Apostila Matemática Militar 2019

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ÍNDICE
Língua Portuguesa 
Matemática
História do Brasil
Geografia do Brasil
Química
Física
Inglês
04
123
263
315
379
421
483
Rio de Janeiro, Brasil 
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MATEMÁTICA 
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QUÍMICA
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FÍSICA
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INGLÊS
Thiago Gallett
IMPRESSÃO E ACABAMENTO 
Rotaplan Gráfi ca e Editora
Pré-Militar
MATEMÁTICA
F institutoeducarte 
I institutoeducarte 
Y Instituto Educarte
12
4
Pré-militarMATEMÁTICA
CAPÍTULO 1 - TEORIA DOS CONJUNTOS
Noções primitivas
São noções primitivas, ou seja, sem definição: 
conjunto, elemento e pertinência entre elemento e 
conjunto.
	Notação
	Conjunto geralmente letras maiúsculas.
	Elemento geralmente letras minúsculas.
	Pertinência : elemento x pertence ao 
conjunto A.
 : elemento x não pertence ao conjunto A.
Exemplo:
Seja o conjunto , então 
	Descrição de um conjunto
1) Citação dos elementos: 
2) Propriedade: 
	Conjunto vazio
É aquele que não possui elementos.
Notação: 
Exemplo:
	Conjunto unitário
Exemplo:
	Conjunto universo
Quando os conjuntos em análise são todos sub-
conjuntos de um mesmo conjunto, este recebe o 
nome de conjunto universo.
 Notação: 
	Conjuntos iguais
Exemplo:
	Subconjuntos
Um conjunto é subconjunto de um conjunto 
se, e somente se, todo elemento de é também 
elemento de .
Notação: 
Exemplo:
	Propriedades da inclusão
Para quaisquer conjuntos e , tem-se:
1) 
2) 
reflexiva
3) 
antissimétrica
4) 
transitiva
 é um subconjunto próprio de quando e 
.
Exemplo:
 é um subconjunto próprio de 
 O conjunto vazio não tem subconjunto próprio. 
Qualquer conjunto não-vazio tem vazio como sub-
conjunto próprio.
	Conjunto das partes (ou conjunto potência)
É aquele formado por todos os subconjuntos de 
um certo conjunto.
Notação: o conjunto das partes de é represen-
tado por .
Exemplo:
12
5
Pré-militarMATEMÁTICA
 A quantidade de elementos do conjunto das 
partes de um conjunto A pode ser calculada pela 
expressão a seguir.
	Reunião de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a sua reunião é o 
conjunto formado por todos os elementos que per-
tençam a A ou B.
Exemplo:
 A união de dois conjuntos A e B também pode 
ser representada por diagramas chamados Diagra-
mas de Venn, onde os conjuntos são em forma de 
linhas fechadas.
Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais-
quer, vale:
1) idempotente
2) elemento neutro
3) comutativa
4) associativa
O número de elementos da união de 2 e 3 con-
juntos pode ser obtido pelas relações a seguir:
	Interseção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é 
formada pelos elementos que pertençam a A e B, 
ou seja, pelos elementos comuns aos dois conjun-
tos.
Exemplo:
A interseção de dois conjuntos A e B é represen-
tada em diagramas de Venn pela figura a seguir:
Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais-
quer, vale:
1) 
2) idempotente
3) comutativa
4) associativa
 
	Propriedades distributiva da união e da in-
terseção
	Conjuntos disjuntos
São aqueles que possuem interseção vazia, ou 
seja, não possuem elementos comuns.
 A e B são disjuntos 
	Diferença de conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B é o conjun-
to formado pelos elementos a A e não pertencem a 
B.
 
 A diferença entre A e B é representada em dia-
gramas de Venn pela figura abaixo.
Exemplo: 
	Complementar de B em A
12
6
Pré-militarMATEMÁTICA
Dados dois conjuntos A e B, tais que , cha-
ma-se complementar de B em relação à A o con-
junto A - B.
Exemplo:
 , , são notações que representam o 
complementar de A com relação ao universo.
	Exercícios
QUESTÃO 01) Sendo , com 
, então:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) Dados os conjuntos 
, e , determine o valor de 
.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) Uma empresa decidiu realizar 
uma pesquisa de mercado para o lançamento de 
um novo produto. Aos consumidores foi perguntado 
o que é levado em consideração na hora de com-
prar um produto: preço (P) e/ou qualidade (Q). Cada 
consumidor entrevistado poderia escolher mais de 
um item para pesquisa como mostra a tabela a se-
guir:
Característica do 
Produto Número de Votos
P 60
Q 45
P e Q 35
 Admitindo que todos os que foram entrevista-
dos escolheram pelo menos um dos itens da pes-
quisa, o número de consumidores entrevistados foi 
de:
(A) 60
(B) 65
(C) 70
(D) 75
(E) 80
QUESTÃO 04) Uma pesquisa de mercado foi re-
alizada, para verificar a preferência sobre três pro-
dutos, A, B e C. 1.200 pessoas foram entrevistadas. 
Os resultados foram os seguintes: 370 pessoas das 
entrevistadas gostam do produto A, 300 preferem o 
produto B e 360, o produto C. Desse total, 100 pes-
soas preferem A e B, 60, os produtos B e C, 30 os 
produtos A e C e 20 pessoas preferem os 3 produ-
tos. Com base nesses dados, os que não opinaram 
por nenhum produto foram:
(A) 330
(B) 340
(C) 360
(D) 370
(E) 380
QUESTÃO 05) Em uma enquete realizada com 
pessoas de idade superior a 30 anos, pesquisou-se 
as que estavam casadas ou não, se tinham ou não 
filhos. Constatou-se que 45 pessoas não eram ca-
sadas, 49 não tinham filhos, e 99 estavam casadas 
e com filhos. Sabendo-se que 180 pessoas respon-
deram a essa enquete, o número das que se decla-
raram não casadas e sem filhos foi de:
(A) 13
(B) 23
(C) 27
(D) 32
(E) 36
12
7
Pré-militarMATEMÁTICA
QUESTÃO 06) Em uma pesquisa de mercado 
sobre o uso de notebooks e tablets foram obtidos, 
entre os indivíduos pesquisados, os seguintes re-
sultados:
	55 usam notebook;
	45 usam tablet; e,
	27 usam apenas notebook.
Sabendo que todos os pesquisados utilizam pelo 
menos um desses equipamentos, então, dentre os 
pesquisados, o número dos que usam apenas ta-
blet é:
(A) 8
(B) 17
(C) 27
(D) 36
(E) 45
QUESTÃO 07) (EAM) Considere que “A” é o 
conjunto dos números inteiros positivos múltiplos 
de 3, “B” é o conjunto dos números inteiros positi-
vos múltiplos de 5 e “C” é o conjunto dos números 
inteiros positivos múltiplos de 12. Sabendo que “D” 
é o conjunto dos números inteiros formados pela in-
terseção dos três conjuntos, ou seja, D é o conjunto 
dos números inteiros comuns aos três conjuntos, é 
corretor afirmar que ”D” é o conjunto dos números 
inteiros formado pelos múltiplos de:
(A) 10
(B) 12
(C) 30
(D) 48
(E) 60
QUESTÃO 08) (EAM) Uma pesquisa sobre a pre-
ferência de leitura dos jornais A e B revelou que, 
dos 400 entrevistados, 190 leem o jornal A e 250 o 
jornal B. Sabendo que todos os entrevistados leem 
pelo menos um dos jornais, quantos leem os dois 
jornais?
(A) 20
(B) 40
(C) 60
(D) 80
(E) 100
QUESTÃO 09) (EAM) Considerando n(P) como 
a notação que determina o número de elemen-
tos de um conjunto P, AxB como o produto carte-
siano entre dois conjuntos finitos A e B e saben-
do-se ainda que , e 
, é correto afirmar que o 
valor numérico de x é:
(A) Um número primo
(B) Um múltiplo de 5
(C) Um múltiplo de 7
(D) Um múltiplo de 11
(E) Um múltiplo de 13QUESTÃO 10) (EAM 2017) Sabendo-se que A 
e B são subconjuntos finitos de U, que é a no-
tação para a operação complementar de A em 
relação a U, que , e 
, é correto afirmar que:
(A) A tem dois elementos e B tem quatro elemen-
tos
(B) A tem quatro elementos e B tem dois elemen-
tos
(C) A tem três elementos e B tem três elementos
(D) A tem quatro elementos e B tem quatro ele-
mentos
(E) A tem um elementos e B tem cinco elementos
GABARITO
01 A 06 B
02 A 07 E
03 C 08 B
04 B 09 C
05 A 10 D
CAPÍTULO 2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
	Conjunto dos números naturais
São os números usados para contar.
Fechamento: adição e multiplicação.
O conjunto dos naturais positivos é deno-
tado por .
Propriedades da adição e multiplicação:
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Pré-militarMATEMÁTICA
• Associatividade: 
• Distributividade: 
• Comutatividade: 
• Lei do corte: 
• Tricotomia: Dados dois naturais a e b quais-
quer, tem-se que ou a < b ou a=b ou a > b
• Princípio da boa-ordenação: Todo subcon-
junto não-vazio dos números naturais possui um 
menor elemento.
	Conjunto dos números inteiro
Surgiram a fim de garantir o fechamento em re-
lação a subtração.
Subconjuntos de : 
Conjunto dos inteiros não-nulo 
Conjunto dos inteiros não-negativos 
Conjunto dos inteiros não-positivos 
Conjunto dos inteiros positivos 
Conjunto dos inteiros negativos 
O conjunto dos números inteiros possui todas 
as propriedades dos números naturais e adicional-
mente é fechado em relação à subtração.
Pode-se definir o simétrico ou oposto para a 
adição da seguinte forma: tal 
que .
Com isso é possível definir a subtração em 
como: 
Na subtração acima, a chama-se minuendo, b 
subtraendo e o resultado da operação resto.
O minuendo é igual à soma do subtraendo com 
o resto.
O produto ou divisão de dois inteiros de mesmo 
sinal é positivo. Para dois inteiros de sinais contrá-
rios, o resultado é negativo.
Exemplo:
	Divisão de inteiros
Teorema: Se e d > 0, existem inteiros q 
e r, univocamente determinados, tais que D=d.q+r, 
onde 0 < r < d.
Exemplo:
28 = 3 . 7 + 1
Na expressão acima D é chamado dividendo; 
d divisor, q quociente e r, resto. Quando o resto 
r=0 diz-se que a divisão é exata. Outra expressão 
útil é a seguinte: d . q < D < . (q + 1).
	Valor absoluto ou módulo de um inteiro
Exemplos:
Propriedades:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
	Conjunto dos números racionais
É o conjunto dos números que podem ser escri-
tos sob forma de fração. Nesse conjunto encon-
tram-se as frações, decimais exatos e as dízimas 
periódicas.
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
	Dízima periódica
Nomenclatura: parte inteira, parte não-periódica 
e período.
12
9
Pré-militarMATEMÁTICA
Exemplo:
Geratriz de uma dízima periódica é fração ordi-
nária que dá origem à dízima periódica.
