Calculo Numérico - Noções de Artimetrica e Zero de Funções

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NOÇÕES DE ARITMÉTICA DE MÁQUINA E ZEROS DE FUNÇÕES 
MACHINE ARITHMETIC NOTIONS AND FUNCTION ZEROS 
Maria B. Santosa e Ana C. Reisb 
aUniversidade Federal de Pernambuco (UFPE), Campus Acadêmico do Agreste (CAA), Rodovia 
BR-104, km 59, S/N, Nova Caruaru, CEP. 55.014-900, Caruaru-PE, Brasil, http://www.ufpe.br/caa 
mariabrunnachagas@gmail.com. 
bUniversidade Federal de Pernambuco (UFPE), Campus Acadêmico do Agreste (CAA), Rodovia 
BR-104, km 59, S/N, Nova Caruaru, CEP. 55.014-900, Caruaru-PE, Brasil, http://www.ufpe.br/caa 
carolinasreis02@gmail.com. 
Palavras-chave: Bases numéricas, método de bissecção, erros, método de Newton. 
Resumo: Este presente relatório tem por objetivo avaliar o conhecimento dos discentes da 
disciplina de Cálculo Numérico referente aos assuntos ministrados em sala de aula que envolve 
as noções de aritmética de máquina e zeros de funções. O relatório possui uma lista de 
exercícios que envolve mudança de base e algarismos significativos assuntos de suma 
importância ao lidar com as máquinas para resolução de problemas matemáticos. Além do uso 
de métodos como o de Newton, da secante, do ponto fixo e da bisseção para encontrar a raiz da 
função além do uso de software para compilação dos cálculos como o matlab e o devc++. Com 
esses exercícios se torna possível concluir que o uso das implementações computacionais 
facilita o encontro das raízes de forma mais prática e rápida, além de que o método da secante 
se torna melhor que o método de Newton quando a derivada da função é mais trabalhosa. 
Abstract: This report aims to evaluate the knowledge of the students of the subject Numerical 
Calculus regarding the subjects taught in the classroom that involve as arithmetic notions of 
machines and zeros of functions. The report has a list of exercises that involve basic changes 
and digits of subjects of major importance for dealing with machines such as mathematical 
problem solving. In addition to using methods such as Newton, Secante, fixed point and 
bisection to find the root of the function, as well as the use of software for compiling 
calculations such as matlab and devc ++. With these exercises, it becomes possible to conclude 
the use of computational implementations that facilitate the finding of roots in a more practical 
and fast way, besides that the secant method becomes better Newton's method when derived 
from the function is more laborious. 
Keywords: Numerical bases, bisection method, errors, Newton's method. 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Os avanços na criação de software e hardware reformulou a ciência, assim como a 
engenharia hoje é indispensável o uso computacional no processo de solução dos problemas 
matemáticos para solucionar e simular problemas reais, graças as estas ferramentas os 
resultados são mais precisos, exatos, confiáveis e acima de tudo rápidos tornando possível a 
resolução de equações complexas. 
Para o seu uso se faz necessário compreender bem o funcionamento das máquinas a fim de 
não gerar resultados que não correspondem aos problemas iniciais, podendo gerar grandes 
prejuízos. Neste relatório trabalhou-se com dois temas de suma importância que serão 
apresentados ao decorrer dos exercícios que é a representação do sistema numérico em 
diferentes bases, visto que cada máquina possui sua própria base a depender de sua capacidade 
e complexidade. Além dos algarismos significativos que afetam a precisão e exatidão dos 
resultados, pois ao escolher uma determinada quantidade de algarismos significativos, a 
depender da capacidade máxima da máquina, é realizada o processo de aproximação seja por 
truncamento ou arredondamento estes por sua vez geram erros que a depender da escala que se 
faz necessário levar em consideração e podem ser facilmente calculados. 
E por fim os zeros das funções ou raízes das funções corresponde a solução onde a função 
zera e para isso pode-se usar métodos do tipo intervalares que delimitam uma zona próxima da 
solução até encontrar o valor, ou através de métodos abertos que se baseiam em equações 
prontas e exigem um Ansatz inicial. Os métodos usados neste trabalho foram Método da 
Bisseção, Ponto fixo, Newton e o Método da Secante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Exercício 1: 
Converta para a base decimal cada um dos seguintes números: 
a) (110)2: 
Segundo Franco (2006), uma mesma quantidade pode ser representada por meio de 
diferentes sistemas de numeração a depender de sua base. E para converter um número de uma 
base para a base decimal segue-se os seguintes passos que serão usados nesse e nos demais 
problemas, referentes ao Exercício 1. 
1º Multiplica-se cada algarismo do número em questão na ordem, da direita para a esquerda, 
pelo numeral referente a sua base cujo está elevado a uma potência que inicia do 0 e cresce à 
medida que percorre os outros algarismos. 
2º Soma-se todos os produtos. 
 (110)2 = (0 * 2
0 ) + (1 * 21) + (1 * 22) = 6 = (6)10 
 
