METODOLOGIA-DO-ENSINO-DE-MATEMATICA

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Metodologia do Ensino de Matemática 
 1 
 
 
 
 
 
Equipe de Elaboração 
Instituto Mineiro de Formação Continuada 
 
 
Coordenação Geral 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
 
 
Gerência Administrativa 
Marco Antônio Gonçalves 
 
 
Professor-autor 
Eliana Antonia Demarques. 
 
 
Coordenação do Material Didático 
Eliana Antonia Demarques 
 
 
Diagramação e Projeto Gráfico 
Cláudio Henrique Gonçalves 
 
 
Revisão 
Ana Lúcia Moreira de Jesus 
 
 
ZAYN –Instituto Mineiro de Formação 
Continuada 
 
Travessa Antônio Olinto, 33 – Centro 
Carmópolis de Minas – MG 
CEP: 35.534-000 
 
TEL: (31) 9 8844-2523 
 
contato@institutozayn.com.br 
 2 
 
APRESENTAÇÃO 
Boas-vindas 
 
Olá! 
 
É com grande satisfação que o ZAYN – Instituto Mineiro de Formação 
Continuada agradece por escolhê-lo para realizar e/ou dar continuidade aos seus 
estudos. Nós do ZAYN estamos empenhados em oferecer todas as condições para 
que você alcance seus objetivos, rumo a uma formação sólida e completa, ao longo do 
processo de aprendizagem por meio de uma fecunda relação entre instituição e aluno. 
Prezamos por um elenco de valores que colocam o aluno no centro de nossas 
atividades profissionais. Temos a convicção de que o educando é o principal agente 
de sua formação e que, devido a isso, merece um material didático atual e completo, 
que seja capaz de contribuir singularmente em sua formação profissional e cidadã. 
Some-se a isso também, o devido respeito e agilidade de nossa parte para atender à 
sua necessidade. 
Cuidamos para que nosso aluno tenha condições de investir no processo de 
formação continuada de modo independente e eficaz, pautado pela assiduidade e 
compromisso discente. 
 Com isso, disponibilizamos uma plataforma moderna capaz de oferecer a você 
total assistência e agilidade da condução das tarefas acadêmicas e, em consonância, 
a interação com nossa equipe de trabalho. De acordo com a modalidade de cursos on-
line, você terá autonomia para formular seu próprio horário de estudo, respeitando os 
prazos de entrega e observando as informações institucionais presentes no seu 
espaço de aprendizagem virtual. 
 Por fim, ao concluir um de nossos cursos de pós-graduação, segunda 
licenciatura, complementação pedagógica e capacitação profissional, esperamos que 
amplie seus horizontes de oportunidades e que tenha aprimorado seu conhecimento 
crítico a cerca de temas relevantes ao exercício no trabalho e na sociedade que atua. 
Ademais, agradecemos por seu ingresso ao ZAYN e desejamos que você possa 
colher bons frutos de todo o esforço empregado em sua atualização profissional, além 
de, pleno sucesso na sua formação ao longo da vida. 
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“Gosto de ser gente porque, inacabado, 
sei que sou um ser condicionado, 
mas, consciente do inacabamento, 
sei que posso ir mais além dele.” 
(FREIRE, 1996). 
 
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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 5 
2 OS NÚMEROS E OS CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................... 6 
2.1 Os Sistemas de Numeração .................................................................... 7 
2.2 Base de um Sistema de Numeração ....................................................... 8 
2.3 Sistemas de Numeração Híbrido e Posicional ......................................... 9 
2.4 O Sistema de Numeração Decimal (SND) ............................................. 10 
2.5 Conjuntos Numéricos ............................................................................ 11 
2.5.1 Conjunto dos Números Naturais (N): .............................................. 12 
2.5.2 Conjunto dos números inteiros (Z): ................................................ 12 
2.5.3 Conjuntos dos números racionais(Q): ............................................ 13 
2.5.4 Conjunto dos números irracionais (I): ............................................. 13 
2.5.5 Conjunto dos Números Reais (R): .................................................. 14 
2.5.6 Conjunto dos Números Complexos (C): ......................................... 15 
3 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ................................................................. 17 
3.1 Operações aritméticas ........................................................................... 17 
3.1.1 Propriedade Comutativa ...................................................................... 18 
3.1.2 Propriedade Associativa: ..................................................................... 19 
3.1.3 Propriedade Distributiva ....................................................................... 19 
3.2 Operações com conjuntos ..................................................................... 19 
3.2.1 União de Conjuntos: ............................................................................. 20 
3.2.2 Interseção de conjuntos: ..................................................................... 20 
3.2.3 Diferença de conjuntos: ....................................................................... 21 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................... 22 
5 REFERÊNCIAS ......................................................................................... 24 
 
