Fundamentos da Geometria: Introdução, Ângulos, Polígonos e Triângulos

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ESTUDO PARA A PROVA DE FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
ATIVIDADE I
INTRODUÇÃO A GEOMETRIA PLANA 
1 As retas na figura abaixo estão contidas no plano ��, podemos dizer que essas retas são:
Resposta: Coplanares
2 O ponto, a reta e o plano são entes primitivos da geometria que não possuem definição, apenas o conhecimento intuitivo. Assinale a alternativa que não se adequa aos entes citados:
Resposta: Retas coplanares são retas que estão contidas em planos diferentes.
3 Observe as afirmações a seguir: I - Toda reta pode ser dividida em dois segmentos II - A reta é um conjunto finito de pontos III - Uma semirreta mede exatamente metade de uma reta Das afirmações acima, podemos garantir que são falsas:
Resposta: II e III
4 De acordo com as afirmativas abaixo, marque a opção correta: I) Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum; II) Se a interseção de duas retas é o conjunto vazio então elas são paralelas; III) Duas retas ortogonais são sempre perpendiculares; e IV) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
Resposta: II e III
5 Usando cinco pontos todos distintos, sendo quatro deles colineares, quantas retas podemos construir?
Resposta: 5 retas
6 Observe as afirmações a seguir: I - Toda reta pode ser dividida em dois segmentos II - A reta é um conjunto finito de pontos III - Uma semirreta mede exatamente metade de uma reta Das afirmações acima, podemos garantir que são falsas:
Resposta: II e III
7 Considere os pontos A, B, C pertencentes à reta r e os pontos C, D, E pertencentes à reta s , sendo o ponto C comum a essas duas retas. Assinale a alternativa correta de acordo com os conceitos da Geometria.
Resposta: As retas r e s não são reversas e os segmentos BC e CD são consecutivos.
8 Com relação às posições relativas de duas retas, marque a alternativa correta:
Resposta: Duas retas que possuem um único ponto em comum são retas concorrentes
9 Podemos afirmar que a interseção de reta AB com o plano α (alfa) é um único ponto quando:
Resposta: A reta é concorrente ou secante ao plano
ATIVIDADE II
ÂNGULO
1 Qual a terça parte do ângulo que mede 65º 34´15" ?
Resposta: 21º 5124
2 Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos internos expressos em graus por (13/2x-1)° e (9+4x)°. Determine as medidas desses ângulos.
Resposta: 25° e 25°
3 Se determinado ângulo mede 56°42'30", seu suplementar será:
Resposta: 123°17'30"
4 A única afirmação verdadeira a seguir é:
Resposta: Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
5 A única afirmação incorreta a seguir é:
Resposta: Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 360°
6 Qual a medida do ângulo cujo a quarta parte mede 43º 51´ ?
Resposta: 175º 24
7 Dois ângulos opostos pelo vértice medem 2x - 20 graus e 3x - 40 graus. Qual a medida dos ângulos?
Resposta: 20 graus
8 Dois ângulos estão na relação ¾. Sendo sua soma igual a 315°, quanto mede o suplemento do menor?
Resposta: 45°
ATIVIDADE III
POLIGONOS 
1 Se um ciclista deu 32 voltas em uma pista que tinha a forma de um pentágono regular e cada lado do pentágono media 10 m, então o ciclista percorreu:
Resposta: 1,6 km
2 Determine o número de diagonais de um polígono regular cujo o ângulo externo do mesmo mede 30°.
Resposta: 54
3 Entre os polígonos regulares, os polígonos Eneágono, Undecágono e Icoságono tem respectivamente quantos lados
Resposta: 9, 11, 20
4 Determine a medida do menor ângulo interno do triângulo, sabendo que os ângulos externos medem em graus, respectivamente x, x+10º e x - 10º.
Resposta: 50º
5 Qual o polígono convexo que tem 20 diagonais?
Resposta: octógono
6 Qual a medida dos dois menores ângulos de um triângulo retângulo onde um ângulo é o dobro do outro?
Resposta: 30º e 60º
7 Pedrinho ganhou de seu pai um jogo novo onde o tabuleiro é um polígono de 9 lados. Cada vértice do polígono é uma base militar, onde os soldados precisam atravessar uma estrada trocando de posição entre as bases militares. Quantas estradas existem no tabuleiro, sabendo que cada estrada liga duas bases
Resposta: 36
8 O polígono regular que possui a medida de cada ângulo interno igual a 150ºo é o:
Resposta: dodecágono
ATIVIDADE IV
TRIANGULO 
1 sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o ângulo z.
Resposta: 100
2 A única afirmação a seguir, verdadeira sobre triângulos é:
Resposta: Todo triângulo equilátero é isósceles.
