ControladoresPID

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Controladores PID
Se a saída Y (s) de uma planta não produz uma resposta satisfatória, então a resposta transitória pode ser
melhorada, através de um controlador Gc(s) e de uma realimentação ligados de acordo com a figura abaixo.
R(s) E(s) U(s)+
-
Y(s)
Gc(s) Ga(s)
Atuador
Realimentação
Gp(s)
Plantaou
Processo
Gs(s)
Sensor
SaídarealErro
Controlador
Referência
Projetar um controlador nada mais é que projetar uma função de transferência Gc(s), ou seja, calcular o
ganho, os polos e os zeros da sua função de transferência.
A função de transferência do controlador Gc(s) pode ser implementada na forma analógica utilizando circuitos
com amplificadores operacionais, que permitem representar diversos tipos de funções de transferência.
Requisitos de projeto de um controlador
• Estabilidade
A função de transferência do controlador Gc(s) deve ser determinada de modo que a malha fechada com a
realimentação seja estável. Nenhuma planta instável tem utilidade prática.
• Oscilação e tempo de resposta
Se a saída apresentar muitas oscilações ou, então, um tempo de resposta muito lento, para muitas aplicações,
a implementação de um controlador se torna necessária.
• Erro estacionário
Se num determinado processo for importante que a sua saída siga exatamente a entrada de referência adotada,
então, a implementação de um controlador também se torna necessária.
Supondo uma entrada de referência igual a um, na figura abaixo são apresentados os gráficos das respostas
transitórias das saídas de três plantas distintas em que o projeto de um controlador se torna necessário.
tempo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sa
íd
a
0
0.5
1
1.5
2
Erro estacionário
Resposta com oscilação
Resposta lenta
Instável
Controladores PID
Os controladores PID são muito usados em controle de processos industriais e combinam as ações de controle
Proporcional + Integral + Derivativa. A função de transferência desse controlador é dada por:
U(s)
E(s)
= Gc(s) = Kc
(
1 +
1
TIS
+ TdS
)
. (1)
No domínio do tempo a saída u(t) do controlador realiza os seguintes cálculos a partir do sinal de erro e(t):
u(t) = Kc
(
e(t) +
1
TI
∫
e(t)dt+ Td
de(t)
dt
)
. (2)
• Parte Proporcional
Aumenta a velocidade da resposta transitória.
Se a planta não tiver integrador (pólo na origem em s = 0), o sistema em malha fechada pode apresentar
erro estacionário quando é aplicado um degrau na referência. O erro estacionário pode ser reduzido se o ganho
proporcional Kc for elevado. Porém, em muitos casos isso faz com que os polos do sistema se tornem complexos
conjugados, produzindo respostas oscilatórias com sobressinal elevado, ou até mesmo instáveis.
Em controle de processos, é comum ajustar o ganho por meio da banda proporcional BP ∼= 100%Kc .
• Parte Integral
Elimina o erro estacionário quando é aplicado um degrau na referência.
Porém, piora a estabilidade relativa do sistema.
Se o sistema tiver polos complexos conjugados, o sobressinal e as oscilações da resposta aumentam.
TI é chamado de tempo integral ou “reset time”.
• Parte Derivativa:
Aumenta a estabilidade relativa do sistema.
Se o sistema tiver polos complexos, o sobressinal e as oscilações da resposta diminuem.
TD é chamado de tempo derivativo ou “rate time”.
Exercício
Analisar o comportamento do sistema abaixo com os controladores P, PI, PD e PID.
-
+R s( ) E s( ) U s( )
Gc s( )
PlantaGp(s)
Y s( )
Controlador
( +1)( +5)s s
1
• Controlador P
Supondo Gc(s) = Kc, a função de transferência de malha aberta resulta como
G(s) = Gc(s)Gp(s) =
Kc
(s+ 1)(s+ 5)
. (3)
Os polos de malha aberta são: s = −1 e s = −5.
O sistema em malha aberta possui 2 polos (n = 2) e nenhum zero (m = 0).
Para Kc = 0, o lugar de raízes começa nos n = 2 pólos de malha aberta.
Para Kc −→∞, (n−m = 2) ramos terminam no infinito, seguindo assíntotas.