A geratriz de uma dízima periódica é uma fra-
ção com:
Numerador – parte inteira seguida de parte 
não-periódica e do período, menos a parte inteira 
seguida da parte não-periódica.
Denominador – número formado de tantos 9 
quantos forem os algarismos do período , seguidos 
de tantos 0 quantos forem os algarismos da parte 
não-periódica.
Exemplo:
	Conjunto dos números reais
É o conjunto reais é a união do conjunto dos 
números racionais com o conjunto dos números 
irracionais (dízimas não-periódicas).
Os números irracionais são representados por I 
ou , são números que não podem ser escritos sob 
forma de fração e constituem dízimas não-periódi-
cas.
Exemplo:
 
Não é fechado para a adição, multiplicação e 
divisão.
	Representação em diagramas
Como foi observado pelas definições dos con-
juntos, vale a seguinte relação:
Isso, pode ser representado pelo seguinte diagra-
ma.
	Reta real
Entre o conjunto dos pontos de uma reta orien-
tada e o conjunto dos números reais existe uma 
correspondência biunívoca, ou seja, o conjunto 
pode ser representado por uma reta orientada que 
recebe o nome de reta real.
O módulo de um número definido anteriormen-
te pode ser entendido como a distância entre o 
ponto correspondente ao número na reta real e a 
origem da mesma.
Os conjuntos numéricos podem ser representa-
dos pelos seguintes símbolos:
: Conjunto dos números naturais.
: Conjunto dos números inteiros.
: Conjunto dos números racionais.
: Conjunto dos números reais.
: Conjunto dos números complexos.
	Intervalos 
Dados dois números reais a < b, defini-se:
 Intervalo fechado 
em a e b.
 Intervalo fechado 
em a e aberto em b.
 Intervalo aberto 
em a e fechado em b.
 Intervalo aberto em 
a e b.
13
0
Pré-militarMATEMÁTICA
Outros casos:
Os intervalos podem ser representados sobre a 
reta real como segue:
	Exercícios
QUESTÃO 01) Calcule o valor numérico da ex-
pressão: é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) Sejam 
e , determine o valor de 
:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) Um conjunto possui elemen-
tos e um conjunto possui elementos. Quantas 
são as relações de em ?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) A soma de é 
igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) Dividir um número por 0,0125 
equivale a multiplica-lo por:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) O valor da expressão 
é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 07) (EAM) O valor de 
 é igual a:
(A) 
(B) 
13
1
Pré-militarMATEMÁTICA
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 08) (EAM) Se e , o 
valor de é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 09) (EAM) Caso se vendam 105 pico-
lés num primeiro dia de trabalho, no segundo, 109 e 
no terceiro, 118, quantos picolés ainda precisam ser 
vendidos para se chegar a um total de 400?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 10) (EAM) Em uma divisão entre dois 
números inteiros o quociente é , o divisor é e o 
resto é o maior possível. Logo, o dividendo será:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
GABARITO
CAPÍTULO 3 - POTÊNCIAÇÃO
	Definição
 Onde:
• é a base;
• é o expoente.
	Propriedades
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
	Exercícios
QUESTÃO 01) Qual a metade de 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) Sendo inteiro, é igual a:
(A) 
(B) 
13
2
Pré-militarMATEMÁTICA
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) O valor de (0,5)4 é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) O valor de 66+66+66+66+66+66 é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) (ESA) Efetuando , encontra-
mos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (ESA) O cubo de é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 07) (ESA) A expressão é 
igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 08) (ESA) Se e , o valor 
numérico de será:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 09) (ESA) A potência de é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 10) (EAM) Quanto vale a metade de 
?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
GABARITO
13
3
Pré-militarMATEMÁTICA
CAPÍTULO 4 – RADICIAÇÃO
	Definição
 Onde:
• é o radicando;
• é o índice da raíz.
	Propriedades
1) 
2) 
3) 
	Racionalização
Racionalizar é tirar o número irracional do deno-
minador de uma fração.
	Exercícios
QUESTÃO 01) (ESA) O resultado de é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) (ESA) é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) (ESA) Efetuando 
, encontramos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) (ESA) Efetuando 
, encontramos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) (ESA) O radical é equivalente 
a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (ESA) Racionalizando , en-
contramos:
(A) 
(B) 
(C)(D) 
13
4
Pré-militarMATEMÁTICA
(E) 
QUESTÃO 07) (EAM 2013) Qual é o valor de 
?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 08) (EAM) O valor da expressão 
 é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 09) (EAM) é equivalente a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 10) (EAM) Sabendo que a fração é 
proporcional à fração , é correto afirmar que 
é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
GABARITO
CAPÍTULO 5 - FATORAÇÃO
	Fatoração
Fatorar é transformar uma soma de duas ou mais 
parcelas num produto de dois ou mais fatores.
	Casos típicos
1° Caso: Fator comum em evidência
	Exemplo
1. 
2. 
2° Caso: Agrupamento
ax + bx + ay + by = x(a+b) + y(a+b) = (x+y) (a+b)
	Exemplo
3° Caso: Diferença dos quadrados
	Exemplo
13
5
Pré-militarMATEMÁTICA
4° Caso: Trinômio quadrado perfeito
	Exemplo
5° Caso: Soma ou diferença de cubo
	Exemplo
1) 
2) 
⟹ 
6° Caso: Cubos perfeitos (Soma ou diferença) 
	Exemplo
1) 
2) 
7° Caso: Fatoração do tipo x2 + Sx + P = (x - x´)
(x - x´´)
	Exemplo
	Exercícios
QUESTÃO 01) (EAM) A fatoração de 
 é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) (EAM) Sendo , então 
 é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) (ESA) Fatorando 
, temos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
13
6
Pré-militarMATEMÁTICA
QUESTÃO 04) (ESA) O produto é 
igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) (ESA) A expressão 
equivale a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (ESA) Se fatorarmos a expres-
são , encontraremos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 07) (ESA) Fatorando-se a expressão 
, obtém-se:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 08) (ESA) A expressão , 
depois de fatorada, resulta:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 09) (ESA) A fatoração de 
conduz a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 10) (ESA) Fatorando o trinômio 
, encontramos:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
GABARITO
CAPÍTULO 6 – PRODUTOS NOTÁVEIS
	Produtos Notáveis
1° Caso: Quadrado Da Soma De Dois Termos
	Exemplo
2° Caso: Quadrado Da Diferença De Dois Ter-
mos
13
7
Pré-militarMATEMÁTICA
	Exemplo
3° Caso: Quadrado Da Soma Pela Diferença
	Exemplo
4° Caso: Cubo Da Soma De Dois Termos
	Exemplo
5° Caso: Cubo Da Diferença De Dois Termos
	Exemplo
6° Caso: Quadrado De Um Trinômio 
	Exemplo
7° Caso: Soma Dos Cubos
	Exemplo
8° Caso: Diferença Dos Cubos
	Exemplo
	Exercícios
QUESTÃO 01) (EAM) O produto 
 é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) (ESA) A expressão 
equivale a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) (ESA) Desenvolvendo o produto 
notável , obtém-se:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) (ESA) O produto é 
igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
13
8
Pré-militarMATEMÁTICA
QUESTÃO 05) (ESA) equiva-
le a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (ESA) A fração é equiva-
lente a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 07) (ESA) A expressão é 
igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 08) (ESA) Das afirmações abaixo, 
uma é falsa:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 09) (ESA) O desenvolvimento de 
 corresponde a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 10) (ESA) A expressão (a+b)2 . (a-b)2 
é equivalente a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
GABARITO
CAPÍTULO 7 – EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO DO 1o 
E 2o GRAU
	Equação
É uma sentença matemática aberta que contém, 
no mínimo, uma variável e exprime uma relação 
de igualdade. Na palavra “equação”, equa vem do 
latim e significa igual.
I. 
II. 
III. 
IV. 
Não possui incógnita,não é uma sentença aberta 
(Não é uma equação)
V. (Não é uma 
equação)
Como a equação é uma igualdade, ela tem um 
sinal de igual. Tudo que está antes do sinal de 
igual é chamado de 1° membro, e tudo que está 
depois do sinal de igual é chamado de 2° membro. 
13
9
Pré-militarMATEMÁTICA
Exemplo:
	Equação do 1° grau com uma variável
É uma equação em que a variável está elevada 
somente ao expoente 1 e pode ser escrita na forma 
ax + b = 0, em que a e b são constantes (números).
Exemplo:
I. 
II. 
III. 
	Conjunto universo
É o conjunto que contém todos os valores que 
podem satisfazer a equação. Indica-se pela letra U.
	Raiz ou solução da equação
É um número que satisfaz a equação, ou seja, 
transforma uma sentença aberta em uma sentença 
verdadeira.
No caso da equação 4 + 2x = 22, por exemplo, a 
raiz é um valor que de x que a transforma em sen-
tença verdadeira. Verifique que se trocarmos x por 
9, temos uma igualdade 4 + 2 ∙ 9 = 22.
Exemplo:
Sendo U={0,1,2,3}, determine a raiz da equação 
x + 9 = 11.
 ● Se x=0, a sentença x+9=11 ficaria ⟶ 0+9=11 
⟶ falso
 ● Se x=1, a sentença x+9=11 ficaria ⟶ 1+9=11 
⟶ falso
 ● Se x=2, a sentença x+9=11 ficaria ⟶ 2+9=11 
⟶ verdadeiro
 ● Se x=3, a sentença x+9=11 ficaria ⟶ 3+9=11 
⟶ falso
	Raiz ou solução da equação
É o conjunto que contém as raízes da equação 
indicado pela letra V. Esse conjunto pode ser cha-
mado também de conjunto solução e deve estar 
contido no conjunto universo.
Exemplo:
Sendo U={-4,-3,-2,-1,0}, determine o conjunto 
verdade da equação z+1=-2.
 ● Se z=-4, a sentença z+1=2 ficaria ⟶ -4+1=-2 
⟶ falso.
 ● Se z=-3, a sentença z+1=2 ficaria ⟶ -3+1=-2 
⟶ verdadeiro.
 ● Se z=-2, a sentença z+1=2 ficaria ⟶ -2+1=-2 
⟶ falso.
 ● Se z=-1, a sentença z+1=2 ficaria ⟶ -1+1=-2 ⟶ 
falso.
 ● Se z=0, a sentença z+1=2 ficaria ⟶ 0+1=-2 ⟶ 
falso.
Como -3 é o único número que pertence ao 
conjunto universo e satisfaz a equação, temos que 
V={-3}.
	Resolução de equações do 1° grau
1° CASO) os coeficientes são inteiros.
Exemplo:
5x-1=19
5x=19+1
5x=20
x=4
∴ S={4}
2° CASO) a equação possui sinais de pontu-
ação.