 5 
 
1 INTRODUÇÃO 
A matemática pode ser aplicada em diferentes áreas do 
conhecimento, sendo de fundamental importância despertar o interesse e a 
participação dos alunos ao desenvolverem suas atividades no espaço escolar, 
procurando novos métodos para ensiná-la. Assim, quando lhes ensinamos por 
que estão aprendendo determinados conceitos da matemática e como podem 
aplicá-los fora da sala de aula, a aprendizagem torna-se contextualizada e 
significativa. 
Não se trata de “decorar conceitos” durante as aulas, devemos 
proporcionar diferentes situações problemas que levem o aluno a realizar 
observações e chegar a conclusões associadas às práticas cotidianas. 
Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), devemos 
buscar uma educação por competências com o ensino da matemática que 
pode contribuir para a formação do cidadão ao desenvolver metodologias que 
enfatizem a criatividade, iniciativa pessoal e autonomia advinda da confiança 
na própria capacidade para enfrentar desafios (PCN, 1998). 
 A disciplina Metodologia do Ensino da Matemática baseia-se no 
princípio de que a formação inicial do professor deve ser articulada com 
conhecimentos pedagógicos e científicos, de modo que o espaço escolar 
interdisciplinar passe a ser de responsabilidade de todos os docentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
2 OS NÚMEROS E OS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os números estão em toda parte do mundo e refletir com o aluno 
sobre estas observações é fundamental para aproxima-lo dos conteúdos da 
matemática abordados no espaço escolar que ajudam na criação de um 
ambiente repleto de portadores numéricos. 
Nesse contexto, o professor deve proporcionar diferentes situações 
problemas em que a notação numérica possa se apresentar nas suas mais 
diversas funções. Exemplos como o endereço de uma residência, as placas 
dos veículos que circulam na cidade, o número do telefone podem facilitar a 
compreensão dos conceitos matemáticos tais como número, numeral e 
algarismo em que o portador numérico não represente apenas quantidade. 
O planejamento desses conceitos trabalhados na linguagem 
matemática precisa ser apresentado gradativamente durante todo o ensino 
fundamental para não gerar obstáculos na aprendizagem. Para isso, o 
professor pode utilizarmateriais concretos que facilitem a aprendizagem, 
permitindo a organização das estruturas do pensamento, assim como a sua 
aplicação na vida cotidiana, considerando que “nem todo conceito é passível 
de experimentação” sendo necessário o apoio de meios variados como vídeos 
que ajudam a explorar outros campos de aplicação. 
O conhecimento de números é construído pelo aluno quando ele 
trabalha com situações em que o número aparece como instrumento na 
resolução de problemas e como objeto de estudo em si mesmo, quando 
observam suas propriedades, relações e o modo como o conceito de número 
foi historicamente construído (PCN, 2000). 
Os estudos relacionados a Teoria Piagetiana apontam conhecimentos 
importantes que podem auxiliar na compreensão e na prática dos 
professores como no caso de pesquisas que destacam a importância 
da contagem para a construção do significado numérico, considerando 
o raciocínio numérico tão importante quanto o raciocínio lógico. 
 
A construção do conceito do número pela criança e as contribuições da Teoria Piagetiana: pensando no 
contexto escolar. Campina Grande - Volume 1, Número 2, ISSN 2317-0042. Disponível em: 
<http://www.editorarealize.com.br/revistas/epbem/trabalhos/Modalidade_1datahora_22_10_2014_22_38_34_idinscrito_
1252_af74f357f6cc8e8c54ab74d8a0df06d6.pdf> . Acesso em: 12 jun. 2017. 
 7 
 
O uso de um calendário afixado 
em local visível ou uma agenda 
escolar é um instrumento 
valiosíssimo como portador de 
informações matemáticas. 
A ideia de dia, mês e ano 
contidas no nosso calendário 
atual é fruto de muitas 
mudanças. O calendário 
gregoriano pode despertar 
curiosidades nos alunos como 
objeto de pesquisa. 
 