(1) 
 
 
b) (1011)2 
 (1011)2 = (1 * 2
0) + (1 * 21) + (0 * 22) + (1 * 23) = (11)10 
 
(2) 
c) (3112)4 
 (3112)4 = (2 * 4
0) + (1 * 41) + (1 * 42) + (3 * 43) = (214) 10 
 
(3) 
d) (12)4 
 (12)4 = (2 * 4
0) + (1 * 41) = (6)10 (4) 
e) (𝐴2𝐴)16 
No caso da base hexadecimal existem dígitos representados pelas letras A até a F, onde 
recebe valor respectivamente do 10 até o 15. 
 (𝐴2𝐴)16 = (A * 160) + (2 * 161) + (A * 162) = (2602)10 (5) 
f) (721)8 
 (721)8 = (1 * 8
0) + (2 * 81) + (7 * 82) = (465)10 (6) 
Exercício 2 
Escreva os números abaixo na base decimal. 
Os mesmos processos utilizado no exercício 1 será usado neste exercício. 
a) (52,13)8 
 (52,13)8 = (5 * 8
1) + (2 * 80) + (1 * 8-1) + (3 * 8 –2) = (42.171875)10 (7) 
b) (110,1)2 
 (110,1)2 = (1 * 2
2) + (1 x 21) + (0 x 20) + (1 x 2-1) = (6.5)10 (8) 
c) (21𝐹, 3)16 
 (21𝐹, 3)16 = (2 * 162) + (1 x 161) + (16 x 160) + (3 x 16-1) = (544.1875) 
 
(9) 
d) (12,1)3 
 (12,1)3 = (1 * 3
1) + (2 x 30) + (1 x 3-1) = (5.333333)10 (10) 
 
Exercício 3 
Considerando a equação √𝑥 = cos(𝑥) + 2, use o método da bissecção com intervalo inicial 
[𝑎,𝑏] = [1,3] e 𝑥(1) = 
𝑎+𝑏
2
 para calcular a aproximação 𝑥(8) da solução desta equação. 
Através do método da bisseção que obedece ao teorema do valor intermediário, encontrou-
se a raiz aproximada para a equação √𝑥 - cos(𝑥) – 2 = 0, utilizando-se 8 iterações (n) conforme 
pré definido. 
Com base em Arenales (2008) seguiu-se os seguintes passos cujos resultados se encontram 
na tabela 1: 
1. Dado o intervalo [a,b] / f(a)*f(b) < 0, ou seja possuem sinais opostos 
2. Calcula-se o ponto médio (x) do intervalo e caso este seja igual a 0, encontra-se a raiz. 
3. Caso não, como neste exercício prossegue-se onde se f(an)*f(xn) < 0, então define-se an+1 
= an e bn+1 = xn. 
4. Se f(bn)*f(xn) < 0, então define-se an+1 = xn e bn+1 = bn. 
5. E assim segue-se até o critério de parada, que neste caso é a 8ª itereção e nela o x8 
corresponde ao zero da função. 
O erro relativo é calculado com a seguinte equação: 
 ᴈ = ( xn+1 + xn ) / xn+1 () 
 