Os (n−m = 2) ângulos das assíntotas são múltiplos ímpares, calculados por
α1 =
180o
n−m = 90
o e α2 = 3α1 = 270o . (4)
As assíntotas interceptam o eixo real no ponto:
Sa =
( soma dos pólos de malha aberta )− ( soma dos zeros de malha aberta)
n−m =
−1− 5
2− 0 = −3 . (5)
2
Para Gc(s) = Kc o diagrama do lugar das raízes é apresentado na figura abaixo.
Im
c c Re
90
270
o
o
x x
K = 0 K = 0
cK ® ¥
cK ® ¥
- - -5 3 1 0
O valor do ganho Kc em qualquer ponto do lugar de raízes pode ser calculado pela condição de módulo:
| Malha aberta | = 1 =⇒ |G(s)| = 1 =⇒
∣∣∣∣ Kc(s+ 1)(s+ 5)
∣∣∣∣ = 1 . (6)
Para Kc > 0 tem-se que Kc = |s+ 1|.|s+ 5| .
• Para s = −3 os polos de malha fechada são reais e iguais e a resposta ao degrau na referência tem
amortecimento crítico. Neste ponto o ganho vale
Kc = |s+ 1|.|s+ 5|s=−3 = | − 3 + 1|.| − 3 + 5| = | − 2|.|2| = 4 . (7)
• Para 0 < Kc < 4 os polos de malha fechada são reais diferentes e a resposta ao degrau na referência é
superamortecida.
• Para Kc > 4 os polos de malha fechada são complexos conjugados e a resposta ao degrau na referência é
subamortecida.
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta transitória da saída y(t) ao degrau unitário na
referência para Kc = 3, Kc = 4 e Kc = 50. Observe que as três respostas apresentam erro estacionário.
 t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
y
(t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
 K
c
 = 3 : superamortecimento
 K
c
 = 4 : amortecimento crítico
 K
c
 = 50 : subamortecimento
Saída estacionária
A função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)
=
Kc
(s+1)(s+5)
1 + Kc(s+1)(s+5)
=
Kc
(s+1)(s+5)
(s+1)(s+5)+Kc
(s+1)(s+5)
=
Kc
(s+ 1)(s+ 5) +Kc
. (8)
Sabendo-se que a referência R(s) é uma entrada do tipo degrau unitário, então, R(s) = 1/s.
Assim, a transformada de Laplace da saída Y (s) resulta como
Y (s) =
Kc
(s+ 1)(s+ 5) +Kc
R(s) =
Kc
[(s+ 1)(s+ 5) +Kc]s
. (9)
A saída y(∞) no estado estacionário pode ser calculada por meio do teorema do valor final:
y(∞) = lim
t→∞ y(t) = lims→0
sY (s) = lim
s→0
s
Kc
[(s+ 1)(s+ 5) +Kc]s
= lim
s→0
Kc
(s+ 1)(s+ 5) +Kc
=
Kc
(0 + 1)(0 + 5) +Kc
=
Kc
5 +Kc
. (10)
3
Erro estacionário
Quando a referência é um degrau unitário (r(∞) = 1), o erro e(∞) no estado estacionário vale
e(∞) = r(∞)− y(∞) = 1− Kc
5 +Kc
=
5 +Kc −Kc
5 +Kc
=
5
5 +Kc
. (11)
Logo, o erro estacionário é diferente de zero para Kc > 0.
• Para Kc = 3, o erro estacionário vale e(∞) = 5/(5 +Kc) = 5/8 ∼= 0,625 .
• Para Kc = 4, o erro estacionário vale e(∞) = 5/(5 +Kc) = 5/9 ∼= 0,5556 .
• Para Kc = 50, o erro estacionário vale e(∞) = 5/(5 +Kc) = 5/55 ∼= 0,0909 .
Portanto,
• para Kc "pequeno", o erro estacionário é "grande", e
• para Kc "grande", o erro estacionário é "pequeno".
• Controlador PI
A função de transferência do controlador PI é dada por
Gc(s) = Kc
(
1 +
1
TIs
)
. (12)
Um procedimento bastante usual é adotar TI de forma que o zero do controlador cancele o polo mais lento
da planta, neste exemplo, em s = −1.
A função de transferência de malha aberta resulta como
G(s) = Gc(s)Gp(s) = Kc
(
1 +
1
s
)
1
(s+ 1)(s+ 5)
= Kc
(s+ 1)
s
1
(s+ 1)(s+ 5)
=
Kc
s(s+ 5)
. (13)
Os polos de malha aberta são: s = 0 e s = −5.
