AP1 2019.1 MDII Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 15/09/2018
Questa˜o 1 [2,2pts] Sejam f(x) =
√
x e g(x) =
√
2− x. Encontre cada uma das func¸o˜es abaixo e
determine os seus dom´ınios:
a) f ◦ g.
b) g ◦ f .
Soluc¸a˜o: a)
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√2− x) =
√√
2− x = 4√2− x.
Para a func¸a˜o f ◦ g fac¸a sentido devemos exigir que 2− x ≥ 0⇔ x ≤ 2. Logo o dom´ınio de f ◦ g e´
{x ∈ R : x ≤ 2}.
b)
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) =
√
2−√x
Para fazer sentido g ◦ f devemos exigir que x ≥ 0 e que 2 − √x ≥ 0. Esta u´ltima exigeˆncia e´
equivalente a 4 ≥ x. Logo o dom´ınio de g ◦ f e´ {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 4} = [0, 4].
Questa˜o 2 [1,8pts] Encontre os valores x ∈ R tais que
√
x2 − 4x− 7 = 13 .
Soluc¸a˜o: Elevando ao quadrado ambos os lados obtemos
x2 − 4x− 7 = 19 ⇔ 9x
2 − 36x− 63 = 1⇔ 9x2 − 36x− 64 = 0
Resolvendo esta equac¸a˜o do 2a grau obtemos x = −43 e x = 163 .
Questa˜o 3 [2,0pt] Calcule o lim
x→+∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1 .
Soluc¸a˜o:
lim
x→+∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x+ 1 = limx→+∞
x2
x2
3− 1/x− 2/x2
5 + 4/x+ 1/x2 = limx→+∞
3− 1/x− 2/x2
5 + 4/x+ 1/x2 =
3
5 .
Questa˜o 4 [2,2pt] Ache f−1(x) se f(x) = 1+3x5−2x .
Soluc¸a˜o: O algoritmo para obtermos a inversa consiste em trocarmos x por y e depois tentarmos
isolar o y, logo
x = 1 + 3y5− 2y ⇔ 5x− 2yx = 1 + 3y ⇔ 5x− 1 = y(3 + 2x) se 2x+ 3 ̸= 0⇒ y =
5x− 1
2x+ 3 .
Nome da Disciplina AP1 2
Portanto, a inversa e´ f−1(x) = 5x−12x+3 .
Questa˜o 5 [2,0pt] Calcule o lim
x→0
√
2− x−√2
x
.
Soluc¸a˜o:
lim
x→0
√
2− x−√2
x
= lim
x→0
(√
2− x−√2
x
)(√
2− x+√2√
2− x+√2
)
= lim
x→0
(√
2− x
)2 − (√2)2
x(
√
2− x+√2)
= lim
x→0
−x
x(
√
2− x+√2)
= lim
x→0
−1√
2− x+√2 = −
1
2
√
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