Diferenciação e integração das séries de potências

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Cálculo II 
 
 
 
DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO DAS SÉRIES DE 
POTÊNCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Sumário 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1.Derivação e integração .............................................................................................................. 2 
1.1. Expansão em série de potências .................................................................................. 2 
1.2. Propriedade da derivação ............................................................................................ 3 
1.3. Propriedade da integração .......................................................................................... 4 
2. Aplicações da derivação ....................................................................................................... 5 
2.1. Série de Taylor .............................................................................................................. 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
O estudo das séries infinitas até aqui considerou diversos tipos de 
comportamento das séries, inclusive sua generalização para uma função polinomial. 
O próximo passo deste estudo é a definir como podemos derivar e integrar uma série 
de potências, já que essas séries são vastamente utilizadas na matemática e a 
manipulação através destas operações são fundamentais no cálculo diferencial e 
integral. 
Assim, como você já sabe, Todas as funções polinomiais são contínuas e 
infinitamente deriváveis. Mas será que podemos dizer o mesmo sobre as séries de 
potências? Vamos discutir isso nessa aula. 
Objetivos 
• Calcular a derivada de uma série de potências; 
• Calcular a integral de uma série de potências. 
 
1.Derivação e integração 
1.1. Expansão em série de potências 
Suponha uma série de potências do tipo 
1
n
nn
a x

=
, com raio de convergência 
definido por 𝑅. Sabemos que essa série pode ser usada para definir uma função 𝑓(𝑥) 
com domínio definido pelo intervalo de convergência da série. Ou seja, a função pode 
ser dita como uma expansão em série de potências de 𝑓(𝑥). 
Polinômios, de forma geral, são somas finitas de termos simples, contínuas em 
toda parte, e podem ser integradas termo a termo. Já a uma série de potências pode 
ser uma função muito mais complicada, mas suficientemente simples para ter em 
comum com os polinômios três propriedades: 
i) A função 𝑓(𝑥) definida por 
2 3
0 1 2 3( ) ... ...
n
nf x a a x a x a x a x− + + + + + +
 é 
contínua no intervalo aberto ]−𝑅, 𝑅[; 
ii) A função 
( )f x
 é derivável em ]−𝑅, 𝑅[ e sua derivada é dada pela 
fórmula 
2 1
1 2 3'( ) 2 3 ... ...
n
nf x a a x a x na x
−= + + + + +
; 
iii) Se 𝑥 é um ponto qualquer do intervalo ]−𝑅, 𝑅[, então vale a integral 
2 3 1
0 1 2
0
1 1 1
( ) ... ...
2 3 1
x
n
nf t dt a x a x a x a x
n
+= + + + + +
+
. 
 
 
3 
 
1.2. Propriedade da derivação 
De forma geral, a derivada de uma série de potências definida por 
0
( ) , '( )nnnf x a x f x

=
=
 , 
'( )f x
 vai existir para todo 𝑥 no intervalo ]−𝑅, 𝑅[, e é dada 
por 
1
0
'( ) nnnf x na x
 −
=
=
. 
Podemos dizer também que o raio de convergência de 
'( )f x
 e derivadas 
subsequentes será o mesmo da função 𝑓(𝑥), mas não necessariamente as derivadas 
terão o mesmo intervalo de convergência. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
A possibilidade de o intervalo de convergência de uma série de potências ser 
diferente de suas derivadas nos faz analisar também o que pode ocorrer nas 
extremidades do intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos calcular a primeira derivada da série 
21
n
n
x
n

=
 . 
Temos que 
'
1 1
2 21 1 0
.
'( )
n n n
n n n
x n x x
f x
n n n
− −
  
= = =
 
= = = 
 
  
 
Logo, a derivada é 1
1
'( )
n
n
x
f x
n
−

=
=
 . 
 
 
 
4 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Propriedade da integração 
A integral de 
0
( ) nnnf x a x

=
=
 pode ser definida, em termos gerais, por 
1
00
( ) .
1
x
nn
n
a
f x x
n
 +
=
=
+

, em um intervalo fechado de extremidades 𝑅, calculada 
termo a termo. 
 
