derivadas implícita

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR 
 
CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
Texto extraído do livro: 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999 
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FUNÇÕES EXPLÍCITAS E FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
 
As funções com as quais se trabalhou até agora têm sido apresentadas por equações da forma 
( )y f x
, nas quais a variável dependente 
y
à esquerda é dada explicitamente por uma expressão à 
direita envolvendo na variável independente. Uma função com esta aparência é dita estar em forma 
explícita. Por exemplo, as funções 
 
3
2 213 1 e 1
2 3

     

x
y x x y y x
x
 
são todas na forma explícita. 
 
Às vezes, problemas práticos conduzirão a equações nas quais as funções não aparecem explicitamente 
em termos da variável independente 
x
, como nas equações 
2 3 3 2 36 5 e 2 3 2     x y y x x y y x y
 
por exemplo. Como elas não estão resolvidas para 
y
, tais equações são ditas definir y implicitamente 
em função de 
x
, e a função y é dita esta em forma implícita. 
 
FUNÇÕES EXPLÍCITAS E FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
 
Suponha que é necessário ter uma equação que define 
y
 implicitamente em função de 
x
 e quer 
encontrar a derivada 
dy
dx
. Por exemplo, caso queira para determinar a inclinação de uma reta que é 
tangente ao gráfico da equação em um ponto particular. Uma abordagem poderia ser resolução da 
equação explicitamente para 
y
e então deriva-lo usando as técnicas já conhecidas. Infelizmente, não é 
sempre possível encontrar 
y
 explicitamente. Por exemplo, não há um modo óbvio direto de encontrar 
y
na equação 
2 32 3 2  x y y x y
. Contudo, mesmo quando é possível resolver explicitamente para 
y
, a fórmula resultante é freqüentemente complicada de derivar. Por exemplo, a equação 
2 3 36 5  x y y x
 
Pode ser resolvida para 
y
, fornecendo: 
 
2 3 36 5  x y y x
 
3 2( 5) 6  y x x
 
1
33
2 2
6 6
 
5 5
  
    
  
x x
y y
x x
 
 
O cálculo de 
dy
dx
 para esta função na forma explícita é trabalhoso, pois envolve tanto a regra da cadeia 
como a do quociente. 
Felizmente, há uma técnica simples, baseada na regra da cadeia, que pode ser usada para encontrar 
dy
dx
 
sem a necessidade de explicitar 
y
. Ela é conhecida como derivação implícita. Consiste em 
diferenciar ambos os lados da equação (não resolvida) em relação a 
x
 e então resolver algebricamente 
para 
dy
dx
. Segue um exemplo ilustrando a técnica. 
Texto extraído do livro: 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999 
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Exemplo: 
 
Encontre 
dy
dx
, se 
2 3 2 3 2  x y y x y
. 
 
Solução: 
Derivar ambos os lados da equação dada em relação a 
x
. Como não se deve esquecer que 
y
é, na 
realidade, uma função de 
x
, temporariamente substitua 
y
 pelo símbolo 
( )f x
e comece reescrevendo a 
equação como 
 
2 3 ( ) 2[ ( )] 3 2 ( )  x f x f x x f x
 
 
Agora derive ambos os lados desta equação, termo a termo, em relação a 
x
. Pela regra do produto, 
 
2 2 2[ ( )] 2 ( ) '( ) 2 ( )   
d df
x f x x xf x x f x xf x
dx dx
 (1) 
 
Pela regra da cadeia para potências, 
 
3 2{2[ ( )] } 6[ ( )] '( )
d
f x f x f x
dx
 
 
e pela regra do produto por constante, 
 
(3 ) 3 e [2 ( )] 2 '( ) 
d d
x f x f x
dx dx
 
Substituindo em (1), têm-se: 
 
2 2'( ) 2 ( ) 6[ ( )] '( ) 3 2 '( )   x f x xf x f x f x f x
 (2) 
 
Como 
( ) e '( ) 
dy
f x y f x
dx
, pode se reescrever (2) como 
 
2 22 6 3 2   
dy dy dy
x xy y
dx dx dx
 
Para concluir, resolva a equação isolando 
dy
dx
 
 
2 22 6 3 2   
dy dy dy
x xy y
dx dx dx
 
 
2 2( 6 2) 3 2   
dy
x y xy
dx
 
 
2 2
3 2
6 2


 
dy xy
dx x y
 
Texto extraído do livro: 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999 
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Comentário: Note que a fórmula para 
dy
dx
 contém tanto a variável independente 
x
 como a variável 
dependente 
y
. Esta situação é normal quando as derivadas são calculadas implicitamente. 
Como não se deve esquecer de usar a regra da cadeia para potências ao aprender derivação implícita, 
foi sugerido no exemplo anterior que temporariamente substituísse 
y
 por 
( )f x
. Tão logo compreenda 
este processo, pode suprimir este passo e derivar a equação dada diretamente. Simplesmente não se 
esqueça de que 
y
 é, na realidade, uma função de 
x
 e lembre-se de usar a regra da cadeia quando 
apropriado. Aqui está a forma como a solução do exemplo anterior pode ser obtida sem a substituição 
de 
y
 por 
( )f x
. 
 
 
Exemplo: 
 
Encontre 
dy
dx
, se 
2 3 2 3 2  x y y x y
. 
 
Solução: 
Derivar ambos os lados da equação tal como ela se encontra com relação a 
x
. Lembre-se de que 
y
é, 
na realidade, uma função de 
x
 e que terá que usar a regra da cadeia para derivar as potências de 
y
. 
Em particular, 
 
 
2 22 6 3 2   
dy dy dy
x xy y
dx dx dx
 
 
 
Agora resolva para 
dy
dx
 como anteriormente para obter 
 
2 26 2 3 2   
dy dy dy
x y xy
dx dx dx
 
 
2 2( 6 2) 3 2   
dy
x y xy
dx
 
 
2 2
3 2
6 2


 
dy xy
dx x y
 
 
Resumo do procedimento para derivação implícita 
Suponha que uma equação define 
y
 implicitamente em função de 
x
. Para encontrar 
dy
dx
: 
1. Derive ambos os lados da equação em relação a 
x
. Lembre-se de que 
y
é na realidade uma 
função de 
x
 e use a regra da cadeia quando derivar os termos contendo 
y
. 
2. Resolva algebricamente a equação derivada para 
dy
dx
. 
 
Texto extraído do livro: 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999 
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Exemplo: 
 
Encontre 
dy
dx
, se 
2 e 3xy xy
. 
 
Solução: 
Derivar ambos os lados da equação em relação a 
x
 (usando a regra do produto e a regra da cadeia). 
Assim, 
 
 
2( ) 3 2 3
   
   
   
xyd dyxy e x y y
dx dx
 
 
 
de modo que 
 
26 3
 
   
 
xydy dyx y e xy y
dx dx
 
 
Agora resolva para 
dy
dx
 para obter 
 
26 3  xy xy
dy dy
xe ye xy y
dx dx
 
 
26 3  xy xy
dy dy
xe xy y ye
dx dx
 
 
2( 6 ) 3  xy xy
dy
xe xy y ye
dx
 
 
23 (3 )
6 ( 6 )
 
 
 
xy xy
xy xy
dy y ye y y e
dx xe xy x e y
 
 
Para simplificar ainda mais a resposta, pode substituir 
2 e 3xy xy
( da equação original) para obter 
 
2 2
2
(3 3 ) 3 (1 ) (1 )
3 ( 2) ( 2)(3 6 )
  
  
 
dy y y xy y xy y xy
dx xy xy x xyx xy y