 
Tabela 1: Método da Bissecção 
Sendo assim a aproximação do zero da função será no x = 2,136719. 
Exercício 4 
O polinômio 𝑝(𝑥) = −4 + 8𝑥 − 5𝑥2 + 𝑥3 tem raízes 𝑥1 = 1 e 𝑥2 = 𝑥3 = 2 no intervalo [ 1/2 , 3]. 
a) Se o método da bisseção for usado com o intervalo inicial [ 1/2 , 3], para qual raiz as 
iterações convergem? 
 
Tabela 2: Método da Bisseção 
Utilizando o método da bisseção e considerando 6 algarismos significativos em todas as 
repetições, após 20 iterações, o valor da raizda função convergiu para 1.000000, quando f(x)= 
0.000000. O erro associado não foi definitivo para parada do método em questão, porém, ao 
final das iterações o erro foi de 2.5e-06. 
 
Figura 1: Implementação do método de bisseção no DEVc++ 
b) É possível usar o método da bisseção para a raiz 𝑥 = 2? Justifique sua resposta. 
Sim, é possível. O método da bisseção é baseado no fato de que se uma função for contínua 
em um dado intervalo [a,b] dentro do qual a função admite sinais opostos e é monótona, então 
ela deverá assumir uma raiz na qual a função assume o valor zero. Porém, devido a unicidade 
da raiz em um respectivo intervalo, seria necessário um diferente intervalo para que, ao ser 
encontrado o valor de ponto médio, estivesse incluída uma raiz diferente de 1 porém não 
incluído o 1, para que ao serem feitas as repetitivas iterações, os valores convergissem para uma 
raiz distinta, como o 2. 
Exercício 5 
O polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥2 + 4 possui raízes duplas em √2 e −√2. O método da bisseção 
pode ser aplicado a 𝑓? Explique e justifique sua resposta. 
Não, pois segundo a definição do método de bissecção é necessário considerar um intervalo 
[a,b] para o qual f(a) * f(b) < 0 para assim aplicar o método e para que isso aconteça é necessário 
que a função intercepte o eixo x alterando assim o seu sinal, o que não ocorre com a função 
apresentada. Os produtos da função de a com x ou de b com x serão sempre positivos e não será 
possível delimitar para se aproximar do zero da função. Ao plotar o gráfico é possível analisar 
visualmente pois a curva não cruza o eixo x, tendo seu f(x) sempre positivo. 
Exercício 6 
Considere a equação de Lambert dada por 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑡, onde 𝑡 é um número real positivo. Mostre 
que esta equação possui uma única solução 𝑥 ∗ que pertence ao intervalo [0,𝑡]. Usando esta 
estimativa como intervalo inicial, quantos passos são necessários para obter o valor numérico 
de 𝑥 ∗ com erro absoluto inferior a 10−8 quando 𝑡 = 1, 𝑡 = 10 e 𝑡 = 100 através do método da 
bisseção? Obtenha esses valores. 
Para t=1: 
F(x) = xex = t Logo, F(x) = xex –1 
Aplicando o método da bisseção no intervalo [0,1] 
 
Tabela 3: Método de Bisseção 
Logo, pode-se concluir que ao aplicar o método da bisseção na função para t=1, foi possível 
encontrar o valor de x* equivalente a 0.56714332 após 24 iterações. O erro associado 
corresponde a 3x10e-08 decorrente da aproximação feita pelo algoritmo, no qual a partir da 24º 
iteração o valor de x se mantém igual ao valor de a, e assim, as substituições que seriam feitas 
ao encontrar diferença de sinal entre f(a) ou f(b) e f(x) não resultariam mais em uma 
aproximação à raiz da função. Então, o erro associado a qualquer iteração posterior seria 
constante. 
Para t=10: 
F(x) = xex = t Logo, F(x) = xex –10 
Aplicando o método da bisseção no intervalo [0,10] 
 