2.1 Os Sistemas de Numeração 
Os sistemas de numeração permitem registrar quantidades de 
elementos quando necessitamos organizar informações e contabilizar dados, 
além de ampliar a capacidade de raciocínio e o uso de instrumentos 
tecnológicos. 
A utilização da história da 
matemática como recurso vem ganhando o 
apoio de muitos professores no Brasil na 
organização do conteúdo e compreensão da 
Matemática como produto cultural e social, 
assumindo diferentes visões conforme a época. 
Em toda a evolução da humanidade, busca-se 
explicações sobre os fatos e fenômenos da 
natureza, além da própria existência da 
Matemática (D’AMBRÓSIO, 1999). 
Por meio de comparações entre os 
sistemas numéricos usados na atualidade como 
o Decimal e o Binário, o professor pode 
despertar a curiosidade dos alunos e 
oportunizar pesquisas sobre sistemas de numeração criados por outras 
civilizações na antiguidade (sistema Egípcio, Babilônico, Maia, Chinês, Indo-
Arábico). 
Também é importante entender os conceitos de número, numeral, 
algarismo, valor relativo e valor absoluto com exemplos interativos para 
reconhecer que os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo 
que as palavras se diferenciaram das coisas a que se referem como, por 
exemplo, os símbolos "21", "vinte e um" e "XXI" são numerais escritos numa 
determinada época. 
 
 8 
 
A aplicação da matemática na 
computação e eletrônica propicia 
boas pesquisas sobre o uso do 
Sistema de Numeração Binária 
nessas áreas, tendo o cuidado de 
garantir pré-requisitos básicos 
para conquistar novas 
aprendizagens. 
2.2 Base de um Sistema de Numeração 
A base de um sistema é a quantidade de símbolos denominados de 
algarismos disponíveis na representação. Um sistema numérico de base x 
precisa de x símbolos diferentes para representar seus dígitos de 0 a x-1. 
A base 10 possui os algarismos de 0 a 9 que compõe os dez 
símbolos do Sistema de Numeração Decimal (SND) que, embora não seja o 
único, é o mais utilizado. No comércio, existem outros exemplos como uma 
dúzia de ovos (base 12), entre outros. 
O Sistema de Numeração Maia, adotado pela civilização pré-
colombiana era de base 20. De acordo com a história, sua base está 
relacionada a soma dos números de dedos das mãos e dos pés. Também é 
atribuído a este sistema a organização dos números em casas numéricas e a 
utilização do zero para demonstrar um valor nulo. Os símbolos utilizados são o 
ponto, a barra horizontal e no caso do zero, uma forma oval parecida com uma 
concha conforme mostra Figura 1. 
Figura 1 – Símbolos do Sistema de Numeração Maia1 
 
Interessante compreender a lógica da 
matemática no computador que utiliza outras bases 
como a binária (base 2 que possui os algarismos 0 e 
1), a octal (base 8 que possui os algarismos de 0 a 7) 
e a hexadecimal (base 16 que possui os algarismos 
de 0 a 9 e as letras A, B, C, D, E, F), criando 
operações mais complexas. 
 
1
 Fonte: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica 
 9 
 
2.3 Sistemas de Numeração Híbrido e Posicional 
Os chineses desenvolveram sistemas de numeração em dois tipos: 
o Híbrido e o Posicional. O Híbrido ou Sistema Números Floridos que possui 
ideográficos específicos para os números e operadores relacionados ao 
produto e à soma. A escrita era realizada em placas de bambu e a leitura na 
vertical. O Posicional ou Sistema Numérico de Varas com o algarismo zero e 
barras (Figura 2). 
 
Figura 2 – Sistema Numérico de Varas1 
 
O Sistema de Numeração Indo-Arábico que foi criado pelos hindus e 
difundido pelos árabes reunia características de antigos sistemas e tratava-se 
de um sistema posicional decimal porque utilizava dez símbolos (Figura 3) e 
um mesmo símbolo representava valores diferentes dependendo da posição 
ocupada. 
 
Figura 3 – Sistema de Numeração Indo-Arábico1 
 
Conhecer a história da matemática permite colocar em prática 
situações didáticas pertinentes para efetivar a aprendizagem do aluno na busca 
do conhecimento e compreender a evolução dos conceitos na 
 10 
 
Os vídeos, História da Matemática 
de Marcus Sautoy, foram divididos 
em episódios e estão disponíveis 
nos endereços: 
http://www.youtube.com/watch?v=
JK9qcCgXpkg&list=PL94D7356F
FD6AB609&index=2 
http://www.youtube.com/watch?v=
VyljzLyKR_Q&list=PL94D7356F
FD6AB609 
http://www.youtube.com/watch?v=
7rTJmW9zQg0&list=PL94D7356F
FD6AB609 
http://www.youtube.com/watch?v=
QyyePpmYf8w&list=PL94D7356
FFD6AB609 
Acesso em: 12 jun. 2017. 
contemporaneidade (FARAGO, 2003). O surgimento do ábaco, por exemplo, 
constituiu uma etapa intermediária antes do Sistema de Numeração Decimal 
(SDN) que veremos a seguir. 
O Ábaco era um instrumento que não apenas auxiliava nos registros 
de quantidades com os sistemas numéricos da época, mas também ajudou a 
construir a noção de valor posicional para suprir as necessidades dos cálculos 
mais complexos nos sistemas que possuíam apenas dez algarismos e 
representavam infinitas quantidades. 
 