Exemplo:
3(x-1)+5=2(x+1)+2
3x-3+5=2x+2+2
3x-2x=2+2+3-5
x=2
∴ S={2}
3° CASO) equação com denominadores
Exemplo:
14
0
Pré-militarMATEMÁTICA
	 Inequações do 1° grau
Inequação é toda sentença aberta expressa por 
uma desigualdade. Assim, as expressões são sepa-
radas pelos sinais > (maior), < (menor), ≥ (maior ou 
igual) e ≤ (menor ou igual)
Exemplo:
I. 3x+10<200
II. 2x+5≥50
	Resolução de uma inequação do 1° grau
Resolver uma inequação é determinar as suas 
raízes, isto é, encontrar o seu conjunto verdade a 
partir de um conjunto universo dado.
Para isso, isolamos a variável em um dos mem-
bros da inequação, aplicando as mesmas proprie-
dades válidas para as igualdades (equações).
Quando multiplicamos a inequação por -1, deve-
mos inverter o sinal da desigualdade.
Exemplo:
	 Equação do 2° grau
 Chama-se equação do 2° grau, variável x, toda 
expressão matemática da forma:
ax2 + bx + c = 0
a, b e c são números quaisquer, sendo que a 
não pode ser zero, pois, o termo x2 seria eliminado.
 ● O número a é o coeficiente de x^2
 ● O número b é o coeficiente de x
 ● O número c é o termo independente
Observe os valores de a, b e c nos exemplos:
Exemplos:
x2 + 6x - 6 = 0, temos
Exemplos:
x2 - 10x + 9 = 0
a=1; b=-10; c=9
2x2 - 10x + 8 = 0, temos 
	Raízes da equação do 2° grau
Uma raiz (ou solução) de uma equação é um nú-
mero que, se colocado no lugar de x, torna a igual-
dade correta
Exemplo:x2 - 5x + 6 = 0Quando x = 222 - 5 ∙ 2 + 6 = 04 - 10 + 6 = 0
0 = 0 ⟶ VerdadeiroLogo S = {2}
	Equações do 2° grau incompletas
Resolver uma equação é determinar o seu con-
junto verdade (ou raízes). As equações incomple-
tas do 2° grau admitem duas soluções.
1° CASO) Equação da forma ax2 + bx = 0
Exemplo:x2 + 5x = 0x(x + 5) = 0
14
1
Pré-militarMATEMÁTICAx = 0 oux + 5 = 0x = -5S = {-5,0}
2° CASO) Equação da forma ax2 + c =0
Exemplo:
	Equações completa do 2° grau
Para resolvê-la é necessário conhecer a fórmula 
de Bháskara.
 e 
Exemplo:
OBS:
∆ > 0 ⟹ Equação possui duas raízes reais e diferentes
∆ = 0 ⟹ Equação possui duas raízes reais e iguais
∆ < 0 ⟹ Equação não possui raízes reais
	Inequações do 2° grau
As inequações do 2° grau são resolvidas utili-
zando o teorema de Bháskara. O resultado deve 
ser comparado ao sinal da inequação, com o obje-
tivo de formular o conjunto.
Exemplo:
	Exercícios
QUESTÃO 01) (ESA) Para que uma escada seja 
confortável, sua construção deverá atender aos pa-
râmetros e e p da equação 2e + p = 63 , onde e e 
p representam, respectivamente, a altura e o com-
primento, ambos em centímetros, de cada degrau 
da escada. Assim, uma escada com 25 degraus e 
altura total igual a 4 m deve ter o valor de p em cen-
tímetros igual a:
(A) 32
(B) 31
(C) 29
(D) 27
(E) 26
QUESTÃO 02) (ESA) Sendo , o Conjunto 
14
2
Pré-militarMATEMÁTICA
Verdade da inequação 8 - 3x > 2 é:
(A) V = ∅
(B) V = {0,1,2}
(C) V = {0,1}
(D) V = {…,-1,0,1,2}
(E) V = {1,2}
QUESTÃO 03) (ESA) O conjunto solução da ine-
quação x2 + 5x + 6 < 0, onde x é um número real 
, é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) (ESA) Um pelotão está formado 
de tal maneira que todas as n filas têm n soldados. 
Trezentos soldados se juntam a esse pelotão e a 
nova formação tem o dobro de filas, cada uma, po-
rém, com 10 soldados a menos. Quantas filas há na 
nova formação?
(A) 20
(B) 30
(C) 40
(D) 60
(E) 80
QUESTÃO 05) (ESA) A soma dos inversos das 
raízes da equação x2 - 36x + 180 é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (ESA) A equação x + (3x + 7)1/2 =1 
possui uma raiz
(A) par
(B) múltipla de 5
(C) negativa
(D) maior que 7
(E) irracional
QUESTÃO 06) (EAM) Em relação ao conjunto 
dos números inteiros, qual é o conjunto-solução da 
equação 3x - 4 = 2?
(A) {0}
(B) {1}
(C) {2}
(D) {3}
(E) {4}
QUESTÃO 07) (EAM) Qual é o valor de k, para 
que a equação 3x2 - 2x + k= 0 possua raízes reais 
e iguais?
(A) 1/3
(B) 2/3
(C) 3
(D) - 1/3
(E) -3
QUESTÃO 08) (EAM) As raízes da equação 
2 ∙ (3x + 2) = 2 ∙ (4 - x) é um número racional
(A) compreendido entre 0 e 1
(B) compreendido entre -1 e 0
(C) menor que-1
(D) maior que 1
(E) igual a 1
QUESTÃO 09) (EAM) Assinale a opção que cor-
responde ao maior número que é solução da equa-
ção x2 - 3x + 2 = 0.
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
QUESTÃO 10) (EAM) A soma das raízes da 
14
3
Pré-militarMATEMÁTICA
equação 4x2 - 11x + 6 = 0 é:
(A) 11/4
(B) 11
(C) 6
(D) 3/2
(E) 4
GABARITO
01 B 06 C
02 B 07 A
03 B 08 A
04 D 09 D
05 A 10 A
CAPÍTULO 8 – SISTEMAS DE 1° GRAU
	Sistemas de equações do 1° grau
As soluções de um sistema de duas equações do 
1° grau com duas variáveis, é representado grafica-
mente pelo ponto comum às duas retas que repre-
sentam as equações desse sistema.
MÉTODO DA SUBSTITUÍÇÃO
MÉTODO DA ADIÇÃO
MÉTODO DA COMPARAÇÃO
14
4
Pré-militarMATEMÁTICA
	Exercícios
QUESTÁO 01) (EAM) Considere que um senhor 
deseja cercar um terreno retangular de 200 m2 de 
área, utilizando 60 metros de arame. Sendo assim, 
é correto afirmar que o comprimento e a largura, 
deste terreno, são respectivamente:
(A) 50m e 4m
(B) 40m e 5m
(C) 25m e 8m
(D) 20m e 10m
(E) 16m e 12,5m
QUESTÁO 02) (EAM) Um estudante pagou um 
lanche de 8 reais em moedas de 50 centavos e 1 
real. Sabendo que, para este pagamento, o estu-
dante utilizou 12 moedas, determine, respectiva-
mente, as quantidades de moedas de 50 centavos 
e de um real que foram utilizadas no pagamento do 
lanche e assinale a opção correta.
(A) 5 e 7
(B) 4 e 8
(C) 6 e 6
(D) 7 e 5
(E) 8 e 4
QUESTÁO 03) (EAM) A soma de um número x 
com o dobro de um número y é -7; e a diferença 
entre o triplo desse número x e número y é igual a 
7. Sendo assim, é correto afirmar que o produto xy 
é igual a:
(A) -15
(B) -12
(C) -10
(D) -4
(E) -2
QUESTÁO 04) (ESA) Em um programa de TV, o 
participante começa com R$ 500,00. Para cada per-
gunta respondida corretamente, recebe R$500,00; 
e para cada resposta errada perde R$150,00. Se 
um participante respondeu todas as 25 questões 
formuladas no programa e terminou com R$600,00, 
quantas questões ele acertou?
(A) 14
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
QUESTÁO 05) (ESA) Três amigos, Abel, Bruno e 
Carlos, juntos possuem um total de 555 figurinhas. 
Sabe-se que Abel possui o triplo de Bruno menos 
25 figurinhas, e que Bruno possui o dobro de Carlos 
mais 10 figurinhas. Desses amigos, o que possui 
mais tem:
(A) 250 figurinhas
(B) 365 figurinhas
(C) 275 figurinhas
(D) 325 figurinhas
(E) 300 figurinhas
QUESTÁO 06) (ESA) Carlos é o caixa da bilhe-
teria do cinema da cidade. Os ingressos custam 
R$ 8,00, sendo que algumas pessoas como estu-
dantes, idosos e pessoas conveniadas ao cinema 
pagam a metade do valor. Ontem Carlos esqueceu 
de marcar o valor que cada pessoa pagou, mas ele 
sabe que 120 pessoas pagaram pela sessão e arre-
cadou um total de R$ 760,00. O número de pessoas 
que pagaram meia entrada foi:
(A) 60
(B) 70
(C) 80
(D) 40
(E) 50
QUESTÁO 07) (ESA) O sistema de equações 
(A) Não tem solução
(B) Tem como solução o par 
(C) Tem como solução o par 
(D) Tem como solução o par 
QUESTÁO 08) (ESA) No sistema , o 
valor de x é:
(A) -1
(B) -2
14
5
Pré-militarMATEMÁTICA
(C) 2
(D) 1
QUESTÁO 09) (ESA) Resolvendo o sistema ao 
lado, achamos os seguintes valores para x e y: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÁO 10) (ESA) O sistema 
(A) É impossível
(B) É indeterminado
(C) Tem como solução o par ordenado (x=3,y=2)
(D) Tem como solução o par ordenado (x=2,y=3)
GABARITO
01 D 06 E
02 E 07 D
03 D 08 D
04 A 09 C
05 B 10 C
CAPÍTULO 9 – FUNÇÃO
	Pares ordenados
Muitas vezes, para localizar um ponto em um 
plano, utilizamos dois números racionais, em uma 
certa ordem. Denominamos esses números de par 
ordenado.
Exemplo:
	Produto cartesiano
 Dados dois conjuntos A e B não vazios, cha-
mamos de produto cartesiano de A por B, e repre-
sentamos por A×B.
Exemplo:
Seja A={2,3} e B= {-1,0,2}. Calcule:
A×B= {(2,-1), (2,0), (2,2), (3,-1), (3,0), (3,2)}
 As funções nada mais são que um tipo parti-
cular de relação que possuem uma propriedade 
específica. R1= {(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)}
OBS: 
Observe que todos os elementos do conjunto A 
possuem uma flecha em direção a um único ele-
mento do conjunto B.
