Geometria Analítica: Reta e Plano

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Geometria Analítica
UNIDADE DE APRENDIZAGEM - 02
Professor MSc. Elias Arcanjo
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 2- A RETA E O PLANO
PROFESSOR ELIAS ARCANJO
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 1
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
z
x
y
EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÕES PARAMÉTRICA DA RETA. EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA.
EXEMPLO1: Determine as equações paramétricas da reta r,
que passa pelo ponto A(3,-1,2) e é paralela ao vetor v=(-3,-2,1).
EXEMPLO2: Determine as equações paramétricas da reta r,
que passa pelos pontos A(1,-2,-3) e B(3,1,-4) .
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA
ÂNGULO DE DUAS RETAS:
Chama-se o ângulo de duas reatas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor
diretor de r1 e de um vetor de r2. Logo, sendo 𝜃 este ângulo, tem-se
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝐯𝟏∙𝐯𝟐
𝐯𝟏 𝐯𝟐
, 𝒄𝒐𝒎 𝟎 ≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟐
EXEMPLO3: CALCULAR O ÂNGULO ENTRE AS RETAS.
𝑟1: ቐ
𝑥 = 3 + 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = −1 − 2𝑡
e
𝑟2 =
𝑥 + 2
−2
=
𝑦 − 3
1
=
𝑧
1
EXEMPLO4: Reta r1, que passa pelos pontos A1(-3,4,2) e B1(5,-2,4), 
é paralela a reta 𝑟2 = ቄ
𝑦 = 2𝑥 − 4
𝑧 = 3𝑥 + 1
?
EXEMPLO5: As reatas
𝑟1: ቐ
𝑦 = 3
𝑥−3
8
=
𝑧+1
−6
e 𝑟2:
𝑥
3
=
𝑦+1
5
=
𝑧−3
4
são ortogonais.
CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS
RETAS PARALELAS AOS PLANOS E OS EIXOS COORDENADOS
SE UMA DAS COMPONENTES DE Ԧ𝑣 é nula
c) Se a = 0, Ԧ𝑣=(0,b,c) ⊥ Ox ∴ r//yOza) Se b = 0, Ԧ𝑣=(a,0,c) ⊥ Oy ∴ r//xOz b) Se c = 0, Ԧ𝑣=(a,b,0) ⊥ Oz ∴ r//xOy
RETAS PARALELAS AOS PLANOS E OS EIXOS COORDENADOS
SE DUAS COMPONENTES DE Ԧ𝑣 são nulas
a) Se a = b = 0, Ԧ𝑣=(0,0,c) //𝑘 ∴ r//Oz b) Se a = c = 0, Ԧ𝑣=(0,b,0) //Ԧ𝑗 ∴ r//Oy c) Se b = c = 0, Ԧ𝑣=(a,0,0) //Ԧ𝑖 ∴ r//Ox
EQUAÇÃO DO PLANO
EQUAÇÃO GERAL DO PLANO
EXEMPLO6: Determine a equação do plano 𝜋 que passa pelo ponto A(2.-
1,3), sendo 𝑛 = (3,2, −4) um vetor normal a 𝜋.
EXEMPLO7: Determine a equação geral do plano determinado pelos 
pontos A(2,1,-1), B(0,-1,1) e C (1,2,1).
EXEMPLO8: Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto 
A(1,-3,4) e é paralelo aos vetores Ԧ𝑣1 = (3,1, −2) e Ԧ𝑣2 = (1,−1,1). 
Solução: -x-5y-4z+2=0