 
Tabela 4: Método de Bisseção 
Neste caso, o erro associado foi 6x10e-08 pela mesma razão da letra a, com uma pequena 
diferença, o valor de x se mantém igual ao valor de b, a partir da 28º iteração. Analisando o 
intervalo [0,10] para a função quando t= 10 pelo método da bisseção, a raiz encontrada foi 
igual a 1.74552846. 
Para t=100: 
F(x) = xex = t Logo, F(x) = xex –100 
Aplicando o método da bisseção no intervalo [0,100] 
 
Tabela 5: Método da Bisseção 
Por fim, analisando os resultados para t= 100, coube-se esperar que o erro associado 
convergiria a um valor constante pela mesma razão das letras anteriores, o erro encontrado foi 
de 12x 10e-8. Após 29 iterações, valor do erro se manteve e o valor da raiz encontrado foi de 
3.38563108. 
 
Figura 2: Implementação do método de bisseção no DEVc++ 
Exercício 7 
Resolver a equação 𝑒𝑥 = 𝑥 + 2 é equivalente a calcular os pontos fixos da função 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
− 2. Use a iteração do ponto fixo 𝑥(𝑛+1) = 𝑔(𝑥𝑛) com 𝑥(1) = −1,8 para obter uma aproximação de 
uma das soluções da equação dada com 9 dígitos significados. 
O método do ponto fixo prevê a raiz gerando sucessivos x que aplicados a função f(x) podem 
convergir para a solução do zero da função. Da seguinte maneira, seja a função f(x) = 𝑒𝑥 - 𝑥 – 
2 utiliza o x inicial qualquer, um Ansatz, que no caso desse problema será o -1,8. Já o próximo 
x será o resultado a função g(x), esta por sua vez será uma releitura de f(x) com o x isolado, 
g(x) = x = 𝑒𝑥 – 2. E para cada x novo obtém-se um valor de f(x) que neste caso convergiu para 
o zero da função. Utilizou-se 9 dígitos significativos e o critério de parada adotado foi o x sendo 
igual ao x próximo, ou seja, o g(x) pois os valores seguintes serão sempre os mesmos e assim 
encontra-se uma estabilidade para a solução da raiz. O método foi aplicado no DEVc++. 
 
Figura 3: Algoritmo do ponto fixo DEVC++ 
 
Figura 4: Compilação do algoritmo da Figura 1 
Conforme a figura 1 e 2 foi possível encontrar uma das soluções do zero da função 
aproximado sendo x=-1,84140551 com a função f(x) = 0.00000012. 
Exercício 8 
Verifique (analiticamente) que a única solução real da equação 𝑥 2 + 𝑥 = 6 é ponto fixo das 
seguintes funções: 
O método do ponto fixo deriva do fato de que uma função pode ser escrita na forma f(x) = 
0, onde x é considerado um zero da função. Sendo assim, esse método utiliza uma nova função 
g(x) = x, para achar através de sucessivas iterações um x = x*para o qual g(x*) = x*, esse ponto 
recebe o nome de ponto fixo da função g(x). Em um gráfico, o ponto fixo corresponde ao 
encontro de uma reta y = x e o gráfico de g(x). 
Utilizando então o método e adotando um intervalo inicial de [1,2], e utilizando o mesmo 
valor inicial para primeira iteração do código de todas as letras da questão. Sabendo-se, 
também, que 
• Se |g′(x*)| < 1, então, x está se aproximando do ponto fixo x* está diminuindo a cada 
iteração. 
• Se |g′(x*)| > 1, então, x está se distanciando do ponto fixo x* a cada iteração. 
• Se |g′(x*)| = 1, então, a aproximação é inconclusiva para compreender o 
comportamento da sequência. 
Sendo F(x)= x2 + x = 6 e g(x) = x 
a) F(x)= x2 + x – 6 = 0 g1(x) = 6 – x2 = x 
Pelo método do ponto fixo: 
 