 
 
 
A série definida por 
21
( )
n
n
x
f x
n

=
=
 está centrada em 
0 0x =
 , 
possui raio de convergência 𝑅 = 1 e intervalo de convergência 
]−1,1]. Vamos verificar o intervalo de convergência da derivada de 
𝑓(𝑥). 
Temos que a derivada de 
( )f x
 é 1
1
'( )
n
n
x
f x
n
−

=
=
 , centrada em 
𝑥0 = 0 e com raio de convergência obtido pelo teste da razão 
1
1lim lim . .lim 1 1
1 1
n
n
n n n
x
n nnL x x x R
x n n
n
−
→ → →
+= = =    =
+ +
 
Vamos ver agora o intervalo de convergência da primeira derivada: 
• 1
0 1
( 1)
0 1 1 e 
n
n
x R
n
−

=
−
− = − = − 
 diverge; 
• 1
0 1 1
( 1) 1
0 1 1 e 
n
n n
x R
n n
−
 
= =
−
+ = + = = 
 converge. 
 
E, portanto, o intervalo de convergência é ]−1,1], igual ao da 
série original. 
 
 
5 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que ln(1 + 𝑥) não é definida em 𝑥 = −1, por isso ela é contínua no 
intervalo ]−1,1], sem incluir esse valor. 
 
2. Aplicações da derivação 
2.1. Série de Taylor 
Suponha uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem em um 
ponto 𝑥0.Esta função pode ser representada por uma série de potências, convergente 
em 𝑥0, e que tem a forma: 
Vamos mostrar que 1
1
0
( 1)
ln(1 ) .
1
n n
n
n
x
x x
n
+
 +
=
−
+ =
+

 no 
intervalo ]−1,1]. 
 
Sabemos que ln 𝑥 não pode ser escrito na forma 
n
na x
 
pois ln 0 não existe, porém ln(1 + 𝑥) existe para 𝑥 = 0. 
 
Também sabemos que 
1
'( ) (ln(1 )) '
1
f x x
x
= + =
+
 . Como 
0
00
a r
1
n
n
a
r

=
=
−

 , temos que 
0 0
1
'( ) ( ) ( 1)
1
n n x
n n
f x x x
x
 
= =
= = − = −
+
 
 para 𝑟 = −𝑥 
com |𝑟| = |−𝑥| ⇒ |𝑥| < 1. 
 
Integrando, temos que 
1
0 0
( 1)
f(x)= '( )dx ( 1) x
1
n n
n n
n n
x
f x C
n
+
 
= =
−
= − = +
+
 
 𝑓. 
Determinado a constante 𝐶 em 𝑥 = 0 , temos que 𝐶 = 0. 
Logo 1
0
( ) ( 1) .
1
n
n
n
x
f x
n
+

=
= −
+

 , para |𝑥| < 1. 
Considerando as extremidades do intervalo de 
convergência, temos que ln(1 + 𝑥) é contínua no intervalo 
]−1,1].6 
 
2 2
0 0 1 0 2 00
( ) a (x x ) a ( ) ( ) ...nnnf x a x x a x x

=
= − = + − + −
 
As derivadas desta função são obtidas termo a termo da série. Por exemplo a 
primeira derivada: 
1 1 2
0 1 2 0 3 00
'( ) (x x ) a 2 ( ) 3 ( ) ...nnnf x na a x x a x x
 −
=
= − = + − + −
 
𝑓 
E a segunda derivada: 
2 2
0 2 3 0 4 00
''( ) n(n 1)a ( ) 2 6 ( ) 12 ( ) ...nnnf x x x a a x x a x x
 −
=
= − − = + − + −
 
𝑓 
Substituindo 𝑥 por 𝑥0 nas séries, temos que 
0 0 1 0 2 0( ), '( ),a ''( )a f x a f x f x= =
 , 
ou seja, em geral temos 
( )
0! ( )
n
nn a f x=
 ). Portanto a série de Taylor possui a seguinte 
forma: 
( )
0
00
( )
( ) ( )
!
n
n
n
f x
f x x x
n

=
= −
 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A série de potências de McLaurin é um caso particular da 
série de Taylor, com 𝑥0 = 0. Veja algumas séries de 
McLaurin importantes: 
• série geométrica 
0
1
1
n
n
x
x

=−

 
• função exponencial 
0 !
n
x
n
x
e
n

=
=
 
• funções trigonométricas sin 𝑥 e cos 𝑥. 
 