3 Em um triângulo seus ângulos internos medem em graus x, 2x e 6x. Qual a medida da soma do menor com o maior ângulo?
Resposta: 140 graus
4 Um triângulo possui dois ângulos congruentes, e o terceiro ângulo supera cada um dos ângulos congruentes em 30o. A medida, em graus, do maior ângulo é igual a:
Resposta: 80°
5 Na figura, BM e CM são bissetrizes dos ângulos B e C. determine α
Resposta: 80°
6 Sabendo que r é paralela a s, determine o valor de x.
Resposta: 100°
7 A altura de triângulo equilátero de lado 2cm mede: 
Resposta: √3
8 Determine o valor de x no esquema a seguir, sendo t//q:
 Resposta: 94 graus
9 Com relação ao estudo dos triângulos podemos afirmar que:
Resposta: Ortocentro é o ponto de encontro entre as três alturas de um triângulo.
10 Um aluno de uma turma de Matemática deseja construir um triângulo em papelão. Sabendo que, no triângulo que ele deseja construir, dois dos seus ângulos são 470 e 300, determine o terceiro ângulo:
Resposta: 103°
11 No triângulo ABC, o segmento CD é a bissetriz do ângulo C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e AC = 6 cm, então a medida do lado BC, em centímetros, é igual a:
Resposta: 4
ATIVIDADE V
QUADRILATERO
1 A base maior de um trapézio isósceles mede 12 m e a base menor mede 8 m. O comprimento, em metros, de cada um dos lados não paralelos, sabendo que o perímetro tem medida igual a 40 m, é igual a:
Resposta: 10
2 Uma propriedade rural sob a forma de um paralelogramo tem perímetro 220cm e a medida de um dos lados é 2/3 da medida do outro. Calcule o comprimento do menor lado desse paralelogramo.
Resposta: 44 cm
3 No retângulo abaixo representa um terreno, determine as medidas de x e y indicadas: 
Resposta: 
Resposta: 	x = 5° e y = 28°
4 Um terreno tem a forma do quadrilátero abaixo. Determine o valor de x.
Resposta: 70
5 A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c.
Resposta: a = 63°, b = 63° e c = 117°
6 Um portão tem a forma de um retângulo. Determine o perímetro deste portão, sabendo que os seus lados medem 2 m e 3m.
Resposta: 10 m
7 As medidas de dois dos ângulos opostos de um paralelogramo estão expressas por 9y +16° e 7y + 40°. Seus ângulos medem:
Resposta: dois de 56° e dois de 124°.
8 Quanto as seguintes afirmações:
I - As diagonais de um quadrado são sempre congruentes.
II - As diagonais de um losango são sempre congruentes.
III - As diagonais de um retângulo são sempre congruentes.
IV - As diagonais de um trapézio são sempre congruentes.
Pode-se dizer que:
Resposta: I e III estão corretas.
9 José quer cercar completamente um terreno retangular de 900 m². Pensando ser o terreno quadrado, José comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual o comprimento do terreno?
Resposta: 36 m
10 Classificando cada afirmação abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F), temos:
( ) Todo retângulo é um paralelogramo.
( ) Todo paralelogramo é um retângulo.
( ) Todo quadrado é um retângulo.
( ) Todo paralelogramo é um losango. 
( ) Todo quadrado é um losango.
Resposta: V,F,V,F,V
11 Determine a medida dos ângulos x e y:
Resposta: 	x = 18° e y= 162°
12 Considerando um quadrado de lado 4 cm, podemos afirmar que a diagonal deste quadrado medirá:
Resposta: 4√2
PROVA PARCIAL
1 A única afirmação incorreta a seguir é:
Resposta: Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 360°.
2 Qual a medida dos dois menores ângulos de um triângulo retângulo onde um ângulo é o dobro dooutro?
Resposta: 30º e 60º
3 Um triângulo tem dois lados medindo 4cm e 7cm. Quais as possíveis dimensões do terceiro lado?
Resposta: 3< x <11
4 O valor de x na figura é:
Resposta: 70
5 Dois ângulos estão na relação ¾. Sendo sua soma igual a 315°, quanto mede o suplemento do menor?
Resposta: 45°
6 A única afirmação verdadeira a seguir é:
Resposta: Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
7 Num triângulo ABC, a medida do ângulo A é 30° e a medida do ângulo B é 4/5 da soma das medidas dos outros dois. Quanto mede o ângulo C desse triângulo?
Resposta: 70°
8 Um portão tem a forma de um retângulo. Determine o perímetro deste portão, sabendo que os seus lados medem 2 m e 3m.
Resposta: 10 m
ATIVIDADE VI
SEMELHANÇA
1 Qual é a altura de uma árvore que projeta uma sombra de 20m , sabendo que uma pessoa de 1,80m projeta uma sombra de 1,60m?