14
6
Pré-militarMATEMÁTICA
Dados os conjuntos A={-2,-1,0,1,2} e B={0,1,2,3,5,9} 
e a relação R={(x,y)∈A×B; Y=x^2+1}
Exemplo:
	Domínio da uma função
Exemplos:
• 
• 
• 
• 
• 
OBS:
Dois exemplos que não são funções
	Classificação das funções
FUNÇÃO INJETORA
Sejam a função fA⟶B, f é injetora quando ele-
mentos distintos de A estão associados a elemen-
tos distintos de B. No diagrama, não há elemento 
em B que receba mais de uma seta. No gráfico, re-
tas horizontais cruzam seu gráfico em no máximo 
um ponto. n(A)≤n(B), se A e B forem finitos.
f é injetora ⟺ ∀x1,x2 ∈A, x_1≠x2⟹ f(x1)≠f(x2 )
ou
f é injetora ⟺ ∀x1,x2 ∈A, f(x1)=f(x2)⟹ x1=x2
FUNÇÃO SOBREJETORA
Sejam a função fA ⟶ B, f é sobrejetora quando 
todo elemento de B está associado por f a pelo me-
nos um elemento de A. No diagrama, todo elemento 
recebe seta. No gráfico, retas horizontais traçadas 
no contradomínio interceptam em pelo menos um 
ponto. n(A) ≥ n(B), se A e B forem finitos.
f é sobretora ⟺ ∀ y ∈ B, ∃ ∈ A tal que (x,y) ∈ f ou f = f(x)
14
7
Pré-militarMATEMÁTICA
FUNÇÃO BIJETORA
 Sejam a função fA ⟶ B f é bijetora se, e so-
mente se, for sobrejetora e injetora. Todo elemento 
de B está associado por f a um único elemento de 
A. No diagrama, todo elemento de B recebe uma 
seta. No gráfico, retas horizontais traçadas pelo 
contradomíniocruzam o gráfico em exatamente um 
ponto. n(A) = n(B), se A e B forem finitos.
	Exercícios
QUESTÃO 01) (EAM) Para que a expressão 
 seja número real deve-se ter:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) (EAM) Dada a função real defi-
nida por , o valor de é 
igual a:
(A) -52
(B) -48
(C) -12
(D) 24
(E) 48
QUESTÃO 03) (EAM) A função definida 
por f(x) = -3x + 6 é:
(A) Crescente para todos os reais
(B) Crescente para x > 2
(C) Decrescente para todos os reais
(D) Decrescente para x < 2
(E) Decrescente para x < 2
QUESTÃO 04) (EAM) Seja a função real f defini-
da por Sabendo-se que f(3)=2 e f(5)=4, 
determine o valor de k+p e assinale a opção corre-
ta.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
QUESTÃO 05) (EEAr) Ao comparar o valor de f(1) e f(-1) da função f(x) = 5x6 + 4x2 + 3x - 1, ob-
tém-se:(A) f(1)<f(-1)(B) f(1)=f(-1)(C) f(1)>2f(-1)(D) f(1)=2f(-1)
QUESTÃO 06) (EEAr) – Considerando que o 
domínio de uma função é o maior subconjunto de 
 constituído por todos os valores que podem ser 
atribuídos à variável independente, o domínio da 
função é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 07) (EEAr) Seja a função 
. Os valores inteiros do 
domínio de são tais que seu produto é igual a:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
QUESTÃO 08) (EEAr) Analisando o gráfico da 
função f da figura, percebe-se que, nos intervalos [–5,–2] e [–1,2] de seu domínio, ela é, respectiva-
mente,
14
8
Pré-militarMATEMÁTICA
(A) Crescente e crescente
(B) Crescente e decrescente
(C) Decrescente e crescente
(D) Decrescente e decrescente
QUESTÃO 09) (EEAr) Seja a função 
definida por f(x) = 4x – 3. Se f-1 é a função inversa 
de f , então f f-1 (5) é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 10) (EEAr) Na função f(x)=mx - 2(m-n), m e n ∈ R . Sabendo que f(3)=4 e f(2)= - 2, os 
valores de m e n são, respectivamente:
(A) 1 e-1
(B) -2 e 3
(C) 6 e-1
(D) 6 e 3
GABARITO
01 A 06 D
02 A 07 A
03 C 08 B
04 A 09 C
05 C 10 C
CAPÍTULO 10 – FUNÇÃO DO GRAU
	Função do 1° grau
Uma função chama-se função afim 
quando existem dois números reias e , tal que 
.
	Exemplo
 
 
 
	Valor de uma função do 1° grau
 É o valor que a função assume para um deter-
minado .
	Exemplo
 Para , determine:
a) 
b) 
c) 
	Determinação da função do 1° grau conhe-
cendo seus valores em dois pontos distintos
	Exemplo
Determine a função do 1° grau sabendo que 
 e 
14
9
Pré-militarMATEMÁTICA
	Gráfico de uma função do 1° grau
O gráfico de uma função da forma f(x)=ax+b é 
sempre uma reta.
Exemplo x y-1 11 -3
Exemplo x y-1 11 -3
	Significado dos coeficientes
	Coeficiente angular
Coeficiente linear
	Casos particulares
	Função identidadef(x)=x ou y=x
A função identidade também é conhecida como 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
15
0
Pré-militarMATEMÁTICA
• Função linear
 ou 
• Função constante
 ou 
	Zero ou raiz da função afim
Chama-se de zero ou raiz da função do 1° grau f(x) = ax + b o número real tal que f(x) = 0. Basta 
resolver a equação ax+b=0.
	Estudo dos sinais da função afim
Estudar o sinal da função afim, consiste em deter-
minar os valores de x para os quais f(x) > 0, f(x)<0 e f(x) = 0.
Na função f(x)=ax+b dois casos são possíveis:
• a > 0 ⟶ Função crescente
 • a < 0 ⟶ Função decrescente
 
	Exercícios
QUESTÃO 01) (EAM) A função definida 
por é:
(A) crescente para todos os reais
(B) crescente para x > 2
(C) decrescente para todos os reais
(D) decrescente para x<2
(E) decrescente para x ≥ 2
QUESTÃO 02) (ESA) Lembrando que zero ou 
raiz da função f(x)=ax+b é o valor de x que torna 
a função nula. Então identifique a alternativa que 
apresenta a função f(x) cuja raiz é igual a +3.(A) f(x) = 2x-5(B) f(x) = x+3(C) f(x) = 3x-3(D) f(x) = x-3(E) f(x) = 3x
QUESTÃO 03) (ESA) Os valores de k de modo que 
o valor mínimo da função 
seja -3 são:
15
1
Pré-militarMATEMÁTICA
(A) 5/2 e 3/2
(B) -5/2 e 3/2
(C) -5/2 e -3/2
(D) 5/4 e -3/4
(E) 5/2 e -3/2
QUESTÃO 04) (ESA) Com relação às funções 
injetoras, sobrejetora e bijetoras podemos afirmar 
que:
(A) se,é injetora e sobrejetora,então ela é bijetora
(B) se,é injetora,então ela é sobrejetora
(C) se,é sobrejetora e não é injetora,então ela é 
bijetora
(D) se,é sobrejetora,então ela é injetora
(E) se,é injetora e não é sobrejetora,então ela é 
bijetora
QUESTÃO 05) (ESA)Funções bijetoras possuem 
função inversa porque elas são invertíveis, mas de-
vemos tomar cuidado com o domínio da nova fun-
ção obtida. Identifique a alternativa que apresenta a 
função inversa de .
(A) f-1(x) = x - 3
(B) f-1(x) = x + 3
(C) f-1(x) = -x - 3
(D) f-1(x) = -x + 3
(E) f-1(x) = 3x
QUESTÃO 06) (ESA) Sejam as funções reais da-
das por f(x)=5x+1 e g(x)=3x-2. Se m=f(n), então g(m) vale:
(A) 15n+1
(B) 14n-1
(C) 3n-2
(D) 15n-15
(E) 14n-2
QUESTÃO 06) (EEAr) A função que corresponde 
ao gráfico a seguir é é f(x) = ax + b, em que o valor 
de a é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 07) (EEAr) Se , com 
 e , é uma função invertível, o valor de 
 é
(A) -2
(B) -1
(C) 3
(D) 5
QUESTÃO 08) (EEAr) Se é uma 
função tal que e , então o valor 
de “a” é
(A) 1
(B) 2
(C) 1/2
(D) 3/2
QUESTÃO 09) (EEAr) Seja a função real 
. A sentença que completa corretamen-
te a expressão do conjunto domínio 
dessa função é
(A) x > 1
(B) x ≠ 1
(C) x > 0
(D) x ≠ 0
QUESTÃO 10) (EEAr) Sejam f e g funções po-
linomiais de primeiro grau, tais que o gráfico de f 
passa por (2,0) e o de g por (-2,0). Se a intersecção 
dos gráficos é o ponto (0,3), é correto afirmar que
(A) f e g são crescentes
(B) f e g são decrescentes
(C) f é crescente e g é decrescente
(D) f é decrescente e g é crescente
15
2
Pré-militarMATEMÁTICA
GABARITO
CAPÍTULO 11 – FUNÇÃO DO 2° GRAU
	Função do 2° grau ou Função quadrática
Função quadrática é qualquer função 
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, na 
qual a,b e c são números reais com a ≠ 0.
Exemplo:
• f(x) = 3x2 + 4x + 1
• 
• 
	Gráfico da função quadrática
Em um sistema cartesiano ortogonal, o gráfico 
de uma função quadrática é representado por uma 
curva, à qual damos o nome de parábola.
Exemplo:
Vamos esboçar o gráfico da função quadrática 
.
Vamos esboçar o gráfico da função quadrática 
.
	Relações entre a concavidade de uma pará-
bola e o coeficiente a.
O gráfico de uma função quadrática é sempre 
uma parábola, e essa parábola terá a concavidade 
voltada para cima quando e terá concavidade 
voltada para baixo quando .
15
3
Pré-militarMATEMÁTICA
	Raízes ou zeros da função quadrática
 Quando fazemos ax2 + bx + c igual a zero, isto 
é, y = f(x) = 0, muitas vezes, podemos obter valores 
de , aos quais denominamos raízes ou zeros 
da função.
 Para fazer referência a essas raízes, costuma-
mos usar símbolos tais como ou .
 Então, se , temos que .
 A fórmula de Bháskara nos fornece 
e , mas devemos considerar os casos 
em que o discriminante (Δ) seja:
	(Δ > 0)
A função tem raízes reais e diferentes, portanto 
a parábola determina dois pontos distintos no eixo 
dos .
	(Δ = 0)
A função tem raízes reais e iguais: por-
tanto a parábola tangencia o eixo dos . 
	(Δ < 0)
A função não tem raízes reais, portanto a pará-
bola não determina nenhum ponto no eixo dos x.