DO ÁBACO AO SOROBAN: Durante muito tempo, o Ábaco foi 
utilizado e, em 1949, Joaquim Lima de Moraes aprendeu a técnica 
ensinada por imigrantes japoneses, adaptando o Soroban como 
instrumento para uso de cegos. Pesquisar sobre como era o Ábaco na 
Idade Média e como é o Soroban hoje que auxilia na aprendizagem 
matemática por alunos cegos no Brasil podem auxiliar na prática dos 
professores com a Educação Inclusiva. 
 
PEIXOTO, J. L. B.; SANTANA, E. R. dos S.; CAZORLA, I. M. Soroban: uma ferramenta para a compreensão das 
quatro operações. Itabuna: Via Litterarum, 2006. 
 
 
2.4 O Sistema de Numeração Decimal (SND) 
O Sistema de Numeração Decimal (SDN) 
que utilizamos na atualidade é um sistema 
posicional de base 10 com os algarismos de 0 a 9, 
ou seja, a posição ocupada de cada algarismo em 
um número alteraseu valor. Por exemplo, o número 
253 possui o algarismo 2 que representa 200 ou 2 
centenas, o 5 que representa 50 ou 5 dezenas e o 3 
que representa 3 unidades. Diferentemente, do 
número 325 que possui os mesmos algarismos que 
ocupam outras posições. 
O SND tem algumas características 
peculiares como o símbolo zero para representar a 
ausência de quantidade e as trocas que são 
 11 
 
realizadas a cada agrupamento de dez em dez unidades quando formamos 
uma dezena e assim por diante. 
Essas características surgiram por meio de um longo processo de 
aperfeiçoamento de outros sistemas, principalmente do Sistema de Numeração 
Indo-Arábico com a noção de valor posicional apresentado no item anterior. 
O SND proporcionou o desenvolvimento de cálculos com operações 
sem o uso do ábaco. De acordo com Cardoso (1992), depois de séculos do uso 
do ábaco, o grande avanço dado ao SND foi a transposição de um contexto 
concreto representado por este instrumento, para uma representação com 
símbolos escritos, possibilitando operações com quaisquer quantidades. 
Hoje, temos vários recursos didáticos que possibilitam a 
aprendizagem do SND como o material dourado e jogos interativos (SILVA; 
PEIXOTO, 2010a). Os jogos ajudam no estabelecimento de relações de 
diferentes conteúdos e o conhecimento da historia da matemática contribui 
para compreender os diferentes problemas que a humanidade teve que 
enfrentar com as representações dos conjuntos dos números naturais, inteiros 
positivos e negativos, números racionais e irracionais (reais) que veremos a 
seguir. 
 
 O JOGO COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA encoraja o aluno a pensar ativamente, estimulando o 
desenvolvimento do raciocino lógico. 
Conheça a Folhinha, do Jornal Folha de São Paulo, disponível no 
endereço: http://www.mapadobrincar.com.br 
 
 
2.5 Conjuntos Numéricos 
Os conjuntos numéricos surgiram à medida que foi se tornando 
necessário apresentar resultados para algumas operações matemáticas com 
coleções de números classificados a partir de certa característica. 
Por convenção, os nomes dos conjuntos numéricos são 
representados por uma letra maiúscula do nosso alfabeto e os elementos por 
letras minúsculas envolvidos por um par de chaves e separados por vírgula. 
Quando os elementos que formam o conjunto forem infinitos usa-se o símbolo 
“...” conforme veremos a seguir: 
 12 
 
2.5.1 Conjunto dos Números Naturais (N): 
O Conjunto dos Números Naturais é representado pela letra N e 
seus elementos os números inteiros positivos a partir do zero: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. O N* é um subconjunto importante de N que não inclui o 
elemento 0 e pode ser representado por N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = N - { 0 }. 
A adição e a multiplicação são operações sempre possíveis de 
efetuar no conjunto N, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais 
resultam sempre em um número natural. Mas, o resultado de uma subtração ou 
de uma divisão entre dois números naturais nem sempre é um número natural 
e por isso houve a necessidade de introduzir o conjunto dos números inteiros 
negativos e positivos, ficando N como um subconjunto de Z que será definido 
a seguir. 
 