Resposta 22,5
2 O perímetro de um triângulo é de 48 metros, e um dos lados tem 12 metros. Qual o perímetro do triângulo semelhante cujo lado proporcional ao lado dado é de 10 metros?
Resposta: 40
3 Para dividir um terreno triangular ABC foi construída uma cerca interna DE, paralela ao lado AC, sendo DE = 40m , formando uma nova área triangular DBE, com os lados DB = 30m e BE=20m . Sabendo que a frente AC do terreno tem 120m, quais são as medidas originais dos lados AB e BC do terreno ?
Resposta: 90 e 60
4 Se uma base de 50 cm produz uma sombra de 20 cm, Calcular a altura de um poste cuja sombra é de 3m no mesmo momento.
Resposta: 7,5
5 necessitamos calcular a altura de uma torre vertical existente em um terreno plano. Para isso verificamos que, devido ao sol, a torre nesse instante causa uma sombra de 12 metros no solo e, para usar a semelhança de triângulos, observamos no mesmo momento próximo à torre, que uma vara vertical de 5 metros projeta uma sombra de 2 metros. Qual é a medida em metros da altura da torre?
Resposta: 30
6 Dois polígonos são semelhantes quando têm:
Resposta: Seus ângulos e lados correspondentes são, respectivamente, congruentes e proporcionais.
7 Ao estudar a semelhança entre polígonos, um aluno escreveu as seguintes afirmações a respeito da razão de semelhança k entre os triângulos:
I - A razão ente os perímetros é uma constante k.
II - A razão entre os raios dos círculos inscritos é k.
III - A razão entre as áreas das figuras semelhantes é k2.
Baseado nas informações acima, escolha a opção correta:
Resposta: Todas as afirmativas estão corretas
8 Sabemos que dois quadrados são sempre semelhantes, então determine a razão de semelhança entre dois quadrados (do menor para o maior) onde o primeiro tem 40cm de lado e o segundo tem 640cm de perímetro.
Resposta: ¼
ATIVIDADE VII
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 Uma professora apresenta a seus alunos uma relação de medidas, afirmando serem medidas de três triângulos retângulos. I - 6cm, 4 cm e 3 cm; II - 15 cm, 12 cm e 8 cm; III - 37 cm, 35 cm e 12 cm. Podemos classificar como triângulo retângulo:
Resposta: Apenas o terceiro triângulo
2 Um pica-pau marca a bicadas seu caminho descendo o tronco de uma árvore , começando 20 pés acima do nível do chão. O pássaro segue uma trajetória em espiral (hélice) e dá a volta sete vezes na circunferência de 3 pés da árvore. Determine a distância total percorrida pelo pica-pau.
Resposta: 29 pés
3 Uma ponte será construída sobre um rio ligando o ponto A ao ponto B, conforme a figura abaixo. Sabendo que a distância entre os pontos B e C é de 20 metros, podemos afirmar que a ponte terá, aproximadamente: Dados: sen = 70º = 0,94, sen 60º = 0,87 e sen 50º = 0,77.
Resposta: 22,6
4 João montou uma estante para seu quarto, porém pela sua inexperiêcia em construir estantes, ela não ficou com firmeza. Seu irmão recomendou que colocasse uma ripa de madeira (conforme a figura), prendendo dois vértices opostos da estante. Como a estante possui 3 metros de altura e 4 metros de largura, qual a medida que João deverá cortar a ripa?
Resposta: 5 metros
5 Observe o triângulo ABC, retângulo em A. Nesse triângulo temos os seguintes elementos:
Resposta: As projeções BD e DC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
6 Um carpinteiro é chamado para construir um portão de madeira medindo 3 metros de altura e 4 metros de comprimento. De maneira a tornar a estrutura rígida e segura, ele achou melhor colocar uma barra de ferro transversal no portão, ou seja, como o portão forma um retângulo, esta barra deve ser uma de suas diagonais. No mínimo, quantos metros deve ter esta barra de ferro?
Resposta: 5 metros
7 Sabendo que a diagonal de um quadrado é igual a 5V2 cm (cinco vezes raiz quadrada de dois), determine o perímetro deste quadrado
Resposta: 20 cm
8 Unindo os pontos médios dos lados de um retângulo ABCD, obtemos um losango. Sabendo que o lado AB do retângulo mede 16 cm e o lado BC mede 12cm, a medida x, em centímetros, do lado do losango é igual a:
Resposta: 10
ATIVIDADE VIII
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER 
1 Uma chapa triangular ABC deverá ter o lado AB com 4 cm , o lado BC com 6 cm e o ângulo interno entre os lados AB e BC igual a 60 graus. Qual a medida aproximada em cm que resultará para o lado AC ? Considerar raiz de 2 = 1,4 e raiz de 3 = 1,7.