	Vértice da parábola
 O vértice V de uma parábola é representado 
pelo ponto de intersecção do eixo de simetria com 
a própria parábola. As coordenadas do vértice são:
 ou 
	Conjunto imagem da função quadrática
 O conjunto imagem da função quadrática 
 é determinado a partir da ordena-
da do vértice da parábola. Temos dois casos a 
considerar:
• a > 0
Quando a > 0 a função apresenta um ponto de 
mínimo, cujo ordenada é o valor mínimo 
da função. Logo:15
4
Pré-militarMATEMÁTICA
• a < 0
Quando a < 0 a função apresenta um ponto de 
máximo, cujo ordenada é o valor máximo 
da função. Logo:
	Estudo dos sinais da função quadrática
Os valores reais de x que tornam a função qua-
drática positiva, negativa ou nula, podem ser dados 
considerando-se alguns casos:
Exercícios
QUESTÃO 01) (ESA) As funções do 2° grau com 
uma variável: f(x) = ax2 + bx + c terão valor máximo 
quando
(A) a < 0
(B) b > 0
(C) c < 0
(D) ∆ > 0
(E) a > 0
QUESTÃO 02) (ESA) A função x2-6x+8 tem para 
o valor do ∆ (discriminante):
(A) -2
(B) 2
(C) -4
(D) 4
QUESTÃO 03) (ESA) As abscissas dos pontos 
de interseção da parábola que representa função 
, com o eixo x são:
(A) 1 e -2
(B) 3 e -2
(C) -2 e -3
(D) -3 e 2
QUESTÃO 04) A média das raízes da equação 
2x2 - 22x + 56 = 0 é:
(A) 1,5
(B) 2,5
(C) 3,5
(D) 4,5
(E) 5,5
QUESTÃO 05) (EEAr) Uma das raízes da equação 
 é, sendo , 
é:
(A) tg a + cossec a
(B) tg a - cos a
(C) tg a + sen a
(D) tg a - sec a
QUESTÃO 06) (ESA) A equação do 2° grau cujas 
raízes são 5 e 2 é:
(A) x2 + 7x + 10 = 0
15
5
Pré-militarMATEMÁTICA
(B) x2 - 10x + 7 = 0
(C) x2- 7x + 10 = 0
(D) x2 - 7x - 10 = 0
(E) x2 + 10x + 7 = 0
QUESTÃO 07) Uma função quadrática tem o eixo 
das ordenadas como eixo de simetria. A distância 
entre os zeros da função é de 4 unidades, e a fun-
ção tem -5 como valor mínimo. Esta função é defi-
nida por:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 08) (EEAr) Seja a função quadrática f(x)=ax²+bx+1. Se f(1)=0 e f(-1)=6, então o valor 
de a é:
(A) 4
(B) 5
(C) 3
(D) 2
QUESTÃO 09) (EEAr) Considere a inequação x2 - 1 ≤ 3. Está contido no conjunto solução dessa 
inequação o intervalo
(A) [-3,0]
(B) [-1,1]
(C) [1,3]
(D) [3,4]
QUESTÃO 10) (EEAr) A função f(x)=x^2-2x-2 
tem um valor ____________, que é _________.
(A) mínimo; -5
(B) mínimo; -3
(C) máximo; 5
(D) máximo; 3
GABARITO
CAPÍTULO 12 – FUNÇÃO MODULAR
	Função Modular
É a função de em que associa a cada o 
elemento seu módulo ou valor absoluto .
O gráfico da função modular é a união de duas 
semirretas com origem na origem do plano carte-
siano e que são bissetrizes do 1o e 2o quadrantes.
A imagem da função é , isto é, a função 
assume somente valores reais não-negativos.
O gráfico das funções modulares compostas 
pode ser obtido traçando-se o gráfico da função ori-
ginal e espelhando-se a parte negativa em relação 
ao eixo x.
15
6
Pré-militarMATEMÁTICA
	Equações modulares
As equações modulares podem ser resolvidas 
utilizando as seguintes propriedades.
	Exemplo
Resolva a equação 
|x-2|=6⟺x-2=6 ou x-2=-6⟺x=8 ou x=-4S={8,-4}
Resolva a equação 
|x-3|=|4x-1|⟺x-3=4x-1 ou x-3=-(4x-1)⟺x-4x=3-1 
ou x-3=-4x+1⟺x= -2/3 ou x= 4/5
As equações modulares que apresentam soma 
ou subtração de módulos necessitam que seja rea-
lizado um estudo de sinal para a sua solução.
	Inequações modulares
Para a solução de inequações modulares é ne-
cessária a utilização das seguintes propriedades 
dos módulos, onde .
	Exemplo
Resolva a inequação .
Resolva a inequação .
Assim como para as equações, as inequações 
modulares que apresentam soma ou subtração de 
módulos normalmente necessitam que seja feito um 
estudo de sinal para a sua solução.
	Propriedades do módulo
Além das propriedades já apresentadas, deve-se 
atentar também para as seguintes desigualdades, 
onde .
a) 
b) 
c) 
d) (Desigualdade triangu-
lar)
e) 
f) 
QUESTÃO 01) (UFF) Considere o sistema:
 
A região do plano que melhor representa a solu-
ção do sistema é:
QUESTÃO 02) Sendo S o conjunto solução da 
inequação , pode-se afirmar que:
(A) 
(B) 
(C) 
15
7
Pré-militarMATEMÁTICA
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) A soma dos inteiros que satisfa-
zem a desigualdade é:
(A) 14
(B) 0
(C) -2
(D) -15
(E) -18
QUESTÃO 04) (ITA) Os valores de , para os 
quais a função real dada por 
está definida, formam o conjunto:
(A) [0,1]
(B) [-5,6]
(C) [-5,0] ∪ [1,∞)
(D) (-∞,0] ∪ [1,6]
(E) [-5,0] ∪ [1,6] 
QUESTÃO 05) Assinale a afirmativa correta.
A inequação .
(A) nunca é satisfeita
(B) é satisfeita em x = 0
(C) é satisfeita para x negativo
(D) é satisfeita para x positivo
(E) é sempre satisfeita
QUESTÃO 06) Seja . De-
termine os valores de x para os quais f(x) < 1.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 07) O gráfico da função 
é constituído por:
(A) duas semirretas de mesma origem
(B) duas retas concorrentes
(C) duas retas paralelas
(D) uma única reta que passa pelo (0,2)
QUESTÃO 08) Determine, no campo dos reais, o 
conjunto verdade da inequação .
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 09) Sendo , determine a solu-
ção para a inequação .
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 10) (EEAr) Seja uma fun-
ção. Essa função pode ser
(A) 
(B) 
(C) 
GABARITO
CAPÍTULO 13 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Potenciação
 Qual o total de resultados possíveis nos 14 jo-
gos da Loteca?
 Cada jogo pode ter 3 resultados possíveis: vitó-
ria da primeira equipe, empate ou vitória da segun-
da equipe. 
 Mas, para cada resultado possível do primeiro 
jogo, o segundo jogo também apresenta três pos-
15
8
Pré-militarMATEMÁTICA
sibilidades, e assim por diante. Logo, o número de 
resultados possíveis nos 14 jogos e dado por:
 Na indicação 314= 4.782.969, o número 3 e cha-
mado de base; o número 14, de expoente e o nú-
mero 314, de potência. Multiplicações com fatores 
iguais induziram a criação dessa notação.
 Dados um número real a e um número natural 
n(n>1) , a notação an significa a∙a∙a∙a∙…∙a.
 Potências são extremamente convenientes 
para representar números muito grandes ou muito 
pequenos.
 Observe as sequências a seguir:
Essas sequências sugerem que as potências se-
jam escritas como expoentes negativos.
 Assim:
 A partir dessas considerações, podemos defi-
nir:
• 
• 
• 
• 
• 
Exemplo:
 Calcular o valor de e .
Solução:
Observações:
	a-1 é chamado de inverso de a;
	O número zero não tem inverso;
	 a ∙ a-1 = 1
Propriedades das potências
Multiplicação de potências de mesma base
Em multiplicação de potências de mesma base, 
conservam-se as bases e somam-se os expoentes.
 Para e , podemos escrever:
Divisão de potências de mesma base
Em divisão de potências de mesma base, conser-
vam-se as bases e subtraem-se os expoentes.
 Para e , podemos escrever:
Potência de uma potência
Para efetuarmos cálculos envolvendo potência de 
uma potência, basta conservarmos a base e multi-
plicarmos os expoentes.
 Simbolicamente, para e , pode-
mos escrever:
Outras propriedades das potências
Para e , temos:
	
	
	
	
	Notação científica
	 Para diminuir o trabalho de escrever números 
com muitos algarismos, os cientistas introduziram 
em sua linguagem a notação científica.
15
9
Pré-militarMATEMÁTICA
	 Um número está expresso em notação científi-
ca se estiver escrito como o produto de dois núme-
ros reais: um deles entre 1 e 10, incluindo o 1, e o 
outro, uma potência de 10.
Exemplo:
A velocidade da luz, no vácuo, é de 300.000km/s. 
Determinar a distâncias percorrida pela luz em um 
minuto. Expressar a resposta utilizando notação 
científica.
Solução:
Em 1 segundo a luz percorre 300.000km/s. Como 
1 minuto equivale a 60 segundos, temos:
 
 
Então, em 1 minuto a luz percorre 18 milhões de 
quilômetros ou, utilizando notação científica, 1,8∙107 
km.
Função exponencial
A pressão que a camada de ar exerce sobre um 
corpo, ao nível do mar, é de 1atm (atmosfera). Um 
quilometro acima do nível do mar, é de 0,9atm. E 
assim, para cada 1km de altitude, essa pressão cai 
em torno de 10%. Vamos obter a lei que fornece a 
pressão y (em atmosferas) em função da altitude x 
(em metros):
Logo, y=(0,9)x.
Os pontos (0;1),(1;0,9), (2;0,81), (3;0,73), (4;0,66) 
etc. Representam essa função no plano cartesiano.
Mas, como a variação da pressão atmosférica é 
contínua, podemos desenhar o gráfico:
 Definimos, assim, a função exponencial 
, sendo x sendo .
Função exponencial é toda função cuja lei é 
dada pela equação , sendo e di-
ferente de 1.
 Gráfico da função exponencial
 O gráfico da função exponencial y=ax ou f(x)=ax 
tem as seguintes características:
	Passa pelo ponto P(0, 1);
	Apresenta uma das seguintes configurações:
Note que:
16
0
Pré-militarMATEMÁTICA
	 , restrição à base , garante a existência 
de no conjunto . Veja o exemplo:
	 e , restrições impostas à base , ga-
rantem que potências iguais e de mesma base não 
sejam provenientes de expoentes diferentes, como 
nos exemplos:
Assim, se e , então 
.
	O conjunto imagem da função exponencial é 
formado exclusivamente pelos números reais posi-
tivos. Observe que não existe .
 Portanto, a função ou , com 
 e , tem domínio e conjunto imagem 
.
Exemplos:
1) Observe o gráfico da função .
Observações:
a) Se x = 2, então y = 4, isto é, 22 = 4.
b) Se x = 2,5, então y ≅ 5,5, isto é, 22, 5 ≅ 5,5.
c) Se y = 3, então x ≅ 1,5, isto é, 21,5 ≅ 3.
d) Se x > 2 ⇔ y > 4, isto é, x > 2 ⇔ 2x > 4.
2) Observe o gráfico da função .
Observações:
a) Se x = -2, então y = 4, isto é, (1/2)-2 = 4.
b) Se x = -2,5, então y ≅ 5,5, isto é, (1/2)-2,5 ≅ 5,5.
c) Se y = 3, então x ≅ 1,5, isto é, (1/2)-1,5 ≅ 3.
d) Se x > -2 ⇔ y < 4, isto é, x > -2 ⇔ (1/2)x < 4.
Comportamento da função exponencial: cres-
cente ou decrescente?
 Se y = ax, temos:
16
1
Pré-militarMATEMÁTICA
Equações exponenciais
As equações que apresentam incógnitas como 
expoente são chamadas equações exponenciais. 