2.5.2 Conjunto dos números inteiros (Z): 
O Conjunto dos Números Inteiros é representado pela letra Z e seus 
elementos são os números inteiros positivos e negativos: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 
...}. Observe a reta numérica representada abaixo: 
 
 
 
 
Figura 4 – Representação de alguns números inteiros positivos e negativos na reta2. 
 
Outros subconjuntos importantes de Z são: 
• Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
• Z*- = {-1, -2, -3, -4, ...} 
• Z+* = N* = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
A adição, a subtração e a multiplicação são operações sempre 
possíveis de efetuar no conjunto Z, ou seja, a soma, a diferença e o produto de 
 
2
 Fonte: SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010. 
 13 
 
dois números inteiros resultam sempre em um número inteiro. Mas, o resultado 
de uma divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro e 
por isso houve a necessidade de introduzir o conjunto dos números racionais 
(Q), ficando Z como um subconjunto de Q que será definido a seguir. 
 
2.5.3 Conjuntos dos números racionais(Q): 
O Conjunto dos Números Racionais é representado pela letra Q e 
seus elementos são todos os números inteiros positivos e negativos que 
podem ser escritos em forma de fração com a pertencente a Z e b 
pertencente a Z*, ou seja, entre dois números racionais existem infinitos 
racionais, observe a reta numérica representada abaixo: 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Representação de alguns números racionais na reta2. 
 
Embora a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão por um 
número diferente de zero seja sempre definidas em Q, não significa que esses 
números preencham toda a reta acima. 
Por exemplo, são números 
não racionais que pertencem ao Conjunto dos Números Irracionais (I) que será 
definido a seguir. 
 
2.5.4 Conjunto dos números irracionais (I): 
O Conjunto dos Números Irracionais é representado pela letra I e 
seus elementos são todos os números que não podem ser escrito na forma de 
uma fração com numerador inteiro e denominador inteiro (diferente de zero) 
como as decimais infinitas e não periódicas: 
 
 14 
 
o número π (lê-se “pi”), que corresponde à razão entre o comprimento e o 
diâmetro de uma circunferência, também é um número irracional: 
π = 3,1459265... 
Observe a representação de alguns números irracionais na reta 
numérica: 
 
 
 
 
Figura 6 – Representação de alguns números irracionais na reta2. 
 
 
2.5.5 Conjunto dos Números Reais (R): 
O Conjunto dos Números Reais é representado pela letra R e seus 
elementos são todos os números vistos até o momento, ou seja, R reúne todos 
os números naturais, inteiros, racionais e irracionais que está representado na 
Figura 7 pelo Diagrama de Venn3. 
Figura 7 – Representação do Conjunto dos Números Reais e seus subconjuntos 
 
 
Embora o conjunto R contém todos os números naturais, inteiros, 
racionais e irracionais, não significa que exista outros números que não fazem 
parte deste conjunto. Por exemplo, a raiz de índice par e radicando negativo é 
 
3
 No Diagrama de Venn ou Diagrama de Euler, todo conjunto é representado por um recinto plano 
limitado por uma curva fechada. 
 15 
 
impossível em R e por isso houve a necessidade de introduzir o Conjunto dos 
Números Complexos que será definido a seguir. 
 
2.5.6 Conjunto dos Números Complexos (C): 
 
O Conjunto dos Números Complexos é representado pela letra C. 
Para que a raiz de índice par e radicando negativo seja sempre 
possível, os matemáticos ampliaram o conceito de número, definindo o número 
i, não real, que chamaram de unidade imaginária e que satisfaz a seguinte 
condição: i2 = i · i = -1. 
Assim, com os números complexos, é possível definir raiz de índice 
par e radicando negativo, pois potências de números complexos com expoente 
par podem ser negativas. Por exemplo: (3i)2 = 32 · i2 = 9 · (-1) = -9, ou seja, 3i é 
uma raiz quadrada de -9. 
A partir da unidade imaginária, define-se: número complexo é todo 
número da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade 
imaginária. O Conjunto dos Números Complexos C = {a + bi, com a e b reais}  
reúne todos os números naturais, inteiros,racionais, irracionais e reais que 
está representado na Figura 8 pelo Diagrama de Venn. 
 
 
Figura 8 – Representação do Conjunto dos Números Complexos e seus subconjuntos2. 
 
 
 
 
 16 
 
 
2.6 SUGESTÕES DE LEITURA: 
 
 
 
 
Pesquisas atuais sobre a construção do conceito de número: para além de Piaget? 
resgata o papel desempenhado pelas atividades numéricas (em particular, a contagem) na 
construção do número. 
 
NOGUEIRA, C. M. I. Pesquisas atuais sobre a construção do conceito de número. Educar em Revista, Curitiba, 
Brasil, n. Especial 1/2011, p. 109-124, 2011. Editora UFPR. Disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/er/nse1/08.pdf> . Acesso em: 12 jun. 2017. 
 
