Aula_02 Licenciatura em matemática

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PROGRESSÕES E MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 2- Progressão Geométrica
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Conteúdo Programático desta aula
	Nesta aula você irá:
Identificar uma Progressão Geométrica.
Relacionar três termos em sequência em uma PG.
Experimentar propriedades relacionadas a definição de uma PG.
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Progressão geométrica é uma sucessão de números na qual o quociente entre dois termos consecutivos é constante, 
Progressão Geométrica- PG
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Progressão Geométrica (PG) é a sequência de números não nulos, onde qualquer termo (a partir do segundo), é igual ao antecedente multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da progressão, sendo indicada por q.
PROGRESSÕES GEOMÉTRICA (PG) 
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Progressão aritmética ( P.A.) 
(3, 9,27, 81, ...) → é uma P.G. Crescente de razão
 q = 3
(90, 30, 10, ...) → é uma P.G. Decrescente de razão 
q = 1/3
(-7, 14, -28, 56, ...) → é uma P.G. Oscilante de razão q = - 2
(3, 3, 3, 3, ...) → é uma P.G. Constante de razão 
q = 1
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A razão
	
	A razão de uma P.G. pode ser calculada pela igualdade:
 q = an / an – 1
 ou seja 
 q = a2 / a1 = a3 / a2 = a4 / a3 = an / na-1
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Exemplo
 Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG Resolução: n= 6 a1 = 2 a6 = 486 a6 = a1.q5 486 = 2 . q5 q = 3
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Propriedades
Em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. 
Ex:
PG (A, B, C, D, E, F, G). Temos então: B² = A . C ; C² = B . D ; D² = C . E ; E² = D . F, etc. 
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PG constante
O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. 
Exemplo: 
PG (A, B, C, D, E, F, G). Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D²
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Classificação
 notação corrente
Representaremos uma Progressão Geométrica da forma:
 PG (a1, a2, a3, a4, ...., an)
sendo,
 a1= primeiro termo;
q = razão;
n = número de termos ( se for uma PG finita );
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo.
 
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Exemplo:
Seja uma PG (-7, 14, -28, 56) 
onde a1 = - 7, r = - 2, n = 4 an = a4 = 56.
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Em relação ao número de termos:
Seja a PG (2,4,8,16) onde possui 4 termos e razão r = 2. Esta PG tem um número finito de termos. Portanto, dizemos que toda PG de n° de termos finito é limitada.
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Em relação ao número de termos
Seja a PG (-100, -10, -1, - 0.1, - 0.01, - 0.001, ...) onde possui infinitos termos e razão r = 1/10.
 Esta PG tem um número infinito de termos. Portanto, dizemos que toda PG de n° de termos infinito é ilimitada.
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Classificação - Crescente
 São PGs cuja razão é um número positivo.
Quando q > 0, a P.G. é crescente. 
Por exemplo: (3, 6, 12, 24, 48, ...)
q = a2 / a1 q = 6 / 3 q ou r = 2
Onde
a1 = 3
a2 = 6 (a2 = a1 . q → a2 = 3 . 2 → a2 = 6)
a3 = 9 (a3 
= a1 . q2 → a3 = 3 . 22 → a3 = 3 . 4 → a3 = 12)
 
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P.G. crescente
Concluindo que toda P.G. crescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é maior que o anterior. Assim, temos: an > an - 1
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Classificação - Decrescente
   São PGs com seguinte critério: a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1.
Quando a1 < 0 e q > 1 ou a1 > 0 e 0 < q < 1, a P.G. é decrescente. 
Por exemplo: (48, 24, 12, 6, 3, ...)
q = a2 / a1 q = 24 / 48 q = 1 / 2
Onde
a1 = 48 a2 = 24 (a2 = a1 . q → a2 = 48 . 1/2 → a2 = 24)
a3 = 12 (a3 = a1 . q2 → a3 = 48 . (1/2)2 → a3 = 48 . 1/4 → a3 = 12)
PG (-1, -3, -9, -27, -81, …) onde a razão é 3.
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Decrescente: 
Concluindo que toda P.G. decrescente, partindo do segundo termo, qualquer elemento é menor que o anterior. Assim, temos: an < an - 1
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Alterante ou Oscilante
Alterante ou Oscilante: São PGs cuja a razão é menor que zero. Existe uma alternância entre termos positivos e negativos
PG (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,…), onde a razão é -2.
 
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Alterante ou Oscilante
Quando q < 0, a P.G. é Alternante ou Oscilante. 
Por exemplo:(- 5, 10, - 20, 40, - 80, ...)
q = a2 / a1 q = 10 / -5 q = 10 / -5
Onde
a1 = - 5
a2 = 10 (a2 = a1 . q → a2 = - 5 . - 2 → a2 = 10)
a3 = - 20 (a3 = a1 . q2 → a3 = - 5 . (-2)2 → a3 = -5 . 4 → a3 = - 20)
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Alterante ou Oscilante
Concluindo que toda P.G. Alternante ou Oscilante, partindo de qualquer termo, há uma alternância sucessiva entre termo negativo e positivo.
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Constante
Constante: São PGs cuja a razão é igual 1
Ex: PG (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …) onde a razão é 1.
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Termos consecutivos
Dada uma PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Considere a PG (x, y, z, w). Temos então y2 = x.z ; z2 = y.w ;
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Termo Médio
Dada uma PG, o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Considere a PG (p,q,r,s,t,u,v). 
 
Temos então: p.v = q.u = r.t = s.s = s2
Para a resolução de alguns problemas (relacionados produto dos termos da PG) podemos escrever uma PG na seguinte forma: (x/q, x, x.q).Forma genérica
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A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a:
 a) 2 b) 6 c) 18 d) 5 e) nda.:
 Solução.
 Três termos consecutivos de uma PG podem ser representados como (q a razão). Utilizando a informação do produto, temos: 
(x/q) . (x) . (xq)= 216 => x^3 = 6^3=> x=6
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Exercitando
 (PUC) Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada:   a) decrescente b) crescente c) constante d) alternante e) singularLetra A
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Determine o número de termos da PG (1,2,.....256) (R:9)
(1, 2, 4 ,8, 16, 32, 64, 128, 256) Resposta : 9
ai = 1 q = 2 an = 256 n = ? an = a1*q^(n-1) 256 = 1*2(n-1) fatorando 256 vc chega em 2^ 8 então 2^8 = 2^(n-1) 8 = n-1 n = 9 essa pg tem 9 termos
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Determine o 12° termo da PG 7,14,28,...... (R:14336)
Como a razão de pg é igual a qualquer termo dividido pelo anterior temos:
q = 14/7=2
Para calcular o 12 termo dessa progressão substituímos n por 12na formula do termo geral , temos então: a12= a1.q ^11
Substituindo valores do primeiro termo e da razão, encontramos: 
a12= 7.2^11 => a12 = 7.2048 = 14.336
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 Escreva os 8 primeiros termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é 5 e cuja a razão é 2 
(R: 05,10,20,40,80,160,320,640)
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