Na resolução de equações exponenciais, utilizamos 
todas as propriedades das potências. Outra proprie-
dade usada e a seguinte:am = an ⇔ m = n (a > 0 e a ≠ 1)
Exemplos:
1) Qual o valor real x, tal que 2x = 16?
Solução:
Fatorando o número 16, obtemos 16 = 24. Logo:
2x = 16
2x = 24
x = 4
2) Determinar o valor real de x, tal que .
Solução:
 . Assim, . Então:
1) Calcular o valor de x, tal que 4x = 8..
Solução:
8 = 23, mas a base que aparece no primeiro lado 
da igualdade é 4.
Entretanto, 4=22. Assim, (22)x = 23 ou 22x =23. Por-
tanto:
2) Resolver a equação exponencial: 2x + 2x+3 = 36
Solução:
QUESTÃO 01) (ESA) Seja a função definida por 
, tal que . Então 
é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02) (ESA) Identifique a equação ex-
ponencial.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03) (ESA) Se , então 
é igual a:
(A) 4
(B) 8
(C) 10
(D) 16
(E) 100
QUESTÃO 04) (ESA) O conjunto solução da 
equação exponencial é:
(A) 
16
2
Pré-militarMATEMÁTICA
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) (ESA) A soma dos dois primeiros 
números inteiros do domínio da função definida por 
 é:
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) 5
QUESTÃO 06) (EEAr) Na função , 
tal que x ≠ 0, o valor de x para que f(x) = 36, é um 
número
(A) divisível por 2
(B) divisível por 3
(C) divisível por 5
(D) divisível por 7
QUESTÃO 07) (EEAr) O valor real que satisfaz a 
equação 4x -2 x -2 = 0 é um número
(A) entre -2 e 2
(B) entre 2 e 4
(C) maior que 4
(D) menor que -2
QUESTÃO 08) (EEAr) No conjunto dos números 
reais, a equação (3x)x = 98 tem por raízes
(A) um número positivo e um negativo
(B) um número negativo e o zero
(C) dois números negativos
(D) dois números positivos
QUESTÃO 09) (EEAr) O conjunto solução da ine-
quação é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 10) (EEAr) Se x é raiz da equação 
 elevado a , então o valor de x é:
(A) 5
(B) 3
(C) -2
(D) -4
GABARITO
CAPÍTULO 14 – FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
O que é logaritmo?
Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que 
Henry Briggs publicou em 1617. Na versão original, 
os números indicados na coluna 10m variam de 1 a 
1.000 e os indicados na coluna m apresentam até 
14 casas decimais:
Analisando um trecho da tabela de Briggs, pode-
mos escrever:
 Os expoentes de 10 são denominados logarit-
mos. Assim:
16
3
Pré-militarMATEMÁTICA
 ● O expoente 2,004321 é o logaritmo de 101 na 
base 10.
 ● O expoente 2,008600 é o logaritmo de 102 na 
base 10.
 ● O expoente 2,012837 é o logaritmo de 103 na 
base 10.
E assim por diante.
O que significa dizer que o número 2,004321 é o 
logaritmo de 101 na base 10?
Significa que 102,004321 é igual a 101 (na verdade, 
aproximadamente igual).
Na escrita, usa-se a notação log para abreviar o 
termo logaritmo. Escrevemos:log10 101 = 2,004321.
Definição de logaritmos
Considere N e b números reais positivos, com 
b≠1. Definimos:
	 b: base do logaritmo
	 N: logaritmando
	 a: logaritmo de N na base b
As restrições impostas à base b do logaritmo 
(b>0 e b ≠ 1) garantem a existência e unicidade 
(único valor) do logaritmo de qualquer número po-
sitivo.
Exemplos:
, pois 
, pois 
, pois 
, pois 
, pois 
, pois 
Observação:
Quando a base do logaritmo é 10, é comum não 
indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, 
 Exemplos:
 Descobrir o valor de x, em cada item:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução:
Pela definição de logaritmo, se loga N = b, então ab = N.
a) log2 x = 5 ⟹ 25 = x. Portanto, x = 32.
b) log5 125 = x ⟹ 5x = 125 ⟹ 5x = 53. Portanto, x = 3.
c) logx 8 = 3 ⟹ x3 = 8 ⟹ x = ∛8. Portanto, x = 2.
d) log 10x = 7 ⟹ 107 = 10x. Portanto, x = 7.
Propriedades dos logaritmos
Observe os logaritmos decimais de 2, 3, 6 e 8.
	
	
	
	
Veja as coincidências:
a) 
b) 
c) 
Na verdade, essas coincidências são proprieda-
des dos logaritmos. Vamos demonstrá-las:
Considere m,n e a números reais positivos com 
a≠1. Considere, ainda, que loga m = x ⟹ ax = m e loga 
n = y ⟹ ay = n.
Lembrando que , temos:
Propriedade de um produto
Portanto, 
Assim:
16
4
Pré-militarMATEMÁTICA
Propriedade de um quociente
 Portanto.
Assim:
Propriedade de uma potência
Considere r um número real. Então, mr=(ax)r=axr. 
Portanto, loga mr=Loga axr = x ∙ r = r ∙ loga m. Assim: 
Propriedade de mudança de base.
Do exemplo anterior, concluímos que o logaritmo 
de um número pode ser escrito como quociente de 
dois logaritmos em uma base qualquer.
Do exemplo anterior, concluímos que o logaritmo 
de um número pode ser escrito como quociente de 
dois logaritmos em uma base qualquer.
Considere a, b e n números reais positivos e dife-
rentes de 1. Para obter cambria matcambria, faze-
mos logb a = x, ou seja, bx=a.
Se bx = a, então logn bx = logn a. Aplicando a pro-
priedade de uma potência, obtemos: x ∙ logn b=logn a. Daí, 
Assim:
Exemplo:
Dados e , calcular 
.
Solução:
Usando a propriedade de mudança de base, po-
demos escrever:
Função logarítmica
Denomina-se função logarítmica, qualquer 
função , dada por uma lei da forma 
, em que a é um número real positivo 
e diferente de 1.
Existem condições para que a função logarítmica 
exista. São elas:
	 A base 
 deve ser um número real positivo e diferente de 1;
	A variável x deve ser maior que zero, logo, o seu 
domínio é o conjunto dos números reais positivos.
Como se constrói o gráfico 
da função logarítmica?
 Para construir o gráfico da função logarítmica 
devemos atribuir alguns valores convenientes para 
a variável x e calcularmos os valores corresponden-
tes para a variável y. Os pares ordenados obtidos 
corresponderão a alguns pontos do gráfico.
Exemplos:
1) O gráfico a seguir é da função :
 A partir desse gráfico é possível concluir que:
a) Se , então , isto é, 
b) Se , então , isto é, 
c) , isto é, 
2) O gráfico a seguir é da função 
:
16
5
Pré-militarMATEMÁTICA
A partir desse gráfico é possível concluir que:
a) Se , então , isto é, 
b) Se , então , isto é, 
c), isto é, 
Observação:
Em geral, função logarítmica e toda função cuja 
lei é dada pela equação , sendo b um nú-
mero real positivo e diferente de 1.
O gráfico da função logarítmica ou 
 tem as seguintes características:
	 Passa pelo ponto ;
	Apresenta uma das seguintes configurações:
O domínio da função logarítmica é formado exclu-
sivamente pelos números reais positivos. Observe 
que não são definidos , . Portanto, 
a função com e tem domínio 
 e conjunto imagem .
Comportamento da função logarítmica: cres-
cente ou decrescente?
Se , com , temos:
Equação logarítmica
 É toda equação cuja incógnita é apresentada 
no logaritmando ou na base de um logaritmo.
A seguir, alguns exemplos de equações logarít-
micas:
a) 
b) 
c) 
Uma propriedade importante dos logaritmos, mui-
to utilizada na resolução das equações logarítmicas 
é a seguinte:
Exemplos:
Resolva as equações logarítmicas a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
Solução:
a) 
Aplicando a definição de logaritmos, temos:
16
6
Pré-militarMATEMÁTICA
, logo 
Devemos lembrar que o logaritmando deve ser 
maior do que zero. Sendo assim, a condição de 
existência (CE) e representada por . Como 
 satisfaz a condição de existência, temos 
que é a solução da equação.
b) 
Aplicando a definição de logaritmos, temos:
, então 
, logo .
Condição de existência: .
Como para a condição de existência é sa-
tisfeita, temos que .
c) 
Aplicando a propriedade dos logaritmos: 
, a equação pode ser 
escrita de outra forma, vejamos:
, 
logo 
Condição de existência: e .
Das raízes obtidas, apenas satisfaz a 
condição de existência da equação inicial, então te-
mos que: .
d) 
Primeiramente, temos que aplicar a propriedade 
fundamental da igualdade de logaritmos:
Logo:
 Como satisfaz a condição de exis-
tência, temos que: 
	Exercícios
QUESTÃO 01) (ESA) O valor da expressão 
 é:
(A) 5/3
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2/3
QUESTÃO 02) (ESA) Sejam e 
, definidas por e 
, respectivamente. O valor de é:
(A) 2/3
(B) 2
(C) -2
(D) 0
(E) -4
QUESTÃO 03) (ESA) Adotando-se e 
, o valor de será dado por:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04) (ESA) Se log x representa o loga-
ritmo na base 10 de x, então o valor de 
, tal que é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05) (ESA) Utilizando os valores apro-
ximados e , encontramos 
para o valor de:
(A) 
(B) 
16
7
Pré-militarMATEMÁTICA
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 06) (EEAr) Sejam , e número 
reais positivos, com diferente de 1. Se 
e se , então é igual 
a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 07) (EEAr) As funções logarítmicas 
 e são, respectivamen-
te,
(A) crescente e crescente
(B) crescente e decrescente
(C) decrescente e crescente
(D) decrescente e decrescente
QUESTÃO 08) (EEAr) O valor de x na equação 
 é
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27
QUESTÃO 09) (EEAr) Se a > 0, b > 0, c > 0 e c ≠1, 
então é correto afirmar que
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 10 (EEAr) Seja x um número real 
positivo e diferente de 1. Assim, é 
igual a
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) x
GABARITO
CAPÍTULO 15 – JUROS SIMPLES
O regime de capitalização simples é aquele em 
que os juros gerados em cada período são iguais 
e sobre eles não incidem novos juros, ou seja, os 
juros não são capitalizados.
Juros simples são então, a remuneração recebi-
da pela aplicação de um capital C a uma taxa de ju-
ros i% durante um certo tempo t, cuja remuneração 
é calculada somente sobre o capital inicial C.
MONTANTE
Chama-se montante (M) o valor resgatado ao fi-
nal da aplicação do capital C.
No regime de capitalização a juros simples os 
acréscimos ao capital em cada período são iguais, 
ou seja, o montante cresce segundo uma progres-
são aritmética, o que pode ser confirmado pela ca-
racterística da expressão acima que é uma função 
do 1o grau em t.
Vale citar que, para o cálculo de juros, normal-
mente é usado o ano comercial de 360 dias, no 
qual os meses são sempre considerados com 30 
dias.