 
 
 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA EM ATIVIDADES DIDÁTICAS 
 
Antonio Miguel, Arlete de Jesus Brito, Dione Lucchesi de Carvalho, Iran Abreu 
Mendes são os autores deste livro que tem a finalidade de contribuir no 
trabalho de sala de aula do professor de matemática do nível fundamental e 
médio. 
 
 
 
 
 
JOGOS PARA A ESTIMULAÇÃO DAS MÚLTIPLAS 
INTELIGÊNCIAS é um livro de Celso Antunes que propõe mais de 
trezentos e trinta jogos ou propostas de estímulos para trabalharmos 
as inteligências linguística, lógico-matemática, espacial, musical, 
naturalista, pictórica e as inteligências pessoais. Esta obra é destinada 
a professores, estudantes de magistério e pedagogia, psicólogos, 
psicopedagogos, diretores, orientadores educacionais, pais e 
profissionais de RH. 
 
 
ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múltiplas inteligências. Petrópolis: 
Vozes, 2000. 
 
 
 
REMAT: Revista Eletrônica da Matemática é um periódico 
científico de acesso livre, com publicação semestral, que tem a 
missão de compartilhar práticas educativas e pesquisas 
relacionadas com a Matemática. 
 
REMAT, Bento Gonçalves, Rio Grande do Sul, Brasil, 2015-2017. e-ISSN: 2447-2689. 
 
 17 
 
3 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS 
As operações matemáticas necessitam de um conhecimento prévio da 
compreensão do número que envolve outros conceitos como classificação, 
seriação, cardinalidade, ordinalidade, quantificação e contagem, além de 
habilidades específicas relacionadas ao nível intelectual apropriado para a 
série escolar. 
Kamii (1984) sugere que as atividades devem ser estruturadas para o 
ensino indireto, variando desde o ato de encorajar o aluno para o 
estabelecimento de relações, quantificações, comparações, entre outros. E, 
destaca que é desta forma que a criança se torna apta a compreender e 
dominar os conceitos básicos de número e as operações implicadas no seu 
desenvolvimento. 
Para essas atividades que sustentam a compreensão do número e a 
utilização desses conceitos na resolução de problemas envolvendo operações 
matemáticas, o professor pode aplicar diferentes recursos didáticos com o uso 
de material concreto em situações cotidianas dentro da realidade do aluno. 
Estruturar e organizar essas atividades deve ser uma constante 
preocupação do professor pois o desenvolvimento inapropriado na educação 
básica aparece nas dificuldades de aprendizagem acadêmica do conceito de 
números e das operações aritméticas, muitas vezes insuperáveis, contribuindo 
com o elevado índice de evasão escolar com o baixo desempenho dos alunos 
na disciplina Matemática (MIRANDA, 1998). 
 
3.1 Operações aritméticas 
 
Existem diferentes técnicas que ajudam na realização das 
operações aritméticas com as quatro operações elementares (adição, 
subtração, multiplicação, divisão), exigindo compreensão do SND, inicialmente 
envolvendo o conjunto dos números naturais. 
Santana (2010) destaca que nas séries iniciais do ensino 
fundamental é preciso que o aluno identifique e se aproprie dos invariantes 
 18 
 
existentes no conceito de número e das quatro operações básicas. Para que 
isso ocorra, o professor precisa estar atento para o que, como, quando e 
porque ensinar certo conteúdo e/ou certo conceito. 
No Brasil, têm sido desenvolvidas várias pesquisas na Educação 
Matemática e com as séries iniciais, centralizando o foco nas Estruturas 
Aditivas e Multiplicativas, utilizando a Teoria dos Campos Conceituais4 
(SANTANA, 2010). Assim, o professor pode trabalhar com as seis categorias 
de situações-problema: a) composição; b) transformação; c) comparação; d) 
composição de várias transformações; e) transformação de uma relação; e f) 
composição de relações. 
No trabalho com as operações aritméticas, o aluno amplia o conceito 
de número, procurando entender a situação-problema antes de buscar a 
operação a ser realizada, devendo ser bem próximas da realidade do aluno. 
Situações que envolvem números decimais como medidas, preços 
de produtos, cálculo de proporcionalidade, porcentagem, potência e radiciação 
necessitam ser adaptadas gradativamente no Ensino Fundamental e Médio. O 
fato de que vários aspectos do cotidiano funcionam de acordo com leis de 
proporcionalidade evidencia que o raciocínio proporcional é útil na 
interpretação de fenômenos do mundo real (OLIVEIRA, 2009). 
Cálculos que envolvem expressões numéricas necessitam que o 
aluno tenha domínio das propriedades de cada operação, além de saber 
efetuar corretamente a ordem dos operadores e eliminar os sinais de 
associação que são os ( ), os [ ] e as { }. Os itens a seguir são propriedades 
das operações aritméticas que auxiliam no cálculo: 
 