Tabela 6: Método do Ponto Fixo 
Neste caso, o valor do ponto fixo de x não foi convergente. Tal resultado pode ser explicado 
pelo Teste da Convergência, a interação do ponto fixo não é estável quando o valor em módulo 
g’(x)>0, nesse caso |g’(x)| = 3 >1. 
b) Isolando x2 e elevando os dois lados a ½ : 
g(x) = x – 6 = x2 g2(x) = (x – 6) ½ 
Pelo método do ponto fixo: 
Iteração (i) Xi+1 F(Xi+1) 
0 1.5 -2.250000 
1 2.121320 0.621320 
2 1.969436 -0.151884 
3 2.007626 0.038190 
4 1.998093 -0.009534 
5 2.000477 0.002384 
... 
11 2.000000 0.000000 
Tabela 7: Método do ponto fixo 
Primeiramente, pelo Teste da Convergência, |g’(x1)| = 0,2357<1, o que garante que o método 
aplicado será convergente. Então, após 6 iterações o valor do ponto fixo convergiu exatamente 
para o valor 2, e a condição de parada foi f(x) = 0. 
c) Por fim, colocando x em evidência, pode-se encontrar: 
g(x) = x + x2 – 6 g(x) = x( 1 + x) - 6 g3(x) = 6/ ( 1 + x ) = x 
Pelo método do ponto fixo: 
Iteração (i) Xi+1 F(Xi+1) 
0 1.5 -2.250000 
1 2.400000 2.160001 
2 1.764706 -1.121108 
3 2.170213 0.880037 
4 1.892617 -0.525382 
5 2.074246 0.376743 
... 
37 2.000000 0.000000 
Tabela 8: Método do ponto fixo 
Primeiramente, pelo Teste da Convergência, |g’(x1)| = 0,96 <1, garantindo a convergência 
do método do ponto fixo. Depois, foram feitas, 37 iterações até que ponto fixo convergiu para 
a raiz da função, 2. A condição de parada foi a mesma da letra b. 
 
Figura 5: Implementação do ponto fixo no DEVC++ 
 
Exercício 9 
Encontre a raiz positiva dafunção 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥2 pelo método de Newton inicializando-
o com 𝑥(0) = 1,5. Realize a iteração até obter estabilidade no quinto dígito significativo. 
Assim como o método do ponto fixo, o método de Newton é um método do tipo aberto que 
exige um Ansatz inicial e que através de equações delimita a solução encontrando x próximos, 
a fim de identificar a raiz da função. O x próximo no método de Newton é definido pela seguinte 
equação: 
 x(n+1) = xn – (f(xn) / f ’ (xn)) (11) 
E o erro trabalhado refere-se ao erro relativo. 
Conforme apresentado os resultados na tabela abaixo, na iteração 5 já é possível determinar 
a solução aproximada com 5 dígitos significativos, pois a partir daí o x se repete obtendo-se 
assim uma estabilidade. 
 
Tabela 9: Método de Newton 
Exercício 10 
Considere o problema de calcular as soluções positivas da equação: tan(𝑥) = 2 − 𝑥 2 10.a) 
Calcule as duas primeiras raízes positivas pelos métodos de Newton-Raphson e da Secante com 
nove dígitos significativos e discuta a convergência. 
Seja a função 
F(x) = tan(x) + x2 – 2 F’(x) = 2x + sec2(x) 
Aplicando o método de Newton-Raphson 
X(n+1) = xn – ( f(xn) / f(‘xn) ) 
Iteração x F(x) erro 
1 2.023199238 6.857453457 0.482800084 
2 2.019339702 0.035815660 0.001911286 
3 2.019355401 -0.000146887 0.000007774 
4 2.019355402 -0.000000002 0.000000000 
Tabela 10 – Método de Newton 
 Primeiramente, para dado o valor x = 3, o algoritmo resultou após 4 iterações pelo método 
de Newton-Raphson em uma raiz aproxima equivalente a 2.019355402, cuja condição de 
parada foi o erro associado igual a zero, considerando-se a aproximação de 1e-9. 
Iteração x F(x) erro 
1 1.429251088 14.351419947 0.049500688 
2 1.296301255 7.060392892 0.102560907 
3 1.096861784 3.231488312 0.181827349 
4 0.932063878 1.152706243 0.176809670 
5 0.886013333 0.215407545 0.051975002 
6 0.883764772 0.009605033 0.002544298 
7 0.883759957 0.000020481 0.000005448 
8 0.883759957 0.000000000 0.000000000 
Tabela 11: Método de Newton 
Em seguida, ainda pelo método NR, foi utilizado o valor inicial x = 1.5, e após 8 iterações o 
erro associado correspondia a 0, e a raiz se aproximou-se de 0.883759957. 
 