O sistema em malha aberta possui 2 polos (n = 2) e nenhum zero (m = 0).
Para Kc = 0, o lugar de raízes começa nos n = 2 pólos de malha aberta.
Para Kc −→∞, (n−m = 2) ramos terminam no infinito, seguindo assíntotas.
Os (n−m = 2) ângulos das assíntotas são múltiplos ímpares, calculados por
α1 =
180o
n−m = 90
o e α2 = 3α1 = 270o . (14)
As assíntotas interceptam o eixo real no ponto:
Sa =
( soma dos pólos de malha aberta )− ( soma dos zeros de malha aberta)
n−m =
0− 5
2− 0 = −2,5 . (15)
O diagrama do lugar das raízes é apresentado na figuraabaixo.
Im
Re
90
270
o
o
x x
- -5 2,5 0
cc K = 0K = 0
cK ® ¥
cK ® ¥
Comparando o lugar das raízes acima com o do controlador proporcional, verifica-se que o lugar das raízes
desloca-se para a direita do plano s, o que faz piorar a estabilidade relativa do sistema.
4
O valor do ganho Kc em qualquer ponto do lugar de raízes pode ser calculado pela condição de módulo:
| Malha aberta | = 1 =⇒ |G(s)| = 1 =⇒
∣∣∣∣ Kcs(s+ 5)
∣∣∣∣ = 1 . (16)
Para Kc > 0 tem-se que Kc = |s|.|s+ 5| .
• Para s = −2,5 os polos de malha fechada são reais e iguais e a resposta ao degrau na referência tem
amortecimento crítico. Neste ponto o ganho vale
Kc = |s|.|s+ 5|s=−2,5 = | − 2,5|.| − 2,5 + 5| = 6,25 . (17)
• Para 0 < Kc < 6,25 os polos de malha fechada são reais diferentes e a resposta ao degrau na referência é
superamortecida.
• Para Kc > 6,25 os polos de malha fechada são complexos conjugados e a resposta ao degrau na referência
é subamortecida.
Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta transitória da saída y(t) ao degrau unitário na
referência para Kc = 3, Kc = 6,25 e Kc = 50.
 t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y
(t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
 K
c
 = 3 : superamortecimento
 K
c
 = 6.25 : amortecimento crítico
 K
c
 = 50 : subamortecimento
Para Kc = 50, a resposta ao degrau na referência tem um sobressinal maior que o sobressinal obtido com o
controlador proporcional. Isso porque o controlador PI piora a estabilidade relativa do sistema.
Observe também que as três respostas não apresentam erro estacionário, ou seja, a saída estacionária tende
para a referência que vale 1.
Saída estacionária
A função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)
=
Kc
s(s+5)
1 + Kcs(s+5)
=
Kc
s(s+5)
s(s+5)+Kc
s(s+5)
=
Kc
s(s+ 5) +Kc
. (18)
Sabendo-se que a referência R(s) é uma entrada do tipo degrau unitário, então, R(s) = 1/s.
Assim, a transformada de Laplace da saída Y (s) resulta como
Y (s) =
Kc
s(s+ 5) +Kc
R(s) =
Kc
[s(s+ 5) +Kc]s
. (19)
A saída y(∞) no estado estacionário pode ser calculada por meio do teorema do valor final:
y(∞) = lim
t→∞ y(t) = lims→0
sY (s) = lim
s→0
s
Kc
[s(s+ 5) +Kc]s
= lim
s→0
Kc
s(s+ 5) +Kc
=
Kc
0 +Kc
= 1 . (20)
Erro estacionário
Quando a referência é um degrau unitário (r(∞) = 1), o erro e(∞) no estado estacionário é nulo, pois
e(∞) = r(∞)− y(∞) = 1− 1 = 0 . (21)
Para quaisquer valores de Kc e TI , o erro no estado estacionário para entradas do tipo degrau na referência é
igual a zero, independentemente da função de transferência da planta. Esta é a principal característica da parte
integral do controlador PI, presente também nos controladores PID.
