Relatório final constante de tempo-Final(2 0)

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Medição da Constante de Tempode um Termômetro
Eugênio Solino;MatheusBorges;Thiago
Instituto de FísicaProfessor Marcus Carrião Turma F
No presente relatório iremos descrever o processo de determinação da constante de tempo ,de um termômetro, utilizandoa troca de temperatura entre um liquido frio para o quente, de maneira que nos possibilitara obter diferentes intervalos de tempo para cadauma dastemperatura determinadas, que nos fornecera dados para realizar um tratamento de linearização através da regressão linear.
1. INTRODUÇÃO
	Este relatório visa analisar a constante de temperatura do termômetro. Se um termômetro a uma temperatura inicial T1 for colocado em um ambientequentea uma temperatura T2, ele receberá calor através da relação:	
onde;
Cé a capacidade térmica do termômetro.
Para diferenças pequenas de temperatura pode-se escrever.
Essa quantidade de calor não é trocada instantaneamente, mas de acordo com a lei
					
ondeé a temperatura medida no instante t eé a condutividade da parede de vidro do termômetro.
	Então,
	
Fazendoe separando as variáveis na equação anterior
Integrandoambos os lados, obtêm-se
onde k = Constante
Logo,
onde k é uma constante que dependente das condições iniciais.
	Assumindo que para t=0, t(0) seja, obtém-se
Manipulando algebricamente
	Chamando a parte à esquerda da equação (1) de R e tomando a função ln de ambos os lados da igualdade.
	Temos assim a equação que caracteriza o experimento realizado:
	
	É importante observar que do experimento foram desconsiderados dois fatores sistemáticos. Primeiramente foi desconsiderado que os termômetros à líquidos são calibrados com imersão total, também a temperatura T2 foi tratada como constante, mesmo quando o termômetro é colocado em temperatura ambiente, para isso a capacidade térmica do termômetro tem que ser muito menor que a capacidade térmica da água.
	Para se obter opartimos da equação:
fazemose chamando a equaçãode R nos dá
a partir daí descobrimos o valor deque satisfaça a relação, foi observado que o valor era aproximadamentee assim foi medido quanto tempo era gasto para sair de, tendo assim o valor dereferencial e calculado sua média e sua incerteza. Os valores são:	
	
	4,20s
	4,39s
	4,35
	4,43
	4,52
	4,21
	4,45
= 4,364s
= 0,042s
ondeé desvio padrão da media doreferencial, adotado como sua incerteza.
	Dos valores obtidos experimentalmente, foi calculado o desvio padrão da média que nós dá o valor de dispersão dos valores de amostra, em relação ao valor médio, ou valor esperado. Este valor foi obtido através da equação
				
				(3)
				
				(4)
					
Onde sigma é o desvio padrão, “sigma barra” o desvio padrão da média, n é o número de amostragens, e x é a variável aleatória.
	E para a incerteza do tipo B foi considerada: 
				(5)
					
Onde;é a resolução do instrumento.
2. OBJETIVO
	O objetivo deste experimento será medir o valor da constantee sua respectiva incerteza, utilizando modelos teóricos e comparando com o resultado obtido em laboratório para o valor deapresentado na introdução deste relatório.
3. METODOLOGIA EXPERIMENTAL
Execução do experimento
	Para executar o experimento, foi posicionado um fonte fria(água com gelo em um calorímetro) e uma fonte quente, água fervente em uma fonte de caloronde foi tomada a temperatura de equilíbrio de ambas as fontes (=3ºC e= 94ºC) tendo como instrumento um termômetro. Foram tomadas 5 medidas em cada ponto, onde colocava-se o termômetro na fonte fria, até atingir sua temperatura de equilíbrio, a partir daí cronometra-se o tempo necessário para alcançar determinada temperatura na fonte quente.
4.RESULTADO E ANÁLISE DE DADOS.
	a) Regressão Linear
O Método dos Mínimos Quadrados pesados (regressão linear pesada), permite que a partir de vários valores de uma variável independente (x) e os valores correspondentes da variável dependente (y), e utilizar-se da relação para determinar os parâmetros A e B:
					y = Bx + A 					
Para executar a regressão assume-se duas hipóteses:
	i) Que a variável x possua erro desprezível;
ii) Assume-se que a incerteza na variável dependente (eixo y) é do tipo gaussiana. As incertezas não são todas de mesma magnitude. Nesse caso a incerteza não é gaussiana, porém converge rapidamente para uma.
	Partindo dos fundamentos teóricos apresentados na seção anterior, tem-se:
b) Modelo matemático do experimento
					
					(1)
					
	Chamando a parte à esquerda da equação (1) de R e tomando a função ln de ambos os lados da igualdade, temos:
					(2)
						
