Tipos de sistemas lineares e suas soluções

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Matemática 
 
 
TIPOS DE SISTEMAS LINEARES E SUAS 
SOLUÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. Tipos de Sistemas lineares e suas soluções ........................................................................ 2 
 1.1. Sistemas lineares 2 x 2...................................................................................................... 2 
 1.2. Interpretação geométrica ................................................................................................ 4 
 1.3. Sistema linear m x n ......................................................................................................... 5 
 1.4. Os sistemas lineares e sua história .................................................................................. 6 
 1.5. Solução de um sistema .................................................................................................... 6 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 7 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila Equações Lineares, Sistema Lineares e Soluções do Sistema Linear, 
tivemos a oportunidade de compreender o que é uma equação linear, demonstrando 
alguns exemplos, resolvendo alguns sistemas lineares e apreendemos na prática do 
dia a dia onde o conteúdo pode ser aplicado. 
Agora, nesta apostila, abordaremos os tipos de sistemas lineares com suas 
soluções, lembrando que para um maior aproveitamento desta aula, é sempre 
necessário fazer uma revisão do conteúdo anterior por se tratar de matérias que se 
complementam. 
Procure reler a matéria, refaça alguns exercícios e mãos à obra. 
Objetivo 
• Classificar os tipos de sistemas lineares; 
• Resolver exercícios com os tipos de sistemas lineares 
 
1. Tipos de Sistemas lineares e suas soluções 
1.1. Sistemas lineares 2 x 2 
Um sistema linear 2 x 2, nas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto de duas equações lineares em que x e y são as incógnitas de cada uma dessas 
equações. 
Os sistemas lineares 2 x 2 podem ser resolvidos por alguns métodos como 
adição, substituição, comparação e outros. 
No exemplo que veremos, utilizaremos o método da substituição, onde temos 
incógnitas e queremos encontrar seus valores numéricos. Através desse método, 
procuramos encontrar o valor algébrico de uma incógnita, que pode ser representada 
por uma letra qualquer (x, y, z, w, a, b, etc) e a seguir vamos substituir o valor 
encontrado na outra equação. 
Encontrar o valor algébrico da incógnita, significa isolá-la. Você poderá 
escolher qualquer equação para fazer a resolução, mas o ideal é sempre escolher 
aquela que possui o coeficiente igual a um, facilitando assim a obtenção dos 
resultados. 
Para melhor entendermos, vamos a um caso prático: 
 
 
3 
 
EXEMPLO 
 
 
 
Seu relógio marcava quase 13 horas e a fome começou a apertar. 
Você como estudante aplicado que é, mas querendo saber o preço unitário da 
água de coco e do sanduiche, faz a representação da água de coco e dos sanduiches 
por x e y, obtendo as seguintes equações: 
3 2 30
2 17
x y
x y
+ =

+ =
 
Com estas duas equações lineares, você montou um sistema linear de duas 
equações e duas incógnitas. 
Para resolver este caso, pode-se utilizar o método da adição, que já foi 
estudado no Ensino Fundamental. Esse método consiste em adicionar, 
convenientemente, as duas equações, a fim de que se obtenha uma equação com 
apenas uma incógnita. 
Para tal, vamos utilizar o sistema montado e multiplicar a segunda equação 
por -2 e assim anular com o 2y da primeira equação. Em seguida somamos as duas 
equações, sendo que a equação obtida apresentará a incógnita x. 
3 2 30
2 17
x y
x y
+ =

+ =
 
Repetimos a primeira equação e a segunda multiplicamos por -2 
 + 3 2 30
4 -2 -34
x y
x y
+ =

− =
 
-x = -4 
 Logo x = 4 
Assim podemos concluir que o preço da água de coco é R$4,00. 
Ao substituirmos esse valor em qualquer das equações anteriores, 
encontraremos o preço do sanduiche. 
Ao passear pela praia de Copacabana, você para em 
frente à um quiosque e vê uma placa que diz: 
Promoção: 
3 águas de coco + 2 sanduiches = R$30,00 
2 águas de coco + 1 sanduiches = R$17,00 
 
4 
 
3x + 2y = 30 
3.4 + 2y = 30 
2y = 18 
Logo y = 9 
Agora sabemos que o sanduiche custa R$9,00 e assim dizemos que o conjunto 
solução do sistema é S = {(4,9)}, pois x = 4 e y = 9 satisfazem simultaneamente as duas 
equações. 
3.4 2.9 12 18 30
2.4 9 8 9 17 
+ = + =