5
• Controlador PD
A função de transferência do controlador PD é dada por
Gc(s) = Kc (1 + TDs) . (22)
Adotando TD = 1, de forma que o zero do controlador cancele o polo mais lento da planta, a função de
transferência de malha aberta resulta como
G(s) = Gc(s)Gp(s) = Kc (1 + 1s)
1
(s+ 1)(s+ 5)
=
Kc
s+ 5
. (23)
O polo de malha aberta está localizado em s = −5.
O lugar das raízes é apresentado na figura abaixo.
Im
Re
x
-5 0
cK ® ¥ cK = 0
Como o lugar das raízes se desloca para a esquerda, a estabilidade relativa do sistema aumenta.
Para o valor de TD adotado e para qualquer Kc > 0, o polo de malha fechada está localizado sempre sobre o
eixo real. Por essa razão, pode-se ajustar um ganho Kc elevado, que a resposta transitória é sempre amortecida.
Na figura abaixo é apresentada a resposta transitória da saída y(t), quando é aplicado um degrau unitário na
referência, para um ganho Kc = 50.
 t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
 K
c
 = 50
Verifica-se que com o controlador PD foi possível obter uma resposta rápida e sem sobressinal, o que não
ocorreu com os controladores P e PI. Observe também que a resposta apresenta erro estacionário.
Saída estacionária
A função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)
=
Kc
s+5
1 + Kcs+5
=
Kc
s+5
s+5+Kc
s+5
=
Kc
s+ 5 +Kc
. (24)
Sabendo-se que a referência R(s) é uma entrada do tipo degrau unitário, então, R(s) = 1/s.
Assim, a transformada de Laplace da saída Y (s) resulta como
Y (s) =
Kc
s+ 5 +Kc
R(s) =
Kc
[s+ 5 +Kc]s
. (25)
A saída y(∞) no estado estacionário pode ser calculada por meio do teorema do valor final:
y(∞) = lim
t→∞ y(t) = lims→0
sY (s) = lim
s→0
s
Kc
[s+ 5 +Kc]s
=
Kc
0 + 5 +Kc
=
Kc
5 +Kc
. (26)
Erro estacionário
Quando a referência é um degrau unitário (r(∞) = 1), o erro e(∞) no estado estacionário vale
e(∞) = r(∞)− y(∞) = 1− Kc
5 +Kc
=
5 +Kc −Kc
5 +Kc
=
5
5 +Kc
. (27)
6
Logo, o erro estacionário é diferente de zero para Kc > 0.
• Para Kc "pequeno", o erro estacionário é "grande".
• Para Kc "grande", o erro estacionário é "pequeno".
• Para Kc = 50, o erro estacionário vale e(∞) = 5/(5 +Kc) = 5/55 ∼= 0,0909 .
• Controlador PID
A função de transferência do controlador PID é dada por
Gc(s) = Kc
(
1 +
1
TIs
+ TDs
)
. (28)
Adotando TI = 6/5 e TD = 1/6, de modo que os zeros do controlador cancelem os polos da planta, a função
de transferência do controlador resulta como
Gc(s) = Kc
(
1 +
5
6s
+
1
6
s
)
= Kc
(
6s+ 5 + s2
6s
)
=
Kc(s+ 1)(s+ 5)
6s
. (29)
A função de transferência de malha aberta resulta como
G(s) = Gc(s)Gp(s) =
Kc(s+ 1)(s+ 5)
6s
1
(s+ 1)(s+ 5)
=
Kc
6s
. (30)
O polo de malha aberta está localizado em s = 0.
O lugar das raízes é apresentado na figura abaixo.
Im
Re
x
0
cK ® ¥ cK = 0
Como o polo de malha fechada está localizado sempre sobre o eixo real, aumentando-se o ganho Kc pode-se
obter uma resposta rápida e sempre amortecida.
Na figura abaixo é apresentada a resposta transitória da saída y(t), quando é aplicado um degrau unitário na
referência, para um ganho Kc = 50. Observe que o erro estacionário é nulo.
 t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
y
(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
 K
c
 = 50
Saída estacionária
A função de transferência de malha fechada é dada por
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)
=
Kc
6s
1 + Kc6s
=
Kc
6s
6s+Kc
6s
=
Kc
6s+Kc
. (31)
Sabendo-se que a referência R(s) é uma entrada do tipo degrau unitário, então, R(s) = 1/s.