O QUE É INFLAÇÃO?
Em economia, inflação é a queda do valor de 
mercado ou poder de compra do dinheiro. Porém, 
é popularmente usada para se referir ao aumento 
geral dos preços. Os índices de inflação no Brasil 
são medidos de diversas maneiras.
 Duas formas de medir a inflação ao consumidor 
16
8
Pré-militarMATEMÁTICA
são o INPC (Índice Nacional de Preços ao Consu-
midor), aplicado a famílias de baixa renda (aquelas 
que tenham renda de um a seis salários mínimos) e 
o IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor 
Ampla), aplicado à famílias que recebem um mon-
tante de até quarenta salários mínimos.
 O recorde da inflação brasileira foi em 1980; 
chegando a 330%. Até 1994 a economia brasileira 
sofreu com a inflação alta. Neste ano, houve a cria-
ção do Plano Real e a mudança da moeda para o 
real (R$), atual moeda do país.
Com isso a inflação foi controlada. Atualmente a 
inflação é controlada pelo Banco Central através da 
política monetária que segue o regime de metas de 
inflação.
Exemplo:
QUESTÃO 01 (ESA) O capital, em reais, que 
deve ser aplicado à taxa mensal de juros simples 
de 5%, por 4 meses, para se obter juros de R$ 
400,00 é igual a,
(A) 1.600,00
(B) 1.800,00
(C) 2.000,00
(D) 2.400,00
(E) 2.500,00
QUESTÃO 02 (ESA) Um par de coturnos custa 
na loja “Só Fardas” R$ 21,00 mais barato que na 
loja “Selva Brasil”. O gerente da loja “Selva Brasil”, 
observando essa diferença, oferece um desconto 
de 15% para que o seu preço iguale o de seu con-
corrente. O preço do par de coturnos, em reais, na 
loja “Só Fardas” é um número cuja soma dos alga-
rismos é
(A) 9
(B) 11
(C) 10
(D) 13
(E) 12
QUESTÃO 03 (ESA) O capital de R$ 360,00 foi 
dividido em duas partes, A e B. A quantia A rendeu 
em 6 meses o mesmo que a quantia B rendeu em 
3 meses, ambos aplicados à mesma taxa no regi-
me de juros simples. Nessas
condições, pode-se afirmar que:
(A) A=B
(B) A=2B
(C) B=2A
(D) A=3B
(E) B=3A
QUESTÃO 04 (ESA) Uma loja de eletrodomés-
ticos paga, pela aquisição de certo produto, o cor-
respondente ao preço x (em reais) de fabricação, 
mais 5% de imposto e 3% de frete, ambos os per-
centuais calculados sobre o preço x. Vende esse 
produto ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 
25%. Então, o valor de x é:
(A) R$ 38,00
(B) R$ 41,80
(C) R$ 40,00
(D) R$ 36,00
(E) R$ 42,40
QUESTÃO 05) Se R$ 3.000,00 foram aplicados 
por 5 meses à taxa de juros simples de 4% a.m., 
determine os juros recebidos e o montante.
(A) R$ 3.450,00
16
9
Pré-militarMATEMÁTICA
(B) R$ 3.496,00
(C) R$ 3.515,50
(D) R$ 3.725,25
(E) R$ 3.600,00
QUESTÃO 06) Um capital de R$ 2.000,00 foi 
aplicado por 7 meses a uma taxa anual de juros 
simples de 24%. Qual o montante dessa aplica-
ção?
(A) R$ 2.115,00
(B) R$ 2.280,00
(C) R$ 2.490,75
(D) R$ 2.960,00
(E) R$ 3.100,00
GABARITO
CAPÍTULO 16 – JUROS COMPOSTO
A maioria das operações financeiras não traba-
lha com sistema de capitalização simples, mas sim
com capitalização composta.
No regime de capitalização composta, os juros 
gerados em cada período são incorporados ao ca-
pital
(capitalizados) para o cálculo dos juros no perío-
do seguinte.
Chamamos de juros compostos a remunera-
ção que o capital C recebe após n períodos de 
aplicação,
quando a cada período, a partir do segundo, os 
juros são calculados sobre o montante do capital 
no período anterior.
Exemplo:
Carlos aplicou R$ 900,00 em um investimento e 
recebeu 2% de juros ao mês. Se essa quantia for 
aplicada em regime de juros compostos, qual será 
o montante após 3 meses?
Com auxílio da fórmula geral, temos: 
 
Os juros J podem ser obtidos subtraindo do 
montante M o capital inicial C.
No regime de capitalização a juros compostos 
o montante cresce segundo uma progressão ge-
ométrica,o que pode ser confirmado pela carac-
terística da expressão , que é uma 
função exponencial em t.
17
0
Pré-militarMATEMÁTICA
Exemplo:
QUESTÃO 01 (ESA) Assinale a alternativa que 
represente o tempo necessário para que uma pes-
soa que aplicou , à taxa de ao 
ano, receba de juros.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 01 (ESA) Assinale a alternativa que 
represente o tempo necessário para que uma pes-
soa que aplicou R$2000,00, à taxa de 10% ao ano, 
receba R$ 662,00 de juros.
(A) 36 meses
(B) 1 ano e meio
(C) 3 meses
(D) 2 anos
(E) 6 anos
QUESTÃO 02 (ESA) Um agricultor colheu dez 
mil sacas de soja durante uma safra. Naquele 
momento a soja era vendida a R$ 40,00 a saca. 
Como a expectativa do mercado era do aumento 
de preços, ele decidiu guardar a produção e tomar 
um empréstimo no mesmo valor que obteria se 
vendesse toda a sua produção, a juros compos-
tos de 10% ao ano. Dois anos depois, ele vendeu 
a soja a R$ 50,00 a saca e quitou a dívida. Com 
essa operação ele obteve:
(A) prejuízo de R$ 20.000,00
(B) lucro de R$ 20.000,00
(C) prejuízo de R$ 16.000,00
(D) lucro de R$ 16.000,00
(E) lucro de R$ 60.000,00
QUESTÃO 03 (ESA) Um capital de R$ 1.000,00 
foi aplicado a juros compostos a uma taxa de 44% 
a.a.. Se o prazo de capitalização foi de 180 dias, o 
montante gerado será de:
(A) R$ 1.440,00
(B) R$ 1.240,00
(C) R$ 1.680,00
(D) R$ 1.200,00
(E) R$ 1.480,00
QUESTÃO 04 Qual o montante produzido por 
R$ 10.000,00 à taxa de juros compostos de 6% 
a.m. durante 5 meses?
(A) R$ 13.382,25
(B) R$ 12.493,35
(C) R$ 11.380,55
(D) R$ 10.451,25
(E) R$ 10.000,00
QUESTÃO 05 Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 
por um ano e meio à taxa de juros compostos de 
6% ao bimestre. Qual o montante dessa aplica-
ção?
(A) R$ 1278,24
(B) R$ 1419,00
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Pré-militarMATEMÁTICA
(C) R$ 1689,48
(D) R$ 2000,00
(E) R$ 2135,96
QUESTÃO 06 Qual o capital que aplicado a ju-
ros compostos de 2% a.m. gera um montante de 
R$ 225.232,40 após um semestre?
(A) R$ 100.000,00
(B) R$ 124.960,50
(C) R$ 185.600,00
(D) R$ 200.000,00
(E) R$ 231.952,75
GABARITO
CAPÍTULO 17 – ANÁLISE COMBINATÓRIA 
(FATORIAL E PERMUTAÇÃO)
Fatorial
Dado um número natural n, define-se fatorial do 
numero natural n ou n fatorial, como sendo o produ-
to de todos os números naturais consecutivos de n 
até 1.
Dá seguinte forma:
n! = n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 3 . 2 . 1, para todo n > 1
Por definição temos que: 
Exemplos:
1) Calcule os fatorais:
a) 
b) 
c) 
2) Vamos calcular os fatoriais:
a) 
b) 
3) Simplifique a expressão .
Solução:
Permutação simples
Seja um conjunto com n elementos distintos. 
Uma permutação simples dos n elementos desse 
conjunto é uma sequência desses n elementos, de 
modo que a mudança de ordem desses n elemen-
tos determina permutações diferentes.
Utilizando o princípio fundamental da contagem 
podemos determinar o número de permutações da 
seguinte forma
Ou ainda utilizando fatorais temos:
Exemplos:
1) Calcule:
2) 
3) 
Portanto: 
4) Quantos números de 4 algarismos distintos po-
demos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
5) Quantos anagramas tem a palavra MANTO?
Como a palavra MANTO tem 5 letras, temos:
Resposta: 120 anagramas.
Permutação com repetição
Vamos analisar a seguinte situação:
Quantos anagramas podemos formar com a pa-
17
2
Pré-militarMATEMÁTICA
lavra MARCA?
Neste caso, perceba que a palavra MARCA, pos-
sui duas letras repetidas, e quando permutamos 
duas letras iguais, o anagrama não se altera. Desta 
forma devemos considerar uma permutação com 
repetição, assim devemos proceder da seguinte 
maneira:
Calculamos a permutação com as 5 letras que 
possui a palavra marca e, em seguida, calculamos 
a permutação da quantidade de letras repetidas. O 
resultado será a divisão entre as permutações, ou 
seja a permutação de 5 elementos com 2 repetidos.
Portanto a palavra MARCA, possui 60 anagra-
mas diferentes.
Exemplo:
Numa prateleira existem 5 livros diferentes de 
Matemática, 4 livros diferentes de Português e 3 li-
vros diferentes de Inglês.
• De quantos modos diferentes podemos arrumá-
-los?
Solução:
 Resposta: Podemos arrumar de 479.001.600 
modos diferentes.
• De quantos modos diferentes podemos arru-
má-los de maneira que os livros de cada matéria 
fiquem sempre juntos?
Solução:
Como podemos variar a posição dos três tipos 
de matéria (Matemática, Português e Inglês) e cada 
matéria variarem os livros entre si, então temos:
Resposta: Podemos arrumar de 103.680 modos 
diferentes.
• De quantos modos diferentes podemos arrumá-
-los de modo que os livros de Inglês fiquem sempre 
juntos?
Se considerarmos os livros de inglês juntos e 
com posições sempre fixas, eles podem ser con-
siderados como um único elemento. Sendo assim 
somando-se as outras 9 posições ocupadas pelos 
outros livros, obtemos 10 posições e o número de 
possibilidades e dado por P10. Como as posições 
dos livros de inglês não são fixas, devemos multipli-
car P10 por P3. Assim temos que:
Resposta: Podemos arrumar de 21.772.800 mo-
dos diferentes.
QUESTÃO 01 (ESA) Em uma barraca de cachor-
ro quente, o freguês pode escolher um entre três ti-
pos de pães, uma entre quatro tipos de salsichas e 
um entre cinco tipos de molhos. Identifique a quan-
tidade de cachorros quentes diferentes que podem 
ser feitos.