7 
 
Exercícios 
1. (Autora) Sabendo que a série de Taylor de uma função f(x) é dada pela série 
( ) 2
0 0 0
0 0 0 00
( ) ''( )( )
( ) ( ) ( ) '( )( ) ...
! 2
n
n
n
f x f x x x
f x x x f x f x x x
n

=
−
= − = + − + +
. 
Defina o intervalo de convergência da série de Taylor de ln 𝑥, sabendo que 𝑥0 =
1. 
2. (Autora) Encontre o intervalo de convergência da série de McLauren da série 
de funções 𝑓(𝑥) = sen 𝑥. 
3. (Autora) Utilizando a série de Taylor da função 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, mostre que ela é 
contínua para qualquer 𝑥 ∈ ℝ. 
Gabarito 
1. A série de Taylor para ln 𝑥 é 
2 3 4
10 0 0 0
0 0 02 3 4 1
0 0 0 0
1 1 ( ) 2 ( ) 3! ( ) ( )
ln ln .( ) . . . ... ln ( 1) .
2 3! 4!
n
n
n
x x x x x x x x
x x x x x
x x x x n
 +
=
− − − −
+ + − − + − + = + −
 
fazendo 𝑥0 = 1, temos 1
1
( 1)
ln ( 1) .
n
n
n
x
x
n
 +
=
−
= −
 . Logo o raio de convergência 
pode ser obtido por 
1
2
( 1)
1
lim lim 1
( 1)
1
n
n
n n
nnR
n
n
+
+
→ →
−
+
= = =
−
+
 . Se 
0 1x =
 , então temos 
que as extremidades do intervalo de convergência são 
i) 𝑥0 − 𝑅 = 1 − 1 = 0, e temos que 
1 2 1
1
1 1 1
(0 1) ( 1) .( 1) ( 1)
( 1) .
n n n n
n
n n nn n n
+ +
  +
= = =
− − − −
− = =  
 que diverge; 
ii) 
0 1 1 2x R+ = + =
 , e temos que 
1 1
1
1 1 1
(2 1) ( 1) .(1) ( 1)
( 1) .
n n n n
n
n n nn n n
+ +
  +
= = =
− − −
− = =  
 que converge. 
Portanto o intervalo de convergência é 𝐼 = ]0,2]. 
2. A função 𝑓(𝑥) = sen 𝑥 pode ser transposta para a série de funções 
( )
1
f (0)(x)
( )
!
x n
n
f x
n

=
=
 . A série de McLauren é a série de Taylor para 𝑥0 = 0. 
Assim temos 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 
 
8 
 
𝑓′′(𝑥) = − sen 𝑥 
𝑓′′′(𝑥) = − cos 𝑥 
E assim, temos que 
2 3
2 3
''(0) '''(0)
( ) (0) '(0) ...
2 3!
sen(0) cos(0) sen(0) cos0 ...
2 3!
f x f x
f x f f
x x
= + + + +
= + − − +
 
 
3 5 7 2 1
1
( 1)
( ) ...
3! 5! 7! (2 1)
n n
n
x x x x
f x x
n
+

=
−
= − + + + 
+

 
. 
Encontraremos agora o raio de convergência: 
2
1
( 1)
( 1) . 1.(2 3)!(2 1)!
lim lim lim(2 3).(2 2) lim4 10 6
( 1) ( 1) .(2 1)!
(2 3)!
n
n
n nn n n n
nn
R n n n n
n
n
+
→ → → →
−
− − ++
= = = + + = + + = 
− − +
+
 
Portanto, a o intervalo de convergência ]+∞,+∞[ . 
3. Sabemos que 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 = ∑
(−1)𝑛𝑥2𝑛
(2𝑛)!
∞
𝑛=1 , logo o raio de convergência é 
1
( 1)
(2 2)!(2 )!
lim lim
( 1) 1.(2 )!
(2 2)!
n
n
n n
nn
R
n
n
+
→ →
−
+
= = = +
− −
+
. Portanto o intervalo de convergência é 
]−∞,+∞[. 
Resumo 
Nesta aula aprendemos algumas características das séries de potências. 
Considerando que elas definem uma função, nada mais justo do que associar 
propriedades de funções às séries. 
Em resumo, respondendo a pergunta inicial desta aula, as séries de potências 
que definem funções são contínuas e deriváveis no intervalo de convergência das 
séries. Mas é mais do que isso: aprendemos que há três características fundamentais 
associadas às séries de funções definidas por séries: que elas são contínuas, existe a 
derivada e existe a integral, todas as condições no mesmo intervalo aberto de 
convergência da série. 
 
9 
 
Vale lembrar que a derivada e a integral devem ser calculadas termo a termo 
da série. Para facilitar os cálculos, podemos utilizar o termo geral da série, sempre 
tendo em mente que o comportamento das extremidades dos intervalos resultantes 
da derivada e integral podem diferir da série original. 
A mais importante aplicação das séries de potências na definição de funções é 
a determinação dos termos da série de Taylor, uma das séries mais famosas da 
matemática, vastamente utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Volume 4. São Paulo: LTC, 2002. 
 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Volume 2. São Paulo: Pearson, 2010.