3.1.1 Propriedade Comutativa 
• Na adição, a ordem das parcelas não altera a soma: 2 + 5 = 5 + 2 
• Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto: 2 * 5 = 5 * 2 
 
 
 
4
 A Teoria dos Campos Conceituais foi desenvolvida por Gérard Vergnaud e oferece elementos por meio 
dos quais é possível basear a análise do desenvolvimento da aprendizagem de competências dos alunos. 
 19 
 
3.1.2 Propriedade Associativa: 
• Na adição, associando as parcelas de forma diferente, a soma não se 
altera: (5 + 2) + 4 = 5 + (2 + 4) 
• Na multiplicação, associando os fatores de forma diferente, o produto não 
se altera: (5 * 2) * 4 = 5 * (2 * 4) 
 
3.1.3 Propriedade Distributiva 
• Distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração: 
3 * (5 + 2) = 3 * 5 + 3 * 2 ou 3 * (5 - 2) = 3 * 5 - 3 * 2 
 
Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a 
aprendizagem do estudante? A tese da professora 
Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana recebeu Menção 
Honrosa outorgada pelo Prêmio Capes de Tese-Edição 
2011, na área de Ensino. 
 
SANTANA, E. R. S. Estruturas Aditivas: o suporte didático influencia a aprendizagem do 
estudante? Tese de Doutorado em Educação Matemática da Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo, 2010. Disponível em: <http://livros01. 
livrosgratis.com.br/cp137884.pdf > . Acesso em: 12 jun. 2017. 
 
3.2 Operações com conjuntos 
Na Matemática, a ideia de conjunto é fundamental e está presente 
em diversos conceitos que podem ser aplicados em coleções de elementos 
classificados com determinadas características comuns como animais, pessoas 
e objetos. Os animais vertebrados podem ser divididos em cinco classes: 
peixes, anfíbios, répteis, aves e mamíferos. Cada uma dessas classes de 
animais forma um conjunto. Outros exemplos são mostrados a seguir: 
• Conjunto dos continentes: T= {África, América, Ásia, Europa, Oceania} 
• Conjunto dos números primos: P= {2, 3, 5, 7, 11,...} 
• Conjunto dos números pares positivos menores que 6: M= {2, 4} 
 
Além dos conjuntos numéricos apresentados anteriormente, existem 
outros conjuntos importantes na matemática: 
• O conjunto vazio que não possui elemento e pode ser representado pelos 
símbolos: Ø ou { }. 
 20• O conjunto unitário que possui um único elemento. 
• O conjunto universo, indicado geralmente por U, é aquele a qual pertencem 
todos os elementos considerados em determinada situação. 
 
3.2.1 União de Conjuntos: 
A união entre os conjuntos A e B reúne todos os elementos que 
pertencem a A ou a B. Observe os exemplos abaixo: 
 
• Exemplo1: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9} possui elementos 
comuns, então A U B = {-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
• Exemplo2: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 4, 6, 8, 9} não possui elementos 
comuns, então A U B = {-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
• Exemplo3: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} neste caso, B 
possui todos os elementos de A, então A U B= B ou seja, A é um 
subconjunto de B. Assim, B contém A ou A está contido em B. 
 
3.2.2 Interseção de conjuntos: 
A interseção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos 
elementos comuns, ou seja, que pertence a A e também a B. Observe os 
exemplos abaixo: 
 
• Exemplo1: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9} possui elementos 
comuns, então A B = {2, 7}. 
 21 
 
• Exemplo2: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 4, 6, 8, 9} não possui elementos 
comuns, então A B = Ø ou { }. Neste caso, os conjuntos A e B são 
chamados disjuntos. 
• Exemplo3: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} neste caso, B 
possui todos os elementos de A, então A B = A = {2, 3, 5, 7} ou seja, A é 
um subconjunto de B. Assim, B contém A ou A está contido em B. 
 
3.2.3 Diferença de conjuntos: 
A diferença entre dois conjuntos, A - B, é o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Observe os exemplos 
abaixo: 
 
• Exemplo1: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9} possui elementos 
comuns, então A – B = {3, 5} e B – A = {-3, 0, 1, 4, 6, 8, 9}. 
• Exemplo2: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 4, 6, 8, 9} não possui elementos 
comuns, então A – B = A e B – A = B. 
• Exemplo3: A={2, 3, 5, 7} e B={-3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} neste caso, B 
possui todos os elementos de A, então A – B = Ø ou { } pois A é 
subconjunto de B e B – A = {-3, 0, 1, 4, 6, 8, 9}. 
 