+ = + =
 
 
1.2. Interpretação geométrica 
Os sistemas lineares 2 x 2 também pode ser resolvido graficamente. Vejamos o 
exemplo anterior. 
A equação linear 3x + 2y = 30 também pode ser representada como`
30 3
2
x
y
−
=
 , isto é, 
3
15
2
y x= −
, que é a lei de uma função afim, cujo gráfico é a reta r 
representada abaixo. 
Para a equação linear 2x + y = 17, temos a equivalência em y = -2x + 17, que é a 
lei de uma função afim em que o gráfico é a reta s. 
As retas r (azul) e s (vermelho) intersectam-se em apenas um ponto P(4,9), ou 
seja, o par ordenado (4,9) é a única solução do sistema apresentado, pois verifica 
simultaneamente, as duas equações. 
 
5 
 
 
Fonte: Adaptado de Iezzi, 2016 
Assim dizemos que o sistema é possível e determinado (SPD), matéria que 
iremos tratar na aula 54. 
 
1.3. Sistema linear m x n 
No item anterior, estudamos os sistemas lineares 2 x 2 que são um caso 
particular de um sistema m x n, em que m = n = 2. 
Um conjunto de m equações lineares e n incógnitas 
1 2 3, , , ..., nx x x x
 é 
chamado de sistema linear m x n. 
Vejamos alguns exemplos: 
• Sistema linear com três equações e três incógnitas: 
 2 1
 – 2 2
2 – – 0
x y z
x y z
x y z
+ − =

+ = −
 = 
y
17
15
13
11
(4,9)
9
7
5
3
1
0 2 4 6 x
Fonte : Adaptado de Iezzi, 2016
 
6 
 
 
• Sistema linear com duas equações e quatro incógnitas: 
 
 1 
 – – 2 7
x y z w
x y z w
+ + + =

+ = 
• Sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas: 
 
 3
0
5
1
a b
b c
c d
a d
+ =
 − =

+ =
 − = −
 
 
1.4. Os sistemas lineares e sua história 
Falando sobre os sistemas lineares, acredita-se que seu desenvolvimento foi 
maior nas civilizações orientais, pois em um dos capítulos do livro chinês Nove 
capítulos sobre a matemática, mais ou menos no século III antes de Cristo, temos um 
tópico que fala sobre equações indeterminadas e também a solução de um problema 
linear que envolve quatro equações e cinco incógnitas. Nesta época, utilizavam-se 
bambus sobre um tabuleiro para escrever os coeficientes do sistema,representado 
assim o papel hoje das matrizes. 
Aos chineses, é dado a descoberta de um processo para resolução de sistemas 
equivalentes, semelhante ao utilizado atualmente, o método do escalonamento. Este 
método de escalonamento, iremos estudar mais adiante. 
 
1.5. Solução de um sistema 
Dada uma sequência de números reais, representadas por
1 2 3, , ,..., n   
 , 
dizemos que é solução de um sistema linear qualquer, ou seja, de n incógnitas, caso 
seja solução de todas as equações do sistema. 
Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento: 
a) O par ordenado (4,1) é solução do sistema abaixo, pois se substituirmos x 
por 4 e y por 1 em cada equação do sistema, obtemos sentenças verdadeiras. 
 
5
3
6 10 14
x y
x y
x y
+ =

− =
− + = −
 
4 1 5
4 1 3
6.4 10.1 14
+ =
− =
− + = −
 
 
7 
 
 
b) A tripla ordenada (5,3,2) é solução do sistema a seguir, pois fazendo x=5, y=3 
e z=2 obtemos sentenças verdadeiras. 
10
4
0
x y z
x y z
x y z
+ + =

− + =
 − − =
 
5 3 2 10
5 3 2 4
5 3 2 0
+ + =
− + =
− − =
 
Exercícios 
1. (IEZZI, 2016) Nos casos abaixo, determine o valor de m. 
 
a) A tripla ordenada (2, -1, 3) é solução do sistema: 
2
2 4
2 0
x y z
x z
x my z
+ − = −

+ =
 + − =
 
 
b) O par ordenado (5, m) é solução do sistema: 
8
4 5 5
x y
x y
+ =

− + = −
 
 
c) A tripla ordenada (m, 0, -2) é solução do sistema: 
 5
 3 2 5
x y z
x z
+ − =

+ =
 
 
2. (IEZZI, 2016) Em uma padaria, dois cafés e cinco pães de queijo custam 
R$14,20; três cafés e sete pães de queijo custam R$20,60. Quanto custarão 
os quatro cafés e os dez pães de queijo? 
 