Assim, a transformada de Laplace da saída Y (s) resulta como
Y (s) =
Kc
6s+Kc
R(s) =
Kc
[6s+Kc]s
. (32)
A saída y(∞) no estado estacionário pode ser calculada por meio do teorema do valor final:
y(∞) = lim
t→∞ y(t) = lims→0
sY (s) = lim
s→0
s
Kc
[6s+Kc]s
= lim
s→0
Kc
6s+Kc
=
Kc
0 +Kc
= 1 . (33)
Erro estacionário
Quando a referência é um degrau unitário (r(∞) = 1), o erro e(∞) no estado estacionário é nulo, pois
e(∞) = r(∞)− y(∞) = 1− 1 = 0 . (34)
7
Suponha nos circuitos a seguir que:
• ve(t) é a tensão da entrada do controlador (sinal de erro);
• vs(t) é a tensão da saída do controlador (entrada do atuador ou circuito de potência).
• Circuito eletrônico do controlador P
A função de transferência do controlador P (Proporcional) é apenas um ganho, ou seja
Vs(s)
Ve(s)
= Kc . (35)
O circuito eletrônico equivalente está representado na Figura 1. Deste circuito tem-se que
Vs(s)
Ve(s)
=
(
−R2
R1
)(
−R
R
)
=
R2
R1
⇒ Kc = R2
R1
. (36)
v t( )e
R
R
1
2
v t( )s
R
R
Figura 1: Circuito eletrônico do controlador P.
• Circuito eletrônico do controlador PI
A função de transferência do controlador PI (Proporcional+Integral) é
Vs(s)
Ve(s)
= Kc
(
1 +
1
Tis
)
. (37)
O circuito eletrônicoequivalente está representado na Figura 2. Deste circuito tem-se que
Vs(s)
Ve(s)
=
(
−Z2(s)
Z1(s)
)(
−R
R
)
=
Z2(s)
Z1(s)
. (38)
Como Z2(s) = R2 + 1Cs e Z1(s) = R1, então
Vs(s)
Ve(s)
=
R2 + 1Cs
R1
=
R2
R1
(
1 +
1
R2Cs
)
⇒ Kc = R2
R1
e Ti = R2C . (39)
v t( )e
R1
R2
v t( )s
R
R
C
2Z s( )
1Z s( )
Figura 2: Circuito eletrônico do controlador PI.
8
• Circuito eletrônico do controlador PD
A função de transferência do controlador PD (Proporcional+Derivativo) é
Vs(s)
Ve(s)
= Kc (1 + Tds) . (40)
O circuito eletrônico equivalente está representado na Figura 3. Deste circuito tem-se que
Z1(s) =
R1
Cs
R1 + 1Cs
=
R1
R1Cs+ 1
e Z2(s) = R2 . (41)
Logo
Vs(s)
Ve(s)
=
Z2(s)
Z1(s)
=
R2
R1
(1 +R1Cs)⇒ Kc = R2
R1
e Td = R1C . (42)
R2
v t( )s
R
R
2Z s( )
v t( )e
R1
C
1Z s( )
Figura 3: Circuito eletrônico do controlador PD.
• Circuito eletrônico do controlador PID
A função de transferência do controlador PID (Proporcional+Integral+Derivativo) é
Vs(s)
Ve(s)
= Kc
(
1 +
1
Tis
+ Tds
)
. (43)
O circuito eletrônico equivalente está representado na Figura 4. Deste circuito tem-se que
Z1(s) =
R1
C1s
R1 + 1C1s
=
R1
R1C1s+ 1
e Z2(s) = R2 +
1
C2s
=
R2C2s+ 1
C2s
. (44)
Assim
Vs(s)
Ve(s)
=
Z2(s)
Z1(s)
=
(R1C1s+ 1)(R2C2s+ 1)
R1C2s
=
R1C1s+R2C2s+ 1 +R1C1R2C2s2
R1C2s
=
R1C1 +R2C2
R1C2
+
1
R1C2s
+R2C1s
=
R1C1 +R2C2
R1C2
(
1 +
1
(R1C1 +R2C2)s
+
R1C1R2C2s
R1C1 +R2C2
)
. (45)
Logo
Kc =
R1C1 +R2C2
R1C2
, Ti = R1C1 +R2C2 e Td =
R1C1R2C2
R1C1 +R2C2
. (46)
R2
v t( )s
R
R
2C
2Z s( )
v t( )e
R1
1C
1Z s( )
Figura 4: Circuito eletrônico do controlador PID.
9