(A) 27
(B) 35
(C) 12
(D) 60
(E) 86
QUESTÃO 02 (ESA) Sendo um número natural, 
 Equivale a e ainda 
 e , identifique a afirmativa verdadeira.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03 (ESA) O número de anagramas di-
ferentes que podemos formar com a palavra RAN-
CHO, de modo que se iniciem com vogal, é:
(A) 120
(B) 240
(C) 720
(D) 1440
(E) 24
QUESTÃO 04 (ESA) O número de anagramas di-
ferentes com as letras da palavra MILITAR que não 
possuem consoantes consecutivas que se pode ob-
ter é:
(A) 24
(B) 60
(C) 72
17
3
Pré-militarMATEMÁTICA
(D) 120
(E) 186
QUESTÃO 05 (ESA) Com as letras da palavra 
SARGENTO foram escritos todos os anagramas 
iniciados por vogais e com as consoantes todas jun-
tas. Quantos são esses anagramas?
(A) 224
(B) 120.960
(C) 40.320
(D) 2.160
(E) 720
QUESTÃO 06 (EEAr) Com os algarismos 2, 3, 
4, 5, 6 e 7 posso escrever ___ números pares de 
quatro algarismos distintos.
(A) 120
(B) 180
(C) 240
(D) 360 
QUESTÃO 07 (EEAr) Um professor montará uma 
prova com as 4 questões que ele dispõe. O número 
de maneiras diferentes que o professor pode mon-
tar essa prova, levando em conta apenas a ordem 
das questões, é
(A) 20
(B) 22
(C) 24
(D) 26
QUESTÃO 08 (EEAr) A metade do número de 
anagramas da palavra PRISMA que começam por 
S é
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 60
GABARITO
CAPÍTULO 18 – ANÁLISE COMBINATÓRIA 
(ARRANJOS E COMBINAÇÕES)
Arranjo simples
Um arranjo simples de p elementos distintos, ti-
rados de um conjunto com n elementos distintos (p 
menor ou igual a n), é uma sequência desses p ele-
mentos, de modo que a mudança de ordem desses 
p elementos determina arranjos diferentes.
Indica-se:
 ou com 
Fórmula do número de arranjos:
 Exemplos:
1) Calcule:
a) 
b) 
Portanto 
2) Quantos números de quatro algarismos distin-
tos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 
5, 6 e 7?
Solução:
 Resposta: Podemos formar 840 números dife-
rentes.
3) Quantos múltiplos de 3, formados por quatro 
algarismos distintos, podem ser formados com os 
algarismos 2, 3, 4, 6 e 9?
Solução:
Um número é múltiplo de 3 quando a soma dos 
valores absolutos dos seus algarismos for divisível 
por 3.
Desta forma, com os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9 
podemos ter os possíveis grupos de quatro algaris-
17
4
Pré-militarMATEMÁTICA
mos, que formarão múltiplos de 3:
	 2, 3, 4 e 6, pois 2 + 3 + 4 + 6 = 15 e 15 é divisível 
por 3;
2, 3, 4 e 9, pois 2 + 3 + 4 + 9 = 18 e 18 é divisível 
por 3;
	2, 4, 6 e 9, pois 2 + 4 + 6 + 9 = 21 e 21 é divisível 
por 3
Perceba que todos os grupos possuem 4 elemen-
tos que formarão os múltiplos de 3 com quatro alga-
rismos, ou seja, temos três grupos de números com 
esta possibilidade variando os números entre si.
Assim:
Como tem três grupos, o total de números forma-
dos é:
Resposta: O total de múltiplos de 3 distintos é 72.
4) O código secreto do cartão magnético do clien-
te de um banco é formado por cinco algarismos di-
ferentes que devem ser digitados numa determina-
da sequência. Qual é o número máximo de códigos 
diferentes que se pode formar nesse caso?
Solução:
Resposta: Podemos formar 30.240 códigos di-
ferentes.
Combinação simples
Uma combinação de p elementos distintos, tira-
dos de um conjunto com n elementos distintos (p 
menor ou igual a n), é qualquer subconjunto de p 
elementos desse conjunto, desde que a mudança 
de ordem desses elementos determine a mesma 
combinação.
Indica-se:
 ou com 
Fórmula do número de combinações:
 Exemplos:
1) Calcule:
a) 
b) 
Portanto 
1) Quantos comissões constituídas de pessoas 
podem ser formadas a partir de um grupo de pes-
soas?
 Solução:
 Resposta: Podemos formar comissões dife-
rentes.
2) Ao final de uma reunião com participantes, 
todos cumprimentam-se um a um uma única vez. 
Quantos cumprimentos são trocados?
Solução:
Resposta: Serão trocados cumprimentos.
3) De um grupo de dez pessoas sendo seis ho-
mens e quatro mulheres, é sorteado um grupo de 
quatro pessoas. Determine quantos grupos diferen-
tes podem ser formados se:
a) O grupo é formado unicamente por homens;
Solução:
Resposta: Poderão ser formados grupos di-
ferentes.
b) O grupo é formado por dois homens e duas 
mulheres.
Solução:
Resposta: Podemos formar grupos diferen-
tes.
17
5
Pré-militarMATEMÁTICA
QUESTÃO 01 (ESA) Um colégio promoveu numa 
semana esportiva um campeonato interclasses de 
futebol. Na primeira fase, entraram na disputa ti-
mes, cada um deles jogando uma vez contra cada 
um dos outros times. O número de jogos realizados 
na 1a fase foi
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 02 (ESA) Para o time de futebol da 
EsSA, foram convocados goleiros, zagueiros, 
meios de campo e atacantes. O número de times 
diferentes que a EsSA pode montar com esses jo-
gadores convocados de forma que o time tenha 
goleiro, zagueiros, 5 meios de campo e atacan-
te é igual a:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 03 (ESA) Uma obra necessita de vi-
gilantes para o terno da noite durante exatamente 
 noites. Se para cada noite são necessários vi-
gilantes, quantos devem ser contratados de modo 
que o mesmo par de vigilantes não se repita?
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 04 (ESA) Com os algarismos 
 sem repeti-los, podemos escrever 
números de algarismos, maiores que O va-
lor de é:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 05 (EEAr) Um maestro escolherá 5 
músicas distintas, dentre as que dispõe, e mon-
tará uma apresentação. Para a escolha das músi-
cas e da ordem que elas serão tocadas, o maestro 
possui um número de possibilidades cujo algarismo 
das unidades é
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
QUESTÃO 06 (EEAr) De um grupo de (dez) 
pessoas, (cinco) serão escolhidas para compor 
uma comissão. Ana e Beatriz fazem parte dessas 
 (dez) pessoas. Assim, o total de comissões que 
podem ser formadas, que tenham a participação de 
Ana e Beatriz, é
(A) 24
(B) 36
(C) 48
(D) 56
GABARITO
CAPÍTULO 19 – PROBABILIDADE
Experimentos aleatórios
Existem certos experimentos que, embora sejam 
repetidos de maneiras idênticas, não apresentam 
os mesmos resultados. Como exemplos:
	Lançamento de um dado;
	Lançamento de uma moeda;
	Resultado de um jogo de roleta;
	Número sorteado em um bingo;
Enfim, são inúmeros os experimentos que podem 
ser realizados da mesma forma, ou seja, pelo mes-
17
6
Pré-militarMATEMÁTICA
mo procedimento, tais que não se pode precisar 
com exatidão o resultado, a estes tipos de experi-
mentos chamamos de experimentos aleatórios.
Outras definições
Espaço amostral (U)
É o conjunto de todos os possíveis resultados de 
um experimento aleatório.
Evento (E)
É qualquer subconjunto do espaço amostral. 
Evento elementar: é qualquer subconjunto unitário 
do espaço amostral.
Evento certo
É todo o evento que coincide com o espaço 
amostral, por exemplo:
No lançamento de um dado, ocorrer um número 
menor do que 7. Este evento é certo, pois no lan-
çamento de um dado todos os possíveis resultados 
são menores do que 7.
Evento impossível
É todo o evento vazio, ou seja, não existe a possi-
bilidade da ocorrência do evento, por exemplo:
No lançamento de um dado, ocorrer um número 
maior do que 6. Este evento é impossível, pois no 
lançamento de um dado, não existe resultado maior 
do que 6.
Espaço amostral equiprovável
É quando todos os eventos elementares tiverem 
a mesma chance de ocorrência.
Probabilidade
Seja U um espaço amostral equiprovável e E um 
de seus eventos. Denomina-se probabilidade do 
evento E o número P(E) tal que:
Sendo:
: o número de elementos do evento E.
: o número de elementos do espaco amos-
tral.
Exemplos:
1) Qual o espaço amostral dos seguintes experi-
mentos?
a) Lançamento de um dado.
Solução:
b) Lançamento de uma moeda.
Solução:
c) Lançamento de duas moedas.
Sendo e , temos:
Solução:
2) No lançamento de um dado, determine os even-
tos A: sair um número par; B sair um número primo.
Solução:
3) Uma urna contem bolas azuis e bolas ver-
des. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 
bolas.
a) Use a árvore de possibilidades para demons-
trar todos os possíveis resultados, ou seja, o espaço 
amostral.
Solução:
A representa as bolas azuis e V, as verdes. Tem-
-se:
Assim, sendo, o espaço amostral será:
U = {(AAA), (AAV), (AVA), (AVV), (VAA), (VAV), 
17
7
Pré-militarMATEMÁTICA
(VVA), (VVV)}
b) Qual a probabilidade de saírem todas as bolas 
da mesma cor?
Solução:
O número de elementos do espaço amostral é 
dado por:
O número de elementos do evento é dado por:
, pois: 
Desta forma:
4) No lançamento de dois dados honestos, qual a 
probabilidade de que a diferença, em módulo, entre 
os números das faces voltadas para cima seja me-
nor que 2?
Solução:
O número de elementos do espaço amostral pode 
ser dado pelo princípio fundamental da contagem, 
da seguinte forma:
, pois são 6 opções de resulta-
dos em cada dado. Observe o quadro a seguir com 
todas as possibilidades:
O número de elementos do evento e dado por:
, observe no quadro a seguir os resul-
tados favoráveis destacados:
E = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), 
(4,3), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}
Desta forma:
.
Eventos dependentes
Analise a seguinte situação:
Um dado e lançado, neste caso já vimos que o 
espaço amostral e .
Consideremos o evento : sair o número , ou 
seja, , desta forma:
.
Agora, consideremos o evento B: sair o número 3, 
sabendo que saiu um número ímpar, ou seja, B={3}
Entretanto, perceba que o espaço amostral foi 
modificado, passando a ser , desta for-
ma:
.
Esta situação exemplifica o que e probabilidade 
condicional, isto e, ao dizer que o número que saiu 
e ímpar, a probabilidade do evento “sair o número 
3”, foi modificada pelo evento condicionante “saiu 
um número ímpar”, ou seja, passou de 16,6% para 
33,3% aproximadamente, pois o espaco amostral 
foi reduzido.
Desta forma, podemos indicar a probabilidade de 
ocorrer o evento A condicionado a B, ou seja, pro-
babilidade de ocorrer A sabendo que B já ocorreu 
da seguinte forma:
, e para esta situação temos:
.
17
8
Pré-militarMATEMÁTICA