 
 
 
 
 22 
 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Empirismo? Inatismo? Cognitivismo? Construtivismo? 
Behaviorismo? Interacionismo? Interativismo? Maiêutica? Autopoiese? 
Segundo Preti (2000), na visão do Empirismo, a mente humana vai 
assimilando as experiências e as transformando, posteriormente em conceitos. 
Assim, o conhecimento se daria, fundamentalmente, na leitura da realidade via 
sentidos, partindo de uma ação sobre o sujeito. O processo de ensinar e 
aprender é centrado na figura do professor. Cabe a ele o papel de repassar o 
conhecimento acumulado ao longo dos tempos pela sociedade e fazer com que 
o aluno passe a "dominar" determinados conteúdos tidos como válidos e 
corretos para qualquer sociedade em qualquer fase de sua história. 
No Inatismo, o conhecimento provém das ideias e não da 
experiência como no Empirismo, considerando que o ser humano quando 
nasce traz consigo um determinado "pacote de conhecimentos" (herança 
genética ou "dádiva divina") que poderá ser atualizado se lhe forem oferecidas 
as condições apropriadas. No processo de aprendizagem, o foco central passa 
ser o aluno, por sua capacidade inata de apreender. A instituição, a escola ou o 
professor têm como função criar condições para despertar e apoiar o que o 
aluno já tem dentro dele (PRETI, 2000). 
Para Santos (2000), “educar não se limita a repassar informações, 
mas é ajudar a pessoa a tomar consciência de si mesma, dos outros e da 
sociedade. Educar é preparar para a vida”. O ato de educar faz-se necessário 
oferecer várias ferramentas para que a pessoa possa escolher, entre muitos 
caminhos, aquele que for compatível com seus valores, sua visão de mundo e 
com as circunstâncias adversas que cada um irá encontrar. 
Para você, o que é educar? 
 
 
 
 
 
 23 
 
SUGESTÕES DE VÍDEOS E LEITURA: 
 
 
 
ENSINAR EXIGE RIGOROSIDADE METODOLÓGICA? Paulo Freire traduz, 
no modo lúcido e peculiar, aquilo que os estudos das ciências da educação 
vêm apontando nos últimos anos: a ampliação e a diversificação das fontes 
legítimas de saberes e a necessária coerência entre o “saber-fazer é o 
saber-ser-pedagógicos”. 
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 43. 
ed., São Paulo: Paz e Terra, 2011. 25ª edição disponível para download em: 
< http://forumeja.org.br/files/Autonomia.pdf > Acesso em: 12 jun. 2017. 
 
 
 
 
Ideias de Jean Piaget - Coleção Grandes Educadores: 
https://www.youtube.com/watch?v=PBVNYRQP7Sk 
Os vídeos dublados com entrevista com Piaget estão 
disponíveis em: 
https://www.youtube.com/watch?v=nir494onPwE&feature=player_embedded 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
 
5 REFERÊNCIAS 
BRASIL Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. 
Brasília: MEC/SEF, 1998. 
 
BRASIL Ministério da Educação. Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil. 
Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Ministério da 
educação e do desporto. Vol.3. Brasília. 2000. Disponível em: 
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/volume3.pdf> Acesso em: 12 jun. 2017. 
 
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-
IME/USP, 1992. 
 
D’AMBROSIO, A. Educação matemática: da teoria à prática 14 Ed. São Paulo: Papirus, 
2007. 
 
MIRANDA, Ana et.al. Dificultades del aprendizaje de las matemáticas: un enfoque 
evolutivo. Archidona – Málaga: Aljibe, 1998. 
 
PRETI, O. Autonomia do aprendiz na educação a distância. In: ______ (Org.). Educação a 
distância: construindo significados. Brasília: Plano, 2000. 
 
OLIVEIRA, Izabella. Proporcionalidade: estratégias utilizadas na Resolução de Problemas 
por alunos do Ensino Fundamental no Quebec Boletim de Educação Matemática, vol. 22, 
núm. 34, 2009, pp. 57-79 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Rio Claro. 
Disponível em: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=291221876004 Acesso em: 12 jun. 2017. 
 
SANTOS, Pires Marli. Brinquedoteca: a criança, o adulto e o lúdico/ Santa Marli Pires dos 
Santos (organizadora). - Petrópolis, RJ: Vozes, 2000. 
 
SOUZA, Joamir. Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD, 2010.