesmo de 
toda a distribuição estatística. Esta condição também é restritiva, pois implica que a 
demanda agregada depende somente de quantos ricos e pobres existem, sem se importar 
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com quem é pobre e rico. Maiores discussões nesse tópico ver Deaton e Muellbauer 
(1980), Lau (1982) e Jorgenson (1990). 
 
Em muitas situações os níveis de renda individuais podem ser gerados por algum 
processo que restringe o conjunto de níveis de renda individuais que podem surgir e, 
sendo esse o caso, pode-se escrever a demanda agregada como função dos preços e da 
renda agregada. 
 
Por exemplo, em modelos de equilíbrio geral, a renda individual é gerada pelas ações 
individuais das firmas e pela posse de estoque fixo de bens. Assim, os níveis reais 
individuais de renda são determinados pelo vetor de preços vigente. 
 
Alternativamente, níveis de renda individuais podem ser determinados em parte por 
vários programas governamentais que redistribuem renda entre consumidores. Sendo que 
estes programas podem limitar o conjunto de distribuições de renda possíveis que podem 
aparecer. 
 
Como um caso extremo, suponha que o nível de renda individual seja gerado por um 
processo que pode ser descrito como função dos preços p e da renda agregada w, wi(p,w). 
Isto foi verdadeiro no exemplo de equilíbrio geral. Do mesmo modo, o programa do 
governo pode basear os impostos individuais na taxa de salários e na renda total da 
sociedade. Chamamos uma família de funções (w1(p,w),..., wI(p,w)) com Σiwi(p,w) = w 
para todo (p,w) de regra de distribuição de renda. Quando os níveis individuais de renda 
são gerados por uma regra de distribuição de renda, podemos sempre escrever a 
demanda agregada como uma função x(p,w) = Σixi(p,wi(p,wi)), e então a demanda 
agregada depende somente dos preços e da renda agregada. 
 
Resumindo, se preferimos utilizar a demanda agregada ou não somos capazes de obter a 
demanda individual (por problemas de dados), a definição anterior é mesmo 
problemática. Existem várias formas funcionais para a utilidade que não têm o formato de 
uma representação de Gorman. Ao mesmo tempo, existem várias abordagens que podem 
ser usadas: 
 
1. Podemos enfraquecer a exigência de que a demanda agregada depende somente 
da renda total. Por exemplo, se permitimos que a demanda agregada dependa da 
distribuição empírica da renda mas não da identidade dos indivíduos que tenham 
renda, então a demanda pode ser agregada quando os consumidores têm a mesma 
função utilidade. 
2. Exigimos que a demanda agregada fosse escrita como função da renda total e dos 
preços para qualquer distribuição inicial de renda. Entretanto, na realidade 
seremos capazes de definir limites para o que seriam as distribuições de renda 
iniciais. Assim, poderemos definir a demanda agregada como função de preços e 
da renda agregada quando restringimos a distribuição de renda inicial. Uma 
situação na qual sempre será possível definir a demanda agregada como função 
dos preços e da renda agregada é quando existe uma regra que diz, dados os 
preços e a renda agregada, qual deveria ser a renda de cada indivíduo. Isto é, se 
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para cada consumidor i, existe uma função wi(p,w) que a partir de p e w define a 
renda individual wi. Tal regra existiria se a renda individual fosse determinada por 
políticas governamentais que dependem somente de w e p. Chamamos este tipo de 
função deregra de distribuição de renda 
a. Uma importante implicação do item 2 é que sempre faz sentido pensar na 
demanda agregada quando o vetor de renda individual é mantido 
constante. Assim, se estamos interessados nos efeitos de mudanças de 
preços, é razoável pensar sobre os efeitos agregados. (Pois wi(p,w) = w iw ) 
 
 
 
 
Agentes Representativos 
 
A questão final é se a curva de demanda agregada pode ser usada para mensurar bem-
estar. Em outras palavras, quando podemos tratar a demanda agregada como se ela fosse 
gerada de um “consumidor representativo” fictício? Quando mudanças no bem-estar 
deste consumidor corresponde à mudanças de bem-estar da sociedade como um todo? 
 
A primeira parte desta questão é: quando temos uma relação de preferência racional 
~
f tal 
que a função de demanda agregada corresponda à função demanda walrasiana (ordinária) 
gerada por estas preferências? Se tal preferência existe, dizemos que existe um 
consumidor representativo positivo. 
 
A primeira condição necessária para a existência de um consumidor representativo é que 
ele faça “sentido” para a demanda agregada. Ou seja, os consumidores devem ter funções 
indiretas de utilidade da forma de Gorman (ou a renda deve ser distribuída de acordo com 
a regra de distribuição de renda). Adicionalmente, a demanda deve corresponder àquela 
derivada da maximização de alguma relação de preferência racional. Também 
necessitamos de uma matriz de Slutsky semi-definida negativa. 
 