Para descrever o comportamento como uma função linear, compara-se o modelo em questão com a função linear genérica:
					y = Bx + A
e realiza a análise das incertezas percentuais de cada variável obtida em laboratório conforme a tabela a seguir
	Incerteza de
	Incerteza percentual
	Incerteza de
	Incerteza percentual
	0,031
	2,27%
	=0,061
	0,96%
	0,039
	2,44%
	=0,077
	0,60%
	0,055
	2,88%
	=0,034
	0,38%
	0,087
	3,71%
	=0,085
	0,72%
	0,200
	6,34%
	=0,045
	0,29%
(Os dados para os cálculos dos valores da tabela anterior foram obtidos nas tabelas do item c e d desta seção.)
A partir dos dados adota-se como y a variável de maior incerteza percentual e despreza a incerteza da outra variável e a elege como x.
Assim, tem-se que:
(I);
(III);
(III)
e
(IV)
Partindo-se da equação (III), obtêm-se o erro de:
c) Dados obtidos
	A tabela a seguir mostra os períodos de oscilação t(s) para cada T(ºC) medido, já divididos por 10, tendo assim o período de cada oscilação e não do intervalo de medição.
	T= 70º
	T= 75º
	T= 80º
	T= 85º
	T= 90º
	t= 6,37
	t= 7,42
	t= 9,03
	t= 12,03
	t= 15,78
	t= 6,56
	t= 7,53
	t= 9,08
	t= 12,01
	t= 15,72
	t= 6,43
	t= 7,33
	t= 8,92
	t= 11,94
	t= 15,84
	t= 6,16
	t= 7,47
	t= 9,03
	t= 11,54
	t= 15,56
	t= 6,28
	t= 7,25
	t= 9,15
	t= 11,72
	t= 15, 82
	t médio= 6,360
	t médio= 7,400
	t médio= 9,042
	t médio= 11,848
	t médio= 15,744
	=0,061
	=0,045
	=0,034
	=0,085
	=0,045
Ondeé o desvio padrão da media do tempo
A tabela acima representa todos os dados coletados durante o experimento.
d) Execução da regressão linear pesada
	Para fazer a regressão linear pesada, foi utilizado um software. Através dele pode-se realizar os cálculos para encontrar os valores de A, B e suas respectivas incertezas, segundo a equação.
Tendo como y = ln R e x=t, logo:
onde todas as incertezas do termômetro possuem o mesmo valor:
Pode-se observar também que as incertezas relativas de cada temperaturanão são da mesma ordem de grandeza como pode-se observar na tabela,
	Incerteza relativa de
	Incerteza relativa de
	Incerteza relativa de
	0,62%
	19%
	: 0,83%
	0,62%
	19%
	: 0,77%
	0,62%
	19%
	: 0,73%
	0,62%
	19%
	: 0,68%
	0,62%
	19%
	: 0,64%
porém neste caso foram consideradas todas elas, pois apesar da diferença de ordem de grandeza a incerteza não é desprezível pois existem valores medidos para temperatura que são muito próximos de zero e outros distantes de zero, o que gera essa diferença entre as ordens, não como, por exemplo, um aparelho com resolução inapropriada ou outro fator sistemático, logo não caracteriza a mesma como desprezível.
Em cada ponto analisado teremos um erro em y, o que nós leva a utilizar uma regressão linear pesada.
	X
	Y
	
	6,360
	-1,365
	0,031
	7,400
	-1,599
	0,039
	9,042
	-1,904
	0,055
	11,848
	-2,346
	0,087
	15,744
	-3,157
	0,200
Obtém-se que:
B = (-0,186)
e
A= (-0,193 )
O valor de A serve como um parâmetro de qualidade da regressão linear. Esperava-se que A fosse o mais próximo de zero possível, e o valor obtido apresenta diferença para o valor esperado, uma vez que sua incerteza é menor que o valor verdadeiro e como consequência nesse caso, não engloba o zero.
O valor de B é encontrado é utilizado para encontrar a constante de tempo deum termômetro através da equação:
	
=
e seu respectivo erro:
5.CONCLUSÃOEDISCUSSÃO
O relatório foi inconclusivo portanto não é possível obter um valor deque satisfaça o valor esperado visto que não satisfaz a relação, onde=referencial adotado eobtido pelo experimento em laboratório. Nota-se que onão engloba o, nota-se também que essa discrepância pode se dar pela presença de erros sistemáticos na realização do experimento ou, falha no modelo adotado seja ela experimental ou teórica ao considerar ou desconsiderar algum fator, pois ao realizar a regressão linear o parâmetro A deveria englobar o 0, fato este que não ocorreu, o que pode justificar o valor discrepante ao tentar obter a constante de tempo. Possíveis erros sistemáticos:
O calorímetro não ser completamente adiabático
A utilização de um cronometro manual para medições de tempo
Troca de calor entre o termômetro e o meio.
6.BIBLIOGRAFIA
Halliday, D., Resnick, R., Fundamentos de Física, 2a ed., Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1996, v. 1-4.
Nussensweig, H. M., Curso de Física Básica, Edgard Blücher, São Paulo
Marion, J. B., Thornton, S. T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 4a ed., Saunders College Publishing, 1995.
Symon, K. R., Mechanics, Addison-Wesley, 1960.
Introdução à Análise de Erros: O Estudo de Incertezas em Medições Físicas
 Por John R. Taylor