Figura 5: Implementação no MATLAB 
O método da secante por ser uma variação do método de NR, o método das secantes pode 
ser considerado uma aproximação por diferenças finitas e é baseado no fato de que é possível 
encontrar uma raiz cada vez mais aproximada através das raízes de retas secantes. 
Logo, a iteração do método da secante é dada por: 
Xn+1 = Xn – F(Xn) ( (Xn – Xn-1)) / (F(Xn - F(Xn-1) ) 
Para inicializar as iterações são necessários dois valores de aproximações iniciais, 
distinguidos através do da análise gráfica da função. 
Iteração x erro 
1 1.750770470 1.000000000 
 
2 1.083890960 0.428822900 
 
3 1.212987125 0.615264390 
 
4 0.956997265 0.106428306 
5 0.909620818 0.267492781 
6 0.885590753 0.052083732 
... 
11 0.883759957 0.000000089 
Tabela 12: Método da secante 
Aplicando o método da Secante à mesma função e adotando como valores inicias de 
aproximação x0= 1 e x1 = 2. Após 11 iterações a raiz obtida foi equivalente a 0.883759957, e o 
erro associado a esta última iteração foi de 0.000000089. 
Pode-se concluir então que o resultado aplicando o método da secante foi bastante 
semelhante ao da segunda aplicação do método NR, e as raízes irão convergir para um mesmo 
valor. Uma única diferença bastante relevante para ser comparada nos dois métodos é a 
quantidade de iterações necessárias. Apesar de convergirem para a mesma raiz, o método da 
secante converge mais lentamente, ou seja, são necessárias mais iterações, enquanto o método 
de NR, possui uma taxa de convergência quadrática. 
 
Figura 6: Implementação no MATLAB 
Exercício 11 
Considere as equações 
I. 𝑒−𝑥2 = 𝑥 II. 𝑒−𝑥2 = 2𝑥 III. 𝑓(𝑥) = 
𝑥𝑠
10
 + 𝑥4 − 3𝑥2 + 1 
Encontre as raízes reais isolando-as pelo método do gráfico e depois usando: 
a) Os métodos de Newton-Raphson e da Secante. Expresse a solução com 9 dígitos 
significativos; 
b) Empregar alguma função própria do MATLAB/OCTAVE/etc.. Justifique a escolha e 
comente brevemente sobre o método; 
c) Compare e análise: os resultados, número de iterações e tempo de processamento obtidos. 
Resolução do I. 
As tabelas e a imagem abaixo representam os resultados dos métodos de Newton e da 
Secante cujas metodologias já foram apresentadas nos exercícios anteriores. Utilizou-se 9 
dígitos significativos. 
No método do gráfico a raiz encontrada é a 0,65292. No método de Newton utilizando o 
Ansatz inicial igual a 1, sendo possível na 5ª interação encontrar a solução x=0,652918741. No 
método da Secante o Ansatz inicial recebeu valor 1 e o segundo recebeu valor 2 e obteve-se o 
mesmo valor que o método de Newton porém na 6ª interação. Já utilizando um comando próprio 
do MATLAB a raiz encontrada foi 0,652918640. De todos os métodos utilizados todos 
convergiram para o mesmo valor e com alta acurácia, o mais rápido e prático foi o uso da função 
pronta do MATLAB, em seguida o de Newton que necessitou de uma interação a menos que o 
método da Secante. 
 
