1 Vetores

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Dinâmica dos Sólidos
Curso de Engenharia
Prof. Mauricio González Martínez
mauricio.g.ead@gmail.com
VETORES
Escalar
• É uma quantidade numérica.
• Representa grandezas físicas que não precisão de direção e sentido.
Ex. temperatura, massa, tempo.
Vetor Deslocamento
 𝑟
Vetor
• Modulo, direção e sentido. 𝑟
• Pode representar uma grandeza física vetorial.
Ex. velocidade, aceleração, força.
VETORES
Soma Geométrica de Vetores
 𝑎
𝑏
 𝑟
 𝑟 = 𝑎 + 𝑏
Um vetor pode ser deslocado no 
espaço mantendo seu modulo, 
direção e sentido
Propriedades da Suma
Lei Comutativa
 𝑟 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Lei Associativa
 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 𝑎
𝑏
 𝑟 𝑎
𝑏
VETORES
Subtração de Vetores
 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏 )
 𝑎
-𝑏
 𝑐
 𝑎 = 𝑐 + 𝑏
 𝑐
𝑏
 𝑎
Elemento Neutro
 𝑎 + − 𝑎 = 0
 𝑎
− 𝑎
VETORES
Componentes de Vetores
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. O processo de obter as
componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor.
𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑎𝑦 = 𝑎 sen𝜃
𝑎 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 tan 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
𝑎𝑦
𝑎𝑥
 𝑎
𝑦
𝑥
𝜃
VETORES
Exercícios
1. Quais são as componentes de um vetor 𝑎 do plano xy que faz um ângulo de 250° no
sentido anti-horário com o semieixo x positivo e tem um módulo de 7,3 m.
2. Os módulos dos deslocamentos 𝑎 e 𝑏 são 3 m e 4 m, respectivamente, e 𝑟 = 𝑎 + 𝑏.
Considerando as várias orientações possíveis de 𝑎 e 𝑏, qual é (a) o maior e (b) o menor
valor possível do módulo de 𝑟?
3. Uma máquina pesada é erguida com o auxilio de uma
rampa que faz um ângulo 𝜃 = 20,0° com a horizontal, na
qual a máquina percorre uma distância 𝑑 = 12,5 𝑚. (a)
Qual é a distância vertical percorrida pela máquina? (b)
Qual é a distância horizontal percorrida pela máquina?
VETORES
Vetores Unitários
É um vetor cujo módulo é 1 e que aponta em uma
certa direção. Não possui dimensão nem unidade; sua
única função é especificar uma orientação.
No conteúdo deste curso, os vetores unitários indicam
os sentidos positivos dos eixos x, y e z, e são
representados como 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘, respectivamente.
 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗
𝑎𝑥 𝑖 𝑒 𝑎𝑦 𝑗
componentes vetoriais
Sistema de Coordenadas Dextrogiro
𝑎𝑥 𝑒 𝑎𝑦
componentes escalares
VETORES
Soma de Vetores a partir de Componentes
𝑟𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
 𝑟 = 𝑎 + 𝑏 𝑟𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
𝑟𝑧 = 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧
 𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘
𝑐𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
 𝑐 = 𝑎 − 𝑏 𝑐𝑦 = 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦
𝑐𝑧 = 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧
 𝑐 = 𝑐𝑥 𝑖 + 𝑐𝑦 𝑗 + 𝑐𝑧 𝑘
VETORES
Exercícios
 𝑎 = 4,2 𝑚 𝑖 + (−1,5 𝑚) 𝑗
4. A partir da figura, determine os vetores unitários de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Qual é o vetor soma 𝑟 que
também aparece na figura?
𝑏 = −1,6 𝑚 𝑖 + (2,9 𝑚) 𝑗
 𝑐 = −3,7 𝑚 𝑗
 𝑟 = 2,6 𝑚 𝑖 + (−2,3 𝑚) 𝑗
𝑟 = 3,5 𝑚 𝜃 = −41°
VETORES
Exercícios
5. Uma pessoa caminha da seguinte: 3,1 km para o norte, 2,4 km para oeste e 5,2 km para o sul. (a)
Desenhe o diagrama vetorial que representa este movimento. (b) Que distância e (c) em que
direção voaria um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de
chegada.
6. As três finalistas de uma competição encontram-se no
centro de um campo plano grande. Cada uma das
competidoras recebe uma barra de um metro, uma bússola,
uma calculadora, uma pá e os três deslocamentos seguintes:
72,4 m, 32,0° do norte para o leste, 57,3 m, 36,0° do oeste
para o sul e 17,8 m do norte para o sul. Os três
deslocamentos levam a um ponto onde as chaves de um
Porsche novo foram enterradas. Duas competidoras
começam imediatamente a fazer medidas, porém a
vencedora foi a que realizou cálculos antes das medidas ir. O
que ela calculou?
VETORES
Multiplicação de Vetores
A multiplicação de um vetor por um escalar, onde o
vetor mantem a direção, mas o módulo e sentido
podem ser modificados pelo escalar.
 𝑎
𝑚 𝑎
Existem duas formas de multiplicação de um vetor por um vetor:
1. Produto Escalar, onde o resultado é um escalar (um valor numérico).
2. Produto Vetorial, onde o resultado é um vetor.
VETORES
Produto Escalar
 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏 cos 𝜃
 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘) ∙ (𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘)
 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧
 𝑎
𝑏
𝜃
Exemplo
Qual é o ângulo  entre
 𝑎 = 3,0 𝑖 − 4,0 𝑗 e 𝑏 = −2,0 𝑖 + 3,0 𝑘.
Desenhe os vetores.
No produto escalar, a lei comutativa aplica
VETORES
Produto Vetorial
 𝑐 = 𝑎 × 𝑏
O modulo desta operação é:
𝑐 = 𝑎𝑏 sen𝜃
A direção do vetor 𝑐 é perpendicular ao plano
definido por 𝑎 e 𝑏. Para determinar o sentido
do vetor 𝑐 se aplica a regra da mão direita.
No produto vetorial, a lei comutativa 
não aplica
 𝑎 × 𝑏 = −(𝑏 × 𝑎)
 𝑎
𝑏 𝑐
VETORES
Produto Vetorial
 𝑐 = 𝑎 × 𝑏
 𝑎 × 𝑏 =
 𝑖 𝑗 𝑘
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
= 𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝑖 − 𝑎𝑥𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑥 𝑗 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥) 𝑘
 𝑎
𝑏 𝑐
Exercício
Se 𝑎 = 3 𝑖 − 4 𝑗 e 𝑏 = −2 𝑖 − 3 𝑘, determine 𝑐 = 𝑎 × 𝑏.
Desenhe os vetores.