Resposta: raiz de 28
2 Em um triângulo ABC, sabemos que sen C = 0.707 e sen A = 0,866, determine a medida aproximada do lado BC , sabendo que AB = 8 cm.
Resposta: 9,80 cm
3 Num triângulo ABC, o ângulo B mede 30°, o ângulo C mede 45° e o lado AB mede 2√2 cm. Calcule a medida do lado AC.
Resposta: 2
4 Um transatlântico avista um farol à 30 graus de sua trajetória e após andar 4 milhas na mesma trajetória retilínea, ele avista novamente o farol, agora, sob um ângulo de 75 graus. Diga quantas milhas de distância se encontra o navio nesta segunda observação. (considere raiz quadrada de 2 igual a 1,4 )
Resposta: 4V3 cm
5 Determine o valor relativo ao segmento BC.
Resposta: 7
6 Em um triângulo ABC temos como medida dos lados AB = 10, AC=14 e BC=16. Determine o valor do cosseno do ângulo B.
Resposta: 0,5
7 Pedro está empinando pipa em um campo de futebol. Seu amigo João observa a pipa de Pedro sob um ângulo 45°, enquanto Pedro a vê sob um ângulo de 60°. Sabendo que a distância entre os dois amigos é de 2 metros, como mostra a figura abaixo, calcule quantos metros de linha, aproximadamente, Pedro está utilizando para empinar sua pipa?
Dados: sen 15° = 0,26 ; sen 30° = 0,5; sen 45° = 0,71 e sen 60° = 0,86
Resposta: Aproximadamente 5,46 metros 
	
	
ATIVIDADE IX 
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
1 A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 15cm. Quanto mede o seu perímetro se nele podemos inscrever uma circunferência de raio igual a 2cm?
Resposta: 34 cm
2 Duas retas secantes a uma circunferência, são conduzidas por um ponto Q externo a esta circunferência. Estas secantes determinam nesta circunferência dois arcos de respectivamente 30º e 90º. Determine o menor ângulo formado por estas duas retas.
Resposta: 30º
3 Sejam duas circunferências internamente tangentes, cujo a soma dos raios é 40 cm. Se a distância entre os centros é 8 cm, determine a medida dos raios.
Resposta: 16 cm e 24 cm
4 Dadas duas circunferências com a soma dos raios igual a 10 cm, determine estes raios, sabendo que a distância dos centros é 4 cm e que elas são tangentes interiores.
Resposta: 4 cm e 6 cm
5 Um ponto externo a uma circunferência dista 16 cm da mesma e 30 cm do seu centro. Qual o diâmetro desta circunferência?
Resposta: 28 cm
6 Em um parque de diversões, uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa nesta roda gigante em 6 voltas?
Resposta: 96π
7 Em uma pequena cidade do interior, uma praça circular tem raio de 40m. Quantos metros anda uma pessoa quando dá 3 voltas nesta praça?
Resposta: 240π metros
8 Na figura, AB = 6m, AD = 7 m e DE = 5 m. Então, o segmento BC é igual a:
Resposta: 8
ATIVIDADE X 
ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
1 Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com umacerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual a medida do comprimento deste terreno retangular, considerando que ele é o maior dos lados? 
Resposta: 10 m 
2 Numa pizzaria são vendidas pizzas grandes e médias cujos diâmetros são, respectivamente,40cm e 30cm. Qual deve ser o preço da pizza média se a grande custa R$35,00 e os preços são proporcionais às áreas das pizzas?
Resposta: R$19,68
3 O triângulo ABC tem o lado AC medindo 6 cm e o lado AB medindo 4 cm. Sabendo que o ângulo formado por estes lados é 30 graus, determine a área do triângulo.
Resposta: 6 cm
4 A figura abaixo mostra um quadrado de lado 12 cm, dividido em três retângulos de mesma área.
Resposta: 28 cm
5 A área do triângulo de lados medindo 4 cm, 8 cm e 10 cm é de aproximadamente:
Resposta: 15,2 cm
6 Se o raio de um círculo aumenta de 40%, de quanta aumentará a área desse círculo?
Resposta: 96%
7 Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?
Resposta: 4 m
8 Uma folha quadrada foi cortada em quadrados menores da seguinte maneira: um quadrado de área 16 cm², cinco quadrados de área 4 cm² cada um e treze quadrados de área 1 cm² cada um. Qual era a medida do lado da folha, antes de ela ser cortada? 
Resposta: 7 cm