Figura 7: Gráfico da função I 
 
Tabela 13: Tabela da Função I com o método de Newton 
 
Tabela 14: Tabela da Função I com o método da Secante 
 
Figura 8: Tabela da Função I com o uso de função própria do MATLAB 
Resolução do II. 
Conforme o gráfico abaixo, a solução encontrada para a função II foi 0,41936. Pelo método 
de Newton na 4ª iteração a solução se estabiliza sendo 0,419364861 o mesmo valor é 
encontrado pelo método da secante, porém com mais duas interações. Os Ansatz tanto neste 
método quando no de Newton foram os mesmos da resolução I e será o mesmo para resolução 
III. Aplicando a função no matlab a solução é 0,419364824. 
 
Figura 9: Gráfico da função II 
 
Tabela 15: Tabela da Função II com o método de Newton 
 
Tabela 16: Tabela da Função II com o método da Secante 
 
Figura 10: Tabela da Função II com o uso de função própria do MATLAB 
Resolução do III. 
Segundo a plotagem do gráfico e os valores encontrados no MATLAB a função tem 5 raízes, 
pelo método de Newton encontrou-se uma na sexta iteração com solução 0,621382879, já o 
método da Secante a solução convergiu para outra raiz 1,489564201 e demandou mais tempo 
sendo encontrado apenas a 17ª iteração. 
 
Figura 11: Gráfico da função III 
 
Tabela 17: Tabela da Função III com o método de Newton 
 
Tabela 18: Tabela da Função III com o método da Secante 
 
Figura 12: Tabela da Função III com o uso de função própria do MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. CONCLUSÃO 
Com a resolução destes exercícios através do estudo as referências bibliográficas, foi 
possível conhecer e praticar as transformações das bases de representações numéricas 
entendendo que os computadores tem a sua própria, também tornou-se visível o fato de que a 
quantidade de algarismos significativos utilizados nos cálculos pode tornar o resultado mais 
preciso e mais próximo do exato, ao mesmo tempo que a quantidade escolhida pode tornar mais 
longe do valor exato visto que o uso de aproximação seja por arredondamento ou truncamento 
gera erro. 
E ao trabalhar com os métodos abertos e intervalados para resolução dos zeros das funções 
foi possível encontrar através deles as raízes e comparar com os respectivos gráficos e notou-
se alta acurácia em todos os métodos utilizados. E nas mesmas funções usando métodos 
diferentes todos convergiram para a mesma raiz com exceção do exercício 11 letra c, onde o 
método da secante convergiu para outra raiz. Também foi possível verificar que cadamétodo 
tem sua vantagem e desvantagem a depender da função, por exemplo funções que possuem sua 
derivada mais complexa dará mais trabalho resolver pelo método de Newton a resolver pelo 
método da bisseção ou secante. 
 Mais uma vez a quantidade de algarismos significativos refletiu no resultado final, visto que 
a depender da quantidade as iterações aumentariam ou diminuiriam a fim da solução se 
estabilizar. Ao comparar as raízes feitas sem o uso computacional (MATLAB e o DEVC++) e 
com o uso é possível notar um certo afastamento do valor real em escala muito pequena, logo 
o erro se torna razoável, isto é devido aos erros associados as aproximações, porém se torna 
uma ferramenta indispensável visto seus resultados são precisos, muito próximos do exato, 
possui alta confiabilidade além da praticidade e rapidez principalmente ao trabalhar com 
funções mais robustas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
Arenales S. e Darezzo A. Cálculo Numérico – Aprendizagem com apoio de software. São 
Paulo: CENGAGE Learning, 2008. 
Franco, Neide Bertoldi. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.