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Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador – Exercícios 
Alexandre Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo 
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Exercícios 
1 – Considere o sistema contínuo descrito pela função de transferência G(s): 
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1( ) ( 0.25 1)G s s s s= + + 
a) Obtenha a função de transferência discreta do sistema para um intervalo de amostragem h 
= 0.5 (pode usar a função matlab ‘c2d’). 
b) Quais os valores dos polos e zeros do sistema discreto ? Confirme a regra exponencial de 
transformação dos polos. 
c) Faça h tender para zero. Para que valores tendem os polos e zeros do sistema dado? 
Confirme o comportamento assimptótico dos zeros dado pela tabela da pag. 2-34. 
d) Escolha uma frequência de amostragem adequada para efectuar o controlo por retroacção 
unitária deste sistema. 
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Resolução 
 
1-a) O sistema pode ser descrito em Matlab, através de: 
sys = tf([1],[1 0.25 1 0 0]); 
 
A descrição discreta do sistema obtida com o método escalão invariante faz-se com: 
dsys = c2d(sys,0.5,'zoh'); 
O resultado é: 
0.00252 z3 + 0.02667 z2 + 0.02601 z + 0.002337 
------------------------------------------------------------------ 
 z4 - 3.652 z3 + 5.187 z2 - 3.417 z + 0.8825 
 
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b) Os zeros e polos são as raízes dos polinómios numerador e denominador da função 
de transferência e podem ser obtidos em matlab por: 
z = roots(dsys.num{1}); 
p = roots(dsys.den{1}); 
Os resultados são: 
p = [0.8262 + 0.4471i; 0.8262 - 0.4471i; 1.0000; 1.0000 ]; 
z = [-9.5118, -0.9749, -0.1000]; 
 
Segundo a regra de conversão de polos, sendo si os polos do sistema contínuo então 
os polos do sistema discreto são dados por : zi = exp(si * h). 
Podemos confirmar a regra, fazendo: exp(0.5*roots(sys.den{1})) 
 
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c) O sistema contínuo tem um excesso de polos-zeros igual a 4. Portanto, para 
elevados ritmos de amostragem, e como o sistema contínuo não tem zeros, todos os 
zeros do sistema discretizado tendem para as raízes do polinómio, z3+11z2+11z+1, ou 
seja para os valores [-9.8990; -1.0000; -0.1010] 
 
Fazendo h = 0.001 e calculando os zeros do sistema discretizado, obtém-se: 
 
dsys = c2d(sys,0.001,'zoh'); 
z1 = roots(dsys.num{1}); 
z1 = [-9.8985, -1.0000, -0.1010]; 
 
cujo resultado é já muito próximo do valor assimptótico. 
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d) A função de transferência em malha fechada pode ser obtida em matlab através de: 
sysmf = feedback(sys,1), cujo resultado e’: 1/(s4 + 0.25 s3 + s2 + 1). 
A amplitude do diagrama de bode em malha fechada pode ser calculada por 
bodemag(sysmf). 
10−1 100 101
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
M
a
g
n
i
t
u
d
e
 
(
d
B
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
 
Pode-se observar que a largura de banda a -3dB do 
sistema em malha fechada é um pouco mais do que 1 
rad/s = 0.16Hz. Deveriamos amostrar o sistema a um 
ritmo cerca de 10 a 30 vezes maior, ou seja, entre 1.6 
e 4.8Hz. Portanto o período de amostragem deveria 
estar compreendido entre 0.21 seg. e 0.62 seg. 
Infelizmente, não é possível estabilizar este 
sistema com um simples controlador proporcional.