3. (ENEM, 2012) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros 
de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 
carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do 
número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas 
correspondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado 
de carros roubados da marca Y é: 
 
a) 20 
b) 30 
 
8 
 
c) 40 
d) 50 
e) 60 
Gabarito 
1. Na letra a temos a tripla ordenada (2, -1, 3) que iremos substituir em cada 
uma das equações e verificar se são verdadeiras, obtendo também o valor 
de m. 
x + y – z = -2 -x + 2z = 4 2x +my –z = 0 
2 -1 -3 = -2 -2 + 6 = 4 4 -m -3 = 0 
 m = 1 
Respondendo a letra b, faremos também o processo de substituição pelo par 
ordenado. 
 x + y = 8 -4x + 5y = -5 
 5 + m = 8 -20 +5m = -5 
 m = 3 5m = 15 m= 3 
Finalizando com a letra c substituiremos a tripla ordenada (m, 0, -2) no sistema, 
obtendo também o valor de m 
 x + y –z = 5 3x + 2z = 5 
 m + 0 –(-2) = 5 3m +2.(-2) = 5 
 m = 3 3m = 9 m=3 
 
2. Neste exercício podemos montar um sistema linear que irá nos ajudar a 
resolvê-lo, de várias formas. 
3 7 20,60( )
2 5 14,20(II)
c p
c p
+ =

+ =
I
 
Nesta opção iremos adotar o método da subtração, por isso a ordem das 
equações foi invertida. Fazemos I – II, logo: 
 (3c – 2c) + (7p – 5p) = (20,60 – 14,20) 
 c + 2p = 6,40 logo c = -2p + 6,40 
 Agora basta substituir: 
 3.(-2p + 6,40) + 7p = 20,60 
 -6p + 19,20 + 7p = 20,60 
 p = 1,40 com o valor de p temos c = -2.1,40 + 6,40 ou seja c = 3,60 
 Se queremos saber o preço 4 cafés e 10 pães de queijo teremos: 
 
9 
 
 4.3,60 + 10.1,40 = 28,40 ou seja 4c + 10p = 28,40. 
Outra solução possível, é apenas observar que a equação 2c + 5p = 14,20 é a 
metade da equação desejada 4c + 10p. Desta forma, para se obter a resposta, 
basta multiplicar a equação por 2. 
 2c + 5p = 14, 20 multiplicando por 2 temos 4c + 10p = 28,40. 
 
3. Primeiro descobrimos o total de carros X e Y, ou seja 60% de 150, que é 90 
carros. Daí, montamos o sistema: 
 2 
 90
x y
x y
=

+ =
 
 Substituímos x = 2y na segunda 
 2y + y = 90 
 3y = 90 
 y = 30 
 Resposta letra b 
 
Resumo 
Nesta aula, verificamos que os sistemas lineares 2 x 2 pode ser definido como 
um conjunto de duas equações lineares em que x e y são as incógnitas de cada uma 
dessas equações. 
Para resolvermos sistemas lineares 2 x 2 podem ser utilizados os métodos da 
adição, substituição, comparação e outros. 
Outro tipo de sistema linear também estuado é aquele chamado de m x n, 
onde um m é um conjunto de equações lineares e n incógnitas. 
Historicamente, é creditado aos chineses, a criação de equivalentes para a 
resolução de sistemas lineares, sendo que as civilizações orientais o estudaram com 
maior intensidade. 
 
 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
BOYER, C.B.História da Matemática.3.ed.São Paulo, Edgard Bluncher, 2010. 
IEZZI, G.;DOLCE, O.;DEGENZAJN, D.;PÉRIGO, R.;ALMEIDA,N. Matemática: ciência e aplicações.9.ed.São Paulo, 
Saraiva, 2016. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999. 
Referência de imagens 
IEZZI, G.;DOLCE, O.;DEGENZAJN, D.;PÉRIGO, R.;ALMEIDA,N. Matemática: ciência e aplicações.9.ed.São Paulo, 
Saraiva, 2016