Uma questão adicional é se as preferências do consumidor representativo positivo captam 
o bem-estar da sociedade como um todo. Isto depende se o consumidor representativo 
positivo também é normativo. Por exemplo, suponha que existe uma função de bem-estar 
social (Bergson-Samuelson) W(u1,..., uI) que contém níveis de utilidade para os I 
consumidores, sendo que quanto maiores são os seus valores, melhor seria para os 
consumidores. Assim, W(.) é uma função utilidade para toda a sociedade. Vamos supor 
agora que para cada nível agregado de renda nós definimos renda para os consumidores 
de modo a maximizar W. Assim, w1,...,wI é a solução para: 
 
MAX W(v1(p,w1),..., vI(p,wI)) 
 w1,…,wI 
s.a. 
ww
I
i
i ≤∑
=1
 
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O que corresponde a um ditador benevolente que distribui renda na sociedade de modo a 
maximizar o bem-estar social. Isto define a regra de distribuição de renda, de modo que 
sabemos que a demanda agregada pode ser representada como função de preços e renda 
total. 
 
No caso em que a renda é distribuída desta forma, não somente a demanda pode ser 
escrita como x(p,w), como também estas demandas são consistentes com a existência de 
um consumidor representativo positivo. Além disso, se as funções de demanda agregadas 
são geradas pela solução do problema de maximização descrito, elas têm significado de 
bem-estar e podem ser usados para fazer julgamentos de bem-estar. 
 
Uma função importante de bem-estar é a função de bem-estar utilitarista. Esta diz que a 
função de bem-estar social é a soma das utilidades dos consumidores individuais na 
economia. Agora, vamos assumir que todos os consumidores tenham funções indiretas de 
utilidade na forma de Gorman. Usando a função de bem-estar utilitarista, temos o 
problema de maximização de bem estar definido por: 
 
( )i
I
i
i wpvMax ,
1
∑
=
 
s.a. 
ww
I
i
i ≤∑
=1
 
Que pode ser reescrito como: 
( ) ∑∑
==
+




 I
i
i
I
i
i wpbpaMax
11
)( 
s.a. 
ww
I
i
i ≤∑
=1
 
 
Ou seja, qualquer regra que distribua toda a renda, Σiwi(p,w) = w, pode ser a solução para 
esse problema. 
Resultado: quando os consumidores têm função indireta de utilidade na forma de Gorman 
(com o mesmo b(p)), a demanda agregada pode ser sempre tratada como sendo gerado 
por um consumidor representativo normativo com função indireta de utilidade v(p,w) que 
representa a função de bem-estar social utilitarista. 
 
Na verdade, pode ser demonstrado que quando as preferências dos consumidores têm a 
forma de Gorman, então v(p,w) é uma função indireta de utilidade para um consumidor 
representativo normativo independente do tipo de função de bem-estar social. No entanto, 
isso não é verdade se as preferências não têm a forma de Gorman. Além disso, se as 
preferências são representadas na forma de Gorman, v(p,w) é independente da regra de 
distribuição de renda adotada. . Isso também não é verdade se as preferências não têm a 
forma de Gorman. 
 
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Concluindo, devemos tomar cuidado quando trabalhamos com agregados. Algumas vezes 
eles fazem sentido, mas nem sempre. 
 
 
2.15 - Agregação de Bens 
 
A separabilidade está relacionada à habilidade de agregar variáveis em análise 
econômica. Por exemplo, é razoável agregar 2 ou mais tipos de vegetais quando se 
analisa demanda por alimentos. Ou podem as horas de trabalho de homens e mulheres 
serem agregados para uma análise de produtividade. A separabilidade está relacionada 
em como a taxa de substituição entre 2 bens ou fatores é afetada pelos níveis de outros 
bens ou fatores. Por exemplo, a taxa de substituição entre carne bovina e de porco pode 
ou não ser afetada pelo montante consumido de queijo. Se esta taxa não é afetada pelo 
consumo de queijo, então alguns tipos de agregação de carne bovina e de porco podem 
ser possíveis. Se carne bovina e de porco não podem ser separáveis do consumo de 
queijo, talvez eles possam separáveis do consumo por roupas. 
 
Separabilidade é particularmente importante para a análise agregada onde os insumos 
tendem a vir em “pacotes” genéricos como trabalho, capital e materiais, e bem tendem a 
vir em “pacotes” tais como habitação, comida, transporte, entretenimento, etc. 
 
Definição Diferencial de Separabilidade: considere a função f dependendo de n variáveis, 
sendo f duplamente diferenciável e 0>
∂
∂
ix
f
. 
Assim, as variáveis xi e xj são separáveis de xk se e somente se: 
 
x
x
x
xf
x
xf
k
j
i
∀=
∂












∂
∂
∂
∂
∂
0
)(
)(
 
 
O que significa que a taxa marginal de substituição entre xi e xj não depende do nível de 
xk.