Diagonalização
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Diagonalização


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Diagonalização


Autovetor e Autovalor

Tendo ?Aé uma matriz qualquer quadrada e ?Bé um vetor não nulo e que pertence ao dominio de ?ASe o produto entre ?Ae ?Bfor equivalente ao produto de uma constante, ?λcom o vetor ?Bentão ?λé o autovalor e ?Bé o autovetor de ?ASendo

?det(AλI)=0, tendo ?Ium matriz identidade.


?A.B=λB


Condições:

1. Cada autovetor (?B) está associado a um único autovalor(?λ).

2. Um autovalor (?λ) pode estar associado a infinitos autovetores (?B).

3. Autovalor pode asumir valor nulo (?λ=0), mas um autovetor não pode ser nulo(?B0).



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Como Calcular Autovalor e Autovetor

Exemplo: Considere a matriz ?A=(1022)encontre seus autovalores e seus autovetores.

Solução: Para determinar o autovalor é necessário usar: ?det(AλI)=0


?det[(1022)λ)}]=0



?det[(1022))}]=0



?det|1λ022λ|=0



?(1λ)(2λ)2(0)=0



?λ2+λ2=0



?λ1=1



?λ2=2


Para determinar autovetores é necessário usar:

?A.B=λB


Usando ?λ1=1


?(1022).(xy)=1.(xy)


Originando o seguinte sistema:


?casesx=x2x2y=y


solução: ?x=xsão itens iguais e ?x=3y2então o autovetor ?X1:


?X1=[dfrac3y2y]


E para ?λ2=2


?(1022).(xy)=2.(xy)


Originando o seguinte sistema:


?casesx=2x2x2y=2y


solução: ?x=2xsão itens não iguais então ?x=0e ?y=1então o autovetor ?X2:


?X2=[01]



Diagonalização

Definição:A matriz ?Aé diagonalizável se exitir as matrizes ?Me ?M(1)tal que:

?D=M1.A.M,

sendo ?Ma matriz formada pelos autovetores ?X1e ?X2e ?Da matriz diagonal de ?A


Como diagonalizar uma matriz

Considere a matriz ?Ado exemplo anterior, calcule a sua matriz diagonal:

Solução: Montagem da matriz ?M:


?M=[X1X2]



?M=(dfrac32011)


Já para montar a matriz ?M1será usado a seguinte fórmula: ?M1=1detM.(a22a12a21a11)


?M1=dfrac1dfrac32.(101dfrac32)=dfrac23.(101dfrac32)=(dfrac230dfrac231)


Então a matriz diagonal ?Dserá:


?D=M1.A.M



?D=(dfrac230dfrac231).(1022).(dfrac32011)



?D=(dfrac23.1+0.20.dfrac23+0.(2)dfrac23.1+1.0dfrac23.0+1.(2)).(dfrac32011)=(dfrac230dfrac232).(dfrac32011)=



?=(dfrac23.dfrac32+0.10.dfrac23+0.1dfrac23.dfrac32+1.(2)dfrac23.0+1.(2))=(1032)


Portanto a matriz diagonal de ?Aé:


?D=(1032)